CONSTRUÇÃO DE MOSAICOS INSPIRADOS NAS OBRAS DE MAURITS CORNELIS ESCHER

(1)

❯♥✐✈❡rs✐❞❛❞❡ ❞❡ ❇r❛sí❧✐❛

■♥st✐t✉t♦ ❞❡ ❈✐ê♥❝✐❛s ❊①❛t❛s

❉❡♣❛rt❛♠❡♥t♦ ❞❡ ▼❛t❡♠át✐❝❛

Pr♦❣r❛♠❛ ❞❡ ▼❡str❛❞♦ Pr♦✜ss✐♦♥❛❧ ❡♠

▼❛t❡♠át✐❝❛ ❡♠ ❘❡❞❡ ◆❛❝✐♦♥❛❧

❈♦♥str✉çã♦ ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s ✐♥s♣✐r❛❞♦s ♥❛s ♦❜r❛s ❞❡

▼❛✉r✐ts ❈♦r♥❡❧✐s ❊s❝❤❡r✳

(2)

❊♠❡rs♦♥ ❚❡✐①❡✐r❛ ❞❡ ❆♥❞r❛❞❡

❈♦♥str✉çã♦ ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s ✐♥s♣✐r❛❞♦s ♥❛s ♦❜r❛s

❞❡ ▼❛✉r✐ts ❈♦r♥❡❧✐s ❊s❝❤❡r✳

❚r❛❜❛❧❤♦ ❞❡ ❈♦♥❝❧✉sã♦ ❞❡ ❈✉rs♦ ❛♣r❡s❡♥t❛❞♦ ❛♦ ❉❡♣❛rt❛♠❡♥t♦ ❞❡ ▼❛t❡♠át✐❝❛ ❞❛ ❯♥✐✈❡rs✐❞❛❞❡ ❞❡ ❇r❛sí❧✐❛✱ ❝♦♠♦ ♣❛rt❡ ❞♦s r❡q✉✐s✐t♦s ♣❛r❛ ♦❜t❡♥çã♦ ❞♦ ❣r❛✉ ❞❡ ▼❡str❡✳ ❖r✐❡♥t❛❞♦r✿ Pr♦❢✳ ❉r✳ ❘✉✐ ❙❡✐♠❡t③✳

(3)

(4)

❯♥✐✈❡rs✐❞❛❞❡ ❞❡ ❇r❛sí❧✐❛ ■♥st✐t✉t♦ ❞❡ ❈✐ê♥❝✐s ❊①❛t❛s ❉❡♣❛rt❛♠❡♥t♦ ❞❡ ▼❛t❡♠át✐❝❛

❈♦♥str✉çã♦ ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s ✐♥s♣✐r❛❞♦s ♥❛s ♦❜r❛s

❞❡ ▼❛✉r✐ts ❈♦r♥❡❧✐s ❊s❝❤❡r✳

♣♦r

❊♠❡rs♦♥ ❚❡✐①❡✐r❛ ❞❡ ❆♥❞r❛❞❡✯

❉✐ss❡rt❛çã♦ ❛♣r❡s❡♥t❛❞❛ ❛♦ ❉❡♣❛rt❛♠❡♥t♦ ❞❡ ▼❛t❡♠át✐❝❛ ❞❛ ❯♥✐✈❡rs✐❞❛❞❡ ❞❡ ❇r❛sí❧✐❛✱ ❝♦♠♦ ♣❛rt❡ ❞♦s r❡q✉✐s✐t♦s ❞♦ Pr♦❣r❛♠❛ ❞❡ ▼❡str❛❞♦ Pr♦✜ss✐♦♥❛❧ ❡♠ ▼❛t❡♠át✐❝❛ ❡♠ ❘❡❞❡ ◆❛❝✐♦♥❛❧ ✕ P❘❖❋▼❆❚ ✕ ♣❛r❛ ♦❜t❡♥çã♦ ❞♦ ❣r❛✉ ❞❡

▼❊❙❚❘❊

❇r❛sí❧✐❛✱ ✶✾ ❞❡ ❥✉♥❤♦ ❞❡ ✷✵✶✺✳

(5)

(6)

❊♠❡rs♦♥ ❚❡✐①❡✐r❛ ❞❡ ❆♥❞r❛❞❡ ❣r❛❞✉♦✉✲s❡ ❡♠ ♠❛t❡♠át✐❝❛ ♣❡❧❛ ❯♥❇ ✕ ❯♥✐✈❡rs✐✲ ❞❛❞❡ ❞❡ ❇r❛sí❧✐❛ ❡♠ ✷✵✵✶✳ ➱ s❡r✈✐❞♦r ♣ú❜❧✐❝♦ ❞❡s❞❡ ✷✵✵✵✳ ❆t✉❛ ❝♦♠♦ ♣r♦❢❡ss♦r ❞❡ ♠❛t❡♠át✐❝❛ ♥❛ r❡❞❡ ♣ú❜❧✐❝❛ ❞❡ ❡♥s✐♥♦ ❞♦ ❉✐str✐t♦ ❋❡❞❡r❛❧ ♥❛ r❡❣✐ã♦ ❛❞♠✐♥✐str❛t✐✈❛ ❞♦ ●✉❛rá✳ ❚r❛❜❛❧❤♦✉ ❝♦♠ ❛❧✉♥♦s ❞❡ ❡♥s✐♥♦ ♠é❞✐♦ ❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❛♠❜é♠ ♥❛ ❙❛♠❛♠❜❛✐❛ ❡ ♥❛ ❈❡✐❧â♥❞✐❛✳

(7)

(8)

❆❣r❛❞❡❝✐♠❡♥t♦s

(9)

(10)

❘❡s✉♠♦

❉✐❛♥t❡ ❞♦ ❛✉♠❡♥t♦ ❞❛ ❢❛❧t❛ ❞❡ ✐♥t❡r❡ss❡ ❡♠ ❡st✉❞❛r ♠❛t❡♠át✐❝❛ ♣♦r ♣❛rt❡ ❞❡ ❛❧✉♥♦s ❞♦ ❡♥s✐♥♦ ❜ás✐❝♦✱ ♦ ❛✉t♦r s❡ ✈✐✉ ♥❡❝❡ss✐t❛❞♦ ❡♠ ❞❡s❡♥✈♦❧✈❡r ❛❧❣♦ q✉❡ ✜③❡ss❡ ❝♦♠ q✉❡ ♦s ❛❧✉♥♦s ♣❡r❝❡❜❡ss❡♠ ❛❧❣✉♥s ❝♦♥❝❡✐t♦s ❜ás✐❝♦s ❞❡ ❣❡♦♠❡tr✐❛ ❡ s✉❛ r❡❧❛çã♦ ❝♦♠ ❛ ❛rt❡✱ ❜❡♠ ❝♦♠♦ ♠♦str❛r ❞✐✈❡rs❛s ❛♣❧✐❝❛çõ❡s ♥♦ ❝♦t✐❞✐❛♥♦✳

❊st❡ tr❛❜❛❧❤♦ t❡♠ ❝♦♠♦ ❜❛s❡ ❛ ❝♦♥str✉çã♦ ❞❡ t✐♣♦s ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s q✉❡ ♣♦❞❡♠ s❡r ♦❜t✐❞♦s ❝♦♠ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡ ♠♦str❛r ❝♦♠♦ ❢❛③❡r ✜❣✉r❛s ❛❜str❛t❛s ❛✉t♦ ❡♥❝❛✐①á✈❡✐s ❛ ♣❛rt✐r ❞❡st❡s ♠♦s❛✐❝♦s✳

❙❡rã♦ ❡①✐❜✐❞♦s tr❛❜❛❧❤♦s ♣rát✐❝♦s r❡❛❧✐③❛❞♦s ♣❡❧♦ ❛✉t♦r ❡♠ ❡s❝♦❧❛s ♣ú❜❧✐❝❛s ❞♦ ❉✐s✲ tr✐t♦ ❋❡❞❡r❛❧ ♥♦s ú❧t✐♠♦s ✶✺ ❛♥♦s q✉❡ ❢♦r❛♠ ❞❡✈✐❞❛♠❡♥t❡ r❡❣✐str❛❞♦s ❡ ❛✈❛❧✐❛❞♦s ❝♦♠ ♦ r✐❣♦r ♠❛t❡♠át✐❝♦ ❛❞❡q✉❛❞♦✱ ✈✐s❛♥❞♦ s❡♠♣r❡ ✉♠❛ ✐♥t❡r❧✐❣❛çã♦ ❡♥tr❡ ♦s ❝♦♥t❡ú❞♦s ❞❛❞♦s ❡♠ s❛❧❛ ❞❡ ❛✉❧❛ ❡ ❛s ♣rát✐❝❛s s✉❣❡r✐❞❛s ♥♦s tr❛❜❛❧❤♦s ❝♦♥❝r❡t♦s✳

P♦r ✜♠✱ s❡rã♦ ♠♦str❛❞❛s té❝♥✐❝❛s ✉t✐❧✐③❛❞❛s ♣♦r ▼❈ ❊s❝❤❡r ♣❛r❛ ❛ ❝♦♥str✉çã♦ ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s ❛ ♣❛rt✐r ❞♦s ♠❡s♠♦s ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡ ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐❞❛❞❡ ❞❡ ❢❛③ê✲❧♦s ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s ❝♦♥st✐t✉í❞♦s ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❞✐❢❡r❡♥t❡s✳

(11)

P❛❧❛✈r❛s✲❝❤❛✈❡

▼♦s❛✐❝♦s✱ ❊s❝❤❡r✱ ❆✉t♦ ❊♥❝❛✐①á✈❡✐s✱ P♦❧í❣♦♥♦s ❘❡❣✉❧❛r❡s✱ ❚r❛❜❛❧❤♦s ♣rát✐❝♦s ✳

(12)

❆❜str❛❝t

●✐✈❡♥ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❧❛❝❦ ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✐♥ st✉❞②✐♥❣ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❜② ❡❧❡♠❡♥t❛r② s❝❤♦♦❧ st✉❞❡♥ts✱ t❤❡ ❛✉t❤♦r ❢♦✉♥❞ ❤✐♠s❡❧❢ ✐♥ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ t❡①t t❤❛t ✇♦✉❧❞ ♠❛❦❡ t❤❡ st✉❞❡♥ts r❡❛❧✐③❡ ❛♥❞ ✉♥❞❡rst❛♥❞ s♦♠❡ ❜❛s✐❝ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② ❛♥❞ ✐ts r❡❧❛t✐♦♥ t♦ ❛rt✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❞✐s♣❧❛② ✈❛r✐♦✉s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ r❡❛❧ ✇♦r❧❞✳ ❚❤✐s ✇♦r❦ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡s ♦❢ t✐❧❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❜✉✐❧t ✇✐t❤ r❡❣✉❧❛r ♣♦❧②❣♦♥s ❛♥❞ s❤♦✇ ❤♦✇ t♦ ♠❛❦❡ ❛❜str❛❝t ✜❣✉r❡s s❡❧❢ ❞♦❝❦❛❜❧❡ ❢r♦♠ t❤❡s❡ ♠♦s❛✐❝s✳ ❲❡ s❤♦✇ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ✇♦r❦ t❤❛t t❤❡ ❛✉t❤♦r ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ♣✉❜❧✐❝ s❝❤♦♦❧s ✐♥ ❇r❛sí❧✐❛ ❉✐str✐t♦ ❋❡❞❡r❛❧ ❢♦r t❤❡ ♣❛st ✶✺ ②❡❛rs✳ ❚❤❡② ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r♦♣❡r❧② r❡❝♦r❞❡❞ ❛♥❞ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ r✐❣✐❞✐t②✱ ❛❧✇❛②s s❡❡❦✐♥❣ ❛ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦♥t❡♥t ❞❛t❛ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ssr♦♦♠ ❛♥❞ t❤❡ ♣r❛❝t✐❝❡s s✉❣❣❡st❡❞ ✐♥ ❝♦♥❝r❡t❡ ✇♦r❦✳ ❋✐♥❛❧❧② t❤❡② ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ✉s❡❞ ❜② ▼❈ ❊s❝❤❡r ❢♦r ❜✉✐❧❞✐♥❣ ♠♦s❛✐❝s ❢r♦♠ t❤❡ s❛♠❡ r❡❣✉❧❛r ♣♦❧②❣♦♥s ❛♥❞ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❣❡tt✐♥❣ t❤❡♠ ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t r❡❣✉❧❛r ♣♦❧②❣♦♥s ♠❛❞❡ ✉♣ ♦❢ ♠♦s❛✐❝s✳

(13)

❑❡②✇♦r❞s

▼♦s❛✐❝s✱ ❊s❝❤❡r✱ ❆✉t♦ ■♥t❡r❧♦❝❦✐♥❣✱ ❘❡❣✉❧❛r P♦❧②❣♦♥s✱ Pr❛❝t✐❝❛❧ ✇♦r❦✳

(14)

❙✉♠ár✐♦

✶ ❋✐❣✉r❛s ❛✉t♦ ❡♥❝❛✐①á✈❡✐s ✷✶

✶✳✶ ▲❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ❝♦♠ q✉❛❞r❛❞♦s✱ tr✐â♥❣✉❧♦s ❡ ❤❡①á❣♦♥♦s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✶✳✷ ❱❛r✐❛çõ❡s ❞❡ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦s ❝♦♠✉♥s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷ P♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❝♦♠ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ❝♦♠✉♠✳ ✷✸ ✷✳✶ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r✐③❛çã♦ ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦ r❡❣✉❧❛r✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✸ ■s♦♠❡tr✐❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦✳ ✷✻

✸✳✶ ❖ q✉❡ é ✐s♦♠❡tr✐❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦❄ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✸✳✷ ❚r❛♥s❧❛çã♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✸✳✸ ❘♦t❛çã♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✸✳✹ ❘❡✢❡①ã♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✸✳✺ ❘❡✢❡①ã♦ ❝♦♠ ❞❡s❧✐③❛♠❡♥t♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✹ P♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s q✉❡ s❡ ❡♥❝❛✐①❛♠ ♥✉♠ ✈ért✐❝❡✳ ✸✵

✹✳✶ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✹✳✶✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❤❡♣tá❣♦♥♦✱ t❡tr❛❝♦♥t❛❦❛✐❞✐❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✹✳✶✳✷ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ♦❝tó❣♦♥♦✱ ✐❝♦s❛❦❛✐t❡tr❛❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✹✳✶✳✸ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❡♥❡á❣♦♥♦✱ ♦❝t♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✹✳✶✳✹ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❞❡❝á❣♦♥♦✱ ♣❡♥t❛❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✹✳✶✳✺ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦✱ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦✳ ✳ ✳ ✸✼ ✹✳✷ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ três ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ ✉♠

q✉❛❞r❛❞♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✹✳✷✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ♣❡♥tá❣♦♥♦✱ ✐❝♦sá❣♦♥♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✹✳✷✳✷ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❤❡①á❣♦♥♦✱ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

(15)

✹✳✷✳✸ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ♦❝tó❣♦♥♦✱ ♦❝tó❣♦♥♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✹✳✸ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ ✉♠ P❡♥tá❣♦♥♦✳ ✹✸ ✹✳✸✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ♣❡♥tá❣♦♥♦✱ ❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ ♣❡♥tá❣♦♥♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✹✳✹ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ três ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ ✉♠

❤❡①á❣♦♥♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✹✳✹✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❤❡①á❣♦♥♦✱ ❤❡①á❣♦♥♦ ❡ ❤❡①á❣♦♥♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✹✳✺ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ q✉❛tr♦ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦

❞♦✐s tr✐â♥❣✉❧♦s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✹✳✺✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦✱ q✉❛❞r❛❞♦ ❡ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✹✳✺✳✷ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦✱ q✉❛❞r❛❞♦ ❡ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❞❡ ❢♦r♠❛

❞✐❢❡r❡♥t❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✹✳✺✳✸ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❤❡①á❣♦♥♦✱ ❤❡①á❣♦♥♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ ✹✳✺✳✹ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❤❡①á❣♦♥♦✱ ❤❡①á❣♦♥♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦ ❞❡ ❢♦r♠❛

❞✐❢❡r❡♥t❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵ ✹✳✻ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ q✉❛tr♦ ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦

❡ ✉♠ q✉❛❞r❛❞♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶ ✹✳✻✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ q✉❛❞r❛❞♦✱ ❤❡①á❣♦♥♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✹✳✻✳✷ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ q✉❛❞r❛❞♦✱ ❤❡①á❣♦♥♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦ ❞❡ ✉♠❛

s❡❣✉♥❞❛ ❢♦r♠❛✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✹✳✻✳✸ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ q✉❛❞r❛❞♦✱ ❤❡①á❣♦♥♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦ ❞❡ ✉♠❛

t❡r❝❡✐r❛ ❢♦r♠❛✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ✹✳✼ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ q✉❛tr♦ ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ ❞♦✐s q✉❛✲

❞r❛❞♦s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺ ✹✳✼✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ q✉❛❞r❛❞♦✱ q✉❛❞r❛❞♦✱ q✉❛❞r❛❞♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✹✳✽ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ ❝✐♥❝♦ ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ três tr✐â♥❣✉❧♦s

❡q✉✐❧át❡r♦s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ ✹✳✽✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ tr✐â♥❣✉❧♦✱ ❤❡①á❣♦♥♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✺✽ ✹✳✽✳✷ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ q✉❛❞r❛❞♦✱ q✉❛❞r❛❞♦✱tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✺✾ ✹✳✾ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ s❡✐s ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ q✉❛tr♦ tr✐â♥❣✉❧♦s✳ ✻✶

✹✳✾✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶ ✺ ❚r❛❜❛❧❤♦s s♦❜r❡ ♠♦s❛✐❝♦s ❝♦♠ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s r❡❛❧✐③❛❞♦s ❝♦♠ ❛❧✉✲

♥♦s ❞❡ ❡♥s✐♥♦ ❜ás✐❝♦ ✻✸

✺✳✶ Pr♦♣♦st❛ ❞❡ tr❛❜❛❧❤♦ ♣❛r❛ ❝♦♥str✉çã♦ ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸

(16)

✺✳✷ ❈♦♥str✉✐♥❞♦ ♠♦s❛✐❝♦s ❝♦♠ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹ ✻ ❖ ❛rt✐st❛ ❤♦❧❛♥❞ês ▼❛✉r✐ts ❈♦r♥❡❧✐s ❊s❝❤❡r ✻✼ ✻✳✶ ❆ ✈✐❞❛ ❞❡❞✐❝❛❞❛ à ❛rt❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼ ✻✳✷ ❖s ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦s ❞❡ ❊s❝❤❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽ ✻✳✸ ❆ ❝♦♥tr✐❜✉✐çã♦ ❞♦ ❛rt✐st❛✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✵ ✼ ❚é❝♥✐❝❛s ✉s❛❞❛s ♣♦r ▼❈ ❊s❝❤❡r ♥❛ ❝r✐❛çã♦ ❞❡ ♠♦s❛✐❝♦s ✼✶ ✼✳✶ ❈♦♥str✉çã♦ ♣♦r ❘♦t❛çã♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✼✳✷ ❈♦♥str✉çã♦ ♣♦r ❚r❛♥s❧❛çã♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹ ✼✳✸ ❈♦♥str✉çã♦ ♣♦r ❘❡✢❡①ã♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✽ ✼✳✹ ❈♦♥str✉çã♦ ♣♦r r♦t❛çã♦ ♥♦ ❍❡①á❣♦♥♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶ ✽ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ ❛s té❝♥✐❝❛s ❞❡ ❊s❝❤❡r ♥♦s tr❛❜❛❧❤♦s ❞❡ ❡s❝♦❧❛ ✽✻ ✽✳✶ ❖❜r❛ ❢❛♠♦s❛ ❞❡ ❊s❝❤❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✻ ✽✳✷ ❚r❛❜❛❧❤♦ ♥❛ ❡s❝♦❧❛ ❤♦♠❡♥❛❣❡❛♥❞♦ ❊s❝❤❡r✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽ ✽✳✸ ❚r❛❜❛❧❤♦ s♦❜r❡ ❊s❝❤❡r ❢❡✐t♦ ❞❡ ✐s♦♣♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✹ ✽✳✹ ❚r❛❜❛❧❤♦ s♦❜r❡ ❊s❝❤❡r ❢❡✐t♦ ❞❡ ❊✳❱✳❆✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✵ ✾ ❚é❝♥✐❝❛ ❞♦ ❊s❝❤❡r ❡♠ ♠♦s❛✐❝♦s ❝♦♠ ♣♦❧í❣♦♥♦s ❞✐❢❡r❡♥t❡s ✶✵✸ ✾✳✶ ❚é❝♥✐❝❛ ❞♦ ❊s❝❤❡r ♥♦ ♠♦s❛✐❝♦ ❝♦♠ ♦❝tó❣♦♥♦s ❡ q✉❛❞r❛❞♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸ ✾✳✷ ❚é❝♥✐❝❛ ❞♦ ❊s❝❤❡r ♥♦ ♠♦s❛✐❝♦ ❞❡ ❍❡①á❣♦♥♦s ❡ ❚r✐â♥❣✉❧♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✼ ✾✳✸ ❚é❝♥✐❝❛ ❞♦ ❊s❝❤❡r ♥♦ ♠♦s❛✐❝♦ ❞❡ ❉♦❞❡❝á❣♦♥♦s ❡ ❚r✐â♥❣✉❧♦s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✶ ✾✳✹ ❚é❝♥✐❝❛ ❞♦ ❊s❝❤❡r ♥♦ ♠♦s❛✐❝♦ ❞❡ ❉♦❞❡❝á❣♦♥♦s✱ ❍❡①á❣♦♥♦s ❡ ◗✉❛❞r❛❞♦s✳ ✶✶✾ ✶✵ ❙❡q✉ê♥❝✐❛s ❞✐❞át✐❝❛s ♣❛r❛ ♣rát✐❝❛ ❡♠ s❛❧❛ ❞❡ ❛✉❧❛ ✶✷✾

✶✶ ❈♦♥s✐❞❡r❛çõ❡s ✜♥❛✐s ✶✸✼

(17)

Lista de Figuras

Figura 1.1 Tipos comuns de ladrilhos

Figura 1.2 Outras variações de ladrilhos

Figura 2.1 Triangularização dos polígonos

Figura 3.1 Translação da curva “verde” em relação ao vetor v

Figura 3.2 Rotação da curva “verde” em relação ao ângulo

Figura 3.3 Reflexão da curva “verde” em relação a reta r

Figura 4.1 Encaixando heptágono, tetracontakaidigono e triângulo

Figura 4.2 Encaixando octógono, icosakaitetragono e triângulo

Figura 4.3 Encaixando eneágono, octodecágono e triângulo

Figura 4.4 Encaixando decágono, pentadecágono e triângulo

Figura 4.5 Encaixando dodecágono, dodecágono e triângulo

Figura 4.6 Encaixando pentágono, icoságono e quadrado

Figura 4.7 Encaixando hexágono, dodecágono e quadrado

Figura 4.8 Encaixando octógono, octógono e quadrado

Figura 4.9 Encaixando pentágono, decágono e pentágono

Figura 4.10 Encaixando hexágono, hexágono e hexágono

Figura 4.11 Encaixando dois triângulos, quadrado e dodecágono

Figura 4.12 Encaixando dois triângulos, quadrado e dodecágono de maneira diferente

Figura 4.13 Encaixando dois hexágonos e dois triângulos

Figura 4.14 Encaixando dois hexágonos e dois triângulos de forma diferente

Figura 4.15 Encaixando quadrado, hexágono, triângulo e quadrado

Figura 4.16 Encaixando quadrado, hexágono, triângulo e quadrado de uma segunda maneira

Figura 4.17 Encaixando quadrado, hexágono, triângulo e quadrado de uma terceira maneira

Figura 4.18 Encaixando quatro quadrados num vértice

Figura 4.19 Encaixando triângulo, hexágono, triângulo, triângulo e triângulo

Figura 4.20 Encaixando quadrado, quadrado, triângulo, triângulo e triângulo

Figura 4.21 Encaixando triângulo, triângulo, triângulo, triângulo, triângulo e triângulo

(18)

Figura 5.1 Trabalho sobre mosaicos com alunos do EJA

Figura 5.2 Trabalho sobre mosaicos com alunos do EJA

Figura 6.1 Oito cabeças em xilogravura de 1922 (Fonte: Tjabbes.2011)

Figura 6.3 Maurits Cornelis Escher (Fonte: Ernst,1991)

Figura 6.2 Ciclo em litografia de 1938 (Fonte: Ernst. 1991)

Figura 8.2 Repteis (Fonte: internet)

Figura 8.3 Alunos preparando a massa de concreto

Figura 8.4 Enchendo a forma de concreto

Figura 8.5 Tirando os lagartos da forma

Figura 8.6 Conferindo o encaixe dos lagartos

Figura 8.7 Calçada pronta

Figura 8.8 Professor Emerson conferindo a calçada do Escher

Figura 8.9 Aluno cortando o lagarto de isopor

Figura 8.10 Aluno pintando o lagarto de isopor

Figura 8.11 Alunos colando os lagartos na parede

Figura 8.12 Professor Emerson e o trabalho pronto

Figura 8.13 Alunos colando o trabalho na parede

Figura 8.14 Trabalho pronto

Figura 8.15 Trabalhos feitos em E.V.A pelos alunos de 2º ano

Figura 8.16 Trabalhos feitos em E.V.A por outra turma de 2º ano

Figuras 7.1 a 7.44 Passo a passo das construções dos mosaicos inspirados no Escher

Figura 8.1 Construção do lagarto do Escher

Figuras 9.1 a 9.43 Técnica do Escher em mosaicos com polígonos diferentes Figura 10.1 Hexágono para sequência didática

Figura 10.2 Desenhando curvas em lados alternados Figura 10.3 Cortando as curvas

Figura 10.4 Figura pronta a partir do hexágono Figura 10.5 Figura que será usada como molde Figura 10.6 Figura já recortadas

Figura 10.7 Mosaico pronto

(19)

Lista de Tabelas

24 ... 25 32 39 43 45 47 52 56 58 61 ... ... ... ... ... Tabela 2.1 Ângulos internos de alguns polígonos

Tabela 2.2 Nomes de alguns polígonos

Tabela 4.1 Fixando um triângulo na justaposição de três polígonos

Tabela 4.2 Fixando um quadrado najustaposição de três polígonos

Tabela 4.3 Fixando um pentágono najustaposição de três polígonos

Tabela 4.4 Fixando um hexágono na justaposição de três polígonos

Tabela 4.5 Fixando dois triângulos najustaposição de quatro polígonos

Tabela 4.6 Fixando um triângulo e um quadrado najustaposição de quatro polígonos

Tabela 4.7 Fixando dois quadrados najustaposição de quatro polígonos

Tabela 4.8 Fixando três triângulos na junção de cinco polígonos

Tabela 4.9 Fixando quatro triângulos najustaposiçãode seis polígonos

(20)

■♥tr♦❞✉çã♦

❈♦♥✈❡♥❝❡r q✉❡ ❛ ♠❛t❡♠át✐❝❛ é ✐♠♣♦rt❛♥t❡ ❡ q✉❡ t✉❞♦ q✉❡ ♦ ❛❧✉♥♦ ❛♣r❡♥❞❡ ❡♠ s❛❧❛ ❞❡ ❛✉❧❛ s❡rá ✉t✐❧✐③❛❞♦ ♥❛ s✉❛ ✈✐❞❛ ♣♦❞❡ ♣❛r❡❝❡r ✉t♦♣✐❛ ♠❛s ❝♦♠ ✉♠ ♣♦✉❝♦ ❞❡ ❝r✐❛t✐✈✐❞❛❞❡ ❡ ♣❛✐①ã♦ ❡ss❡ ❞❡s❡❥♦ ♣♦❞❡ s❡r r❡❛❧✐③❛❞♦✳

❯♠❛ ♠❛♥❡✐r❛ ❞❡ t♦r♥❛r ❛ ♠❛t❡♠át✐❝❛ ♠❛✐s ♣❛❧♣á✈❡❧ é tr❛❜❛❧❤❛r ❝♦♠ ❣❡♦♠❡tr✐❛ ❞❡ ❢♦r♠❛ ❝♦♥❝r❡t❛ ❡ ❢❛③❡r ❝♦♠ q✉❡ ♦s ❛❧✉♥♦s ♥ã♦ só ✈❡❥❛♠ ❝♦♠ ♦s ♦❧❤♦s ♠❛s s✐♥t❛♠ ❝♦♠ ❛s ♠ã♦s ♦ q✉❡ s❡ ❛♣r❡♥❞❡ ❞♦s ❝♦♥t❡ú❞♦s ❡s❝r✐t♦s ♥♦ q✉❛❞r♦ ♥❡❣r♦✳

❊st❡ tr❛❜❛❧❤♦ t❡♠ ❝♦♠♦ ♦❜❥❡t✐✈♦ ♦ ❡st✉❞♦ ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s✱ ❛s ♠❡❞✐❞❛s ❞❡ s❡✉s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❡ ❛s ♣♦ss✐❜✐❧✐❞❛❞❡s ❞❡ ✉sá✲❧♦s ♥❛ ❝♦♥str✉çã♦ ❞❡ ✉♠ ♠♦s❛✐❝♦✳

❙❡rã♦ ♠♦str❛❞♦s ♥❡st❡ tr❛❜❛❧❤♦ ❞✐❢❡r❡♥t❡s ♠❛♥❡✐r❛s ❞❡ s❡ ❡♥❝❛✐①❛r ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉✲ ❧❛r❡s ♥✉♠ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦✳

P❛r❛ t❛♥t♦ ♦r❣❛♥✐③♦✉✲s❡ ♦ tr❛❜❛❧❤♦ ❡♠ ♦♥③❡ ❝❛♣ít✉❧♦s✳ ◆♦s ❝❛♣ít✉❧♦s ✶ ❡ ✷ ❛❜♦r❞❛♠✲ s❡ ♦s ❝♦♥❝❡✐t♦s ❡ ❝♦♥t❡ú❞♦s ❞❡ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦s ✭❢♦r♠❛s ❞❡ r❡❝♦❜r✐r ✉♠❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡ ♥♦ ♣❧❛♥♦✮✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✸ t❡♠✲s❡ ✉♠❛ ❜r❡✈❡ ❡①♣❧✐❝❛çã♦ ❞♦ ❝♦♥❝❡✐t♦ ❞❡ ✐s♦♠❡tr✐❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦ ❡ s✉❛s ❛♣❧✐❝❛çõ❡s✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✹ ♦s t✐♣♦s ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s q✉❡ ♣♦❞❡♠ s❡ ❡♥❝❛✐①❛r sã♦ ♦❜t✐❞♦s ❞❡ ❛❝♦r❞♦ ❝♦♠ ♦s ✈❛❧♦r❡s ❞❡ s❡✉s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✺ s❡rã♦ ♠♦str❛❞♦s tr❛❜❛❧❤♦s ♣rát✐❝♦s r❡❛❧✐③❛❞♦s ❝♦♠ ❛❧✉♥♦s ❞❡ ❡♥s✐♥♦ ❜ás✐❝♦ ❡♠ ❡s❝♦❧❛s ❞❛ r❡❞❡ ♣ú❜❧✐❝❛ ❞♦ ❉✐str✐t♦ ❋❡❞❡r❛❧✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✻ t❡♠✲s❡ ✉♠❛ ❜r❡✈❡ ❜✐♦❣r❛✜❛ ❞♦ ❛rt✐st❛ ❤♦❧❛♥❞ês ▼❈ ❊s❝❤❡r ♥♦ ♣❡rí♦❞♦ q✉❡ ❡❧❡ tr❛❜❛❧❤♦✉ ♦s ♠♦s❛✐❝♦s ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✼ té❝♥✐❝❛s ✉s❛❞❛s ♣♦r ❊s❝❤❡r sã♦ ♠♦str❛❞❛s ❡ ❡①♣❧✐❝❛❞❛s ♣❛ss♦ ❛ ♣❛ss♦ ❛tr❛✈és ❞❛s ✐s♦♠❡tr✐❛s ♥♦ ♣❧❛♥♦✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✽ ♠♦str❛✲s❡ q✉❡ ❛s té❝♥✐❝❛s ✉t✐❧✐③❛❞❛s ♣♦r ❊s❝❤❡r sã♦ ❢❛❝✐❧♠❡♥t❡ ❛♣❧✐✲ ❝á✈❡✐s ❡♠ tr❛❜❛❧❤♦s ♣rát✐❝♦s ❝♦♠ ❛❧✉♥♦s ❞❡ ❡♥s✐♥♦ ❜ás✐❝♦✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✾ ❛♣r❡s❡♥t❛✲s❡ ❝♦♥str✉çõ❡s ❞✐❢❡r❡♥t❡s ❞❛s ❛♣❧✐❝❛❞❛s ♣♦r ❊s❝❤❡r ❡♠ ♠♦✲ s❛✐❝♦s ❝♦♥st✐t✉í❞♦s ♣♦r ♣♦❧í❣♦♥♦s ❞✐❢❡r❡♥t❡s✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✶✵ ✉♠❛ s❡q✉ê♥❝✐❛ ❞✐❞át✐❝❛ ❞❡ ♣rát✐❝❛ ❡♠ s❛❧❛ ❞❡ ❛✉❧❛ é ♣r♦♣♦st❛ ❛♦s ♣r♦❢❡ss♦r❡s ❞❡ ♠❛t❡♠át✐❝❛ ♦✉ ❞❡ ❛rt❡ ✉t✐❧✐③❛♥❞♦ ♦s ❝♦♥❝❡✐t♦s ❞❡s❡♥✈♦❧✈✐❞♦s ♥❡st❡ tr❛✲ ❜❛❧❤♦✳

◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✶✶ t❡♠✲s❡ ❛s ❝♦♥s✐❞❡r❛çõ❡s ✜♥❛✐s ♦♥❞❡ ❛s ✈❛♥t❛❣❡♥s ❞❡ s❡ tr❛❜❛❧❤❛r ❡st❡s ♠♦s❛✐❝♦s ❢♦rt❛❧❡❝❡ ♦ ❛♣r❡♥❞✐③❛❞♦ ❞♦ ❛❧✉♥♦ ❡ ♦ ❡stí♠✉❧♦ ❡♠ ❛♣r❡♥❞❡r ♠❛t❡♠át✐❝❛✳

(21)

❈❛♣ít✉❧♦ ✶

❋✐❣✉r❛s ❛✉t♦ ❡♥❝❛✐①á✈❡✐s

✶✳✶ ▲❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ❝♦♠ q✉❛❞r❛❞♦s✱ tr✐â♥❣✉❧♦s ❡ ❤❡①á✲

❣♦♥♦s✳

▲❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ❡stá ♠✉✐t♦ ♣r❡s❡♥t❡ ♥♦ ❞✐❛ ❛ ❞✐❛ ❞❛s ♣❡ss♦❛s✳ ❇❛st❛ ❞❛r ✉♠❛ ♦❧❤❛❞❛ ♣❛r❛ ♦ ❝❤ã♦ ❞♦ ❜❛♥❤❡✐r♦ ❞♦ s❡✉ ❛♣❛rt❛♠❡♥t♦ ♣♦r ❡①❡♠♣❧♦✳

❙❛❜❡✲s❡ q✉❡ ❡♠ ❣❡r❛❧ ♦s r❡✈❡st✐♠❡♥t♦s ✉s❛❞♦s ♥❛ ❝♦♥str✉çã♦ ❝✐✈✐❧ sã♦ ❝♦♥st✐t✉í❞♦s ❞❡ ❝❡râ♠✐❝❛ ♣ré✲♠♦❧❞❛❞❛ ❝♦♠ ✉♠❛ ❝❛♠❛❞❛ ❞❡ ❧♦✉ç❛ ♦✉ ♣♦r❝❡❧❛♥❛t♦ q✉❡ ♠❡❧❤♦r❛ ❛ ✐♠♣❡r♠❡❛❜✐❧✐③❛çã♦✳

❋❛③❡r ✉♠ ♣✐s♦ ♦✉ ♣❛r❡❞❡ ✐♥t❡✐r❛♠❡♥t❡ ❞❡st❛ ❢♦r♠❛ s❡r✐❛ ♠✉✐t♦ ❞✐s♣❡♥❞✐♦s♦ ❡ ♣♦r ✐ss♦ ♣❡♥s♦✉✲s❡ ❡♠ r❡❛❧✐③á✲❧♦ ♣♦r ♣❛rt❡s ❛tr❛✈és ❞❡ ♣❡ç❛s ♣❧❛♥❛s ❡♠ ❢♦r♠❛ ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s✳ ❖ ♠❛✐s ❝♦♠✉♠ é ❛ ❢♦r♠❛ q✉❛❞r❛❞❛ ♦✉ r❡t❛♥❣✉❧❛r ♣♦r s❡r ❞❡ ♠❛✐s ❢á❝✐❧ ❝♦♥str✉çã♦ ❡ ❝♦rt❡✱ ♠❛s ♥ã♦ é ♠✉✐t♦ ✐♥❝♦♠✉♠ ✈❡r ♦✉tr♦s t✐♣♦s ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦ ♥❡st❛s ❝♦♥str✉çõ❡s✳

❖✉tr❛ ❢♦r♠❛ ❝♦♠✉♠ ❞❡ s❡ ❥✉♥t❛r ♣♦❧í❣♦♥♦s ♥✉♠❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡ ♣❧❛♥❛ é ♣♦r ♠❡✐♦ ❞❡ tr✐â♥❣✉❧♦s ❡q✉✐❧át❡r♦s✳

❖ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ❡♥tã♦ s❡r✐❛ ❛ ♠♦♥t❛❣❡♠ ❞❡st❛s ♣❡ç❛s ♣❧❛♥❛s ❞❡ ❢♦r♠❛ q✉❡ ❡❧❛s ❢❡❝❤❛ss❡♠ q✉❛❧q✉❡r s✉♣❡r❢í❝✐❡ ♣❧❛♥❛ ❞❡t❡r♠✐♥❛❞❛✱ ♦✉ s❡❥❛✱ s❡♠ s✉♣❡r♣♦s✐çã♦ ♦✉ ❜✉r❛❝♦s✳ ❖ ❢♦❝♦ ❞❡st❡ tr❛❜❛❧❤♦ é ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ♣❡r✐ó❞✐❝♦✳ ❊①✐st❡ ❜✐❜❧✐♦❣r❛✜❛ ❛ r❡s♣❡✐t♦ ❞❡ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ❛♣❡r✐ó❞✐❝♦✳✭❙❆▲▲❯▼✱✷✵✵✼✮✳

❯♠ ♦✉tr♦ ❡①❡♠♣❧♦ ❝❧áss✐❝♦ ❞❡ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ❛❧é♠ ❞♦s q✉❛❞r❛❞♦s✱ tr✐â♥❣✉❧♦s ❡ r❡✲ tâ♥❣✉❧♦s é ❛ ❝♦❧♠❡✐❛ ❞❡ ❛❜❡❧❤❛✱ q✉❡ é ❝♦♥st✐t✉í❞❛ ❞❡ ❤❡①á❣♦♥♦s✳

(22)

❉❡✜♥✐çã♦ ✶✳✶✳ ▲❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ é ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡ ♣❡ç❛s ♣❧❛♥❛s ❞❡ ❢♦r♠❛ q✉❡ ♥ã♦ ❤❛❥❛ s✉♣❡r♣♦s✐çã♦ ♦✉ ❜✉r❛❝♦s✳ ✭❙❆▲▲❯▼✱✷✵✵✼✮

◆❛ ✜❣✉r❛ ✶✳✶ tê♠✲s❡ ❡①❡♠♣❧♦s ❞❡ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦s✳

Ladrilhamento com hexágonos Ladrilhamento com quadrados Ladrilhamento com triângulos

Figura 1.1 Tipos comuns de ladrilhos

✶✳✷ ❱❛r✐❛çõ❡s ❞❡ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦s ❝♦♠✉♥s✳

❯t✐❧✐③❛♥❞♦✲s❡ ♦s ❝♦♥❝❡✐t♦s ✈✐st♦s ♥❛ s❡çã♦ ❛♥t❡r✐♦r ♣♦❞❡✲s❡ ♥♦t❛r ❝♦♠ ❢❛❝✐❧✐❞❛❞❡ q✉❡ é ♣♦ssí✈❡❧ ✧♠♦♥t❛r✧❡st❡s ❧❛❞r✐❧❤♦s ❞❡ ❢♦r♠❛s ❞✐❢❡r❡♥t❡s ✉t✐❧✐③❛♥❞♦ ♦✉tr♦s ♣♦❧í❣♦♥♦s✳

❊♠ r❡❧❛çã♦ ❛♦ q✉❛❞r❛❞♦ ♣♦r ❡①❡♠♣❧♦✱ r❡❛❧✐③❛♥❞♦ ✉♠ ❡st✐❝❛♠❡♥t♦✱ ♦✉ s❡❥❛✱ ✈❛r✐❛♥❞♦ ♦ t❛♠❛♥❤♦ ❞❡ s❡✉s ❧❛❞♦s ♦✉ ❞❡ s❡✉s â♥❣✉❧♦s ❞❡ ❢♦r♠❛ q✉❡ ♦ q✉❛❞r✐❧át❡r♦ ♦❜t✐❞♦ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❝♦♠ ❞♦✐s ♣❛r❡s ❞❡ ❧❛❞♦s ♣❛r❛❧❡❧♦s✱ ♦❜tê♠✲s❡ ✉♠ r❡tâ♥❣✉❧♦✱ ❧♦s❛♥❣♦ ♦✉ ♣❛r❛❧❡❧♦❣r❛♠♦ ❝♦♥❢♦r♠❡ ✜❣✉r❛ ✶✳✷✳

Figura 1.2 Outras variações de ladrilhos Ladrilhamento com paralelogramos Ladrilhamento com retângulos

❖ q✉❡ s❡ ❛❜♦r❞❛ ♥❡st❡ tr❛❜❛❧❤♦ é q✉❛✐s t✐♣♦s ❞❡ ♣❡ç❛s ♣❧❛♥❛s ♣♦❞❡rí❛♠♦s t❡r ♥❡st❡s ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦s ❡ q✉❛❧ ❛ ❥✉st✐✜❝❛t✐✈❛ ♠❛t❡♠át✐❝❛ ♣❛r❛ ❡❧❡s ❡①✐st✐r❡♠✱ ❜❡♠ ❝♦♠♦ ❛s ♣♦ss✐❜✐❧✐❞❛❞❡s ❞❡ s❡ t❡r ✜❣✉r❛s ❛❜str❛t❛s ❝♦♥str✉í❞❛s ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s✳

(23)

❈❛♣ít✉❧♦ ✷

P♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❝♦♠ ✉♠ ✈ért✐❝❡

❝♦♠✉♠✳

✷✳✶ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r✐③❛çã♦ ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦ r❡❣✉❧❛r✳

❆♥t❡s ❞❡ s❡ ♣❡♥s❛r ❡♠ ❥✉♥t❛r ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s é ♣r❡❝✐s♦ ❝♦♥❤❡❝❡r ❛s ♠❡❞✐❞❛s ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦s ♠❡s♠♦s ❡ ♣❛r❛ ✐ss♦ s❡rá ✉s❛❞♦ ♦ ❢❛t♦ ❞❡ q✉❡ ♣❛r❛ ❝❛❞❛ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❝♦♠ n ❧❛❞♦s é ♣♦ssí✈❡❧ ❞✐✈✐❞✐✲❧♦ ❡♠ (n −2) tr✐â♥❣✉❧♦s✱ ❞✐✈✐❞✐♥❞♦ ❡st❡s ♣♦❧í❣♦♥♦s ❛

♣❛rt✐r ❞❡ s❡❣♠❡♥t♦s tr❛ç❛❞♦s s❛✐♥❞♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ q✉❛❧q✉❡r ✜①♦ ❡ t❡r♠✐♥❛♥❞♦ ♥♦s ♦✉tr♦s ✈ért✐❝❡s✱ ♦♥❞❡ ❝❛❞❛ s❡❣♠❡♥t♦ ✉♥✐♥❞♦ ♦s ✈ért✐❝❡s é ú♥✐❝♦ ❡ ❡stá ♥♦ ✐♥t❡r✐♦r ❞♦ ♣♦❧í❣♦♥♦✳ ❊ss❛ té❝♥✐❝❛ ❝❤❛♠❛❞❛ ❞❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r✐③❛çã♦ s❡rá ✉s❛❞❛ ♣❛r❛ ❝❛❧❝✉❧❛r ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞❡ ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ q✉❛❧q✉❡r ❝♦♠n ❧❛❞♦s ❝♦♥❢♦r♠❡ ✜❣✉r❛ ✷✳✶✳

3 lados

1 triângulo 2 triângulos4 lados 3 triângulos5 lados 4 triângulos6 lados 6 triângulos8 lados (n-2) triângulosn lados

Figura 2.1 Triangularização de polígonos

(24)

P♦rt❛♥t♦ s❡ ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ t❡♠ n ❧❛❞♦s ❡❧❡ t❡rá (n−2) tr✐â♥❣✉❧♦s ❡ ❝♦♠♦ ❛ s♦♠❛

❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞❡ ❝❛❞❛ tr✐â♥❣✉❧♦ é180◦ ♦ ✈❛❧♦r ❞❛ s♦♠❛ ❞❡st❡s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s

❞❡st❡ ♣♦❧í❣♦♥♦ s❡rá ❡♥❝♦♥tr❛❞♦ ♣❡❧♦ ♣r♦❞✉t♦ ❞❡st❡s ✈❛❧♦r❡s✱ ♦✉ s❡❥❛✿ 180(n−2)✱ ♠❛s

❝♦♠♦ tr❛t❛✲s❡ ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❛ ♠❡❞✐❞❛ ❞❡ ❝❛❞❛ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ s❡rá ♦❜t✐❞❛ ♣❡❧♦ q✉♦❝✐❡♥t❡ ❞❡ss❛ s♦♠❛ ♣❡❧❛ q✉❛♥t✐❞❛❞❡ ❞❡ ❧❛❞♦s ✭✈ért✐❝❡s✮ ❞❡st❡ ♣♦❧í❣♦♥♦✳ ❖ â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞❡ ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ r❡❣✉❧❛r ❝♦♠n ❧❛❞♦s ❡♥tã♦ é ❞❛❞♦ ♣♦r 180(n−2)

n

◆❛ t❛❜❡❧❛ ✷✳✶ tê♠✲s❡ ❛❧❣✉♥s ❡①❡♠♣❧♦s ❞❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡ s❡✉s r❡s♣❡❝t✐✈♦s ♥♦♠❡s q✉❛♥t♦ ❛s s✉❛s r❡s♣❡❝t✐✈❛s ♠❡❞✐❞❛s ❞❡ s❡✉s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s✳

Polígono com n lados ângulo interno (graus) Polígono com n lados ângulo interno (graus)

3 60 23 3780/23

4 90 24 165

5 108 25 828/5

6 120 26 2160/13

7 900/7 27 500/3

8 135 28 1170/7

9 140 29 4860/29

10 144 30 168

11 1620/11 31 5220/31

12 150 32 675/4

13 1980/13 33 5580/33

14 1080/7 34 2880/17

15 156 35 1188/7

16 315/2 36 170

17 2700/17 37 6300/37

18 160 38 3240/19

19 3060/19 39 6660/39

20 162 40 171

21 3420/21 41 7020/41

22 1800/11 42 1200/7

Tabela 2.1

Ângulos internos de alguns polígonos

◆❛ t❛❜❡❧❛ ✷✳✷ tê♠✲s❡ ♦s ♥♦♠❡s ❞❡ ❛❧❣✉♥s ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s q✉❛♥t♦ à q✉❛♥t✐❞❛❞❡ ❞❡ ❧❛❞♦s✳ ❖❜s❡r✈❡ q✉❡ s❡✉s ♥♦♠❡s t❡♠ ♦r✐❣❡♠ ♥❛ ❧í♥❣✉❛ ❣r❡❣❛✳

(25)

Tabela 2.2

Nomes de alguns polígonos

Polígono Nome Polígono Nome

3Triângulo 23Icosakaitrigono

4Quadrado 24Icosakaitetragono

5Pentágono 25Icosakaipentágono

6Hexágono 26Icosakaihexágono

7Heptágono 27Icosakaiheptágono

8Octógono 28Icosakaioctógono

9Eneágono 29Icosakaieneágono

10Decágono 30Triacontágono

11Umdecágono 31Triacontakaihenágono

12Dodecágono 32Triacontakaidigono

13Tridecágono 33Triacontakaitrigono

14Tetradecágono 34Triacontakaitetragono

15Pentadecágono 35Triacontakaipentágono

16Hexadecágono 36Triacontakaihexágono

17Heptadecágono 37Triacontakaiheptágono

18Octodecágono 38Triacontakaioctógono

19Eneadecágono 39Triacontakaieneágono

20Icoságono 40Tetracontágono

21Icosakaihenágono 41Tetracontakaihenágono

22Icosakaidigono 42Tetracontakaidigono

❯♠ ❧❛❞r✐❧❤❛♠❡♥t♦ ❡♠ ✉♠❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡ ♣❧❛♥❛ só é ♣♦ssí✈❡❧ s❡ ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦s ♣♦❧í❣♦♥♦s q✉❡ s❡ ❡♥❝♦♥tr❛♠ ❡♠ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ❢♦r ❞❡360◦✳

❉❡ ✐♥í❝✐♦ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉♥çã♦ ❞❡ ✸ ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s✱ ❥á q✉❡ ♥ã♦ s❡r✐❛ ♣♦ssí✈❡❧ ❢❛③ê✲❧♦ ❝♦♠ ✷ ♣♦✐s ✉♠ ❞❡❧❡s t❡r✐❛ q✉❡ t❡r ✉♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ♠❛✐♦r q✉❡180◦ ✭❛❜s✉r❞♦✮✳

P♦❞❡✲s❡ t❛♠❜é♠ ❢❛③❡r ❡ss❛ ❥✉♥çã♦ ❝♦♠ ✹ ♣♦❧í❣♦♥♦s ♠❛s ✐ss♦ só s❡rá ♠♦str❛❞♦ ♣♦s✲ t❡r✐♦r♠❡♥t❡ ♥♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✹✳

❱❛♠♦s ❞❡♥♦t❛r ♣♦r ❋ ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❞❡ ① ❧❛❞♦s ♦✉ â♥❣✉❧♦s ❝♦♥❣r✉❡♥t❡s ❊①❡♠♣❧♦✿ ♣❛r❛ x= 5 t❡♠✲s❡ ✉♠ ♣❡♥tá❣♦♥♦ ❋ ❡♠ q✉❡ ✉♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ♠❡❞❡108◦✳

❖s ✈❛❧♦r❡s ❞❡ ✉♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ❞❡ ❞♦✐s ♣♦❧í❣♦♥♦s ❝♦♠x ❧❛❞♦s ❡ y ❧❛❞♦s✱ r❡s♣❡❝t✐✲

✈❛♠❡♥t❡✱ s❡rã♦✿ 180(x−2)

x ❡

180(y−2)

y ❡ ♦ ♦❜❥❡t✐✈♦ é ❡♥❝♦♥tr❛r ✉♠❛ r❡❧❛çã♦ ❞✐r❡t❛

❡♥tr❡ ❡ss❛s ❞✉❛s ✐♥❝ó❣♥✐t❛s ❥á q✉❡ ❛ t❡r❝❡✐r❛ s❡rá ✜①❛❞❛✳

(26)

❈❛♣ít✉❧♦ ✸

■s♦♠❡tr✐❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦✳

◆❡st❡ ❝❛♣ít✉❧♦ s❡rá ✉s❛❞♦ ❝♦♠♦ r❡❢❡rê♥❝✐❛ ✭▲■▼❆✱✶✾✾✻✮ ♣❛r❛ ❞❡s❝r❡✈❡r ❛s ✐s♦♠❡tr✐❛s ♥♦ ♣❧❛♥♦✳

✸✳✶ ❖ q✉❡ é ✐s♦♠❡tr✐❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦❄

❆ ✐s♦♠❡tr✐❛ ❡♥tr❡ ❞♦✐s ♣❧❛♥♦sΠ❡Π′é ✉♠❛ ❢✉♥çã♦_T _{: Π}_−→_Π′ q✉❡ ♣r❡s❡r✈❛ ❞✐stâ♥❝✐❛s✳

■ss♦ s✐❣♥✐✜❝❛ q✉❡✱ ♣❛r❛ q✉❛✐sq✉❡r ♣♦♥t♦s X✱ Y ∈Π✱ ♣♦♥❞♦ X′ ₌ _T₍_X₎ ❡ _Y′ ₌_T₍_Y₎✱

t❡♠✲s❡✿ d(X′_{, Y}′_{) =} _d₍_{X, Y}₎✳

❚♦❞❛ ✐s♦♠❡tr✐❛ T : Π −→ Π′ tr❛♥s❢♦r♠❛ r❡t❛s ❡♠ r❡t❛s ❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❡♠❡♥t❡ s❡❣✲

♠❡♥t♦s ❞❡ r❡t❛ ❡♠ s❡❣♠❡♥t♦s ❞❡ r❡t❛✳

❆❧é♠ ❞✐ss♦ t♦❞❛ ✐s♦♠❡tr✐❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦ tr❛♥s❢♦r♠❛ r❡t❛s ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r❡s ❡♠ r❡t❛s ♣❡r✲ ♣❡♥❞✐❝✉❧❛r❡s✱ t♦❞❛ ✐s♦♠❡tr✐❛ é ✉♠❛ ❜✐❥❡çã♦ ❡ s✉❛ ✐♥✈❡rs❛ ❛✐♥❞❛ é ✉♠❛ ✐s♦♠❡tr✐❛✳

❆s ❞❡♠♦♥str❛çõ❡s ❞❡t❛❧❤❛❞❛s ❞❛s ✐♥❢♦r♠❛çõ❡s ❛❝✐♠❛ ❡stã♦ ♥❛ r❡❢❡rê♥❝✐❛ ✭▲■▼❆✱✶✾✾✻✮✱ ❬✺❪ ♣á❣✐♥❛s ✶✸✲✶✺✳

❯s❛♥❞♦ ♦s ❢❛t♦s ❛❝✐♠❛✱ ♣❛r❛ ❞✉❛s r❡t❛s r ❡ s ❝♦♥t✐❞❛s ❡♠ Π✱ x ❡y ♣♦♥t♦s ❡♠ r✱ ❛

✐♠❛❣❡♠ ❞❡ ✉♠ s❡❣♠❡♥t♦ ❞❡ r❡t❛ XY ⊂ r ♣❡❧❛ ✐s♦♠❡tr✐❛ T : r → s é ♦ s❡❣♠❡♥t♦ ❞❡

r❡t❛X′_Y′ _⊂_s✱ ♦♥❞❡_X′ ₌_T₍_X₎❡_Y′ ₌_T₍_Y₎✳ P♦rt❛♥t♦ ❞❛❞♦_Z _∈_rt❡♠✲s❡_Z′ ₌_T₍_Z₎✳

❈♦♠ ✐ss♦✿ Z ∈XY ⇔XY =XZ+ZY ⇔X′_Y′ ₌_X′_Z′₊_Z′_Y′ _⇔_Z′ _∈_X′_Y′✳

■ss♦ ♠♦str❛ q✉❡ ❛ ✐s♦♠❡tr✐❛ T ❧❡✈❛ s❡❣♠❡♥t♦ ❡♠ s❡❣♠❡♥t♦✳

❊①✐st❡♠ q✉❛tr♦ t✐♣♦s ❞❡ ✐s♦♠❡tr✐❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦✿ ❚r❛♥s❧❛çã♦✱ ❘♦t❛çã♦✱ ❘❡✢❡①ã♦ ❡ ❘❡✲ ✢❡①ã♦ ❝♦♠ ❞❡s❧✐③❛♠❡♥t♦✳

(27)

✸✳✷ ❚r❛♥s❧❛çã♦✳

❙❡❥❛♠A ❡B ♣♦♥t♦s ❞✐st✐♥t♦s ❞♦ ♣❧❛♥♦Π✳ ❯♠❛ tr❛♥s❧❛çã♦TAB : Π→Π é ✉♠❛ ❢✉♥çã♦

♦♥❞❡ ✉♠ ❞❛❞♦X ∈Πt❡♠ ❝♦♠♦ ✐♠❛❣❡♠X′ ₌_T₍_X₎✱ s❡♥❞♦ ❡st❡ ú❧t✐♠♦ ♦ q✉❛rt♦ ✈ért✐❝❡

❞❡ ✉♠ ♣❛r❛❧❡❧♦❣r❛♠♦ABXX′ ❝♦♠ _AB ❡ _AX ❧❛❞♦s ♥ã♦ ❝♦❧✐♥❡❛r❡s✳

❙❛❧✐❡♥t❛♠♦s q✉❡ ❛ tr❛♥s❧❛çã♦TAB ♥ã♦ ♣♦ss✉✐ ♣♦♥t♦s ✜①♦s✳ ❉❡ ❢❛t♦✱ ♣❛r❛ t♦❞♦ ♣♦♥t♦

X ❡♠ Π✱ ❝♦♠ T(X) = X′✱ t❡♠✲s❡ q✉❡ ❛ ❞✐stâ♥❝✐❛ ❞❡_d₍_{X, X}′₎❂_d₍_{A, B}₎✳

❆ tr❛♥s❧❛çã♦ TAB : Π → Π é ✉♠❛ ✐s♦♠❡tr✐❛✳ P❛r❛ ❥✉st✐✜❝❛r ❡ss❛ ❛✜r♠❛çã♦✱ s❡❥❛♠

❞♦✐s ♣♦♥t♦s q✉❛✐sq✉❡rA✱B ∈Π❡ s✉❛s ✐♠❛❣❡♥sX =TAB(A)✱X′ =TAB(B)✳ ❙❡ ❛ r❡t❛r

q✉❡ ❝♦♥té♠A❡B é ♣❛r❛❧❡❧❛ ♦✉ ✐❣✉❛❧ à r❡t❛s q✉❡ ❝♦♥té♠X ❡X′ ❡♥tã♦ _T

AB✱ r❡str✐t❛ à

r✱ é ❛ tr❛♥s❧❛çã♦ TXX′ :s →s✱ ❧♦❣♦ ❛d(X, X′) = d(A, B)✳ ❙❡r ♥ã♦ é ♣❛r❛❧❡❧❛ ♦✉ ✐❣✉❛❧

❛s ❡♥tã♦AX ❡BX′ sã♦ ❧❛❞♦s ♦♣♦st♦s ❞❡ ✉♠ ♣❛r❛❧❡❧♦❣r❛♠♦✱ ❧♦❣♦ ♦ ♠❡s♠♦ ♦❝♦rr❡ ❝♦♠

AB ❡XX′✳ ❙❡❣✉❡ q✉❡ ❛_d₍_{X, X}′_{) =} _d₍_{A, B}₎✳

❉❛ ✐❣✉❛❧❞❛❞❡ ❞♦s s❡❣♠❡♥t♦sXX′ ❡_AB✱ ♦✉ s❡❥❛✱_XX′ ₌_AB✱ t❡♠✲s❡ q✉❡ ♦ ♣❡r❝✉rs♦

❞❡A ♣❛r❛ X s❡rá ♦ ♠❡s♠♦ ❞❡ B ♣❛r❛ X′ ♠❛♥t❡♥❞♦ ❛ ❞✐r❡çã♦ ❡ ♦ s❡♥t✐❞♦ ❞❡ ✉♠ ✈❡t♦r

~v ♣❛r❛❧❡❧♦ ❛♦ s❡❣♠❡♥t♦AX ❝♦♥❢♦r♠❡ ✜❣✉r❛ ✸✳✶✳

A

B

C

D

X

X’

C’

E’

v

E

D’

Figura 3.1

Translação da curva “verde” em relação ao vetor v

Paralelogramo ABXX’

(28)

❆♦ ❧❡✐t♦r ✐♥t❡r❡ss❛❞♦ ❡♠ ♠❛✐s ❞❡t❛❧❤❡s s♦❜r❡ tr❛♥s❧❛çã♦ ✈✐❞❡ ✭▲■▼❆✱✶✾✾✻✮✱ ❬✺❪✳

✸✳✸ ❘♦t❛çã♦✳

❙❡❥❛ O ✉♠ ♣♦♥t♦ ♥♦ ♣❧❛♥♦ Π ❡ α❂ ❳Ô❳✬ ✉♠ â♥❣✉❧♦ ❝♦♠ ♦r✐❣❡♠ ❡♠ O✳ ❆ r♦t❛çã♦

❞♦ â♥❣✉❧♦α ❡♠ t♦r♥♦ ❞♦ ♣♦♥t♦O é ❛ ❢✉♥çã♦ ρO,α : Π→ Π ♦♥❞❡ ρO,α(O) =O ❡ ♣❛r❛

q✉❛❧q✉❡r ♣♦♥t♦ A 6= O ❡♠ Π t❡♠✲s❡ ρO,α(A) = A′ ♦♥❞❡ A′ é ✉♠ ♣♦♥t♦ ❞❡ Π t❛❧ q✉❡

d(A, O) = d(A′_{, O}₎ ❡_α ❂ ❆Ô❆✬✳

❖ s❡♥t✐❞♦ ❞❡ r♦t❛çã♦ ❞❡ X ♣❛r❛ X′ é ♦ ♠❡s♠♦ ❞❡_A ♣❛r❛ _A′✳ ◆❛ ✜❣✉r❛ ✸✳✷ t❡♠✲s❡

✉♠❛ r♦t❛çã♦ ❝♦♠ s❡♥t✐❞♦ ❤♦rár✐♦✳

A

X

X’

O

Figura 3.2

Rotação da curva “verde” em relação ao ângulo

A’

B

C

B’

C’

D’

D

(29)

✸✳✹ ❘❡✢❡①ã♦✳

❙❡❥❛ r ✉♠❛ r❡t❛ ♥♦ ♣❧❛♥♦ Π✳ ❆ r❡✢❡①ã♦ ♥♦ ♣❧❛♥♦ ❡♠ t♦r♥♦ ❞❛ r❡t❛ r é ❛ ❢✉♥çã♦ Rr : Π → Π ❞❡ ❢♦r♠❛ q✉❡ Rr(X) = X ♣❛r❛ t♦❞♦ X ∈ r ❡ ♣❛r❛ X /∈ r t❡♠✲s❡

Rr(X) =X′ ❞❡ ❢♦r♠❛ q✉❡ ❛ ♠❡❞✐❛tr✐③ ❞♦ s❡❣♠❡♥t♦ XX′ é ❛ r❡t❛r✳

❯♠❛ r❡✢❡①ã♦Rr é ✉♠❛ ✐s♦♠❡tr✐❛✳ ❆ ❞❡♠♦♥str❛çã♦ ❞❡st❡ ❢❛t♦ ❡stá ❡♠ ✭▲■▼❆✱✶✾✾✻✮

♣á❣✐♥❛s ✶✻✲✶✽✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✸✳✸ t❡♠✲s❡ ✉♠❛ r❡✢❡①ã♦ ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠❛ r❡t❛ r✳ ✳

A

B

C

A’

B’

C’

D’

X’

r

D

X

(X,r)

( ,X’)

Figura 3.3 Reflexão da curva “verde” em relação a reta r

d

d r

✸✳✺ ❘❡✢❡①ã♦ ❝♦♠ ❞❡s❧✐③❛♠❡♥t♦✳

❆ r❡✢❡①ã♦ ❝♦♠ ❞❡s❧✐③❛♠❡♥t♦ ♥❛❞❛ ♠❛✐s é q✉❡ ❛ ❝♦♠♣♦s✐çã♦ ❞❡ ✉♠❛ ❘❡✢❡①ã♦ ❝♦♠ ✉♠❛ ❚r❛♥s❧❛çã♦ ❡ ♥ã♦ s❡rá ❛❜♦r❞❛❞❛ ♥❡st❡ tr❛❜❛❧❤♦✳

❖ ❧❡✐t♦r ✐♥t❡r❡ss❛❞♦ ❡♥❝♦♥tr❛rá ✉♠❛ ❛❜♦r❞❛❣❡♠ ❞❡t❛❧❤❛❞❛ ❞❡st❡ ❛ss✉♥t♦ ❡♠ ✭▲■▼❆✱✶✾✾✻✲ ♣á❣✐♥❛ ✷✸✮✳ ◆❛ ♠❡s♠❛ r❡❢❡rê♥❝✐❛ ♦ ❧❡✐t♦r t❡♠ ❡st✉❞♦s ❞❡t❛❧❤❛❞♦s ❞❡ ✐s♦♠❡tr✐❛s ♣ró♣r✐❛s ❡ ✐♠♣ró♣r✐❛s ♥♦ ♣❧❛♥♦✱ ❛❧é♠ ❞❡ ❝♦♠♣♦s✐çã♦ ❞❡ ✐s♦♠❡tr✐❛s ♥♦ ♣❧❛♥♦✳

(30)

❈❛♣ít✉❧♦ ✹

P♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s q✉❡ s❡ ❡♥❝❛✐①❛♠

♥✉♠ ✈ért✐❝❡✳

P❛r❛ ❤❛✈❡r ✉♠ ❡♥❝❛✐①❡ ♣❡r❢❡✐t♦ ❡♥tr❡ ♣♦❧í❣♦♥♦s é ♣r❡❝✐s♦ q✉❡ ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞❡st❡s ♣♦❧í❣♦♥♦s s❡❥❛ 360◦ ❝♦♠♦ ♥♦ ❝❛s♦ ❞♦s ❧❛❞r✐❧❤♦s q✉❛❞rát✐❝♦s q✉❡ ❡r❛

❝♦♥st✐t✉✐❞♦ ❞❡ q✉❛tr♦ q✉❛❞r❛❞♦s ❝♦♠ â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞❡ 90◦ ❝❛❞❛ t♦t❛❧✐③❛♥❞♦ ❛ss✐♠

360◦✳

❊♠ ✷✳✶ ❢♦✐ ♠❡♥❝✐♦♥❛❞♦ q✉❡ s❡r✐❛ ✐♠♣♦ssí✈❡❧ ❡♥❝❛✐①❛r ❞♦✐s ♣♦❧í❣♦♥♦s ❛♣❡♥❛s✱ ♣♦✐s ❝❛❞❛ ✉♠ t❡r✐❛ q✉❡ t❡r 180◦ ❝♦♠♦ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ♣❛r❛ q✉❡ ❛ s♦♠❛ ❞❡st❡s â♥❣✉❧♦s ♥✉♠

✈ért✐❝❡ ❢♦ss❡ 360◦✳

❆ ✐❞❡✐❛ ❛❣♦r❛ é ✈❡r✐✜❝❛r q✉❛✐s ♦s ♣♦❧í❣♦♥♦s ♣♦❞❡r✐❛♠ s❡r ❡♥❝❛✐①❛❞♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ú♥✐❝♦ ✈ért✐❝❡ ✉s❛♥❞♦ três ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s✳

❋✐①❛✲s❡ ❡♥tã♦ ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❡ ❡♥❝♦♥tr❛✲s❡ ✉♠❛ r❡❧❛çã♦ ❞✐r❡t❛ ❡♥tr❡ ♦s ♦✉tr♦s ❞♦✐s ♣♦❧í❣♦♥♦s q✉❡ t❡rã♦ x ❡y ❧❛❞♦s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡✳

❘❡❝♦r❞❛♠♦s q✉❡ ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ r❡❣✉❧❛r ❝♦♠x ❧❛❞♦s t❡♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ❝♦♠ ♠❡❞✐❞❛

✐❣✉❛❧ ❛ 180(x−2)

x ❣r❛✉s ❡ ❞❡ y ❧❛❞♦s t❡♠ ♦ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ♠❡❞✐♥❞♦

180(y−2)

y ❣r❛✉s✳

(31)

✹✳✶ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡

✜①❛♥❞♦ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦

❆ ♠❡❞✐❞❛ ❞❡ ✉♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ❞❡x❧❛❞♦s s❡rá s♦♠❛❞♦ ❛ ♠❡❞✐❞❛ ❞❡ ✉♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦

❞❡y❧❛❞♦s ♠❛✐s ❛ ♠❡❞✐❞❛ ❞❡ ✉♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ❞❡ ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ r❡❣✉❧❛r ✜①♦ ❋ ❞❡ ❢♦r♠❛

q✉❡ ♦ r❡s✉❧t❛❞♦ ❞❡st❛ s♦♠❛ s❡❥❛ 360◦✳

180(x−2)

x +

180(y−2)

y +F = 360

❉❡ ✐♥í❝✐♦ s❡rá ✜①❛❞♦ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ r❡❣✉❧❛r ✭❡q✉✐❧át❡r♦✮ ♣♦✐s é ♦ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❝♦♠ ♠❡♥♦r q✉❛♥t✐❞❛❞❡ ❞❡ â♥❣✉❧♦s ❝♦♥❤❡❝✐❞♦ ❡ ❝✉❥♦ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ é ❞❡60◦✳ ❚❡r❡♠♦s ❡♥tã♦✿

180(x−2)

x +

180(y−2)

y + 60 = 360 6xy−6y−6x

xy =

5xy xy xy−6y−6x= 0

xy−6y= 6x y(x−6) = 6x

y= 6x x−6

◆❛ ❡q✉❛çã♦ ❛♥t❡r✐♦r✱x ❡ y sã♦ ❛s q✉❛♥t✐❞❛❞❡s ❞❡ ❧❛❞♦s ❞❡ ❝❛❞❛ ♣♦❧í❣♦♥♦✳ ❆ss✐♠ sã♦

♥ú♠❡r♦s ✐♥t❡✐r♦s ❡ ♣♦s✐t✐✈♦s ❡ ♣♦rt❛♥t♦ y ❞❡✈❡rá s❡r ♠❛✐♦r ♦✉ ✐❣✉❛❧ ❛ 7❡ x ♠❛✐♦r q✉❡ 6✳

❆ss✐♠✿

6x x−6 ≥7

❉❡ss❛ ❢♦r♠❛✿

6x≤7(x−6) x≤42

P♦rt❛♥t♦

6< x≤42

❆♥❛❧✐s❛♥❞♦ ❡st❡s ✈❛❧♦r❡s ♥✉♠❛ ♣❧❛♥✐❧❤❛ ❡❧❡trô♥✐❝❛ t❡♠✲s❡ ❛s s❡❣✉✐♥t❡s ♣♦ss✐❜✐❧✐❞❛❞❡s✳

(32)

Tabela 4.1

Fixando um triângulo na justaposição de três polígonos

Combinações

possíveis

para haver

o encaixe

}

x y Triângulo x y Triângulo

7 42 3 28 84/11 3

8 24 3 29 174/23 3

9 18 3 30 15/2 3

10 15 3 31 186/25 3

11 66/5 3 32 96/13 3

12 12 3 33 198/27 3

13 78/7 3 34 51/7 3

14 21 /2 3 35 210/29 3

15 10 3 36 108/15 3

16 48/5 3 37 222/31 3

17 102/11 3 38 57/8 3

18 9 3 39 234/33 3

19 114/13 3 40 120/17 3

20 60/7 3 41 246/35 3

21 126/15 3 42 7 3

22 33/4 3

23 138/17 3 7 42 3

24 8 3 8 24 3

25 150/19 3 9 18 3

26 39/5 3 10 15 3

27 162/21 3 12 12 3

❉❛ t❛❜❡❧❛ ✹✳✶✳ ♣❡r❝❡❜❡✲s❡ q✉❡ ❛s ❝♦♠❜✐♥❛çõ❡s s❡ r❡♣❡t❡♠ ❡ s❡rã♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛❞♦s ❛♣❡♥❛s ♦s r❡s✉❧t❛❞♦s q✉❡ ❝♦♠♣õ❡♠ ♦ ❡♥❝❛✐①❡ ❞❡ três ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ❛♣❡♥❛s ✉♠ ✈ért✐❝❡✳

◆❛ ♣ró①✐♠❛ s❡çã♦ ✈❡r❡♠♦s t♦❞❛s ❛s ♣♦ss✐❜✐❧✐❞❛❞❡s ❞❡ s❡ ❡♥❝❛✐①❛r três ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ♦♥❞❡ ✉♠ ❞❡❧❡s é ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦✳

✹✳✶✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❤❡♣tá❣♦♥♦✱ t❡tr❛❝♦♥t❛❦❛✐❞✐❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳

❖ ♣r✐♠❡✐r♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ♦ ❝❛s♦ ✼✲✹✷✲✸✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✼✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ❤❡♣tá❣♦♥♦✱ ♦ ✧✹✷✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ t❡tr❛❝♦♥t❛❦❛✐❞✐❣♦♥♦ ❡ ♦ ✧✸✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦✳

❉❡♣♦✐s ❞❡ t❡r ❡st❡s ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♥❝❛✐①❛❞♦s ❛ ♣❡r❣✉♥t❛ é s❡ ❡❧❡s ♣♦❞❡♠ s❡r ❡①♣❛♥❞✐❞♦s✱ ♦✉ s❡❥❛✱ ❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡ ♣❧❛♥❛ ❛ s❡r ❝♦❜❡rt❛ ❝♦♠ ❡st❡s ♣♦❧í❣♦♥♦s ♥ã♦ t❡♠ ❡s♣❛ç♦s ✈❛③✐♦s ❡♥tr❡ ❡❧❡s ♣♦✐s ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦s ♣♦❧í❣♦♥♦s q✉❡ s❡ ❡♥❝❛✐①❛♠ ❡♠ ✉♠ ✈ért✐❝❡ ❞❡✈❡rá s❡r s❡♠♣r❡ ✐❣✉❛❧ ❛360◦✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✶ t❡♠✲s❡ ♦ ❡♥❝♦♥tr♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛çã♦ ♥♦ ♣❧❛♥♦ ❞♦ r❡s✉❧t❛❞♦ ❡ ❛ t❡♥t❛t✐✈❛ ❞❡ s❡ ❡①♣❛♥❞✐r ❡st❡ ♠♦s❛✐❝♦ ♣♦r t♦❞❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡ ♣❧❛♥❛✳

(33)

Não existe um polígono regular com ângulo interno

inferior a 60° para encaixar

aqui neste vértice.

tetracontakaidigono

(42 lados)

heptágono (7 lados)

triângulo (3 lados)

Figura 4.1

Encaixando heptágono,tetracontakaidigono

e triângulo equilátero

V

P❡r❝❡❜❡✲s❡ q✉❡ ♣❛r❛ s❡ ❡①♣❛♥❞✐r ❡ss❛ ✜❣✉r❛ t❡r✐❛ q✉❡ ❡①✐st✐r ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❝♦♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ❞❡ (300/7)◦ P♦✐s ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞♦ ✈ért✐❝❡ ❱ ✱ ♣♦r ❡①❡♠♣❧♦✱ é

❝♦♠♣♦st❛ ♣♦r ❞♦✐s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞❡ ❤❡♣tá❣♦♥♦s ❡ ❞❡ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ é ❞❡(2220/7)◦✳

(34)

✹✳✶✳✷ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ♦❝tó❣♦♥♦✱ ✐❝♦s❛❦❛✐t❡tr❛❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳

❖ s❡❣✉♥❞♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ♦ ❝❛s♦ ✽✲✷✹✲✸✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✽✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ♦❝tó❣♦♥♦✱ ♦ ✧✷✹✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ✐❝♦s❛❦❛✐t❡tr❛❣♦♥♦♦ ❡ ♦ ✧✸✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✷ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡ ❛ t❡♥t❛t✐✈❛ ❢r✉str❛❞❛ ❞❡ s❡ ❡①♣❛♥❞✐r ❡st❡ ♠♦s❛✐❝♦✱ ♣♦✐s ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦s ♦❝tó❣♦♥♦ ❡ ❞♦ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦ ♥♦ ✈ért✐❝❡ ❱ é 330◦ ❡ t❡r✐❛ q✉❡ ❡①✐st✐r ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❝♦♠ â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ❞❡

30◦ ♣❛r❛ ❛ s♦♠❛ ❝❤❡❣❛r ❛₃₆₀◦ ❡ ❤❛✈❡r ♦ ❡♥❝❛✐①❡ ♣❡r❢❡✐t♦✳

Figura 4.2 Encaixando octógono, icosakaitetragono e triângulo equilátero

Não existe um polígono regular com ângulo interno

inferior a 60° para encaixar

aqui neste

vértice.

icosakaitetragono

(24 lados)

triângulo (3 lados)

octógono (8 lados) V

(35)

✹✳✶✳✸ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❡♥❡á❣♦♥♦✱ ♦❝t♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳

❖ t❡r❝❡✐r♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ♦ ❝❛s♦ ✾✲✶✽✲✸✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✾✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ❡♥❡á❣♦♥♦✱ ♦ ✧✶✽✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ♦❝t♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ ♦ ✧✸✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✸ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s✳❆ t❡♥t❛t✐✈❛ ❞❡ s❡ ❡①♣❛♥❞✐r ❡st❡ ♠♦s❛✐❝♦ ♥ã♦ é ♣♦ssí✈❡❧ ♣♦✐s ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦s ❡♥❡á❣♦♥♦s ❡ ❞♦✱ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦ ♥♦ ✈ért✐❝❡ ❱ é340◦ ❡ ♣❛r❛ ✐ss♦ ❞❡✈❡r✐❛ ❡①✐st✐r ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❝♦♠ ✉♠

â♥❣✉❧♦ ✐♥t❡r♥♦ ❞❡20◦✱ ♣❛r❛ ❛ s♦♠❛ ❝❤❡❣❛r ❛₃₆₀◦✱ ♦ q✉❡ t♦r♥❛ ❡ss❛ ❡①♣❛♥sã♦ ✐♠♣♦ssí✈❡❧✳

Figura 4.3 Encaixando eneágono, octodecágono e triângulo equilátero Não existe um polígono regular com ângulo interno

inferior a 60° para encaixar

aqui neste vértice.

octodecágono

(18 lados)

triângulo

(3 lados) eneágono

(9 lados) V

(36)

✹✳✶✳✹ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❞❡❝á❣♦♥♦✱ ♣❡♥t❛❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦✳

❖ q✉❛rt♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ♦ ❝❛s♦ ✶✵✲✶✺✲✸✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✶✵✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ❞❡❝á❣♦♥♦✱ ♦ ✧✶✺✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ♣❡♥t❛❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ ♦ ✧✸✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✹ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞♦ ✈ért✐❝❡ ❱ ❡ ♠❛✐s ✉♠❛ ✈❡③ ♥ã♦ s❡ ❝♦♥s❡❣✉❡ ❛ s♦♠❛ ❡①❛t❛ ❞❡360◦ ♣❛r❛ ♦ ❡♥❝❛✐①❡ s❡r ♣❡r❢❡✐t♦✳

❆ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦s ❞❡❝á❣♦♥♦s ❡ ❞♦ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦ ♥♦ ✈ért✐❝❡ ❱ é

348◦ ❡ ♥ã♦ é ♣♦ssí✈❡❧ ❝♦♥str✉✐r ✉♠ ♣♦❧í❣♦♥♦ ❝♦♠₁₂◦ ♣❛r❛ q✉❡ ❡ss❡ ❡♥❝❛✐①❡ s❡❥❛ ♣❡r❢❡✐t♦✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✹ é ♣♦ssí✈❡❧ t❛♠❜é♠ ♣❡r❝❡❜❡r q✉❡ ✉♠ ♦✐t❛✈♦ ♣❡♥t❛❞❡❝á❣♦♥♦ ♥ã♦ s❡ ❡♥❝❛✐①❛r✐❛ ♥♦ ❡s♣❛ç♦ q✉❡ s♦❜r♦✉✳

Figura 4.4 Encaixando decágono, pentadecágono e triângulo equilátero

Impossível encaixar um polígono regular com ângulos internos diferentes (absurdo)

decágono

(10 lados)

Não existe um polígono

regular com ângulo interno inferior a 60° para encaixar neste vértice V.

(37)

✹✳✶✳✺ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦✱ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧á✲

t❡r♦✳

❖ q✉✐♥t♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ✶✷✲✶✷✲✸✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✶✷✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦s ❡ ♦ ✸✧r❡✲ ♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡q✉✐❧át❡r♦✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✺ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡ ❛ ♣❡r❢❡✐t❛ ❡①♣❛♥sã♦ ♥❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡✳

❆ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦✱ ❞♦ tr✐â♥❣✉❧♦ ❡ ❞♦ ♦✉tr♦ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦ é ❡①❛t❛♠❡♥t❡360◦ ❡ ❝♦♠ ✐ss♦ ♥ã♦ s♦❜r❛rã♦ ❡s♣❛ç♦s ✈❛③✐♦s ♥❛ s♦❜r❡♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s ♣♦❧í✲

❣♦♥♦s✳

Figura 4.5 Encaixando dodecágono, dodecágono e triângulo equilátero triângulo equilátero

(3 lados)

Dodecágono

(12 lados) dodecágono

(12 lados)

dodecágono (12 lados)

(38)

❖❜s❡r✈❛✲s❡ q✉❡ é ♣♦ssí✈❡❧ ❡①♣❛♥❞✐r ❡st❡ ♠♦s❛✐❝♦ ♣♦✐s ❡♠ ❝❛❞❛ ✈ért✐❝❡ ❞❡ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞♦s ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s é ♣♦ssí✈❡❧ ♦❜t❡r ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s s❡♥❞♦360◦✳

✹✳✷ ❯t✐❧✐③❛♥❞♦ três ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡

✉♠ ✈ért✐❝❡ ✜①❛♥❞♦ ✉♠ q✉❛❞r❛❞♦✳

❉❡♣♦✐s ❞❡ t❡r ✜①❛❞♦ ♦ tr✐â♥❣✉❧♦ ❛❣♦r❛ é ❛ ✈❡③ ❞❡ ✜①❛r ♦ q✉❛❞r❛❞♦ ❡ ❛♥❛❧✐s❛r ❛s ♣♦ss✐✲ ❜✐❧✐❞❛❞❡s ❞❡ ❡♥❝❛✐①❡ ❞❡ três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♠ t♦r♥♦ ❞❡ ✉♠ ✈ért✐❝❡ s❡♥❞♦ q✉❡ ✉♠ ❞❡❧❡s é ♦ q✉❛❞r❛❞♦✱ ♦✉ s❡❥❛90◦ t❡r❡♠♦s ❡♥tã♦✿

180(x−2)

x +

180(y−2)

y + 90 = 360 180(x−2)

x +

180(y−2)

y = 270 xy−4y= 4x

y(x−4) = 4x y= 4x

x−4

◆❛ ❡q✉❛çã♦ ❛♥t❡r✐♦r✱ x ❡ y sã♦ ❛s q✉❛♥t✐❞❛❞❡s ❞❡ ❧❛❞♦s ❞❡ ❝❛❞❛ ♣♦❧í❣♦♥♦✳ ❆ss✐♠ sã♦

♥ú♠❡r♦s ✐♥t❡✐r♦s ❡ ♣♦s✐t✐✈♦s ❡ ♣♦rt❛♥t♦y ❞❡✈❡rá s❡r ♠❛✐♦r ♦✉ ✐❣✉❛❧ ❛ 5 ❡ x ♠❛✐♦r q✉❡ 4✳

4x x−4 ≥5 4x≤5(x−4)

x≤20

P♦rt❛♥t♦

4< x≤5

❆♥❛❧✐s❛♥❞♦ ❡st❡s ✈❛❧♦r❡s ♥❛ t❛❜❡❧❛ ✹✳✷ t❡♠✲s❡ ❛s s❡❣✉✐♥t❡s ♣♦ss✐❜✐❧✐❞❛❞❡s✳

(39)

Tabela 4.2

Fixando um quadrado na justaposição de três polígonos

Combinações possíveis

para haver o encaixe

}

x y Quadrado

5 20 4

6 12 4

7 28/3 4

8 8 4

9 36/5 4

10 20/3 4 11 44/7 4

12 6 4

13 52/9 4 14 28/5 4 15 60/11 4 16 16/3 4 17 68/13 4 18 36/7 4 19 76/15 4

20 5 4

5 20 4

6 12 4

8 8 4

◆❛ ❚❛❜❡❧❛ ✹✳✷ ✈ê✲s❡ t♦❞❛s ❛s ♣♦ss✐❜✐❧✐❞❛❞❡s ❞❡ s❡ ❡♥❝❛✐①❛r três ♣♦❧í❣♦♥♦s r❡❣✉❧❛r❡s ✜①❛♥❞♦ ✉♠ q✉❛❞r❛❞♦✳

✹✳✷✳✶ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ♣❡♥tá❣♦♥♦✱ ✐❝♦sá❣♦♥♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦✳

❖ s❡①t♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ♦ ❝❛s♦ ✺✲✷✵✲✹✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✺✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ♣❡♥tá❣♦♥♦✱ ♦ ✧✷✵✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ✐❝♦sá❣♦♥♦ ❡ ♦ ✧✹✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ q✉❛❞r❛❞♦✳

❉❡♣♦✐s ❞❡ t❡r ❡st❡s ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♥❝❛✐①❛❞♦s ❛ ♣❡r❣✉♥t❛ é s❡ ❡❧❡s ♣♦❞❡♠ s❡r ❡①♣❛♥❞✐❞♦s✳ ◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✻ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡ ❛ t❡♥t❛t✐✈❛ ❞❡ s❡ ❡①♣❛♥❞✐r ❡st❡ ♠♦s❛✐❝♦✳

❆ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦ q✉❛❞r❛❞♦✱ ❞♦ ♣❡♥tá❣♦♥♦ ❡ ❞♦ ♦✉tr♦ q✉❛❞r❛❞♦ é

288◦ ❡ ❢❛❧t❛r✐❛₇₂◦ ♣❛r❛ q✉❡ ❛ s♦♠❛ ❝❤❡❣❛ss❡ ❛ ₃₆₀◦ ❡ ❤♦✉✈❡ss❡ ♦ ❡♥❝❛✐①❡ ♣❡r❢❡✐t♦✳

(40)

Figura 4.6

Encaixando pentágono, icoságono e quadrado

quadrado (4 lados)

pentágono

(5 lados)

Não é possível expandir essa construção pois

seria necessário um polígono

não regular para

encaixar

aqui

icoságono

(20 lados)

✹✳✷✳✷ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ❤❡①á❣♦♥♦✱ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦✳

❖ sét✐♠♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ♦ ❝❛s♦ ✻✲✶✷✲✹✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✻✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ❤❡①á❣♦♥♦✱ ♦ ✧✶✷✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦ ❡ ♦ ✧✹✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ q✉❛❞r❛❞♦✳

◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✼ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡ ❛ ❡①♣❛♥sã♦ ❞❛s ✜❣✉r❛s ♥✉♠❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡✳

❆ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦ ❞♦❞❡❝á❣♦♥♦✱ ❞♦ ❤❡①á❣♦♥♦ ❡ ❞♦ q✉❛❞r❛❞♦ é 360◦ ❡

(41)

s❡rá ♣♦ssí✈❡❧ ❝♦❜r✐r t♦❞❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡ ♣❧❛♥❛ ❝♦♠ ❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s✳

Figura 4.7

Encaixando hexágono, dodecágono e quadrado Hexágono

(6 lados) Quadrado

(4 lados) dodecágono

(12 lados)

✹✳✷✳✸ ❊♥❝❛✐①❛♥❞♦ ♦❝tó❣♦♥♦✱ ♦❝tó❣♦♥♦ ❡ q✉❛❞r❛❞♦✳

❖ ♦✐t❛✈♦ ❝❛s♦ ❛ s❡r ❛♥❛❧✐s❛❞♦ é ♦ ❝❛s♦ ✽✲✽✲✹✱ ♦♥❞❡ ♦ ✧✽✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ ♦❝tó❣♦♥♦✱ ♦ ✧✽✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ♦✉tr♦ ♦❝tó❣♦♥♦ ❡ ♦ ✧✹✧r❡♣r❡s❡♥t❛ ✉♠ q✉❛❞r❛❞♦✳

(42)

❉❡♣♦✐s ❞❡ t❡r ❡st❡s ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡♥❝❛✐①❛❞♦s ❛ ♣❡r❣✉♥t❛ é s❡ ❡❧❡s ♣♦❞❡♠ s❡r ❡①♣❛♥❞✐❞♦s✳ ◆❛ ✜❣✉r❛ ✹✳✽ t❡♠✲s❡ ❛ ❥✉st❛♣♦s✐çã♦ ❞❡st❡s três ♣♦❧í❣♦♥♦s ❡ ❛ ❡①♣❛♥sã♦ ❞❛s ✜❣✉r❛s ♥❛ s✉♣❡r❢í❝✐❡✱ ♣♦✐s ❛ s♦♠❛ ❞♦s â♥❣✉❧♦s ✐♥t❡r♥♦s ❞♦s ♣♦❧í❣♦♥♦s ✉t✐❧✐③❛❞♦s s❡rá s❡♠♣r❡