Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede
Bezerra, Paulo Ricardo Cosme.
Qualidade em serviços de saúde: Uma contribuição à definição de um modelo paramétrico e padrão de qualidade do tempo agendado para consulta ambulatorial / Paulo Ricardo Cosme Bezerra. – Natal [RN], 2003.
xvii, 91 p., il.
Orientador: Rubens Eugênio Barretos Ramos
Tese (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Engenharia de Produção.
1. Qualidade – Serviços de saúde – Tese. 2. Métodos estatísticos - Tese 3. Confiabilidade - Tese I. Bezerra, Paulo Ricardo Cosme. II. Titulo
CURRICULUM VITAE RESUMIDO
Paulo Ricardo Cosme Bezerra é Estatístico graduado pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte em 2002. Atualmente é Professor Substituto do Departamento de Estatística da UFRN. Durante a fase do mestrado participou de Congressos Nacionais, com artigos publicados, destacando os certificados recebidos no 15º SINAPE – Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística, em Águas de Lindóia/SP - 2002, pela apresentação dos trabalhos “A Estatística na Organização Hospitalar” e “Os Indicadores Hospitalares na Avaliação da Qualidade Institucional” e a apresentação desta Dissertação no IX Congresso de Ciência, Tecnologia e Cultura do Rio Grande do Norte, em Natal/RN – 2003 e na 36ª Reunião Regional da Associação Brasileira de Estatística, na cidade de João Pessoa/PB – 2003.
Outros Artigos Publicados Durante a Pós-Graduação
BEZERRA, Paulo R. C.; CAVALCANTI, Gilmara A.; SILVA, Luciana N. Uma aplicação dos testes de vida acelerados para verificar o tempo de internação de pacientes submetidos à cirurgia de hérnia. 15º SINAPE. Águas de Lindóia/SP, 2002.
BEZERRA, Paulo R. C.; RAMOS, Rubens E. B. O Modelo de Transformação: O perfil da saúde avaliado através de seus indicadores globais. Semana de Estatística, Natal/RN - 2002 e 36ª Reunião da Associação Brasileira de Estatística, João Pessoa/PB – 2003.
Minicursos Ministrados
Métodos Estatísticos para Melhoria da Qualidade Hospitalar, XIII Congresso de Iniciação Científica da UFRN, Natal/RN – 2002.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por estar sempre ao meu lado, dando-me forças, coragem e estímulo para nunca desistir dos desafios.
À Universidade Federal do Rio Grande do Norte e ao Programa de Engenharia de Produção(PEP) pela oportunidade de poder cursar um mestrado.
Ao Prof. Rubens Eugênio Barreto Ramos, meu orientador, por aceitar me orientar e pela proposta de pesquisar o tempo até o atendimento ambulatorial. Obrigado pela confiança e paciência.
A Diretora do SAME, Elza Alves de Sá, que disponibilizou equipamentos, funcionários e se dispôs sempre a me ajudar.
Ao Prof. Paulo César Formiga Ramos e ao Prof. Manoel Raimundo de Sena Júnior por aceitarem o convite para compor a banca examinadora de meu trabalho.
ÀCleide, funcionária do PEP, por toda a paciência, carinho e amizade com que trata os alunos do mestrado. Muito obrigado por tudo.
À Profª. Jeanete Alves Moreira (Chefe do DEST) e ao Prof. Francisco de Assis M. da Silva (Coord. do curso de Estatística). Muito obrigado pela ajuda, compreensão e apoio em todos os momentos em que cursei o mestrado.
Resumo da Tese apresentada à UFRN/PEP como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências em Engenharia de Produção.
QUALIDADE EM SERVIÇOS DE SAÚDE: UMA CONTRIBUIÇÃO À DEFINIÇÃO DE UM MODELO PARAMÉTRICO E PADRÃO DE QUALIDADE DO TEMPO AGENDADO PARA CONSULTA AMBULATORIAL
PAULO RICARDO COSME BEZERRA
Dezembro/2003
Orientador : Rubens Eugênio Barreto Ramos
Curso : Mestrado em Ciências em Engenharia de Produção
RESUMO: Este trabalho apresenta um estudo sobre qualidade em serviços de saúde, com
Abstract of Master Thesis presented to UFRN/PEP as fulfillment of requirements to the degree of Master of Science in Production Engineering
QUALITY OF HEALTH CARE: A CONTRIBUTION TO A PARAMETRIC MODEL AND QUALITY GRADE OF CONSULTING APPOINTMENT
PAULO RICARDO COSME BEZERRA
December/2003
Thesis Supervisor : Rubens Eugênio Barreto Ramos
Program : Master of Science in Production Engineering
ABSTRACT: This work presents a study in quality of health care, with focus on consulting
SUMÁRIO
Capítulo 1 – Introdução 01
1.1 - Contextualização 01
1.1.1 – Qualidade 01
1.1.2 – Qualidade Hospitalar 03
1.1.3 – Hospital 04
1.1.4 - O Hospital Universitário Onofre Lopes 06
1.2 - A Problemática de Pesquisar o Tempo Agendado para Consulta Ambulatorial 07
1.3 - Objetivos da Pesquisa 08
1.4 - Metodologia Geral do Trabalho 09
1.5 - Estrutura do Trabalho 09
Capítulo 2 - Análise de Confiabilidade 11
2.1 - Confiabilidade do Produto 11
2.2 - Conceito de Confiabilidade 12
2.3 - Característica da Distribuição dos Dados 13
2.4 - Estimação Não Paramétrica 15
2.4.1 – Função Empírica de Sobrevivência 15
2.4.2 - Estimador Produto-Limite ou Kaplan-Meier 16
2.4.3 - Comparação Entre Curvas de Sobrevivência 17
2.5 - Principais Modelos Paramétricos 22
2.5.1 - Distribuição Exponencial 23
2.5.2 - Distribuição Weibull 25
2.5.3 - Distribuição Log-Normal 27
2.5.4 - Distribuição Log-Logístico 29
2.5.5 – Distribuição Gama 30
2.6 - Estimação dos Parâmetros do Modelo 32
2.7 - Determinação do Modelo Paramétrico 35
Capítulo 03 – Metodologia da Pesquisa de Campo 37
3.1 - Metodologia da Pesquisa 37
3.2 - População 38
3.4 - Instrumento de Coleta de Dados 39
3.5 - Coleta de Dados 40
3.6 - Técnicas de Análise 40
Capítulo 04 – Resultados da Pesquisa de Campo 41
4.1 - A Amostra 41
4.2 - Análise Descritiva das Covariáveis 44
4.3 - Estatística Não Paramétrica 47
4.4 - Determinação do Melhor Modelo 66
4.5 - Estimação dos Parâmetros do Modelo 68
4.6 - Padrões de Qualidade Para o Tempo Até o Atendimento Ambulatorial 71
Capítulo 05 – Conclusões e Recomendações 74
5.1 - Pesquisa Bibliográfica 74
5.2 - Metodologia da Pesquisa 75
5.3 - Resultados da Pesquisa 76
5.4 - Análise Crítica do Trabalho 77
5.5 - Limitações do Trabalho 78
5.6 - Direções da Pesquisa 78
5.7 - Recomendações 78
5.8 - Conclusão 79
Referências 80
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Número de indivíduos que falharam em tj, número de indivíduos que não falharam após tj e o número de indivíduos em risco antes de tj, por grupo 18 Tabela 4.1 – Estimativas dos quartis do tempo agendado para consulta ambulatorial 42 Tabela 4.2 – Origem do absenteísmo por especialidade 43 Tabela 4.3 – Medidas descritivas para as especialidades 45 Tabela 4.4 – Medidas descritivas para o tipo de marcação 47 Tabela 4.5 – Medidas descritivas para o tipo de tratamento 47 Tabela 4.6 – Resultado do teste de Wilcoxon para o tipo de tratamento 48 Tabela 4.7 – Resultado dos testes Log-Rank e Wilcoxon para as especialidades que
realizam tratamento cirúrgico 50
Tabela 4.8 – Resultado dos testes Log-Rank e Wilcoxon para as especialidades que
realizam tratamento clínico 50
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Momentos da qualidade 03
Figura 1.2 – Classificação do hospital quanto ao número de leitos 05 Figura 1.3 – Classificação do hospital quanto ao tipo de atendimento 06
Figura 1.4 – Melhor aproveitamento do tempo 08
Figura 1.5 – Metodologia geral do trabalho 09
Figura 2.1 – Tempo de falha para cada tipo de tratamento 17
Figura 2.2 – Modelo de riscos proporcionais 21
Figura 2.3 – Função densidade de probabilidade da distribuição exponencial 23 Figura 2.4 – Função de sobrevivência da distribuição exponencial 24 Figura 2.5 – Função risco da distribuição exponencial 24 Figura 2.6 – Função densidade de probabilidade da distribuição Weibull 25 Figura 2.7 – Função de sobrevivência da distribuição Weibull 26 Figura 2.8 – Função risco da distribuição Weibull 27 Figura 2.9 – Função densidade de probabilidade da distribuição log-normal 28 Figura 2.10 – Função de sobrevivência da distribuição log-normal 29 Figura 2.11 – Função risco da distribuição log-normal 29 Figura 2.12 – Função densidade de probabilidade da distribuição gama 30 Figura 2.13 – Função de sobrevivência da distribuição gama 31
Figura 2.14 – Função risco da distribuição gama 33
Figura 3.1 – Etapas da metodologia estatística 37
Figura 4.1 – Tempo agendado para consulta ambulatorial 42
Figura 4.2 – Origem do absenteísmo 44
Figura 4.6 – Tempo agendado para consulta ambulatorial para as especialidades de
tratamento cirúrgico 49
Figura 4.7 – Tempo agendado para consulta ambulatorial para as especialidades de
tratamento clínico 49
LISTA DE SIGLAS
DIEESE Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Sócio-Econômicos HUOL Hospital Universitário Onofre Lopes
ISO International Organization for Standardization
JCAHO Joint Comission on Accreditation of Healthcare Organization OPAS Organização Pan-Americana de Saúde
PIB Produto Interno Bruto
SAME Serviço de Arquivo Médico e Estatística SUS Serviço Único de Saúde
LISTA DE ACRÔNIMOS
CAR Cardiologia
CCP Cirurgia de Cabeça e Pescoço
CGR Cirurgia Geral
CPT Cirurgia Plástica
CTR Cirurgia Torácica
CVS Cirurgia Vascular
CLG Clínica Geral
DER Dermatologia
END Endocrinologia
FIS Fisiatria
GAS Gastroenterologia
GER Geriatria
HEM Hematologia
DCC Disciplina de Clínica Cirúrgica
NEF Nefrologia
NCR Neurocirurgia
NEU Neurologia
OFT Oftalmologia
ORT Ortopedia
PNE Pneumologia
PRO Proctologia
PSI Psiquiatria
REU Reumatologia
LISTA DE NOTAÇÕES MATEMÁTICAS
B limite sobre o erro de estimação
E(t) esperança, média ou valor esperado
e exponencial
f(t) função densidade de probabilidade
F(t) função acumulada da distribuição de T t
F~ função empírica acumulada da distribuição de T h(t) função risco
x k
I , função gama incompleta
L estimador de máxima verossimilhança
n número de indivíduos
N tamanho da população em estudo
Ni tamanho da população em cada estrato
p probabilidade
p% percentil
Qi quartil i
S(t) função de sobrevivência
t
S~ função empírica de sobrevivência
KM
Sˆ estimador produto-limite ou Kaplan-Meier
T tempo de falha
TL teste de log-rank
TW teste de Wilcoxon
v log dos erros
p
z percentil da normal padrão
Y log(T)
2
, ,P V
V desvio padrão, média e variância
k
, , ,E T
D parâmetros das distribuições t tempo
t
Capítulo 1
Introdução
Este trabalho busca contribuir com os estudos sobre qualidade em serviços de saúde no sentido de apresentar um modelo paramétrico e a proposição de um padrão de qualidade para a variável tempo agendado para consulta ambulatorial. O estudo foi realizado no Hospital Universitário Onofre Lopes, situado na cidade de Natal/RN, considerando a sua importância para a comunidade no atendimento terciário. Podemos observar que atualmente a busca da qualidade no atendimento de saúde deixou de ser uma atitude isolada e tornou-se um imperativo técnico e social, pois a sociedade esta cada vez mais exigindo a qualidade dos serviços a ela prestados.
Serão abordados neste capítulo uma contextualização sobre qualidade, qualidade hospitalar, hospital, a instituição em estudo, a problemática do interesse em estudar o tempo agendado para consulta ambulatorial, os objetivos da pesquisa, a metodologia geral do trabalho e, finalmente a estrutura do trabalho.
1.1 – Contextualização
1.1.1 - Qualidade
A qualidade tornou-se um fator significativo, conduzindo empresas nos mercados nacional e internacional ao êxito organizacional e ao crescimento. O retorno sobre o investimento obtido por meio de rigorosos e eficazes programas de qualidade está gerando excelente rentabilidade nas organizações quando acompanhado de melhorias significativas na produção, com menor custo e liderança competitiva. Constituindo um meio para gerenciar a organização (Feigenbaum, 1994).
locais e nacionais, mas também com concorrentes de todas as partes do mundo. Essa economia globalizada se desenvolveu devido a vários fatores, incluindo a rápida expansão das comunicações mundial, o crescimento das disponibilidades e do poder da informação. Num ambiente como esse é de importância vital que as organizações sejam capazes de responder rapidamente às variações nas condições de mercado, incorporando os mais eficazes métodos gerenciais, entre eles a aplicação de métodos estatísticos para a melhoria da qualidade (Levine, 1988).
A maioria das empresas tem adotado programas de qualidade e procurado obter certificações pelas normas ISO (International Organization for Standardization). O número de instituições que têm conquistado estas certificações tem aumentado no Brasil. Essas certificações não significam que tais empresas ofereçam serviços ou produtos que atendam a necessidade e expectativas do cliente, mas que elas estão se estruturando e se organizando para prestar um serviço de qualidade. É importante acrescentar que no Rio Grande do Norte este número também tem aumentado (Revista RN Econômico, 07/07/1999).
A partir do impulso do desenvolvimento da indústria japonesa, iniciado em 1950 com a contribuição de indivíduos como W. Edwards Deming, Joseph Juran, Kaoru Ishikawa, entre outros, baseou-se na ênfase à qualidade e no aperfeiçoamento contínuo de produtos e serviços. Este enfoque levou à chamada Gestão da Qualidade Total (ou TQM - Total Quality Management). Uma das principais características deste enfoque é a ênfase ao contínuo aperfeiçoamento de processos, caracterizado pelo trabalho em equipe, foco no consumidor e rápida reação a mudanças. Essa gerência tem um forte fundamento estatístico, baseado num profundo conhecimento da variabilidade.
Alguns autores definem qualidade como sendo “conformidade com os requisitos” (Crosby, 1994); “conjunto de características incorporadas ao produto através de projeto e manufatura que determina o grau de satisfação do cliente” (Feigenbaum, 1994); “homogeneidade no resultado do processo” (Deming, 1990); “rápida percepção e satisfação do mercado, adequação ao uso de produtos e homogeneidade dos resultados do processo” (Ishikawa, 1993); “qualidade é adequação ao uso” (Juran, 1992).
execução do trabalho, gerando os seguintes benefícios: aumento da produtividade, redução de custos e perdas, redução nos prazos de entrega, aumento do prestígio da empresa, menor número de reclamações, otimização do tempo na realização das tarefas, aprimoramento de métodos e melhor disponibilidade dos dados.
1997 - Prêmio Codman
1996 - Publicação da Série ISO 14000(ambiental)
Primeiro Hospital e Laboratório a conquistarem o ISO 9002 nas Américas
1992 - Prêmio Europeu de Qualidade
Prêmio Feingenbaum
1991 - Prêmio Nacional da Qualidade (PNQ)
1987 - Publicação do “Sistema ISO 9000” (TC 176)
Prêmio Malcon Baldrige
1985 - Karl Albrecht – Qualidade Total em Serviços
1980 - Tom Peters – Busca da Excelência
1962 - Philip Crosby (EUA) – Zero Defeito
1960 - Implantação dos Círculos de Controle de Qualidade – CCQ. Kaoru Ishikawa e a JUSE lançam a
revistaControle de Qualidade
1954 - Joseph M. Juran introduz o conceito de Controle de Qualidade
1951 - Inicia o ensino da Pesquisa de Mercado utilizando técnicas de amostragem
1950 - William Edwards Deming inicia seu trabalho a pedido da JUSE
1948 - A JUSE começa a compreender a importância dos métodos de Shewhart
1946 - Fundação da JUSE – Sindicato Japonês de Cientistas e Engenheiros
Peter Drucker – Conceito de Corporação – livro 1940 - 1950 Segunda Guerra Mundial
1930 - Walter A. Shewhart – Gráficos de Controle
Figura 1.1 – Momentos da qualidade (Mello & Camargo, 1998)
À medida que a busca da qualidade se apoia e se firma nas chamadas sociedades pós-modernas, ela vai invadindo todos os campos do conhecimento. Inicialmente idealizados como instrumentos para o controle da produção, passando a ser adotada também por empresas dedicadas à prestação em serviços. Esta preocupação teve início a partir de 1985, por Karl Albrecht, que buscava a qualidade total em serviços, como se observa na Figura 1.1.
1.1.2 – Qualidade Hospitalar
comparações. Com um relatório deste tipo como ponto de partida, quem estiver interessado poderá começar a formular perguntas sobre sua administração e eficiência" (Melo & Camargo, 1998).
No Brasil o início da discussão sobre qualidade dos serviços hospitalares se deu em 1979, pela Dr.ª Lourdes de Freitas Carvalho, médica do Hospital das Clínicas da USP, ressaltando as vantagens de tal procedimento para os pacientes, para o corpo clínico, para a instituição e para a sociedade. Para Taublib (1993), o movimento em busca da qualidade na área da saúde iniciou-se nos anos 80, quando já era evidente no mundo todo o fenômeno japonês como produtor no mercado mundial sem nível de comparação em competitividade.
Donabedian (1988) conceitua qualidade de assistência em saúde como uma propriedade de atenção médica que pode ser obtida em diversos graus e níveis. Esta propriedade é definida como a obtenção de maiores benefícios, com menores riscos para o paciente; benefícios estes que, por sua vez, se definem em função do alcance de acordo com os recursos disponíveis e os valores sociais existentes, já a JCAHO (1997) define qualidade de assistência hospitalar como "grau segundo o qual os cuidados com a saúde do paciente aumentam a probabilidade de recuperação do mesmo e reduzem a probabilidade de efeitos indesejáveis".
De acordo com Donabedian (1988) a falta de qualidade nos serviços de saúde apresenta as seguintes conseqüências:
x Retrabalho;
x Aumento nos dias de permanência;
x Convívio com o desperdício;
x Má utilização dos leitos, dos equipamentos e das pessoas;
x Adoção de fluxos inadequados;
x Prejuízo à imagem da organização;
x Realização de testes e exames desnecessários.
1.1.3 - Hospital
de uma organização médica social cuja função é proporcionar à população assistência médica integral, curativa e preventiva sob qualquer regime de atendimento. Constituindo-se também como centro de educação, capacitação de recursos humanos e pesquisa científica.
“São todos os estabelecimentos com pelo menos cinco leitos, para internação de pacientes que garantem um atendimento básico de diagnóstico e tratamento, com equipe clínica organizada, com prova de admissão e assistência permanente prestada por médicos. Além disso, considera-se a assistência de serviço de enfermagem e atendimento terapêutico direto ao paciente, durante 24 horas, com disponibilidade de serviços de laboratório e radiologia, serviço de cirurgia e/ou parto, bem como registros médicos organizados para a rápida observação e acompanhamento dos casos”.
(OPAS, 1992)
Tipos de Hospital Número de Leitos
Hospital de Pequeno Porte Até 49 leitos
Hospital de Médio Porte De 50 a 149 leitos
Hospital de Grande Porte De 150 a 500 leitos
Hospital Especial ou Capacidade Extra Acima de 500 leitos
Figura 1.2 – Classificação do hospital quanto ao número de leitos
Os hospitais são componentes de uma rede de serviços de atenção à saúde, associada geograficamente, seja por uma organização planejada ou como conseqüência de uma organização espontânea dos elementos assistenciais existentes. Este conjunto, que abrange a totalidade da oferta de serviços disponíveis em um território, denomina-se “Sistema Local de Saúde” (Campos, 1988).
No contexto de um sistema local de saúde, os hospitais desempenham um papel indispensável, valendo destacar alguns aspectos:
x Oferecer assistência médica continuada e integrada;
x Concentrar grande quantidade de recursos de diagnóstico e tratamento para, no menor tempo possível, reintegrar o paciente ao seu meio;
x Constituir um nível intermediário dentro de uma rede de serviços de complexidade crescente;
x Abranger determinada área;
Tipos de Hospital Definição
Hospital Geral
Hospital destinado a atender pacientes portadores de doença de várias especialidades médicas. Podendo a ação ser limitada a um grupo etário (hospital infantil), a determinada camada da população (hospital militar, hospital previdenciário) ou a finalidade específica (hospital escola).
Hospital Especializado Hospital destinado, predominantemente, a atender pacientes necessitados da assistência de uma determinada especialidade médica (ortopedia, reumatologia, etc.).
Hospital de Curta Permanência
Hospital onde a média de permanência de pacientes internados não ultrapassa 30 dias.
Hospital de Longa
Permanência Aquele cuja média de permanência de pacientes internados ultrapassa 30 dias.
Figura 1.3 – Classificação do hospital quanto ao tipo de atendimento
1.1.4 – O Hospital Universitário Onofre Lopes
Em 1909 o Governador Alberto Maranhão organiza o serviço de saúde, adaptando uma residência no bairro de Petrópolis, na cidade de Natal/RN para a abertura de um hospital geral que teve seu funcionamento em 1935, sendo denominado “Miguel Couto” e, em 1946, amplia sua capacidade de atendimento para 379 leitos.
Por solicitação do Dr. Januário Cicco, em 1952, o hospital e seus anexos são doados à Sociedade de Assistência Hospitalar, decisão que favorece as bases para a criação em 05 de Fevereiro de 1955 da Faculdade de Medicina. A partir da Federalização, em 1960, por decreto assinado pelo então Presidente da República Juscelino Kubistchek, o hospital “Miguel Couto” passa a chamar-se Hospital das Clínicas. Com esta denominação, transformou-se em hospital escola, como parte integrante da UFRN, passando a ser mantido pelo Ministério da Educação e outros convênios, com o acréscimo das funções de ensino, pesquisa e extensão.
Incorporou-se ao Sistema Único de Saúde (SUS), como referência terciária, agregando a sua missão o papel social, sendo o único hospital do Estado a disponibilizar para a população do Rio Grande do Norte serviços de alta complexidade.
Em 1984, recebe o nome Hospital Universitário Onofre Lopes, sua atual denominação, dada através da resolução nº 68/68 do Conselho Superior da Universidade.
pescoço, cirurgia geral, cirurgia plástica, cirurgia torácica, cirurgia vascular, clínica geral, dermatologia, endocrinologia, fisiatria, gastroenterologia, geriatria, hematologia, nefrologia, neurocirurgia, neurologia, oftalmologia, ortopedia, otorrinolaringologia, pneumologia, proctologia, psiquiatria, reumatologia, urologia, etc.
1.2 – A Problemática de Pesquisar o Tempo Agendado para Consulta Ambulatorial
O desenvolvimento de programas de gestão da qualidade é uma necessidade em termos de eficiência e uma obrigação do ponto de vista ético e moral. Toda instituição hospitalar, dada sua missão essencial a favor do ser humano, deve preocupar-se com a melhoria permanente do paciente. Pois, ao contrário de outros empreendimentos, a matéria-prima básica dos hospitais é o paciente, e cabe a elas reintegrá-lo à sociedade em condições de retomar, em menor tempo possível, às funções que desempenhava anteriormente.
Atualmente verifica-se que na rede pública e privada o paciente ao procurar o profissional de saúde para a realização de uma consulta, é submetido a um agendamento, sendo obrigado a aguardar até o dia do atendimento ambulatorial. Em muitos casos um problema simples, de fácil resolução, pode agravar-se em virtude do tempo até o atendimento. Estas instituições, independente do tempo para a realização do atendimento, recebem o mesmo valor pela consulta repassada pelo SUS ou pelos planos de saúde, para o paciente que espera um dia, dez dias, trinta dias ou mais.
A problemática central é desenvolver métodos e técnicas para entender e mensurar o que o atual sistema produz, ter como avaliar se esse sistema está com um padrão de qualidade aceitável e instituir, no âmbito hospitalar, mecanismos para a auto-avaliação e aprimoramento contínuo da qualidade para o atendimento ambulatorial que, por conseqüência, levará a instituição a oferecer um serviço de melhor qualidade, com menor custo. Um ponto chave para a qualidade desde o trabalho proposto por Shewhart (1931) é a busca da qualidade considerando os aspectos econômicos do custo.
Verifica-se que os padrões mínimos obrigatórios de qualidade assistencial hospitalar, segundo a OPAS (1992), incluem que no atendimento ambulatorial o tempo de espera até o atendimento não deve ser superior a sete dias.
Melhor Aproveitamento
do Tempo
x Diminui o retrabalho;
x Menos erros;
x Menos atrasos;
x Menos obstáculos;
x Menos complicações ao paciente;
x Menor tempo de recuperação.
Maior rotatividade Menor tempo de permanência
Maior Satisfação Médico: Qualidade de assistência; Paciente: Principal consumidor;
Administração: Menor custo, maior lucro.
Melhor produtividade Ampliação do
mercado de trabalho Crescimento
Estabilidade do hospital como empresa
Captação de mercado de saúde com melhor qualidade e menor
preço
Figura 1.4 – Melhor aproveitamento do tempo (Taublib, 1998).
Consistente a proposição de Shewhart (1931), que tem dois objetivos:
x Definir e alcançar um padrão de qualidade;
x Estabelecer um sistema de controle que mantenha este padrão repetitivamente, ou seja, em conformidade.
Este trabalho situa-se no primeiro objetivo, tentando entender e avaliar um padrão de qualidade no atendimento ambulatorial considerando a atual situação dos tempos até a realização de uma consulta.
1.3 – Objetivos da Pesquisa
1.4 - Metodologia Geral do Trabalho
A metodologia Geral do Trabalho adotada consiste em:
a) A partir dos objetivos, realiza-se a pesquisa teórica na literatura sobre os temas: qualidade, qualidade hospitalar, a saúde no Brasil, modelos paramétricos de probabilidade; b) Decorrente da pesquisa teórica e do estudo da metodologia da pesquisa, define-se a pesquisa de campo;
c) Em função dos objetivos e condições operacionais de realizar a pesquisa de campo, será definida a amostragem apropriada;
d) Decorrente dos objetivos e da técnica selecionada para analisar a variável de interesse na pesquisa teórica, faz-se a análise dos dados coletados durante a pesquisa de campo;
e) Em conclusão, faz-se uma análise crítica dos resultados com referência ao objetivo do trabalho.
OBJETIVOS PESQUISA TEÓRICA
METODOLOGIAS DE PESQUISA DE CAMPO
PESQUISA EMPÍRICA
RESULTADOS DA PESQUISA
CONCLUSÃO DA TESE
Figura 1.5 – Metodologia Geral do Trabalho
Seu desenvolvimento convergirá para um modelo paramétrico de probabilidade para o tempo agendado para consulta ambulatorial e a proposição de padrões de qualidade. Em seguida sua posterior aplicação no Hospital Universitário Onofre Lopes, na cidade de Natal/RN, utilizando os dados referentes ao período de janeiro a junho de 2003.
1.5 - Estrutura do Trabalho
Este trabalho está organizado em cinco capítulos:
x Capítulo 1 – Introdução;
x Capítulo 2 – Revisão de Literatura;
x Capítulo 4 – Resultados da Pesquisa;
x Capítulo 5 – Conclusões e Recomendações.
No Capítulo 2 é discutida a revisão de literatura sobre análise de confiabilidade, os métodos da estatística não paramétrica para a análise descritiva da variável em estudo, os modelos paramétricos de probabilidade, a seleção do melhor modelo e o método de máxima verossimilhança para estimação de seus parâmetros.
O capítulo 3 descreve a instituição na qual foi aplicada a pesquisa, a metodologia para desenvolvimento do trabalho, descrevendo os seguintes itens: metodologia da pesquisa, população alvo, plano amostral, o instrumento para coleta de dados, a coleta de dados e as técnicas de análise.
No capítulo 4 são apresentados os resultados do estudo, descrevendo as características da população envolvida na pesquisa, a estatística não paramétrica, o ajuste do modelo paramétrico adequado, a estimação dos seus parâmetros e a construção de padrões de qualidade propostos para o tempo agendado para consulta ambulatorial.
Capítulo 2
Análise de Confiabilidade
Este capítulo apresenta uma revisão de literatura sobre a modelagem paramétrica de dados que em geral correspondem ao tempo de ocorrência de algum evento, ou seja, a valores de uma variável aleatória positiva contínua, sendo denominados tempo de falha que incluem em sua análise a teoria da confiabilidade.
Apresenta o conceito de confiabilidade, as principais técnicas aplicadas para a realização da análise descritiva dos dados, os principais modelos paramétricos e o ajuste do modelo apropriado a variável de interesse, que nesse estudo, refere-se ao tempo agendado para consulta ambulatorial.
2.1 – Confiabilidade do Produto
Inúmeros motivos vêm levando os empresários a reconhecer a importância de cada vez mais investir na produção de itens de melhor qualidade. Entre eles está a exigência cada vez maior, por parte do consumidor, no que diz respeito à sofisticação dos padrões de consumo e aos novos instrumentos de proteção ao consumidor, uma vez que a confiabilidade de um produto tem impacto direto na satisfação de quem o adquire (Souza, 2001).
Um produto confiável é aquele que desempenha a função para a qual foi projetado durante todo um período de uso. Confiabilidade é característica da qualidade que representa uma das mais importantes demandas atuais do comprador. Um consumidor entrevistado numa pesquisa de mercado se posicionou de modo bastante simples: “Quero adquirir produtos que apresentem desempenho satisfatório, dia após dia, quando eu apertar o botão”.
conserto acabam desgastando a paciência do consumidor, e conseqüentemente, a imagem do fabricante. Portanto, é de extrema importância a especificação dos requisitos de confiabilidade. Havendo indicação de que os seus requisitos não estão sendo atendidos, medidas corretivas devem ser tomadas, que podem ir da simples substituição de um componente por outro mais adequado, à completa reestruturação do projeto, podendo o mesmo ser totalmente refeito.
O atendimento às exigências da confiabilidade tornou-se uma das principais demandas da moderna tecnologia do produto. Usuários que anteriormente adquiriam produtos principalmente inovadores ou apelativos adquirem hoje produtos que também operam com confiabilidade (Feigenbaum, 1994).
Num programa de melhoria da qualidade de um produto, são executadas diversas tarefas objetivando o aumento do grau de certeza de seu bom funcionamento, visando avaliar os aspectos de seu desempenho. Costuma-se chamar este conjunto de ações de
Análise de Confiabilidade.
O tempo agendado para consulta ambulatorial pode ser analisado utilizando técnicas de confiabilidade por apresentar as mesmas características do produto. Na indústria a confiabilidade mede o tempo de vida útil de um produto; o produto será mais confiável quanto maior for sua vida útil. O tempo até o atendimento ambulatorial será mais confiável quanto menor for o intervalo até a realização da consulta.
2.2 – Conceito de Confiabilidade
tipo (ver, por exemplo, Lawless, 1982; Miller, 1981; Kalbfleish e Prentice, 1980; Cox e Oakes, 1984).
Esse método foi originalmente designado para estudos de mortalidade e ao longo do tempo foi aplicado nas mais diversas áreas do conhecimento, como engenharia, demografia, atuária, economia, biologia, etc. Segundo Moreira et al. (1998) a análise de confiabilidade é uma das áreas estatísticas que mais tem crescido nos últimos 20 anos. A razão deste crescimento é o desenvolvimento e aprimoramento das técnicas estatísticas combinados com o avanço da informática. O conjunto de dados sobre confiabilidade é caracterizado por dois componentes: falhas e censuras, os quais constituem a resposta.
x Falhas
É a ocorrência do evento de interesse. É importante, em estudos de confiabilidade, definir de forma precisa o que vem a ser a falha. Em alguns casos a falha pode ser considerada a morte do paciente, ou ainda, a recidiva de uma doença. Neste trabalho a falha é descrita como sendo a realização do atendimento ambulatorial que foi anteriormente agendada pelo paciente.
x Censuras
A principal característica neste conjunto de dados é a presença de censuras, que é a observação parcial da resposta. No trabalho abordado, isso ocorre quando o acompanhamento ao paciente é interrompido, seja por falta do profissional de saúde ou pela não ocorrência do paciente ao atendimento. Tais dados são chamados de censurados e devem ser usados na análise estatística, pois mesmo sendo incompletos, estes nos fornecem informações sobre o tempo até o atendimento ambulatorial e a omissão do mesmo acarretará resultados viciados.
2.3 – Característica da Distribuição dos Dados
Seja T uma variável aleatória positiva e contínua, que representa o tempo de falha, ou seja, o tempo até a ocorrência do evento de interesse. É usualmente descrita ou caracterizada por três funções importantes, descritas a seguir.
Função Densidade de Probabilidade
A função densidade de probabilidade, denotada por f(t), de T é a probabilidade de que um indivíduo venha a falhar dentro de um intervalo
>
t,t't@
por unidade de tempo. Sendo definida por: t t F t t t T t p t f t w w ' ' d d o ' ) ( lim ) (0 , (2.1)
ondeF(t) = P(Td t) é a função de distribuição de T, e temos que:
0
t
t
f e
³
.f 0 1 dt t f
Função de Sobrevivência
x
A função de sobrevivência, denotada por S(t), de T é uma das principais funções de probabilidade usadas para descrever estudos sobre confiabilidade. Representa a probabilidade de um indivíduo não falhar até o tempo t, isto é,
. (2.2)
³
f t t du u f t T P tS( ) ( ) ( )
Pode-se mostrar que S(t)=1–F(t), sendo uma função monótona decrescente, contínua, com S(0)=1 e lim ( ) 0
f o S t
t . A função de sobrevivência algumas vezes é referida
como função de confiabilidade. Função Risco
x
A função risco, denotada por h(t), de T é a probabilidade de que o indivíduo venha a falhar no intervalo
>
t,t't@
por unidade de tempo dado que ele não falhou até aquele tempo. Ela especifica a taxa de falha instantânea no tempo t, é definida por:>
@
) ( ) ( / lim ) (0 S t
t f t t T t t T t p t h t ' t ' d d o
onde, h t t0 e 1.
0
³
fdt t h
Uma distribuição do tempo de falha pode ser melhor compreendida através da função risco, também chamada de taxa de falha, pois ela reflete o efeito do tempo sobre os indivíduos que não falharam.
2.4 – Estimação Não Paramétrica
Um passo inicial para analisar um conjunto de dados envolvendo o tempo até à ocorrência de um evento de interesse é realizar uma análise descritiva das variáveis que, para Moreira et al. (1998), deve sempre proceder ao ajuste do modelo paramétrico.
O principal componente da análise descritiva envolvendo análise de confiabilidade é a função de sobrevivência. Em textos básicos de estatística, uma análise descritiva consiste essencialmente em encontrar medidas de tendência central e variabilidade. A presença de censuras invalida este tipo de tratamento aos dados. Nesta situação, o procedimento será encontrar uma estimativa para a função de sobrevivência e a partir dela estimar estatísticas de interesse. Estas estatísticas são usualmente o tempo médio e mediano, alguns percentis ou certas frações de falhas em tempos fixos de acompanhamento (Colosimo, 1995).
2.4.1 – Função Empírica de Sobrevivência
Se for verificada a ausência de observações censuradas, comumente, estima-se a função de sobrevivência, S(t), por:
t S~
estudo no
indivíduos de
número
t estudo no
indivíduos de
número t
(2.4)
A função empírica de sobrevivência, denotada por S~t , é a probabilidade de um indivíduo não falhar por um período maior ou igual a t.
2.4.2 – Estimador Produto-Limite ou Kaplan-Meier
O Estimador Produto-Limite ou Kaplan-Meier é um estimador não paramétrico para estimar S(t). Kaplan e Meier (1958) propuseram que em uma tábua de vida onde cada intervalo contém apenas um caso, sejam multiplicadas as probabilidades de não ocorrência das falhas ao longo dos intervalos. Portanto, a função de sobrevivência pode ser estimada diretamente dos tempos de falha.
Sendo definido da seguinte forma: Considere “n” unidades e kd n tempos distintos
t1, t2, ..., tk, onde ocorrem falhas. Sendo dj o número de falhas em um determinado tj e nj o número de indivíduos que não falharam (em risco) até o tempo tj(exclusive). Portanto , conforme dado em Kalbfleisch e Prentice (1980) e citado por Valença (1994), é dado por:
KM
Sˆ
¸¸¹ · ¨
¨ ©
§
k
j j
j j
KM n
d n t
S
1
) (
ˆ , (2.5)
E, SˆKM(t)= 1, se t< t(1),
= 0,se t>t
) ( ˆ t
SKM (k).
O (t) possui várias propriedades importantes. A principal é que o (t) é um estimador consistente de S(t) sob condições muito gerais. Algumas destas propriedades são descritas por Lawless (1982). Como ilustração, verifica-se, como exemplo, na Figura 2.1 as curvas de Kaplan-Meier simuladas para quatro tipos de tratamento.
KM
Sˆ SˆKM
Segundo Colosimo (1995, p. 22), no artigo original Kaplan e Meier justificam essa expressão mostrando que ela é o estimador de máxima verossimilhança de S(t), sendo fortemente consistente.
Para avaliar a precisão do (t) pode-se construir intervalos de confiança e testar hipóteses para S(t).
KM
Sˆ
A expressão para a variância assintótica do estimador de Kaplan-Meier é conhecida como fórmula de Greenwood, e é dada por:
¦
t
t
j j j j
j KM
KM
ji n n d
d t
S t S ar V
/ 2 ) ( ˆ )) ( ˆ (
Isto significa que um intervalo aproximado de 100(1-D)% de confiança para S(t) em um certo tempo t é
)) ( ˆ ( ˆ ˆ
2 Var S t
z t
SKM r D KM (2.7)
2.4.3 – Comparação Entre as Curvas de Sobrevivência
Quando o interesse é verificar se existe diferença entre os diversos “tempos de falha”, o modo mais apropriado é comparar suas funções de sobrevivência. Uma forma prática de comparar os vários grupos é plotar, sobre os mesmos eixos, as funções de sobrevivência. Tem-se como exemplo, a Figura 2.1, que apresenta o tempo de falha para cada tipo de tratamento. Verifica-se que o tratamento 02 apresenta uma melhor otimização do tempo.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
TEMPO
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Estratos: TRAT=1 TRAT=2 TRAT=3 TRAT=4
Figura 2.1 – Tempo de falha simulado para cada tipo de tratamento.
O gráfico, porém, fornece apenas uma idéia bruta da diferença entre as curvas, não revelando se há diferenças significativas ou apenas variações ocasionais. Portanto, a solução para verificar se há diferença significativa entre os tempos até a falha é a aplicação de testes estatísticos. São eles: O “Teste Log-Rank” e o “Teste Wilcoxon”.
Teste Log-Rank
x
aproximadamente constante, ou seja, possui a propriedade dos riscos proporcionais. Este teste é um dos mais usados em análise de confiabilidade, sendo originalmente desenvolvido para comparar proporções de fatores num estudo de caso controle.
Para que a validade do teste seja verificada, pode-se definir as seguintes hipóteses: Sejam S1(t), S2(t), as funções de sobrevivência dos grupos 1, 2. A hipótese nula será:
t S t S
H0 : 1 2 ,
e a hipótese alternativa pode ser uma das três indicadas abaixo:
). ( ) ( :
), ( ) ( :
), ( ) ( :
2 1
3
2 1
2
2 1
1
t S t S H
t S t S H
t S t S H
z !
Para a construção do teste considere, inicialmente, o teste de igualdade de duas funções de sobrevivência S1(t) e S2(t). Sejam t1< t2<...< tk os k tempos até a falha distintos da amostra formada pela combinação dos dois grupos. Suponha que no tempo tj ocorrem dj falhas e que nj indivíduos estão em risco em um tempo imediatamente inferior a tj na amostra combinada e, respectivamente, dij e nij na amostra i, onde i = 1, 2 e j = 1, ..., k. Em cada tempo até a falha, os dados podem ser dispostos numa tabela de contingência 2x2, conforme a Tabela 2.1.
Tabela 2.1 - Número de indivíduos que falharam em tj, número de indivíduos que não falharam após tj e o
número de indivíduos em risco antes de tj, por grupo.
Grupos que falharam no tempo Número de indivíduos
tj
Número de indivíduos que não falharam no tempo após tj
Número de indivíduos em risco antes de tj
01 d1j n1j-d1j n1j
02 d2j n2j-d2j n2j
6 dj nj-dj nj
Onde:
dj é o número de indivíduos que falharam;
d1j é o número de indivíduos que falharam no grupo 1;
d2j é o número de indivíduos que falharam no grupo 2;
nj é o número total de indivíduos em risco;
n1j é o número total de indivíduos em risco no grupo 1;
Admitamos que os totais marginais da Tabela 2.1 são fixos, qualquer um dos dij é variável aleatória, cujos valores variam entre 0 e nj. Se tomarmos como exemplo d1j, observa-se que d1j tem distribuição hipergeométrica, com função de probabilidade dada por:
¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § j j j j j j j j ij n n d n d n d d d k P 1 1 1 1. (2.8)
Uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica tem sua média dada por:
ij j ij j n d e n
= , (2.9)
onde, eij representa o número esperado de indivíduos que falharam no grupo 1 no tempo tj. Para medir o desvio dos valores observados de d1j e seu valor esperado. Pode-se pensar na soma das diferenças d1j – e1j para os k tempos de falha. A estatística resultante é:
. (2.10)
)
(
1 1 1 j k j jL
d
e
U
¦
Esta estatística tem média zero, visto que E(d1j)=e1j. Sabendo-se que os tempos de falha são independentes, por sua aleatoriedade, a variância de UL corresponde à soma das variâncias de d1j e, uma vez que d1j segue uma distribuição hipergeométrica, sua variância é assim calculada:
1 2
1 1 2
( )
( )
( 1)
j j j j j
j j
j j
n n d n d V ar d V
n n
-= =
- . (2.11)
Então, a variância de UL é:
. (2.12)
l k
j j
L V V
U
Var
¦
1 1
UL tem distribuição aproximadamente normal quando o número de tempos de falha não é pequeno. Então temos que ~ N
0;1
V U
L
L
e, consequentemente, 2Portanto se k tabelas de contingência são independentes, um teste aproximado para verificar a igualdade das funções de sobrevivência pode ser baseado na estatística do teste dada por:
L L L
V
U
T
2
~ 2 , (2.13)
) 1 ( F
que tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. A estatística TLsumariza a informação de que os tempos de sobrevivência dos indivíduos dos dois grupos não diferem significativamente. Portanto, quanto maior for TL maior será a evidência quanto à rejeição deH0.
Teste de Wilcoxon
x
O teste de Wilcoxon é muito similar ao teste Log-Rank. Embora não exija a propriedade de riscos proporcionais, sendo baseado na seguinte estatística:
, (2.14)
¦
kj
j j j
L n d e
U
1
1 1
onde e1jrepresenta a equação (2.9).
A diferença entre as estatísticas UL e UW é que em UW, as diferenças entre d1j – e1j são ponderadas por nj, que é o número total de indivíduos em risco. Como nj sempre decresce, a estatística UW fornece pesos maiores aos tempos menores e, consequentemente, pesos menores aos tempos maiores. Dessa forma, UW torna-se menos sensível que UL. A variância de UW é:
, (2.15)
¦
k jj j
W n v
V
1 1 2
onde:
) 1 (
) (
2 2 1 1
j j
j j j j j j
n n
d n d n n
v . (2.16)
W W W
V U T
2
~ 2 , (2.17)
) 1 (
x
que segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade quando H0 é verdadeira. Ambos os testes são conduzidos da mesma maneira. Porém, quando é apresentada no gráfico a curva de sobrevivência para os grupos e estas não se cruzam, é verificada a suposição de riscos proporcionais. Logo, o teste mais adequado é o Log-Rank. Se essa suposição de riscos proporcionais não é satisfeita, o teste mais apropriado é o de Wilcoxon.
Figura 2.2 – Modelo de riscos proporcionais
Comparação entre mais de dois grupos
x
No caso de se comparar mais de dois grupos de dados de confiabilidade, podem ser empregados ambos os testes, Log-Rank e Wilcoxon. Suponha a comparação entre g grupos de dados de confiabilidade, com g 2t . As estatísticas ULr e UWr são definidas de forma análoga às estatísticas UL e UW e como no caso anterior, comparam o número observado de falhas nos grupos 1, 2, ..., g-1, com seus valores esperados. Assim podemos escrever:
¦
¸¸¹ · ¨
¨ © §
k
j j
j rj rj Lr
n d n d U
1
(2.18)
e,
¦
¸¸¹ · ¨
¨ © §
k
j j
j rj rj j Wr
n d n d n U
1
’ (2.19)
As quantidades ULr e UWr são expressas na forma de um valor com (g–1) componentes, os quais serão denotados por UL e UW.
A covariância de ULr e UWr é dada por:
¸¸ ¹ · ¨ ¨ © §¦
j j r rr kj j j
j j j rj Lrr n n n n d n d n
V ' '
1 '
1 G , (2.20)
para r, r’ = 1, 2, ..., g-1, onde Grr' é tal que
°¯ ° ® . , 0 ;' , 1 ' contrário caso r r se rr G
Esses termos compõem a matriz de variâncias e covariâncias, VL.
De forma similar é obtida a matriz de variâncias e covariâncias, VW, para a estatística de Wilcoxon, que para uma particular UWr e UWr’ é:
¦
¸¸ ¹ · ¨ ¨ © § k j j j r rr j j j j j rj j Wrr n n n n d n d n n V 1 ' ' 2 '1 G , (2.21)
parar,r’ = 1, 2, ..., g-1.
Para testar a hipótese de nulidade de que não há diferença entre os grupos, são utilizadas e , com distribuição qui-quadrado com g-1 graus de liberdade.
' 1
L L L
U V U- ' 1
W W W
U V U
-2.5 – Principais Modelos Paramétricos
Apesar de existirem técnicas não paramétricas que tratam de dados sobre análise de confiabilidade, também há a necessidade de ajustar os dados ao modelo paramétrico mais apropriado. Estes modelos são chamados “modelos paramétricos de probabilidade para o tempo de falha” (Colosimo, 1995). Na literatura existem vários autores que fazem uma apresentação exaustiva destes modelos e que podem ser usados pelo pesquisador, entre eles podemos citar Johnson e Kotz (1970), Lawless (1982), Marubini e Valsecchi (1995).
situações práticas, sendo usados com bastante freqüência. Estes são o modelo exponencial, Weibull, log-normal, log-logístico e gama. Bolfarine et al. (1991) cita que tais modelos paramétricos foram utilizados por pesquisadores em problemas práticos com bastante sucesso, mesmo com a presença de fatores de risco.
2.5.1 – Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial de um parâmetro, por ter uma estrutura simples, é muito utilizada. Se T tem distribuição exponencial com parâmetro D > 0, a função densidade de probabilidade,f(t), é dada por:
¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © §
D D
t t
f 1 exp , (2.22)
t 0,t onde o parâmetro D t0 é o tempo médio do indivíduo não falhar e tem a mesma unidade do tempo de falha t (se t é medido em dias, D também será).
Figura 2.3 – Função densidade de probabilidade da distribuição exponencial
A função de sobrevivência, S(t), é dada por:
¸ ¹ · ¨ © §
D
t t
Figura 2.4 – Função de sobrevivência da distribuição exponencial
A função risco, h(t), é constante, sendo esta, a principal característica desta distribuição (Colosimo, 1995), sendo representada por:
D 1
t
h , tt0. (2.24)
Figura 2.5 – Função risco da distribuição exponencial
Outras características de interesse são a média, a variância e os percentis. O percentil 100p% corresponde ao tempo em que 100p% dos indivíduos falharem, o p-ésimo quantil é Dlog(1 p). A média da distribuição exponencial é D, e a variância . Os percentis são importantes quando queremos obter informações, por exemplo, a respeito de falhas prematuras.
2
D
2.5.2 – Distribuição Weibull
Proposta por Weibull (1954) esta distribuição representa uma generalização da distribuição exponencial e, de acordo com Lawless (1982), é bastante utilizada no ajuste de dados de confiabilidade nas diversas áreas do conhecimento, entre elas a medicina e engenharia. Na engenharia, a distribuição Weibull é a principal função de confiabilidade, sendo utilizada para modelar a distribuição da vida útil e taxa de risco em produtos industriais (ver, por exemplo, Xie, 2002; Kim, 2003; Mudholkar, 1993; Lai, 1993). É adequada para produtos formados de várias partes e cuja falha ocorre quando a primeira parte falhar.
Se T tem distribuição de Weibull com parâmetros D !0 e E !0, a função densidade de probabilidade, f(t), é dada por:
, exp
1
» » ¼ º «
« ¬ ª
¸ ¹ · ¨ © § ¸
¹ · ¨ ©
§
E E
E D
D
E t
t t
f t 0. t (2.25)
Beta=0,5 Beta=1
Beta=2 Beta=5
Os parâmetros de forma E e o de escala D são positivos. O parâmetro D tem a mesma unidade de t e E não tem unidade. Se E 1, temos a distribuição exponencial.
A função de sobrevivência, S(t), é dada por:
» » ¼ º «
« ¬ ª
¸ ¹ · ¨ © §
E
D
t t
S exp , (2.26)
que é a probabilidade do paciente continuar aguardando além do tempo t.
Beta=1 Beta=0,5
Beta=2 Beta=5
Figura 2.7 – Função de sobrevivência da distribuição Weibull
A função risco, h(t), é definida como:
1
¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ ©
§ E
D D
E t t
h ,tt0. (2.27)
Onde:
Estritamente crescente para E !1;
Beta=0,5 Beta=1
Beta=2 Beta=5
Figura 2.8 – Função risco da distribuição Weibull
A média e a variância para esta distribuição são, respectivamente:
» ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § * D D 1 1
t
E (2.28)
e °¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® » ¼ º « ¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § * » ¼ º « ¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § * 2
2 1 2 1 1
E E
D
T
Var , (2.29)
onde: !, para r inteiro. Para os valores de r a tabela da função gama deve ser usada.
1!
*r r
O p-ésimo quantil é dado por: D
>
@
E 1 1log p
tp . (2.30)
A sua popularidade deve-se ao fato de poder apresentar-se sob várias formas, todas com uma propriedade básica que é a sua função risco monótona, ou seja, ela é crescente, decrescente ou constante. Silva (2001) cita que Collet (1994) afirma que o modelo Weibull é tão importante para a análise de confiabilidade quanto à distribuição normal para os modelos lineares.
2.5.3 – Distribuição Log-normal
diversas aplicações deste modelo em testes para o tempo de falha de indivíduos. Uma discussão detalhada sobre este modelo pode ser encontrada em Crow e Shimizu (1988). Se T tem distribuição log-normal com função densidade de probabilidade, f(t), representada por:
»¼º«¬
ª 2
2 log
2 1 exp 2
1 P
V S
V t
t t
f
,t>0. (2.31)Onde P é a média do logaritmo do tempo de falha, assim como V é o desvio padrão, tem-se que:
x Média o ¸¸
¹ · ¨¨
© §
2
exp P V2 ; (2.32)
x Variância oexp(2
P
V
2)[exp(V
2)1]; (2.33)x Percentis o tp exp
zpV P, onde zp é o 100p% percentil da normal padrão. (2.34)Figura 2.9 – Função densidade de probabilidade da distribuição log-normal
A função de sobrevivência de uma distribuição log-normal é dada por:
>
@
¿ ¾ ½ ¯
®
)
V P ) log(t t
onde, )
. é a função de distribuição acumulada de uma normal padrão.Figura 2.10 – Função de Sobrevivência da distribuição log-normal
A função taxa de falha da distribuição log-normal não tem uma forma fechada. Ela não é monótona, como a distribuição Weibull. Ela cresce, atinge um valor máximo, e depois decresce. Ou seja, o risco de falha instantânea diminui com o tempo.
Figura 2.11 – Função risco da distribuição log-normal
2.5.4 - Distribuição Log-logístico
Para Collet (1994) quando a distribuição Weibull não se adequa bem aos dados a distribuição log-logístico é uma atraente alternativa para substituí-la.
1 k
k
t e kt e t f
T T
. (2.36)
A função de sobrevivência, S(t), é dada por:
>
@
11e tk
t
S T , (2.37)
A função risco, h(t), é definida como:
k k
kt e kt e t
h T
T
1
1
. (2.38)
A função risco diminui de forma monótona se kd1. Porém, se k>1, o risco tem uma única forma. Por exemplo, em determinado conjunto de dados, o risco aumenta nos tempos iniciais e com o passar do tempo diminui.
2.5.5 – Distribuição Gama
Resulta da modelagem do tempo de falha de itens compostos de vários componentes. Argumenta-se que a distribuição gama não é tão utilizada quanto a Weibull, apesar de se ajustar adequadamente a vários dados de tempo de falha, pela dificuldade operacional de seu uso.
Suponha T com distribuição gama com parâmetros D e k positivos. Sua função de densidade de probabilidade é dada por
D
D D
t k
e t k t
f
¸ ¹ · ¨ © § *
1
1
,t> 0. (2.39)
A função de sobrevivência será: ¸ ¹ · ¨ © § D t k I t
S 1 , , (2.40)
onde
³
*
x u
k e du
u k x k I 0 1 1
, (2.41)
é a função gama incompleta. Esta função relaciona-se com a função de distribuição de uma qui-quadrado, podendo ser calculada pelo uso de sua tabela (Ver Lawless, 1982 – apêndice B). A média e a variância de T são respectivamente, Dk e D2k.
Figura 2.13 – Função de sobrevivência da distribuição gama
A função risco desta distribuição é dada por
Figura 2.14 – Função risco da distribuição gama
Onde:
Monótona crescente para k>1, com h(0)=0 e
D 1 ) ( lim
f o h t
t ;
h(t) Constante para k=1, isto é, h(t)= D
1 ;
Monótona decrescente para 0<k<1, com f
o ( ) lim
0h t
t e D
1 ) ( lim
f o h t
t .
Se D 1,T tem distribuição gama de um parâmetro com densidade
t
k e
t k t
f
* 1
1
. (2.43)
Se k=1, tem-se a distribuição exponencial dada na seção 2.5.1. Uma importante relação existente entre a distribuição gama e a exponencial é o fato de a soma das exponenciais independentes e identicamente distribuídas ter distribuição gama.
2.6 – Estimação dos Parâmetros do Modelo
inapropriado para estudos de confiabilidade. A principal razão é a sua incapacidade de incorporar censuras no seu processo de estimação. O método de máxima verossimilhança surge como uma opção apropriada para estes tipos de dados. Ele incorpora as censuras, é relativamente simples de ser entendido e possui propriedades ótimas para grandes amostras.
x O Método de Máxima Verossimilhança
O método de máxima verossimilhança trata o problema de estimação da seguinte forma: baseado nos resultados obtidos pela amostra, qual é a distribuição entre todas aquelas definidas pelos possíveis valores de seus parâmetros, com maior possibilidade de ter gerado tal amostra? Em outras palavras, se por exemplo a distribuição de falha é a Weibull, para cada combinação diferente de D e E tem-se diferentes distribuições de Weibull. O estimador de máxima verossimilhança escolhe aquele par de D e E que melhor explique a amostra observada (Colosimo, 1995).
Suponha uma amostra de observações t1, t2, ..., tn de uma certa população de interesse. Considere inicialmente que todas as observações são não-censuradas. A população é caracterizada pela sua função de densidade de probabilidade. Por exemplo, se
f(t)=(1/D)exp(-t/D), significa que as observações vem de uma distribuição exponencial com parâmetro D a ser estimado. A função de verossimilhança para um parâmetro genérico
T é:
. (2.44)
ni i
t L
1
;T T
A dependência de f em T é preciso agora ser mostrada pois L é função de T. Nesta expressão,T pode estar representando um único parâmetro ou um vetor de parâmetros. Por exemplo, no modelo log-normal, T=(P,V ). A tradução em termos matemáticos para a frase “a distribuição que melhor explique a amostra observada” é achar o valor de T que maximize a função L(T ). Isto é, achar o valor de T que maximiza a probabilidade da amostra observada ter ocorrido.
ser divididas em dois conjuntos, as r primeiras são as não-censuras (1,2, ..., r) e as n-r
seguintes, são as censuradas (r+1, r+2, ..., n). A função de máxima verossimilhança assume a seguinte forma:
. (2.45)
r
i
n
r i
i
i S t
t f L
1 1
,
,T T
T
É sempre conveniente trabalhar com o logaritmo da função de verossimilhança. Os estimadores de máxima verossimilhança são os valores de T que maximizam L(T ) ou equivalente log (L(T )).
Temos, na prática, muitas situações onde o tempo de falha é influenciado por uma ou mais variáveis regressoras ou covariáveis, ou seja, condições que afetam o tempo de falha. Por exemplo, o tempo de transição de um equipamento estar funcionando para não funcionar pode ser afetado pelo nível de voltagem a que ele é sujeito, o tempo de vida de um paciente submetido a determinado tratamento pode depender da idade ou do tipo de medicação, ou ainda, o tempo agendado para consulta ambulatorial pode depender do tipo de tratamento, da especialidade ou ainda do tipo de marcação.
Considere T uma variável aleatória que representa o tempo até a falha de um indivíduo e x o vetor (x0, x1, ..., xp-1) um vetor formado por p-1 variáveis regressoras (x1, ...,
xp-1), também chamadas variáveis explanatórias ou covariáveis, que podem ser qualitativas ou quantitativas, e x0=1. Uma maneira de relacionar T com x é através do modelo de regressão log-linear a seguir
VQ E
E E
E x x nxn
T
Y log 0 1 1 2 2 ... , (2.46)
ondeQ logH que segue uma distribuição do valor extremo padrão,
f Q expQ eQ (2.47)e os E's representam os parâmetros das variáveis regressoras ou covariáveis.
