Curso de matematica para economistas - Capitulo IV : otimização estatica

ISSN 0104-8910

CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS-CAPÍTULO IV: OTIMIZAÇÃO ESTÁTICA

Rubens Penha Cysne

Humberto de Athay{le Moreira

Curso de Matemática para Economistas Capítulo IV

Otimizaçio Estática

Rubens Penha Cysne Humberto de Athayde Moreira

Julho de 1996

Endereço para Contato:

Escola de Pós Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas

Praia de Botafogo 190, 110. andar, Sala 1124 Rio de Janeiro -

RJ -

Brasil

Telefone: 55-21-552-5099 Fax: 55-21-536-9409

e-mail:

,

PREFACIO

Os autores objetivam, com este trabalho preliminar, bem como com aqueles que lhe darão continuidade, na sequência de composição de um livro de matemática para economistas, registrar as suas experiências ao longo dos últimos anos ministrando cadeiras de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getulio Vargas, da UFF (Universidade Federal Fluminense) e da PUC-RJ.

Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem. É neste sentido que os autores esperam, com a sequência didática que aqui se inicia, trazer alguma contribuição para o assunto.

CAPÍTUWIV

..

-

,

OTIMlZAÇAO ESTATICA

1.

Otimização sem restrições

Dada

I:

D ~

9t,

De

9t",

diz-se que f apresenta um máximo local no ponto

.lo E D quando existe E> O tal que para todo x e D e Ix - xol < e , f (xo) ~ f (x). Se para

todo .I E D (e não apenas para aqueles pontos na vizinhança de xo) tem-se /(.10) ~ /(.1) então

diz-se que o ponto Xo é ponto de máximo global.

M4ximo local estrito é um máximo local no qual se substitui a desigualdade ~ pela

desigualdade estrita >, ou seja, .lo é máximo local estrito se existe E> O tal que para todo x

com x e D, e O

<

Ix - Xo

I

<

_{e tem-se f (xo)} > f (x). Da mesma forma, máximo global estrito é um máximo global que vale a desigualdade estrita > no lugar da não estrita ~, ou seja, Xo é dito máximo global estrito se para todo x e D,x:# Xo ' f(xo)

_.

>

f(x) .

É claro que todo máximo global é máximo local, que todo máximo estrito é um máximo e que as definições acima estendem-se naturalmente aos mínimos, bastando para isto trocar o sentido das desigualdades. No gráfico a seguir, o ponto Xo representa um máximo local estrito (porém não global); Xl um mínimo global não estrito e x₂ um máximo global estrito.

Um ponto importante a lembrar é que se x * maximiza. f (x), então x * também maximiza. a+b f(x) quando b>O, e minimiza a + b f (x) quando b<:O. Isto posto, qualquer problema de minimização pode ser considerado como um problema de maximização.

Minimizar f(x) é o mesmo que maximizar (-I) (x), definida como -f(x) para todo x no domínio de f. De falO, se .1* resolve o problema de mínimo dej(x) então I(x*) S I(x) para todo x, ou seja, x * maximiza (-I) (x). Esta observação nos permitirá, ao longo de todo este capítulo, tratar apenas do problema de maximização.

Passemos agora aos teoremas principais da otimização sem restrição.

Teorema 1.1. Dado /:D~ 'J{ diferenciável em a e int D, De

9t

D• Se a é um ponto de

Demonstracão: Seja h e 9tD. Como a e int D é um ponto de máximo locaI. para a e 9t suficientemente pequeno temos que f(a+ah) ~ f(a). Portanto

f(a +ah) - f(a)

--.;...---:..-~ ~ O

a

e

f(a+ah)-f(a) ~O

a

se

a>O

se a<O

Passando ao limite quando

a

~ O e usando a düerenciabilidade de f em a temos que

(grad f(a), h) = O

Como h e 9tD é arbitrário temos que grad f (a) =O.

Evidentemente, a condição acima não é suficiente. Considere por exemplo f:9t ~ 9t tal que f (x) = x3• Temos que O é um ponto crítico de f, ou seja, é um ponto no qual o seu

gradiente (aqui igual à sua derivada) se anula, mas não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo. O ponto O é conhecido como ponto de inflexão. Inspirados neste exemplo, vamos provar um teorema mais específico em dimensão 1:

Teorema 1.2. Seja f:1 ~ 9t n vezes diferenciável em a e I, intervalo aberto de 9t, com f(il (x) = O para 1 ~ i < n e

I

(li) (a):I: O. Se n é par então f possui um mínimo local estrito no ponto a caso f(D) (a) > O e um máximo local estrito caso f(D) (a)

<

O. Se n é ímpar, então a não é ponto nem de mínimo nem de máximo local.

Demons~ão: Pela fórmula de Taylor de ordem n podemos escrever:

f(a+h)=f(a)+.!. f(D)(a).hD+r(h), V'a+heJcl,J intervalo aberto contendo

a,

tal n!

. f(a+h)-f(a) f(D)(a) r(h)

que (*)lim r(h)/hD =0. Logo para h:l:O com a+heJ, = +

-h-+O hD n! hD •

Como l(lI)(a):I: O, 3 J'c J aberto contendo a tal que _r_ < V'a+h eJ' (devido

I

h(h) D

I

If(D) (a)1

n!

a (*». Suponhamos que n é par. Então o sinal de f(a+h)-f(a) será o sinal de 1(11) (a) r(h)

-=---'-~+-lI- em J'. Portanto, se f(D)(a) > O então f(a+ h) -f(a) > O e f(a+ h)-f(a) < O

n!

h

quando 1(11) (a) < O, V' a + h e J'. Se n for ímpar o sinal de f (a + h) - f(a) em J' dependerá do sinal de h, provando-se assim o aftrmado .•

Teorema 1.3. Seja f:D ~ 9t, De 9tD

aberto, uma função de classe C2 e a e D um ponto crítico de f. Se a forma hessiana de f no ponto a, H(f,a) for:

a) negativa defInida, então a é um ponto de máximo local estrito de f. b) positiva definida, então a é um ponto de mínimo local estrito de f.

c) indefinida, então a não é ponto de máximo local nem ponto de mínimo local de f.

Demons~ão: a) Como f e C2, suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas.

Conseqüentemente, se a forma hessiana H é negativa definida no ponto

a,

ela também é negativa definida em B(a, r) para algum DO. Seja h tal que a+ h e B (a,r). Expandindo f na fórmula do resto de Lagrange (ver capítulo 3) temos para algum a e (0,1),

f(a+ h) = f(a) + (grad f(a),h)+

~

h'H(f ,a+ah)h.

Como a+aheB(a,r) segue que

~h'H(f,a+ah)h<O.

Sendo a um ponto crítico de f,

grad f(a) = O. Conclui-se daí que f(a+h) < f(a), ou seja, que a é um ponto de máximo local estrito de f.

b) É análogo ao item (a).

c) Pela fórmula de Taylor de ordem 2 temos:

h' H(j ,a)h r(h)

j(a

+

h) - j(a)

=

2

+

r(h) e

~

1Ih~2

=

°

. h' h r(h)

Observe que o smal de f(a

+

h) -f(a) é o mesmo de

1Ih~

H(j ,a)

1Ih~

+

1h1

_{2 '} Dado

ô

> 0,

. ( ) . h; ( ) h \

h;

( ) h 2 .

eXlStem

~,hz

e B 0,6 taIs que

~II

H j ,a

~II

>

°

e

Ilhzl

H j ,a

1h21

< 0, VISto que

H(J

,a)

é indefinida. Como lim

~~;

=

°

podemos escolher h\ e h₂ suficientemente

h~O 11"11

pequeno tais que j(a + ~)

>

j(a) e j(a +

hz)

< j(a). Logo a não é ponto nem de mínimo nem de máximo local . •

Exemplo 1: Seja f:9t2

~9t,f(xl'x2)=x~+x;.

Temos

:~\

=2x\ e

:~

=2x2 donde se

conclui que o único ponto crítico de f ocorre em (0,0). A matriz hessiana de f é dada por

Temos

!

= x2 e : : = Xl' donde se conclui que o único ponto crítico de f ocorre no ponto

I 2

(XI ,X,) =(0,0). Neste ponto, temos a matriz hessiana: H =

[~ ~J.

que é indefinida Conclui-se pelo teorema 2.3 que o ponto (0,0) não é ponto nem de máximo nem de mínimo def.

.

~

Exemplo 3: Seja f:9t2 -+9t, f(xl'x2 ) =-3x: -x; +5xI x2 -7x2 • Temos

ih

=-6xI +5x2 ;

I

Os pontos críticos de f devem ser achados resolvendo-se o sistema: {

-6X_I +5X2 = O

5xI -2x2 = 7

donde se obtém a solução (xl'x2 ) = (35/13, 42113). A hessiana de f em todo ponto é dada

por [-56 _

~

J.

que é indefinida. Segue que o ponto crítico (35/13, 42/ 13) não é ponto nem de máximo nem de mínimo.

Teorema IA. (Máximo Local - Máximo Global) Seja

f

(x) uma função real côncava, definida no subconjunto convexo não vazio D do 9tD

• Se Xo e D é um ponto de máximo local de f,

então Xo é um ponto de máximo global de f.

Demonstra~ão: Se Xo é um ponto de máximo local de D, existe t > O tal que para

Ilx-xoll<

t com x e D tem-se f(xo)"~ f(x). Seja então _{y =Xo +h} um ponto qualquer de D.

Precisamos mostrar que _{f (xo)} ~ f (y). Se h = O, Y = Xo e tem-se trivialmente _{f (xo)} ~ f (y). Caso contrário (h;tO), seja z=(l-a}xo+ay, sendo ae(O,l}. Como

y=xo+h,z=xo+ah. Pela concavidade da função, f(xo+ah}~(l-a}f(xo}+af(y),

ou seja, _{f(x o} +a _{h} - f(x o}} ~ a _{(f(y) - f(xo}

»'

Tomando-se a;t O, tal que

Ilnhll <

t, segue que O~ _{f(x o +ah} - f(xo}} ~ _{a(f(y} - f(x o}

»'

o que implica _f(xo) ~ f(y} . •

o

teorema anterior nos permite, no caso em que as funções analisadas são côncavas ou convexas, passar dos máximos e mínimos locais para os máximos e mínimos globais (que são os que costumam realmente interessar em economia). Podemos agora reafirmar, relativamente ao primeiro exemplo apresentado nesta seção, que o ponto (O,O) correspondc a um mínimo global da função definida no 9t2, f (XI' x_{2 )} = x; + x;. De fato, (O,O) é um ponto de mínimo local e, além disso, a função f (XI' x_{2 )} = x~ + x; é convexa.

Exemplo: Vamos voltar ao exemplo do modelo com incerteza apresentado no capítulo 3.

Seja R a riqueza de um indivíduo avesso ao risco (ie., este indivíduo possui uma função utilidade u de classe C2, estritamente crescente, estritamente côncava em ~+) que

pode ser investida em mloteria arriscada ~ = r + ~ (E ~ = r) ou retida. Seja "a" o montante da riqueza investida. A riqueza do indivíduo é dada por:

x = (R-a)+a(l+r+E) = R+a(F+E)

-

-A proporção ótima investida é determinada por: Max Eu(x)

os 11 sR

-que tem como condição de primeira ordem (supondo um ótimo interior e usando os teoremas l.1 e l.4 deste capítulo):

d

d($

- )

$

-da E

u(.~)

=

da

~Piu(R+a(r+eJ)=

~Pi(r+eJu'(R+a(r

+eJ)

=

E[~u'(R+a~)]

=

O

Não é difícil ver que pelo teorema da função implícita a equação E[r u'(R+ar)] =0

-

-determina a em função de R de forma continuamente diferenciável1 (localmente2). Além disso da -Er u"

-=-~-dR Er2 u"

o

sinal desta última expressão depende de E r u". Suponha que a medida de aversão absoluta ao risco r. não cresça com a riqueza (o que é razoável economicamente). Para todo valor r de r tal que 7>0 temos r. (R) ~ r. (R + ar) isto é, u" (R + ar) ~ -r. (R)u'(R + ar) ou r u"(R+ar) ~-ra(R)r u'(R+ar).

Para todo valor r de r tal que r<O, u"(R+ar)~-r.(R)u'(R+ar) ou r u" (R + ar) ~ -r. (R)r u' (R + ar). A desigualdade acima ocorre para todo r, da qual segue-se que Er

u"~

-ra (R)Er U'= O pela condição de primeira ordem. Portanto da

~

O.

- - dR

Assim se a aversão absoluta ao risco não é crescente com a riqueza temos que a proporção investida na loteria arriscada cresce com o nível de riqueza. . Teorema l.5. Seja De 9t" um conjunto convexo não vazio,f:D ~ 9t uma função côncava e diferenciável em Xo E int (D). Então, para que f passe por um máximo global em Xo é necessário e suficiente que grad

f

_(xo)

=

O.

1 Observe que u é de classe C2 e u" < O.

Demonstracão: Pelo teorema 1.1, a condição é necessária. Reciprocamente, seja x e D, então

x = Xo + h, h e 9{". Seja

a

e (0,1), então (1-0.) Xo +

a

x = Xo +

a

h, e pela concavidade de f

temos que (l-a)f(xo)+aj(x)Sf(xo+ah), ou seja,

f(xo +ah)- f(xo ) ~ a(f(x) - f(xo

».

Como df (x_o) = lim f (xo + uh) - f (xo ) e quando f é diferenciável temos que

dh a-+O a

~

_{(xo) =(grad f(xo),h), f(x)-f(xo) S} lim f(xo+ah)-f(x o) =0, visto que

~ a~

a

grad f(x o) = O. Logo f(x) S _f(xo)' "i/xe D. Portanto Xo é um ponto de máximo global .• Este teorema mostra que a condição de primeira ordem é necessária e suficiente para o ótimo de um problema de otimização côncava sem restrições.

Vamos enunciar e demonstrar agora o teorema do envelope: embora de aparência simples, o teorema do envelope é um instrumento útil para certas aplicações.

Teorema 1.6. Seja f:UxV --+9t diferenciável, Uc9tD

, Vc9t

m

abertos. Suponhamos que para cada a e V exista uma única solução de max f(x,a) de tal forma que x*:V--+9tD

xeU

represente esta função, suposta diferenciável. Então se g: V --+9t é a função valor ótimo do problema acima, i.e., g(a) = f(x*(a),a) tem-se que g é diferenciável e

dg

df(.

)"

~. (a) = ~. x (a),a , 1= l, ... ,n.

I I

Demonstração: Observe que como x*(a) é o ótimo do problema max f(x,a) devemos ter

xeU

pelo teorema 1.1 que

df

(x*(a),a) = 0, "i/j=l, ... ,n. Pelo teorema da regra da cadeia tem-se

dx

j

dg

i-

df * dX

~

ar

*

que g é diferenciável e, para i = 1,2, ... ,m, -(a) = L - ( x (a),a) ~ (a)+;- (x (a),a) da. I F . I dx. J ua· I ua· I

*

• .

dg

ar

*

sendo x = (XI , ... ,x,,). Logo ;-(a) = ; - (x (a),a) .• ua· I ua· I

Observação: No teorema acima x· não precisa ser diferenciável necessariamente, por exemplo, se x· for Lipschitziana ainda vale o resultado (fica como exercício a demonstração deste fato).

Exercícios resolvidos - Seção 1

1) O resultado abaixo é muito útil quando a função f não é diferenciável no ponto de máximo (ou mínimo). Veja a figura a seguir. Seja f:/ ~

9t,/

c

9t

intervalo, contínua e derivável em I-{a}, a e I. Se f'(x) > 0, 'v'x < a e f'(x) < 0, 'v'x > a então a é um ponto de máximo global estrito.

~

,

_,

Solução: Precisamos do seguinte:

Teorema do Valor Médio: Se f: [a,b] ~9t é contínua e derivável em (a,b) então existe

ce(a,b) tal que f'(c)=f(b)-f(a). b-a

Demonstração: Seja g:[a,b]

~

9t tal que g(x)

=

f(x)- (f(b)- f(a» (x-a). Então g é

b-a

contínua em [a, b] , derivável em (a, b) e g (a) = g (b) = f (a). Se g for constante, o resultado é trivial, já que g'(x)=O, 'v'xe(a,b), neste caso. Caso contrário existe Xo e(a,b) tal que

g(xo)

*

g(a) = g(b). Suponhamos que _g(xo) > g(a). Pelo teorema de Weierstrass (da existência de um máximo no domínio de uma função contínua definida num conjunto compacto) existe ce(a,b) tal que g(c)~g(x), 'v'xe[a,b]. Pelo teorema 1.1 deste

. , f(b)-f(a) capítulo devemos ter g' (c)= O, ou seja, f (c) = .•

b-a

Passaremos agora à demonstração do exercício: seja b e I, b

*

a. Se b>a, então pelo teorema do valor médio existe ce (a,b) tal que f'(c) = f(b)- f(a) e como f'(c)<O (visto que

b-a

c> a) temos que

f

(a) >

f

(b). Se b

<

a então, de forma análoga, podemos mostrar que

2) Considere uma fmna cujo preço de demanda p pelo produto y é dado por:

{

250- y, se y S 50

p=

400-4y, se y

>

50

o

custo da firma é dado por C (y) =

X

l.

Obtenha a produção de lucro máximo e justifique sua resposta.

Solução: A função receita é dada por

e portanto a função de lucro é

{

250_Y- y2, se y S50

R(y) =

400y _4y2, se y > 50

{

-%

y2

+

250y, se y S 50

n(y) = R(y) - C(y) = -9/ 2 +400 50 72 Y y, se Y >

Assim devemos resolver: max n(y)

yE 91

É fácil ver que 7t é diferenciável para todo y, exceto para y= 50. Derivando 7t para y ~ 50 vem que

{

- 3 y

+

250, se y S 50

n'(y) = -9y +400, se y > 50

{

>O, sey <50 Assim, n'(y) O 50·

< ,sey>

Com isto e do fato de 7t ser contínua, tem-se pelo exercício anterior que y

=

50 é a produção de lucro máximo.

3) Determine os pontos de máximo e de mínimo das seguintes funções e em cada caso diga. se são globais, locais, estritos ou não estritos:

ti) f(x,y)=x3

l

(l-x-y) defmidaem 9t~

Solução:

i) Como D é aberto, se (x, y) e D for um ponto de máximo (ou mínimo) local então

di

di

dx

(x,y) = dy (x,y) = O. Para simplificar a notação, vamos denotar

E = E(x,y) = l-x2 - y2, "í/(x,y) e D. Assim devemos procurar (x,y) e D, tal que:

di

_1/

dx (x,y) = y

+

x E 72 = O (I)

~

(x,y)

=

x+ Y

E-~

=

O (ll)

Observe em primeiro lugar que (0,0) satisfaz estas equações. Este é o único ponto crítico. Com efeito, multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y e subtraindo a primeira da segunda vem: (x2

-l)

E-ill = O com (x, y) e D e, portanto, x = y ou x = -y (pois E

>

O em D). Se x = y, tomando a primeira equação e substituindo este resultado, em (I) tem-se

x(l

+

E-1I2 ) = O ~ x = y = O (pois I

+

E-in> O). De forma análoga vemos que x = -y ~

x = y = O visto que 1_E-in < O e isto prova o que foi afIrmado.

Vamos estabelecer agora as condições de segunda ordem (no que se segue vamos omitir (x,y»:

1 I

Portanto H(i ,(0,0» = que é singular, logo não podemos afirmar nada a priori. O que I I

fazer então? Este problema pode ser resolvido de duas formas diferentes:

1° método: Como H(f, (x, y» é positiva semi-definida para todo (x,y)e D, concluiremos quei é convexa em D. Por ser (0,0) o único ponto crítico de

i

no aberto D, ele deve ser um ponto de mínimo global estrito (veja o teorema 1.4 e observe que -f é côncava; a unicidade "do mínimo é garantida pela unicidade do ponto crítico).

[

E-In

+

X2 E-312 1

+

xy E-312 ]

H (!,(x,y» = l+xy E-3/2 E-In + y2 E-312

_e

Hu (

!,

(x, y» = E-lI2

₊

x2 E-312 > O, 'ti (x, y) e D

detH(f ,(x,y» = E-I +(x2

₊

_l)E-2 _+x2_{l E-}3 _-1-x2_lE-3 _-2xyE-X

= E-I -1 + (x2 + y2) E-2 - 2xy E-312 _.Como

1-E = x2 + y2 temos que E-I -1 = E-I(x2 + y2)

>

O, 'ti (x,y) e D- {(O,O)} , pois E

>

O emD.

Basta agora verificar que (x2 +

l)

E-2

- 2 xy E-X ~ O, isto é, (multiplicando por

EX) (x2 +y2) E-X -2xy ~ O Mas

E= l-x2 _y2 S l~ E-I ~ l~ E-X ~ I ~ (x2 +y2) E-X -2 xy~ x2 +y2 -2 xy =(X_y)2 ~O. Portanto det H(f, (x,y» > O, 'tI(x, y) e D - {(O, O)} , como queríamos demonstrar. 2° método: É fácil ver que

_x2y2 S (X+y)2, 'ti x,y e 9t ~ _x2y2 S x2 +y2 +2 xy => l-x2 _y2 S x2y2 +2xy+ I = (xy+ 1)2 Se (x, y) e D, ou seja, 1- x2 - y2 > O. Tem-se que l - l > x2 então Ixl<l e da mesma forma Iyl<l. Logo Ixyl<l, donde xy+l>O. Portanto

(1-x2 _y2rll2 S x y + 1

~

-1 S xy - (1-x2

- y2 f/2 , 'tI(x,y)eD. Segue-se daí que

f(0,0)=-ISxy-(l-x 2 _ y2)X =f(x,y), 'tI(x,y)eD, ou seja, (0,0) é um ponto mínimo global e é estrito porque (0,0) é o único ponto crítico.

ü) Como 9t~ é aberto, os pontos críticos são os candidatos a pontos de máximo ou mínimo local. Seja (x,y) e 9t!+ tal que

Como x

*

Oe y

*

O, então

: (x,y) = 3x2

l(l-

x- y)_x3y2 = O

{

3(1-x - y) - x = O ~ 2x = 3y

2(I-x-y)-y =0

~ 3-3x-2x-x=0~ x= Yz~ y=.K

Portanto

(Yz

,J{) é o uruco ponto crítico de

!

em 9t~ . Seja

K = {(x,y) e 9t!;x+ y S I}, sabemos que K é compacto. Tomemos

j:

9t!

~

9t

tal que

j

(X,y) =X3y 2(1_X-y)

(j

é a extensão defpara 9t!) que é contínua e portanto contínua quando restrita ao compacto K, e pelo teorema de Weierstrass,

j

I K assume um máximo e

um mínimo. Como

~fr(K)

=

°

onde

fr(K) = {(x,y) e K;x =

°

ou y =

°

ou x+ Y = I}, fi int K >

°

(onde int K == Klfr(K» e (1/2, 1/3) e int K, devemos ter (1/2, 1/3) como ponto de máximo para

j

I

K, pois (1/2, 1/3) é o único ponto crítico de

f

I int K e sabemos que o ponto de máximo está em int K ou fr(K), mas !lfr(K) = O. Além disso,

~(9t!

-

K) S 0, ou seja, (1/2, 1/3) é ponto de máximo global para

f

e é estrito devido a unicidade do ponto crítico em int K. Portanto (1/2, 1/3) é ponto de máximo global estrito paraf, visto que

f

=

jl9t~.

ili) Novamente devemos estabelecer as condições de primeira ordem:

àf ( z 4) ( Z 4) _=e-X

-Y -2x(x+2y)e-x-y =0

dX

( Z 4) {1-2X(X+2 Y)=0

Como

e-z

-y

*0, 2-4l(x+2y)=0

Isto implica que x *

°

e y * O.

(1)

(2)

1

Logo de (1) e (2) temos 2x = 42

y3 ~ X = y3 (*). Substituindo este resultado em (1)

vem que 2 l + 4 y4 -1 = O.

Portanto para determinar os pontos críticos desta função devemos resolver uma equação polinomial de grau 6. Evidentemente não iremos fazer isto, mas mostraremos que existe tal solução e determinaremos o intervalo no qual ela está. Para isto, façamos z =

l,

assim a equação acima fica 2Z3 + 4Z2 -1 = O. Seja p: 9t

-+

9t tal que p(z) = 2Z3 + 4Z2 -1,

vamos determinar os pontos críticos desta função:

p'(z) = 6z2 +8z= O<=> z = Oou z= ~

e p"(z) = 12 z+8 logo p" (O) >

°

e p" (-4/3)<.0. Então

°

é um ponto de mínimo local e -4/3 é ponto de máximo local (veja teorema 1.2). Observe que p (-4/3) >O, p(O)

<

°

e p (1) > 0, portanto pelo teorema do valor intermediário, existe uma única raiz positiva lo e (0,1) de

p (z) e duas raízes negativas. Sejam Yl =.Jz;, e Y2 =

-.Jz;,.

Por (*) temos que Pl = (XI' YI) e P2 = _{(x2' Y2)} são os pontos críticos de f, onde Xi = Y; ,i = 1,2, logo P2 = -PI·

Observe que f(-x,-y) = -f(x,y), 'r:I(x,y) e 9t2, assim basta provar que (XpYI) é um

~(_,,2_y'> (x + 2Y)1 S; e-,,2-y' Ixl+ 2e-,,2-y' /_y/ S; e-,,2 IxI+_{2/y/ e-}Y'

com lim Ixl e _,..2 = O e lim Iyl e -y' = O (*)

Ixr.-;;.

IYl--segue-se que lim

f

(X, y) = O. Portanto existe r > O, tal que

1(%,,>1--If(x,y)1 < f(Xl'YI)' 'v'(x,y) ~ B(O,r) = {(x,y) E 9t2; x2 + y2 < r2} (observe que

f(Xl'YI) > O). Por outro lado f é contÚlua na bola B = B[O,r] = {(x,y) E 9t2 ; x2 + y2 S; r 2}

compacta, e pelo teorema de Weierstrass f assume um máximo em B, além disso (Xl' YI) E B.

Portanto (Xl' YI) deve ser este ponto por ser o único ponto crítico de

f

em B (O, r) no qual

f

assume um valor positivo. Por nosso raciocínio vê-se claramente que (Xl'YI) é um ponto de máximo global estrito.

(iv) Os pontos críticos de f devem satisfazer a seguinte equação f'(x) = 12x2 + IOx = O, ou seja, XI = O

e

X2 = -5/6 são os únicos pontos críticos de f. Como f" (x) = 24x +

10

tem-se que f"(O)=l0>0 e

f"{-5/6)

=

-10<0.

Logo O é um ponto de mínimo local estrito e

-5/6

é um ponto de máximo local estrito. Ambos não são globais pois

lim f(x)

=

+00

e lim f(x)

=

-00.

X~+-

Exerácios propostos

I) O teorema máximo local máximo global apresentado no texto foi enunciado para máximos não estritos e concavidade não estrita. Examine a veracidade das seguintes afirmativas (prove se verdadeira, e dê um contra exemplo, se falsa).

a) Máximo local estrito

+

concavidade (estrita ou não estrita) ~ máximo global estrito. b) Máximo local (estrito ou não estrito)

+

concavidade estrita ~ máximo global estrito. c) Se uma função estritamente côncava apresenta um máximo local, pode se garantir que ele é, ao mesmo tempo, máximo local estrite e máximo global estrito.

2) Ache os pontos críticos das funções abaixo, classificando-os quando for o caso, como ponto de máximo (estrito, não estrito, local, global) ou mínimo (idem).

b)f (x)=2x+2/x (x*O) c)

f

(x) = (x-lO)'

3) Dada a função lucro L: 9t+ ~ 9t, L (q) = R (q) - C(q), sendo R a receita e C o custo, estipule condições suficientes para que o ponto q* seja um ponto: a) de máximo local estrito; b) de máximo global não estrito.

4) Dada a função custo total C: 9t+ ~ 9t, C (q) e a função custo total médio M(q) = C (q)/q mostre que o ponto no qual o custo médio se iguala ao custo marginal representa um ponto crítico de M (q). Pode-se, então, afirmar que se o custo médio atinge um máximo ou mínimo, ele se iguala ao custo marginal? E se a função custo for definida no intervalo 9t+ - {O}? 5) Um jornal cobra anúncios classificados retangulares, cobrando 10 unidades monetárias por centímetro de perúnetro. Qual a maior área que se pode conseguir no jornal, pagando se 1000 unidades monetárias? Qual o formato ideal do anúncio, neste caso?

6) Repita o exercício 2 para as funções abaixo: a)f(xl'x2 ) = x; +XIX2 +7x; +8

b) f(X_I,X₂) = i tt -7 Xl +8 X_IX₂

c) f(xl'x₂,x_{3 )} = 7 x; +6x_I x₂

+

15 X₂X3 -7 x3

7) Uma firma vende dois produtos

ql

e

q2,

obtendo a receita R(q .. q2)' Sua função custo é

C(qpq2) e a função lucro, definida no 9t2, é dada por L (qpq2) = R(qpq2)-C (qpq2)'

8) Uma firma vende o mesmo produto em dois mercados diferentes, obtendo as receitas

RI(ql) no primeiro mercado e ~(q2) no segundo mercado. O seu custo de produção é dado por C(ql +q2) e a função lucro, definida no 9t:', é dada por

L(ql'q2) = RI (ql)+ RI (q2) - C(ql +q2)' Mostre que se o preço em cada mercado depende apenas da quantidade vendida neste mercado, o preço deverá ser mais elevado no mercado mais inelástico (daí o fato de a revendedora da Avon aumentar os preços de seus produtos quando entra em casas mais luxuosas).

9) Uma caixa de cinema, conhecendo a solução do exercício 8 anterior, e tentando imitar a revendedora da Avon, resolveu cobrar os ingressos mais caros das pessoas mais bem vestidas. Mesmo admitindo que as pessoas mais bem vestidas fossem realmente menos sensíveis a variações de preços (mais inelásticas), o fato é que o procedimento adotado reduziu significativamente o lucro do cinema. Justifique econômica e matematicamente, a partir do exercício 8, este fato observado.

10) Uma firma emprega mão de obra N ao custo W e capital K ao custo r. Sua função de produção é dada por Q (K, N) = KCJN~,O<a+fi<l, a~Oef3~O. Estabeleça condições suficientes para máximo da função lucro defmida no 9t:'.

11) Demonstre: Seja f:D~9t, Dc9tD

um conjunto aberto e! uma função duas vezes diferenciável em D. Então para que x* e D seja ponto de máximo local estrito de f é suficiente que

a) grad f(x*) = O

b) 3e > O tal que para todo x' comO< Ix' -x 1< e tenha-se h'H(f, x') h < O para todo h e 9tD

- {O}.

12) Mostre que se

!:D

c 9t" ~ 9t é côncava e diferenciável, D convexo não vazio, então para que ! (x) passe por um máximo no ponto Xo é necessário e suficiente que (grad f(xo)'x-xo)~ O para todo x e C.

13) Diz-se que um ponto pertencente ao domínio de uma função diferenciável é estacionário se ele é crítico. Seja F uma transformação monótona crescente de uma função

U.

com f diferenciável.

Verdadeiro ou falso, justifique formalmente:

a) x· é um ponto estacionário de F se, e somente se é um ponto estacionário de f.

b) x· é máximo de F no conjunto S se, e somente se x· é um máximo de fno conjunto S.

c) Se f é côncavo, então

x·

é um máximo global de f se, e somente se

x·

é um ponto estacionário de f.

14) Maximize F(x,y,t)= e1xX y~ - wx - ry com respeito as variáveis x e y. O que ocorre com o ponto de ótimo quando:

a) t se eleva? b) r se eleva?

Suponha que w>O e r>O.

15) Resolva o seguinte problema de otimização

s.a. c,

+

K'+l

= f(K,) t = O, ... ,N

K, ~O

onde u(x)

=..r;

e f(x)

=

ax, a constante (sugestão: mostre inicialmente que no ótimo

KN+l =0).

2. Otimização

com restrições

Diz-se que N é uma hiperfície de classe Ct (k ~ 1) em 9tD

+1 se N é localmente o

gráfico de uma função real de n variáveis com derivadas parciais contínuas até a ordem k

definida em um aberto. Em outras palavras, N é uma hiperfície de classe

ck

se dado p e N, existe r> O tal que B(p,r)nN é o gráfico de uma função !:A ~

9t

de classe Ct,

sendo A um conjunto aberto de 9tD

• Quando n

=

1, diz-se que a hiperfície N é uma curva e

quando n

=

2, utiliza- se o nome superfície.

Os desenhos a seguir apresentam dois subconjuntos de

9t

2, o primeiro satisfazendo à

defInição anterior, e o segundo não:

lé

curva)

(não é curva)

Dada uma hiperfície N c 9tD

+1 define-se o espaço vetorial tangente a N no ponto

p e N (T_p N) como o conjunto dos vetores Â'(O), onde Â: (-e,e) ~ N é uma função diferenciável em O tal que MO) = p. Uma função desse tipo dizemos ser um caminho em N diferenciável em O e que passa por p no instante O (por diferenciável em O queremos dizer que

l..(t)=(1..1(t), ... ,1..8+1(t» com l..i:(-E,E)~9t é diferenciável em O, "í/ i=l, ... ,n+l). Demonstra-se sem dificuldade que T_p N é um subespaço vetorial de dimensão n em

9t

D

+1• O

diagrama a seguir ilustra o caso em que n = 1.

Seja f:A ~ 9t, A C 9tD aberto, diferenciável Diz-se que c e 9t é um valor regular de f se para todo-x e A, tal que f (x) = c tem-se que grad f(x):F; O. Denotaremos r-I(c)={x e A;

f (x) = c}.

Observação: se f: A c 9tD+I~ 9t, é de classe Clt, A aberto em 9tD+I e c é valor regular de f então f-I (c) é uma hiperffcie de classe Clt (isto é uma conseqüência imediata do teorema da função implícita).

Teorema 2.1. Seja N = <p-1(c), sendo c um valor regular de cp: A ~ 9t, A aberto em 9tD+I,cp de classe CK (K ~ 1). Então, para todo p e N, TpN é o conjunto dos vetores em 9tD+I que são perpendiculares a grad cp (p).

Demonstração: Seja v e TpN, então existe Â.: (

-e, e)

~ N diferenciável em O tal que Â.(O)=p e Â.'(O)=v. Logo (cpoÂ.)(t)=c, 'v'te (-e,e), pois N=cp-I(C). Portanto, derivando esta última expressão para t = O e aplicando a regra da cadeia, teremos que

(grad <p(p), Â.'(O») = O, isto é, (grad cp(p), v) = O, o que é o mesmo que dizer que

grad <p(p) é perpendicular a v. Provamos então que todo vetor em TpN é perpendicular a

grad cp(p), ou seja, que TpN está contido no conjunto dos vetores perpendiculares ao grad cp(p). Como tanto TpN como o conjunto de vetores perpendiculares a grad cp(p) são es-paços vetoriais n dimensionais (visto que grad cp (p) :F; O), e como o primeiro está contido no

segundo, segue, por um argumento geral de Álgebra Linear3 _{que ambos são iguais . •} Exemplo: Seja f: 9t2 _{~ 9t tal que f (XI ,x}

2) = x~

+X;

Temos que grad f(x I ,x2 ) = 2(x I ,x2 ).

Assim grad f (XI ,x₂):F; (O, O) se, e somente se (XI ,x₂₎ :F; (O, O). Neste caso, todo c > O é valor

regular de f uma vez que f (XI ,x_{2 )} = O se, e somente se (XI ,x_{2 )} = (0,0). Segue que c = O é valor crítico de f e c<O é valor regular de f, visto que f-I (c) =

0

para todo c < O e a definição de valor regular inclui este caso. Seja então c > O e N c =

{(XI

,x

2 ) e 9t

2

;

f

(XI

,x

_{2 )} =

c}.

O leitor mais atento observará que Nc é precisamente a

circunferência de centro em zero e raio

~

em 9t2• Dado P = (XI' x_{2 )} e N c' pelo teorema

2.1, Tp Nc = {(Vi'VJe

9t

2

;(grad

f(Xi'X2),(VpV2))=0}={(vi'vJe9t2;xlvl +X2V2

=O}

que é a reta em 9t2 que passa pela origem e é ortogonal à direção (xp x2 ). O diagrama

abaixo ilustra este exemplo.

o

leitor deve observar que, embora pensemos em termos ilustrativos o espaço vetorial tangente "passando" no ponto de tangência, ele na verdade "passa" na origem.

Vamos agora definir o conceito de ponto crítico (ou estacionário) de uma função diferenciável restrita a uma hiperfície. Sejam N c

9t

D

+1 uma hiperffcie de classe

Ck

(k ~ 1) e f: U ~

9t

uma função diferenciável, U c

9t

D

+1 aberto. Caracterizamos na

primeira seção deste capítulo os pontos críticos de f como aqueles

x

e U tais que

grad f(x) =0, ou equivalentemente, os pontos x e U, tais que

:v

(x) = O, "if v e 9tD

+1•

Suponha que N cU hiperfície de classe CK (K ~ 1). Então podemos pensar na restrição flN e definir os pontos críticos de flN como os pontos x e N que satisfazem (foÃ)' (O) = O para todo caminho Ã: (-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que MO) = x, isto é, pela regra da cadeia

~~

(x) = O para todo Vê TxN, ou seja, (grad f(x), v) = O, 'Vv e TxN e

isto é o mesmo que dizer que grad f(x) é perpendicular a TxN.

Observe que todo ponto crítico de f quando pertence a N é ponto crítico de flN. Mas a recíproca é falsa em geral. (Dê um contra-exemplo).

Teorema 2.2. Sejam f:U c

9t

n

+1 ~

9t

diferenciável, U aberto e N

c

U uma hiperfície de classe Ct• Se p e N é um ponto de máximo ou mínimo local para flN, então p é um ponto

crítico de flN .

• Demonstrª&ão: Seja Ã:(-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que Á(O) = p. Temos que fOÁ: (-e,e) ~

9t

tem um máximo (ou mínimo) local em O e, portanto, (foÂ.)' (O) = O o que implica, pela arbitrariedade do caminho acima, que p é ponto crítico de flN .•

Uma observação importante é que quando a hiperfície N é compacta, pelo teorema de Weierstrass e devido ao fato de f ser contÚlua (visto que f é diferenciável) tem-se que flN assume um máximo e um mínimo que serão pontos críticos pelo teorema anterior.

Teorema 2.3. (Teorema do Multiplicador de Lagrange com uma restrição) Sejam f:U ~

9t

de classe Ct _{(k ~ 1), U}

C

9t

D+1 aberto e N = cp-I (c) hiperfície contida em U, onde

fI': U ~

9t

é de classe Ct e c e 9t é valor regular de cp. Então um ponto p e N é um ponto crítico de flN se, e somente se existe à e

9t

tal que grad f(p) = Ã grad cp(p).

Demom~ão: Pelo teorema 2.1 grad cp (p) é perpendicular a TpN. Por outro lado, pelo que vimos anteriormente p é ponto crítico de flN se, e somente se grad f(p) é perpendicular

a TpN. Como Tp N c 9tD

+1 é um subespaço de dimemão n e grad cp (p)

'*

0, devemos ter

grad

f(p)

=  grad cp (p) para algum  e 9t .•

Na verdade, podemos demomtrar um teorema de multiplicador de Lagrange mais geral, no sentido que ao invés de uma restrição, temos várias restrições. De forma mais precisa, seja f:U

-+

9t

uma

função diferenciável num aberto U C 9tD+m e N =cp-I (c)

contido em U, imagem inversa de um valor c e 9tm por uma aplicação

qr.U

-+

9t'" de classe Ci:. Suponhamos que c seja regular, isto é, para todo xe N,{grad CPI(X) , ... ,gradCPm(x)} é

linearmente independente4, onde CPj: U-+9t é a i-ésima função coordenada de cp, i

=

1, ... ,m. Temos que N é uma superfície de dimemão n em 9tm+D (no sentido do teorema da função implícita). De forma análoga ao que demomtramos no teorema 2.1 este conjunto formará uma base de TpN.l = {v e 9tD+m;v é _{ortogonal a Tp N}.}

Podemos defuúr a noção de ponto crítico de flN de forma análoga ao que fizemos no caso de uma restrição e concluir:

Teorema

2.4. (Teorema de Multiplicador de Lagrange com várias restrições) Sob as mesmas hipóteses acima, p e N é um ponto crítico da restrição flN se, e somente se existem

ÂI , ... , Â", e 9t tais que grad f(p) = ÂI grad CPI (p) + ... + Âm grad CPm (p).

o

teorema de multiplicador de Lagrange é muito útil quando se desejam determinar as condições de primeira ordem de um problema de maximização com restrições sob a forma de igualdades. Pelo teorema 2.2, sabemos que os candidatos a ponto ótimo devem ser pontos críticos.

o

teorema do multiplicador de Lagrange (com várias restrições) garante que o ponto

crítico satisfaz a um sistema com n +

m

equações

(gradf(x) = Â,. grad lI'l(X)+ ... +Â". grad lI'",(x» mais m equações (cp (x)

=

c). Assim temos um sistema em n + 2m incognitas (x,Â), onde x = (xl ... ,x"+,,,) e  = (Â_{1 , •••} ,Âm) e as n + 2m equações acima.

De uma forma sucinta, podemos definir a função lagrangiana (ou o Lagrangiano)

L:Ux9tm -+ 9t

(x,Â)

-+

f(x) - (Â,cP(x») àL

àL

e as condições do teorema 2.4 ficam ~(x,Â) =0, uXj

V'i=l, ... ,n+me àÂ. (x,Â) =0,

J

V'j = l, ... ,m.

Por exemplo consideremos o problema típico do consumidor: dada u:9t!~

9t

função de utilidade, c a renda do indivíduo, p e

9t:..

o vetor de preços. Suponhamos que o indivíduo gaste toda sua renda. Então queremos:

max U(x)

xe

9t"

_•

(p,x) =

c

Se o ótimo deste problema pertence a

9t:+

e U for diferenciável em

9t:.

devemos ter pelo teorema de multiplicador de Lagrange que

~U

(x·) =ÀPj, i = I, ... ,n, para algum

aX· I

À e

9t,

onde x· é o ponto de ótimo. Em adição, sabemos que (p,x) = c, que representa a outra equação (aqui, m = I). Este sistema determina, em geral, os valores de

x e

9t:..

e  e

9t.

Condições de Se~unda Ordem na Maximiza&ão Condicionada

Consideremos o problema simples max f(xl'x2) sujeito à _{restrição g(xl'x2)} = O.

X.'X2

Neste caso, a condição de segunda ordem utiliza a matriz hessiana da função Lagrangeana com respeito ao vetor ~ = (x Jt X 2)'

A condição de suficiência para que o ponto (x; ,x;) seja um máximo local estrito do problema condicionado é que, neste ponto,

Essa condição requer que a matriz hessiana seja negativa definida para qualquer variação, no domínio da função f, numa direção tangente à superfície de nível gerada pela restrição g(x₁ ,x_{2 )} = O, a partir do ponto (x~ ,x;).

Na prática, a condição de segunda ordem é obtida calculando-se os hessianos orlados. No problema anterior, a condição para máximo local estrito será obtida se o determinante da matriz

O gl g2 H 2 = gl hl1 h l2

g2 _{h21 hn}

for maior que zero. Analogamente, a condição suficiente para mínimo local estrito é que tal detenninante seja menor que zero.

Quando a função apresenta mais de duas variáveis, outros determinantes (menores principais do hessiano orlado) precisam também ter os seus sinais avaliados, de fonna a obter-se a condição de suficiência para o máximo ou mínimo local estrito do problema considerado. Tomemos o caso geral de maximizar _{f(xl'x2, ... ,xD}) com a restrição g(Xl'X2, ... ,X

D) .

Definimos então os detenninantes

°

gl g2 g3

°

gl g2

hl l h l2 hl3

H 2

=

hl l h l2 ' H 3

=

gl gl

g2 h21 hn h23

g2 h21 hn

g3 h31 h32 h33

Agora, para garantir-se o máximo local estrito devemos ter H2 >0,H3 <0, ... ,(_I)D H_D >0, ou seja, os detenninantes dos menores principais da matriz hessiana orlada devem alterar os seus sinais. Analogamente, a condição de suficiência para mínimo local estrito é que H₂ < 0, H3 < O, ... , H_D < 0, ou seja, todos os menores principais devem ter sinal negativo.

Para o caso de m restrições, com m > 1, a condição de segunda ordem se altera. A este respeito o leitor pode consultar Chiang(1974), Varian (Segunda Edição - 1984) ou Brandão (1982).

Muitas vezes a verificação da condição de segunda ordem não é efetuada em economia, pelo fato de se trabalhar com funções objetivo côncavas. Neste caso, para que Xo pertencente ao interior do conjunto de definição da função seja um ponto de máximo global é necessário e suficiente que ele seja um ponto crítico.

Quando se toma uma função do tipo

f (x

I ' x_{2 )} = Xl x_{2 '} este resultado não se aplica,

devido ao fato da função f não ser côncava. Ocorre, entretanto, que este resultado pode ser estendido a uma classe mais abrangente de funções, chamadas de indiretamente côncavas. A definição destas funções já foi apresentada no Capítulo 3:

Definição: (Função Indiretamente Côncava) Seja h(r) uma função monótona crescente. Então F(x) é dita indiretamente côncava se ela pode ser escrita sob a fonna F(x) = h{t(x»), sendo f(x) uma função côncava.

Teorema 2.5. Para funções indiretamente côncavas F(x) = h(f(x», sendo h diferenciável com h'(r) >

O

para todo r no domínio de h e f(x) uma função côncava diferenciável definida num aberto U c

9t

D

, valem os seguintes resultados:

a) Xo é ponto crítico de F se, e somente se xo' é ponto crítico de f; b) Xo é o máximo de F em U se, e somente se xo' é o máximo de f em U. c) Xo é um máximo global de F se e somente se xo' é um ponto crítico de F. Observação: Observe que apenas a propriedade c utiliza a concavidade de f(x).

Demonstra&ão:

a) Basta lembrar que, pela regra da cadeia,

aF() ,

ai ()

.

- ; - X o = h (r) -;- Xo para 1= 1,2, ... ,n, e que por hipótese h'(r)

>

O, "ir.

oXj oXj

b) Decorre do fato de que f( xo) ~ f( x) para todo x numa vizinhança de Xo se, e somente se

h(/(xo))

~

h(/(x») , ou seja, se, e somente se

F(xo)~

F(x).

c) Segue de b que Xo é um ponto de máximo global de F se, e somente se Xo é um ponto de máximo global de f; como f é côncava, Xo será um máximo global de f se e somente se Xo for um ponto crítico de f. Dado (a), isto ocorrerá se e somente se Xo for também um ponto crítico de F. •

Deve-se observar que este resultado se aplica também ao caso da maximização (ou minimização) condicionada, quando a restrição g(x) = O é gerada por uma função afim (ou seja, com g(ax_t +(l-a)x₂) =ag(x_t)+(l-a)g(x₂) para ae [0,1] e xl' x₂

pertencentes ao domínio de g). A necessidade de se ter uma restrição g deste tipo decorre de se precisar assegurar, no teorema anterior, que o domínio de ~N seja convexo.

Este fato é muitas vezes útil na maximização condicionada em problemas de economia devido ao fato das restrições serem do tipo (p, x) = renda. Assim, por exemplo, na maximização de U(x, y) = xy sujeito à restrição Pxx + Pyy = R, a aplicação do teorema anterior nos garante que o ponto crítico obtido em ~!+ com a ajuda do respectivo Lagrangeano, é um ponto de máximo. De fato, U:~~ -7 ~ com U(x,y) = xy é.a transformada monótona crescente da função côncava

u:~!+

-7~,

u(x,y) = (xy»{, pela função h:~++ -7~, h(x) = x4

, cuja derivada é sempre diferente de zero em todos os

pontos do seu domínio. Ou seja, U é indiretamente côncava, e pelo teorema anterior (que podemos aplicar pelo fato da função de restrição ser uma função afim) o seu ponto crítico é um ponto de máximo global.

Exerádos resolvidos:

1) Suponha que um consumidor tem uma função utilidade da forma u:9t!. ~ 9t tal que U(XI'~) = In Xl + lox_2, sendo (x, ,x₂₎ o vetor de bens de consumo. Se p, e P2 são os preços destes bens, respectivamente, e m é a renda do consumidor que é gasta totalmente, determine as quantidades ótimas a serem consumidas.

Solução: O problema básico consiste em

max

In

x,

+

In

x

₂ s.a PIXI

+

P2X2 = m

Seja L(x, ,x2

,J .. )

= In x, + In _{x2 +} Â (m - p, x, - P2X2) a função defmida em 9t!. x 9t

conhecida como Lagrangiano associada ao problema anterior. É fácil ver que as condições do teorema de Lagrange são equivalentes a

onde U = 9t!., f

==

u e

cp:

9t!. ~ 9t tal que, cp(xl'x_{2 )}

=

m - p,x, - P2X2 observe que O é valor regular de cp já que grad cp(x"x2) = (-P,,-P2)

*

(0,0) e cp-I (O) correspondem aos pontos de 9t!. que estão sob a restrição m = p,x, + P2X2.

As duas primeiras equações implicam que

p,x;

= P2

x;.

Logo pela última equação, temos que

2p,x;

= m, isto é, x; =

~

p, e de forma análoga x; =

~

P2 .

Em termos econômicos,

x;

e

x;

determinados acima são a solução do problema proposto e são as demandas marshallianas. Como U é uma função indiretamente côncava, o teorema 2.5 nos assegura que (x~

,x;)

corresponde a um máximo de ulcp-' (O).

2) Determine os pontos críticos da função f:9tD x 9tD ~ 9t, f(x,y) = (x,y) restrita à esfera unitária ~X~2 + IlyW = I e mostre como daí se obtém a desigualdade de Schwarz, onde

D

< x,y >= LXiYi e Ilx~2 =< X,X >,X = _{(x, ... ,xD) e Y} = (Y ... YD).

i=l

Solução: Seja cp: 9tD x 9tD

~

9t tal que cp(x,y) = IIxl12 +IIYI12-1.

y=2Âx.

x = 2Ây para algum  e 5Jt .

W

2 +lyl2 = 1

Logo y=4Â?y ou x=4Â.2x e como x~Oouy~O (visto que IxI2+lyI2=1) temos que

1

Â. =

±'2.

Portanto o conjunto de pontos críticos é dado por

{(x,x);xe5Jt"ellxll=

~

}u{(x,-x);xe5Jt" e 1Ix1=

~}

que é uma hiperfície de dimensão n -1 em 5Jt2D = 5JtD X 5JtD (por exemplo, se n =1 consistirá de quatro pontos que são superfícies de dimensão O em 5Jt2 ).

Portanto, os valores máximo e mínimo de

flcp-I (O) são, respectivamente,

1/2

e

-1/2.

(

..fi

x

..fi

y

J

-I

Dados x,y e 5JtD - {O} temos que

211x11'

21Y~ e li' (O) e portanto

(

..fi

x

..fi

y)

1

f

211x11' 2

~y~

s

2"

o que implica que

1<

x,y

>1

S Ilxll

~YII,

'ri x,y e 5JtD - {O}.

Exercícios propostos:

1) Utilizando o Teorema do Multiplicador de Lagrange, mostre os pontos críticos das funções abaixo restritas à superfície N e identifique os pontos de máximo e mínimo relativos:

a) f:~? -+9ttalquef(x,y)=ax+by,a*O, b*O e N=g-1(1), onde

g: 9t2 -+ 9t é dada por g(x,y) = x2 _{+ l .}

b) f:9t2 _{-+ 9t tal quef(x,y) = x+ y e N = g-1(1), onde g: 9t}2 _{-+ 9t é}

dada por g(x,y) = xy.

c) f:5Jt? -+9ttalquef(x,y)=x2+l e N=g-1(1), onde g:9t2 -+9t é dada por g(x,y) = y_x2

•

d) f:9t3 _{-+ 9t tal que f(x,y,z)}

=

_{x.y.z e N = {(x,y,z) e} 9t~;x+ _{y+ z = c}.}

2 2

2) Em quais pontos da curva

~+L=

I a função f(x,y) =xy assume seus valores máximo 8 2

e mínimo?

3) Se u(x) é uma função utilidade definida sobre n bens x = (xl' ... 'x,,) e 9t: como

"

u (x) = X~' ••. x:· ,onde

L

ai < 1 , qual é a proporção da sua renda que o consumidor gastará i=1

em cada bem?

4) Demonstre o teorema 2.4.

5) Diz-se que uma função de utilidade U:Xc9t:-+9t, X fechado, é localmente não-saciável se para cada x e X' e todo E>

°

existe ye X tal que IIx-yll<E e U(y) > U(x). Seja U:9t: -+ 9t contÚlua localmente não-saciável, diferenciável. que satisfaz a condição de Inada:

lim U'(x)

=

- 0 0 , 'Vi

=

1, ... , n. Determine em 9t:. as condições necessárias e suficientes

x ... 0

para o ótimo do problema típico do consumidor com preços e renda estritamente positivas. 6) Demonstre que o plano tangente a uma hiperfície em 9t é um espaço vetorial de dimensão n.

7) Checar as condições de segunda ordem dos seguintes problemas: (a) max 3x2

-2xy+ y2 s.a xy=-2

(b) max x 2 +2l-z2 s.a x+y=l e x3

=

y -z-1 (c) max lOx+7y s.a A xa yf3

=

100, _{A, a,}

_f3

_>

°

8) Utilize o teorema de multiplicador de Lagrange para mostrar que, para c >O, _Nc é o conjunto de pontos críticos de fi N

c no exemplo 1.

10) Seja / (XI ,X2 ) = PIXI

+

P2X2 definida em 9t2 e c e 9t. O conjunto

/-1

(c) = _{{(Xl'X2 )} e 9t2;PI X I

+

P2 X 2 = c} é uma curva de classe Ck: a) se PI ;t Oe P2 = O?;

b) se PI;t O e

/12

;t O? e c) se PI = O e P2 = O? Qual o formato desta curva nos casos

possíveis? e o formato do espaço vetorial tangente? Pode-se dizer que , para (Pl'P2);t (0,0), todo c e 9t é um valor regular de f?

11) Considere o seguinte problema:

Min X2 +y2

s.a.

(X-I)3

-l

=0

(X,y)

e 9t2

(a) Solucione o problema geometricamente.

(b) Por que o Teorema do Multiplicador de Lagrange não pode ser usado neste caso?

12) Seja f:9t~ ~ 9t função de classe C2 com forma hessiana negativa definida em todo ponto. Considere o problema:

onde p, W I ' W 2 são constantes positivas.

(a) Quais são as condição de primeira ordem para ponto de máximo de F? Estas condições são suficientes para este caso?

aX

(b) Mostre que XI pode ser colocado no ótimo como função de w_I e w₂ e que

-a

I < O

w

I

(sugestão: utilize o Teorema da função Implícita)

(c) Suponha que seja adicionada ao problema a seguinte restrição:x₂ = b, onde b e 9t++. E ncontre o novo umo e mostre que - -Ó·

_a

aXI

tn· - < -

-a

aX1

tn° - .

W I sem res çao W I com res çao

13) Sejam F:9t:' ~ 9t, f:9t:' ~ 9t++ e g:9t++ ~ 9t funções de classe Cio Considere o seguinte problema de otimização:

N

Min

L

F{x(k), u(k), k)

1:=0

s.a.

x(o)

= Xo

x{k+l)=/(x{k),k), k =O, ... ,N

g(x{N +

1)

=

o

Assumindo que a condição de regularidade seja satisfeita, derive as condições necessárias para a solução ótima do problema.

3.

Q Teorema de Kuhn -Tuger·

Iniciaremos esta seção revendo alguns conceitos já apresentados, algumas vezes sob uma ótica um pouco diferente, embora equivalente, e introduzindo informações complementares.

Sejam Xl ' x₂ dois pontos (vetores) do

9t

D• O segmento de extremos Xl e x₂ é, por

defmição, o conjunto dos pontos:

Seja C um subconjunto do

9t

D

• Diz-se que C é convexo quando atende à seguinte

propriedade: "Se Xl e x

2 pertencem a C, s(xl , x2 ) está contido em C".

A figura 3. La exemplifica um conjunto um conjunto convexo no

9t

2

, a figura 3.1.b um

conjunto não convexo.

Figura 3.la Figura 3.2a

Por extensão de conceito, consideram-se convexos: i) os conjuntos com um único ponto.

ü) o conjunto vazio

Sejam xl'x_{2 , •••} ,xp pontos de

9t

D

• Uma combinação linear convexa desses pontos é,

por definição, um ponto da forma ai XI +a₂ x₂+ ... +a_p x_p onde a"a_{2 , •••} ,a_p são reais não

negativos tais que ai + a2+ ... +ap = 1.

Seja C_{I ,} C₂ dois subconjuntos do

9t

D

, ai' a₂ números reais. O conjunto ai C_I + a₂ C₂ é, por definição, o conjunto:

Teorema 3.1: A intersecção de uma família de subconjuntos convexos do

9t

D

é um subconjunto convexo do 9tD

•

Demonstração: Já vista no capítulo anterior (e imediata).

• A ~ teórica desta terceira seçIo é obtida da traucriçJo de textos seleciollldos, c:om a aquiedDcia do autor, de Amlise Convexa DO R" ,de

Mario Hcmique Simonsen.

Teorema 3.2: Sejam CI,C2 subconjuntos convexos do 9t", ai ,a2 números reais. Então

ai CI + a2 C2 é convexo.

Demonstração: Simples verificação. Com efeito, sejam y = alx_{l +a2x2 e y' =} alx~ _+a2x;

dois pontos de ai CI + a2 C2. No caso, XI' x~ pertencem a CI e x2' x; pertencem a C2. Seja (1-a) y + ay' um ponto do segmento de extremidades y e y', o que implica O S aS 1. Então:

(l-a) y+ay' = (l-a) (ai XI +a2x2)+ a(al x~ +a2x;) =

=al«(l-a)xI +ax~)+a2«(l-a)x2 +ax;).

Como C_I e

C

_{2 são convexos,}

(l-a)xI +ax~ E CI ' (l-a)x2 +ax; E C2.

Logo,

Teorema 3.3: Para que um subconjunto C do 9tD

seja convexo é necessário e suficiente que toda combinação linear convexa de elementos de C pertença a C.

Demonstração:

a) a condição é necessária. Trata-se de provar que se Xi' X_{2 , ... , xp} pertencem ao convexo C e se a .. a2 , ... ,ap são reais não negativos de soma 1, então

x = alxl +~X2+ ... +apxp E C. Procedamos por indução finita. Para p = 1 o teorema se

verifica trivialmente. Suponhamos que ele seja válido para combinações lineares convexas de p - 1 elementos de C e seja

Se OS ai < 1, façamos:

a₂ ap

b₂ = - - , ... b_p = -l-a _I l-a _I

Então x' = b₂x₂+ ... +b_px_p' pela hlp6tese de indução, sendo uma combinação linear

convexa de p -1 elementos de C, pertence a C. Note-se agora que:

ou seja, um ponto do segmento de extremidades XI e x'. Como XI e x' pertencem ao

convexo C, X pertence a C;

b) a condição é suficiente: com efeito, o segmento de extremidades XI e _{X 2} é o

Diz-se que um subconjunto K do

9t

D

é um cone quando x

e

K implicar ax

e

K para todo real nãg negativo a. É imediato pela definição. que a origem (isto é o vetor O) pertence a qualquer cone. A figura 3.2 ilustra um cone convexo.

Figura 3.2

Teorema 3.4: Para que K seja um cone convexo é necessário e suficiente que. se X_I,X2 pertencem a K. aIx I + a2x2 e K para quaisquer reais não negativos al'a2 •

Demonstração:

a) a condição é necessária: com efeito. seja K um cone convexo. e xl'x₂ dois de seus pontos. Quaisquer reais não negativos aI e a₂ podem ser expressos na forma:

aI = b(1-a) a2 =ba

sendo b ~ O e O S aS!. Como K é convexo. i" = (1- a) XI + a x2 e K.

bi" = aIx I +a2x2 e K.

E como K é um cone.

b) a condição é suficiente: com efeito. suponhamos que se xl'x₂ pertencerem a K, aIxI +a2x2 pertença a K para quaisquer reais não negativos ap a2 • Tomando-se

O

<

a

<

1. aI = 1- a. a2 = a. fica provado que K é convexo. Tomando-se

XI = x2 = x. aI = a2 = b/2. fica provado que se X e K. bx e K para todo real não negativo

b. ou seja, que K é um cone.

A partir do teorema 3.4. por indução [mita prova-se imediatamente o:

Teorema 3.5: Para que K seja um cone .;onvexo é necessário e suficiente que. se xl'x_{2 ...} x_p pertencerem a K, _{aIx I +a2}x₂+ ... +apxp pertença a K. para quaisquer reais não negativos

É imediato também que a intersecção de uma família de cones convexos é um cone convexo.

Propriedades Topológicas

Teorema

3.6: Seja C um subconjunto convexo do

9t

D

• Então, seu fecho C é convexo.

Demonstração: Seja Xl e x2 pontos de C e O S; aS; 1. Temos que provar que, para qualquer d > O corresponde um elemento de C cuja distância a (1-a)xI + ax2 seja menor do que d.

Com efeito, como Xl' X2 pertencem a C , dado d > O é possível encontrar pontos x~, x; em C tais que:

dist (xl'x;) = IXI - x;~ < d

dist (x2 ,x;) = IX2 - x;1 < d Como C é convexo, (1- a) x~ + a x; E C. Além disso:

dist «l-a) Xl +ax2, (l-a) X; +ax;) = l(l-a) (Xl -x~) +a(x2 - X;)~ S;

l(l-a) (Xl -x;)I+ la(x2 -x;)1 = (l-a) IXI -x~11 +allx2 -x;1 < (l-a)d +ad = d

Precisamos agora de três lemas de álgebra linear para demonstrar o teorema 3.7.

Lema 3.1: _{Seja {Xl'X2, ... ,xJ uma base do}

9t

D

• Então existe d>O tal que, se

dist (Yi'x) < d, (i = 1,2, ... ,n), {Yl'Y2 , ... ,y J também seja uma base do 9tD •

Demonstração: Basta observar que:

i) {Yl'Y2,. .. ,yJ é uma base do

9t

D

se e somente se o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de Y I ' Y 2 , ... , Y D for diferente de zero;

ti) o determinante de uma matriz quadrada é função contínua de seus elementos.

Lema 3.2: Seja {Xl'X2, ... xJ uma base do

9t

D

, XO = a1x1 +a2x2+ ... +a

DxD um vetor do

9t

D

•

Então, dado E > O existe d > O tal que, se

~x:-Xjll<d (i=O,I, ... ,n) e x~ = a;x;+a;x;+ ... +a:x:, la:-a jl<E(i=I,2, ... ,n).

Demonstração: Pelo lema 1, para d suficientemente pequeno, {x~, ... ,x:} é uma base do

9t

D •

Isto posto, as coordenadas a;, ... , a: de x~ na base em questão determinam-se pela regra de Cramer, sendo portanto, funções contínuas de x~, x; , ... , x: .

Lema 3.3: Seja {el'e2 , ... ,eJ os unitários do

9t

D

Defmamos os vetores:

Então:

Demonstração:

i) simples verificação;

V_o =-u

VI =el-u

V 2 =e2-u

VD =eD-u

i) _{VO+vI +V2+ ... +VD =0} ii) VI'V_{2 , ••• ,VD é basedo9t}D.

ii) suponhamos _{alv l +a2}v_{2+ ... +a DvD =0.} O=(al-b)el+ ... +(a D -b)eD onde:

Segue-se que

segue-se que ai - b = ~ - b = ... = ali - b = O, já que o conjunto dos unitários é linearmente independente. Pela expressão acima, isso implica:

n b = - b

n+l

o que implica b = O. Segue-se ai =a_{2 = ... =a D =0. Logo, VI,V2 , ••• ,VD é um conjunto} linearmente independente fonnado por n vetores do 9tD, ou seja, uma base.

Teorema

3.7: Seja C um subconjunto convexo do 9t\ C seu fecho. Suponhamos que yo pertença ao interior de C no 9tD. Então yo pertence a C.

Demonstração: Por hipótese, para algum E

>

O, ~y - y o ~ < E implica y e C. Segue-se que existe b > O tal que yo + b V_{o , yo} + b v I ,. .. , yo + b v D pertencem a C, sendo v_o, V 1' ••. ' V D os

vetores defmidos no lema 3.3.

Como C é o fecho de C, segue-se que, para todo d

>

O existem vetores v~, v~ , ... , v:

tais que Yo + bV: E C e

Iv; -

vil< d, sendo b > O. Pelos lemas 3.1 e 3.2 podemos escolher d

tal que:

1' ) ' _vl"'" V , . D seja ase o b d mD ~ ;

Façamos:

1

b_o

=

-l+a~+ ... +a:

b. = I l '

a~

,

('

1 = , ... 1 ,n ) +a,+ ... +a_D

É imediato que esses coeficientes são todos positivos de soma 1, e que:

Segue-se que:

Ou seja, Yo é uma combinação linear convexa de pontos de C, e portanto um ponto de C.

Note-se que o teorema não vale para conjuntos não convexos. A título de exemplo,

suponhamos que C =

{x

E (0,1);

x

:# 1/2}. (Figura 3.3). O ponto 1/2 pertence ao interior

de C mas não pertence a C.

o

112 1

O~----~O~---O

Figura 3.3

o

Teorema do Vetor à Mínima Distância

Teorema

3.8: Seja C um subconjunto convexo fechado do 5JtD; C:#

0,

Y um ponto de 5JtD, Então:

ii) para que Z E C seja ponto de C à mínima distância de y é necessário e suficiente

que {y-z,x-z):SO para todo x E C.

Observação: Uma versão particular deste teorema foi demonstrada no capítulo dois para o caso particular em que o conjunto C é um subespaço vetorial.

Demonstração: Necessidade: A existência de um ponto de C à mínima distância de y é garantida pelo fato de C ser fechado. Seja z um ponto de C. Então, para qualquer x de C, e para qualquer O:S a :S 1:

já que (1-a) z + a x pertence a C. Ou seja:

(y- z,y- z)-2a{y-z,x- z)+a2{x- Z,x- z)

~

(y- z,y- z) para qualquer O:S a :S L Daí se segue, em particular que, para O < a< 1:

-2 (y- Z,x- z)+a (x- Z,x- z) ~ O Fazendo a tender a zero conclui-se que:

(y -

z, x - z) :S O.

Por essa desigualdade conclui-se que o ponto de C à mínima distância de y é único. Com efeito, suponhamos que z e z' fossem pontos de C à mínima distância de y. Teríamos:

{y- z,z' - z):S O ou seja:

(z- y,z- z'):S O

Do mesmo modo:

(y- z', z- z'):S O Somando membro a membro essas duas últimas desigualdades:

(z- z',z- z'):S O o que implica z = z' .