Governo Federal Presidente da República

Texto

(1)

André Gustavo Campos Pereira

Joaquim Elias de Freitas

Roosewelt Fonseca Soares

Cálculo I

D I S C I P L I N A

Aplicações da derivada

Autores

aula

(2)

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede” Governo Federal

Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEED Carlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Reitor

José Ivonildo do Rêgo

Vice-Reitora

Ângela Maria Paiva Cruz

Secretária de Educação a Distância Vera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos Materiais Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky

Projeto Gráfico Ivana Lima

Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges

Jânio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisores Técnicos Leonardo Chagas da Silva Thaísa Maria Simplício Lemos

Revisora Tipográfica Nouraide Queiroz

Ilustradora Carolina Costa

Editoração de Imagens Adauto Harley Carolina Costa

Diagramadores Bruno de Souza Melo Dimetrius de Carvalho Ferreira Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo

Adaptação para Módulo Matemático André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos

Colaboradora Viviane Simioli Medeiros Campos

(3)

Apresentação

N

esta aula, vamos finalmente mostrar como utilizamos a derivada para ter idéia do comportamento da função logo após o ponto em que a observamos (questão que começou a ser tratada na aula 3 – Taxa de variação). Para ajudar no nosso entendimento, estudaremos alguns resultados que serão importantes nas aplicações práticas, como o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio. Veremos também como utilizamos as derivadas para determinar máximo e mínimo absolutos e relativos de funções. Finalmente, veremos como aproximar funções deriváveis por polinômios (os polinômios de Taylor), utilizando as derivadas dessa função.

Objetivos

(4)

Máximos e mínimos de uma função

V

amos procurar o maior e o menor valores de uma função f em um intervalo I, limitado ou não. Esta é uma das aplicações mais interessantes do cálculo tanto no aspecto teórico quanto no prático. Por que procurar o maior e o menor valor de uma função é importante?

Imagine agora três situações.

Situação 1

Imagine que você é um investidor, e alguém que entende de mercado financeiro diz que você aplicou investimentos no fundo que dará um ganho excepcional até um determinado momento, depois deverá começar uma fase de perda. Você não gostaria de saber exatamente onde acaba o ganho e começa a perda?

Se você tivesse essa informação, poderia se beneficiar com todo o ganho e sair do investimento antes que a perda começasse. Não seria bem mais interessante?

Situação 2

Imagine-se sendo um empresário que fabrica um dado produto, você sabe que a cada preço de venda existe uma quantidade a ser produzida para que você obtenha lucro máximo. Você não gostaria de saber que quantidade é essa?

Situação 3

Imagine-se um devedor. São oferecidas a você várias formas de pagamento para a quitação de sua dívida. Entretanto, dentre estas existe uma mais vantajosa, ou seja, que minimiza a quantia a ser paga. Você não gostaria de saber qual é essa opção?

Pois bem, todas as situações ilustradas anteriormente são situações em que se precisou encontrar o máximo ou mínimo de uma função. Quando é a nosso favor, claro que procuramos um máximo, se nos é desfavorável, procuramos um mínimo.

(5)

y

x M=1.85

m=-0.2

2

1

-1 1 2

Extremos absolutos

Definição 1

Máximo absoluto: dizemos que uma função f tem um máximo absoluto em um intervalo I, se existe um ponto ฀฀ em I, de modo que ฀฀x฀) é o maior valor de f em I, isto é, ฀฀x฀)฀฀฀x) para todo x em I.

Definição 2

Mínimo absoluto: dizemos que uma função f tem um mínimo absoluto em um intervalo I, se existe um ponto ฀฀ em I, de modo que ฀฀x฀) é o menor valor de f em I, isto é, ฀฀x฀)฀฀x) para todo x em I.

Usamos também a expressão, extremo absoluto, quando nos referimos a máximo ou mínimo absolutos.

Exemplos de máximos e mínimos

(6)

y

x M=1.25

m=-1 M=1.25

2

1

-1

-1

1 2

Figura 2 – Função definida no intervalo fechado [฀฀2] com mínimo absoluto m ocorrendo no intervalo aberto ฀฀1฀2) e máximo absoluto M ocorrendo nos extremos do intervalo fechado.

Teorema 1 (Teorema da Existência de Valores Extremos)

Seja f uma função contínua no intervalo fechado ฀a฀ b], então, f tem máximo absoluto e mínimo absoluto em ฀a฀ b].

O teorema anterior diz: toda função contínua em um intervalo fechado admite tanto máximo quanto mínimo. Embora esse teorema seja de fundamental importância para o desenvolvimento do estudo do cálculo que segue e de suas aplicações, devido à complexidade, não faremos sua demonstração. Entretanto, apresentamos alguns exemplos que ajudam a compreender o seu significado.

Atividade 1

(7)

Definição 3

Dizemos que x0 é um ponto interior de um subconjunto D de números reais, se existe um intervalo aberto ฀c฀ d) contido em D, tal que x0 é um ponto de ฀c฀ d).

No caso de intervalos, dizemos que o ponto ฀฀ é um ponto interior se ainda tiver pontos do intervalo, tanto antes quanto depois do ponto ฀฀ dado.

Exemplo 1

a) Em um intervalo aberto ฀

a฀ b), todos os seus pontos são pontos interiores.

b)

Em um intervalo fechado ฀a฀ b], somente as extremidades

a e b do intervalo não são

pontos interiores, pois qualquer intervalo aberto ฀c฀ d) que contenha

a ou b possuirá

pontos fora de ฀a฀ b]. Os demais pontos são pontos interiores.

Extremos locais

Nas aplicações do cálculo, temos necessidade de estudar, além de máximos e mínimos absolutos, máximos e mínimos locais, os quais definimos a seguir.

Definição 4

Máximo local: dizemos que uma função f tem um máximo local em ฀฀, um ponto interior do seu domínio, se ฀฀x฀)฀฀฀x) para todo x em algum intervalo aberto ฀c฀ d) que contém ฀฀.

Definição 5

(8)

Atividade 2

1

2

2

1

1

-1 2

x y

m= -0.55 M=1.55

Note que nessas definições só se falou em máximos e mínimos locais em pontos interiores. O problema nos extremos é que não teremos pontos do domínio dos dois lados do ponto ฀฀. Assim, quando trabalharmos com pontos das extremidades devemos considerar apenas os pontos próximos de ฀฀ que estejam no domínio, ou seja, se f ฀ [a฀ b]฀R diremos que f tem um mínimo local em a, se f฀฀)฀f฀x) para todo x num intervalo da forma [a฀ c฀ contido em ฀a฀ b].

Como faríamos para afirmar que a extremidade direita é um ponto de mínimo local?

Descreva o caso em que as extremidades são pontos de máximo local.

Observação Note que todo máximo absoluto é um máximo local, mas nem todo máximo

local é um máximo absoluto. Convença-se disso analisando a Figura 4 mais adiante.

(9)

2

1

-1

1

-1 2

x y

m= -0.8

M=1.5

Figura 4 – Função definida no intervalo fechado [฀฀฀2] com quatro máximos relativos, todos menores que o máximo absoluto e cinco mínimos relativos sendo o menor deles igual ao mínimo absoluto m.

Teorema 2 (Teorema dos Extremos Locais)

Seja f uma função que possui máximo ou mínimo local em ฀฀ um ponto interior de seu domínio, se ฀฀฀x฀) existe, então, ฀฀฀x฀) = 0.

Embora esse resultado seja de fundamental importância, devido à complexidade, consideramos o entendimento de sua demonstração opcional para este curso.

Faremos a demonstração para o caso em que ฀฀ é um ponto de máximo local; a demonstração para o caso em que ฀฀ é um ponto de mínimo local será feita como atividade.

Demonstração Para a derivada à direita, temos

+ (x0) = lim ฀฀฀0฀

฀(x0+ ฀x)฀฀(x0) ฀x

Como ฀฀x฀) é um máximo, o numerador ฀(x฀+ ฀x)฀฀(x฀)≤0 e no limite à direita

฀x ฀0, e mais ฀(x฀+ ฀x)฀฀(x฀)

฀x ≤0, portanto,

฀

+(x0) = lim ฀฀฀0฀

฀(x0+ ฀x)฀฀(x0)

฀x ≤0.

Para a derivada à esquerda, temos

 (x0) = lim ฀฀→0฀

(10)

Como ฀฀x฀) é um máximo, o numerador ฀(x฀+ ฀x)฀฀(x฀)≤0 e no limite à

esquerda ฀x ฀0, e mais ฀(x฀+ ฀x)฀฀(x฀)

฀x ≥0, portanto,

 (x0) = lim ฀฀→0฀

฀(x0+ ฀x)฀฀(x0)

฀x ≥0.

Resumindo, ฀฀ ฀x0)0 e ฀

฀฀x฀)฀0 . Como a função f é derivável em ฀฀, tem-se ฀

฀฀x0) =฀฀ ฀x0) =฀฀x0). Daí concluímos que ฀฀฀x฀)฀0 e ฀฀฀x฀)฀0. Portanto, ฀฀฀x฀) = 0.

Quando temos uma função f contínua em um intervalo fechado ฀a฀ b], já vimos pelo Teorema 1 que ela possui extremos absolutos em ฀a฀ b]. Existem 3 possibilidades de localização desses pontos, a saber: nas extremidades do domínio a e b ou no intervalo aberto ฀a฀ b). Como vimos anteriormente, se o extremo ocorrer em ฀a฀ b) existe ฀฀, tal que ฀฀x฀)

é um extremo local (todo máximo absoluto é máximo local). Entretanto, a função pode ser ou não derivável em ฀฀. Se ฀฀฀x฀) existir, temos pelo Teorema 2 que ฀฀฀x฀) = 0.

Assim, os únicos pontos onde uma função f, contínua em um intervalo fechado ฀a฀ b], tem extremos absolutos são:

1. extremidades do domínio de f ;

2. pontos interiores onde ฀

฀x

฀) = 0;

3. pontos interiores onde f não é derivável.

Pontos críticos

Definição 6

Dizemos que um ponto interior ฀฀ é um ponto crítico se:

a)

f não é derivável em ฀฀ ou

b) ฀

฀x฀) = 0.

Portanto, o Teorema 2 pode ser reescrito da forma que segue.

(11)

Resumindo, os valores extremos absolutos de uma função f contínua em um intervalo fechado ฀a฀ b] ocorrem nas extremidades do intervalo fechado ou nos pontos críticos.

A seguir, você verá alguns exemplos práticos e algumas atividades de aplicação de máximos e mínimos.

Exemplo 2

Deseja-se transformar um pedaço de papelão quadrado de lado Lcm em uma caixa sem tampa, recortando-se em cada canto do papelão um pequeno quadrado de lado x. A caixa obtida tem altura ฀=฀฀x) e os lados da base iguais a ฀=฀฀x).

Determine:

1.

as funções ฀฀x), ฀฀x);

2. a função ฀฀x)

, seu domínio e calcule o volume da caixa em função de x;

3.

para qual valor de x a caixa tem o volume máximo e qual é este volume máximo.

Figura 5 – Quadrado de lado L de onde se retira dos vértices quadrados menores de lado x.

Solução

1. Podemos ver na Figura 5 que h(x)=x e

a฀x) =฀2x.

2.

A função ฀฀x) é dada por v฀x) =฀฀x)฀฀฀x)฀h฀x), ou seja, v฀x) = ฀฀฀2x)·฀฀฀2x)·x, cujo domínio é o conjunto solução da inequação ฀฀x)฀0, uma vez que não podemos ter um volume negativo. Assim, para ฀฀x)0 temos ฀฀2x)·฀฀2x)·x0, isto é, o domínio de ฀฀x) é

o intervalo fechado ฀฀x

(12)

Determine as dimensões do retângulo, de área máxima, que pode ser inscrito num triângulo eqüilátero de lado a, com dois vértices sobre um dos lados desse triângulo. Encontre o valor dessa área.

Atividade 3

1

Sabemos que uma função derivável (na verdade contínua) assume seus extremos absolutos nos extremos do intervalo de sua definição ou nos pontos críticos interiores ao domínio. Veja que podemos escrever a função que expressa o volume na forma

v฀x) = 4x34฀x+x .

3.

Note que essa função é derivável, assim o ponto crítico será aquele em que a derivada nesse ponto se anular! Derivando essa função e igualando o resultado a zero, obtemos:

v฀฀x) = 12x฀฀8฀x+฀฀= 0. Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos

as soluções x฀=

฀ e x฀ = ฀

฀ . Observe que a solução x฀ =

฀ é um dos extremos do

domínio de v e que nesse ponto v é zero. Logo, para x฀ =

฀ , v atinge um mínimo, ou seja,

v

2

= ฀ . No outro extremo do domínio, ฀= ฀, a função v também se anula, isto é,

฀฀0) = 0. Portanto, para x฀ = ฀

฀ , a função ฀฀x) atinge um máximo e esse valor é dado

por v

6 

= 4฀฀

216 ฀

4฀฀

36 ฀

฀฀

6 , ou seja,

v

6 

= 4฀฀ 216 ฀

4฀฀ 36 ฀

฀฀ 6 =

4฀฀24฀ 36

216 =

2฀฀ 27 .

Resumindo, v ฀

฀ 6

 = ฀฀฀

฀7 cm฀.

(13)

Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito num semicírculo de raio a, com dois vértices sobre o diâmetro.

Determine as dimensões do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio a. Quanto vale esse volume?

Se os três lados de um trapézio são cada um de 1฀฀m, quanto deve valer o quarto lado para que sua área seja máxima?

Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume cuja área superficial é 3฀฀m฀.

Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume cuja área lateral é 3฀฀m฀.

Encontre as dimensões de um cone circular de volume mínimo que pode ser circunscrito a uma esfera de raio ฀฀m.

2

3

4

5

6

7

Teorema 3(Teorema de Rolle)

Seja f uma função contínua em todos os pontos do intervalo fechado [a, b] e derivável em todos os pontos do intervalo aberto ฀a฀ b). Se f฀฀) =f฀b) = 0, então existe pelo menos um número c em ฀a฀ b) onde f฀฀฀) = 0.

Demonstração A função f satisfaz ao Teorema da existência de valores Extremos, portanto,

f tem máximo absoluto e mínimo absoluto em ฀a฀ b]. Vamos subdividir a demonstração em dois casos:

(14)

Atividade 4

Caso (a): como

f฀฀) =f฀b) = 0, e o máximo ou mínimo absoluto de f é diferente de zero, existe algum c em ฀a฀ b) onde f฀฀) é o valor máximo ou mínimo (diferente de zero) absoluto

de f, que em particular é um extremo local, e como f฀฀฀) existe, pelo Teorema dos extremos

locais, f฀฀฀) = 0.

Caso (b): como o máximo absoluto e o mínimo absoluto de f em

฀a฀ b] são nulos, então, f é a função constante identicamente nula, isto é, ฀฀x) = 0 para todo x em ฀a฀ b]. Como já estudamos, a derivada de uma função constante é zero, portanto, f฀) = 0 para qualquer c em ฀a฀ b).

Antes de prosseguirmos para o polinômio de Taylor, verifiquemos o que ocorre com a função quando sabemos que sua derivada no ponto ฀฀ é positivo, isto é, f฀฀x฀)฀0. Como a função f é derivável em ฀฀, tem-se ฀ ฀x0) =฀ ฀x0) =฀฀x0), ou seja, f ฀x0)>0฀ f ฀x0)>0.

Pela derivada à direita, temos

+ (x0) = lim ฀฀฀0฀

฀(x0+ ฀x)฀฀(x0) ฀x

Como f฀ ฀x0)฀0, temos que quando ฀x ฀0 for muito pequeno o quociente

acima será positivo. Como temos ฀x ฀0 e f(x฀+ ฀x)฀f(x฀)

฀x ฀0, isso obrigará a f(x฀+ ฀x)฀f(x฀)฀0, ou seja, f(x฀+ ฀x)฀ f(x฀). Portanto, para os valores maiores que ฀฀, porém próximos de ฀฀, o valor da função nesses pontos será maior que o valor em ฀฀.

Analise o caso dos pontos antes de ฀฀ utilizando a derivada à esquerda e comprove que para esses pontos os valores da função são menores que o valor da função em ฀฀.

(15)

Atividade 5

Polinômios de Taylor

D

a mesma forma com que calculamos a derivada de uma função f (quando nos foi possível), obtendo f', nada nos impede de calcular a derivada de f' caso nos seja possível. Se for possível, denotaremos (฀฀)฀ =฀฀ e chamaremos de segunda derivada da f, derivada de segunda ordem ou simplesmente derivada segunda da f.

Do mesmo modo, nada nos impede de calcular a derivada de f'', caso nos seja possível. E se for possível denotaremos (f'')'= f''' e chamaremos de terceira derivada da f, derivada de terceira ordem ou simplesmente derivada terceira da f.

E podemos continuar com esse procedimento quantas vezes a função nos permitir, obtendo, dessa maneira, as derivadas quarta ordem, quinta ordem etc.

Exemplo 3

Dada ฀฀x) =x3+ 2x฀+ 3x+ 4, calcule as derivadas das ordens que forem possíveis.

Solução

Já vimos na aula 4 (A derivada) como calcular a derivada de polinômios, assim

฀฀฀x) = 3x฀+ 4x+ 3. Derivando essa função, obtemos

฀฀฀฀x) = 6x+ 4. Derivando essa função, obtemos

฀฀฀฀฀x) = 6, sendo esta a função constante que também sabemos derivar. Derivando essa função, obtemos ฀฀฀฀฀฀x) =฀฀4)฀x) = 0. Novamente, temos a função constante que, derivando, obteremos f฀5)฀x) =f฀6)฀x) =฀ ฀ ฀= 0.

Com isso, calculamos as derivadas de todas as ordens da função dada.

(16)

Usemos as derivadas de ordem superior (segunda, terceira,...) para ver como podemos aproximar funções deriváveis por polinômios, usando o teorema seguinte.

Teorema 4

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I, que possui derivadas até a ordem ฀ ฀ 1. Se a e b são números em I, podemos usar polinômios ฀฀฀x) para aproximar f฀฀) por ฀฀฀b), com n= ฀,1,2, ฀ ฀ ฀ , N, onde

Pn(x) =f(a) +f฀(a)(xa) +f฀฀(a)(x฀a) 2

2 +f฀3)(a)

(x฀a)3 (3)฀ +฀ ฀ ฀

+f฀n)(a)(x฀a)n n฀ =

n ฀

฀=0

f฀฀)(a)(x฀a) ฀ k฀

e cada ฀฀฀x) tem as seguintes propriedades:

1.

฀n฀฀)฀a) =f฀฀)฀a), k= ฀,1, ฀ ฀ ฀ , n;

2. existe c entre a e b de modo que

f(b) =฀฀(b) +f฀฀+1)(c)(b฀a) ฀+1

(n+ 1)฀ .

Antes de demonstrar tal teorema, teceremos alguns comentários e daremos exemplos.

1.

As funções com as quais usualmente trabalhamos possuem derivadas de todas as ordens, fazendo com que ฀฀฀x) exista para n= ฀,1,2, ฀ ฀ ฀

2.

Apresentamos a seguir os polinômios de Taylor de grau 0, 1, 2, 3 e 4, isto é, ฀฀฀x) , ฀1฀x) , ฀2฀x) , ฀3฀x) e ฀4฀x):

฀฀฀x) =f฀a)

฀฀฀x) =f฀a) +f฀฀a)฀x฀a)

฀฀฀x) =f฀a) +f฀฀a)฀x฀a) +f฀฀฀a)฀

xa)฀

2

฀3(x) =f(a) +f฀(a)(x฀a) +f฀฀(a)

(xa)฀

2 +f฀฀฀(a)

(xa)3

3฀

฀4(x) =f(a) +f฀(a)(x฀a) +f฀฀(a)(

xa)2

2 +f฀฀฀(a)

(xa)3

3฀ +f฀4)(a)

(xa)4

4฀ .

(17)

Inicialmente, precisamos calcular, ฀฀฀x) , ฀฀฀฀x)e฀฀฀฀฀x) e, em seguida, ฀฀0) , ฀฀฀0) , ฀฀฀฀0)e฀฀฀฀฀0).

f฀x) =sen฀x)฀ f฀฀x) =cos฀x)฀ f฀฀฀x) =฀sen฀x)฀ f฀฀฀฀x) =฀cos฀x)

f฀0) =sen฀0) = 0฀ f฀฀0) =cos฀0) = 1฀ f฀฀฀0) =฀sen฀0) = 0฀ f฀฀฀฀0) =฀cos฀0) = 1

Vamos agora substituir esses valores nas respectivas expressões vistas no item 2, em que substituímos a por 0.

฀฀฀x) =f฀0) = 0

฀฀฀x) =f฀0) +f฀฀0)฀x฀0) = 0 + 1·x=x

฀฀฀x) =f฀0) +f฀฀0)฀x฀0) +f฀฀฀0)฀x฀0) ฀

2 = 0 + 1·x+ 0·

฀x฀0)฀

2 =x

฀3(x) =f(0)+f฀(0)(x฀0)+f฀฀(0)

(x฀0)฀

2 +f฀฀฀(0)

(x฀0)3

3฀ =x+(฀1)

x3

3฀ =x฀

x3

3฀

Resumindo, os 4 primeiros polinômios de Taylor para a função sen(x), com ฀= ฀, são:

(x) = 0 ฀1(x) =x ฀2(x) =x

3(x) =x x 3

3฀

Você pode observar que se conhecermos ฀฀x), então, ฀฀x),฀1฀x)e฀2฀x) também serão conhecidos. Por exemplo, vamos apresentar, sem os cálculos, que são semelhantes ao caso anterior, ฀฀฀x) para a função cos฀x)e฀= 0,

฀4(x) = 1฀ x฀

2 + x4

4฀,

como os inícios dos polinômios de Taylor são coincidentes, podemos concluir que, para a função cos฀x)e฀= 0, tem-se:

฀x) = 1,

฀฀(x) = 1,

฀2(x) = 1฀ x2

2 ,

3(x) = 1x 2

2 ,

4(x) = 1x 2

2 + x4

(18)

4. A propriedade 2 do Teorema 4 pode ser reescrita na forma: existe c entre a e b de modo

que f(b)(b) =f฀฀+1)(c)(b฀a) ฀+1

(n+ 1)฀ com c entre a e b.

O segundo membro dessa equação nos permite, em muitos casos, estimar o erro que se comete quando usamos ฀฀b) como uma aproximação de f฀฀). As máquinas de calcular

utilizam polinômios de Taylor e sua estimativa de erro para calcular logaritmos, funções trigonométricas, exponenciais e outras.

Podemos enunciar a propriedade 2 do Teorema 4 usando a letra x no lugar de b, obtendo: existe c entre a e x de modo que f(x) =฀฀(x) +f

฀฀+1)

(c)(x฀a)

฀+1

(n+ 1)฀ com c entre a e x.

5.

Vamos estudar um caso com números. Considere a função ฀฀x) =฀x. Vamos construir uma tabela usando os 4 primeiros polinômios de Taylor para a função ฀฀, com a= 4eb= 4฀฀, onde já sabemos que f฀4฀2) =√4฀2฀= 2฀049390153 com um erro muito pequeno, como mostra a quantidade de decimais. A nossa intenção é comparar esse valor, previamente conhecido, com as aproximações calculadas usando os polinômios de Taylor até o 4o grau.

P4(4฀2) =f(4) +f฀(4)(4฀2฀4) +f฀฀(4)

(4฀2฀4)2

2 +

f฀3)(4)(4฀2฀4) 3

3฀ +f

฀4)

(4)(4฀2฀4)

4

4฀

P4(4฀2) =f(4) +f฀(4)(4฀2฀4) +f฀฀(4)(4฀2฀4) 2

2 +

f฀3)(4)(4฀2฀4) 3

3฀ +f

฀4)

(4)(4฀2฀4)

4

4฀ .

P4(4฀2) =f(4) +f฀(4)0฀2 +f฀฀(4)0฀2 2

2 +f

฀3)

(4)0฀2

3

3฀ +f

฀4)

(4)0฀2

4

4฀ .

Calculemos as derivadas:

f฀x) =฀x=x฀2

฀ f฀4) = 4฀2 =4 = 2,

f฀฀x) = 1 2x

฀ 2฀฀ = 1

2x ฀฀2

฀ f฀฀4) = 1 24

฀฀2 = 1

2 ฀ 1 4฀2

= 1 2฀ 1 √ 4 = 1 2฀ 1 2 = 1 4

f฀฀฀x) = ฀

฀12

1

2x

฀฀2฀฀ =

฀14x฀

3 2

฀ f฀฀฀4) =฀144฀32

=1 4·

1 432

=1 4 ·

1

฀√4)3 =฀ 1 4 ·

1 8 =฀

1 32

f฀3)฀x) = ฀

฀32

 ฀

฀14

 x฀

3 2฀1 = 3

8x ฀52

฀ f฀3)฀4) = 3 84

฀52

= 3 8 ·

1 452

= 3 8 ·

1 ฀√4)5 =

(19)

f฀4)฀x) = ฀

฀52

3

8x

฀52฀1 =

฀1516x฀72

฀ f฀4)฀4) =15 164

฀72

=฀1516 · 1

472 =฀ 15 16·

1

฀√4)7 =฀ 15 16 ·

1 128 =฀

15 2048

substituímos esses valores em P฀฀4฀2) e obtemos

P4(4฀2) = 2 + 14·0฀2฀321 0

฀2฀ 2 +

3 254

0฀23 3฀ ฀

15 2048

0฀24 4฀ ,

os valores P฀฀4฀2) , P1฀4฀2) , P2฀4฀2)eP3฀4฀2) são obtidos da expressão anterior:

P฀฀4฀2) = 2,

P฀฀4฀2) = 2 + 1

4฀0฀2 = 2 + 0฀05 = 2฀05,

P฀฀4฀2) = 2 + 14·0฀2฀321 0฀2 ฀

2 = 2฀05฀ 1 32

0฀2฀

2 = 2฀05฀0฀000625 = 2฀049375,

P3(4฀2) =P฀(4฀2) +

3 256

0฀23

3฀ = 2฀049375 +

3 256

0฀23

6 = 2฀049375 + 0฀000015625 = 2฀049390625

P4(4฀2) =P฀(4฀2)฀ 204815 0฀2 4

4฀ = 2฀049390625฀0฀000000488 = 2฀049390137

Finalmente, resumimos os resultados na tabela a seguir.

Tabela 1 – Erro no cálculo de ฀4฀฀ usando Polinômios de Taylor.

f฀4฀2) =√4฀2฀= 2฀049390153 Erro=P฀฀4฀2)฀2฀049390153

P฀฀4฀2) = 2 P฀฀4฀2)฀ √

2 = 2฀2฀049390153 =฀0฀049390153

P฀฀4฀2) = 2฀05 P฀฀4฀2)฀ √

2 = 2฀052฀049390153 =0฀000609847 P฀฀4฀2) = 2฀049375 P฀฀4฀2)฀

2 = 2฀0493752฀049390153 =0฀000015153

P฀฀4฀2) = 2฀049390625 P฀฀4฀2)฀ √

2 = 2฀049390625฀2฀049390153 =฀0฀000000472

P฀฀4฀2) = 2฀049390137 P฀฀4฀2)฀ √

(20)

1. Demonstração da propriedade 1 do Teorema 4

฀฀฀x) =f฀a) +f฀฀a)฀x฀a) +f฀฀฀a)฀

xa)฀

2

Calculemos agora ฀฀฀฀฀a฀a)), ฀฀฀฀฀฀฀a฀a))e฀฀฀฀฀฀฀฀฀a฀a):)

฀฀฀x) =f฀a) +f฀฀a)฀x฀a) +f฀฀฀a)฀x฀a) ฀

2 ,

฀฀฀a) =f฀a) +f฀฀a)฀a฀a) +f฀฀฀a)฀

aa)฀

2 =f฀a)

2฀x) = 0 +f฀a)·1 +f฀a)2฀x฀a)

2฀฀

2 =f฀a) +f฀a)฀x฀a),

2฀a) =f฀a) +f฀a)·0 =f฀a)

2฀x) = ฀f฀a) +f฀a)฀xa))= 0 +f฀a) =f฀a)

Resumindo, para ฀= ฀ tem-se:

฀฀฀a) =f฀a),

฀฀a) =f฀฀a), ฀฀฀฀a) =f฀฀฀a).

2. Demonstração da propriedade 2 no caso de

฀= ฀

Existe c entre a e b de modo que f(b) =฀2(b) +f฀2+1)(c)(b฀a) 2+1

(2 + 1)฀ com c entre a e b,

ou melhor, f(b) =f(฀) +f฀(฀)(b฀) +f฀฀(฀)(b฀฀)

2 +f฀3)(c)

(b฀฀)3 3฀ .

Pode-se definir k, de modo que

f(b) =f(฀) +f฀(฀)(b฀฀) +f฀฀(฀)(b฀฀) 2 +k

(b฀฀)฀ 3฀ .

Vamos definir uma função auxiliar ฀฀x) para, usando a igualdade anterior e o teorema de Rolle, encontrar uma estimativa de k que demonstre a propriedade. Definimos essa função por

฀(x) =฀f(b) +f(x) +f฀(x)(bx) +f฀฀(x)(b฀x)

2 +k

(b฀x)3

3฀

Substituindo x por a vê-se que:

฀(a) =f(b) +f(a) +f฀(a)(ba) +f฀฀(a)(b฀a)

2 +k

(ba)3

(21)

e

฀(b) =f(b) +f(b) +f฀(b)(bb) +f฀฀(b)(b฀b)

2 +k

(bb)3

3฀ = 0.

Como ฀฀a) = 0e฀฀b) = 0, aplicando o teorema de Rolle tem-se que existe c entre a e b, de modo que ฀฀฀c) = 0. Calcula-se agora ฀฀฀x).

฀฀(x) =฀(f(b))฀+ (f(x))+ (f(x)(bx))+

f฀฀(x)(b฀x)

2 ฀

+k ฀(b

฀x)3

3฀ ฀

,

Aplica-se a regra da derivada do produto na forma ฀฀v)฀=฀v฀+฀฀v em vez de ฀฀v)฀ =฀฀v+฀v฀ para tornar mais evidentes algumas simplificações:

฀฀(x) =f฀(x) +f฀(x)(1) +f฀฀(x)(bx) +f฀฀(x)2(b฀x)(฀1)

2 +

f฀3)(x)(b฀x) 2

2 +k

3(bx)2(1) 3฀

฀฀(x) =f฀(x)f฀(x) +f฀฀(x)(bx)f฀฀(x)(bx) +f฀3)(x)(b฀x) 2

2 ฀k

3(bx)2 3฀

Feitas as simplificações, tem-se

฀฀฀x) =f฀฀฀฀x)฀b฀x)

2 ฀k

฀b฀x)฀

2 . Retornando a aplicação do teorema de Rolle, tem-se que existe c entre x e b, de modo que ฀฀฀c) = 0, portanto:

฀฀฀c) =f฀฀฀฀c)฀b฀c)

2 ฀k

฀b฀c)฀

2 = 0,

f฀฀฀฀c)฀฀฀c) ฀

2 =k

฀฀฀c)฀

2 ,

como b é diferente de c, podemos concluir que f฀฀฀฀฀) =k e substituindo k na expressão inicial tem-se

f(b) =f(฀) +f฀(฀)(b฀฀) +f฀฀(฀)(b฀฀)

2 +f฀฀฀(c)

(b฀฀)฀ 3฀ ,

podendo ser reescrito na forma

f(b) =฀฀(b) +f฀฀฀(c)

(b฀a)3

3฀ , o que conclui a demonstração da propriedade 2 no caso de ฀= ฀.

(22)

Teorema 5(Teorema do Valor Médio)

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I, que possui derivada. Se a e b são números em I, pode-se afirmar que existe c entre a e b de modo que

f฀b) =f฀฀) +f฀฀c)฀b฀) com c entre a e b.

Demonstração Nas condições desse teorema, pode-se usar a propriedade 2 com n = 0

e afirmar que:

existe c entre a e b de modo que f(b) =฀0(b) +f฀0+1)(c)

(b฀a)0+1

(0 + 1)฀ com c entre a e b,

ou melhor, existe c entre a e b de modo que f฀b) =f฀฀) +f฀฀c)฀b฀) com c entre a e b, o que demonstra o teorema do valor médio.

O Teorema 5 também é válido na forma mais geral: seja f uma função contínua no intervalo fechado ฀a฀ b] e derivável no intervalo aberto ฀a฀ b), pode-se afirmar que existe c em ฀a฀ b), de modo que

f฀฀c) = f฀b)฀f฀฀) b฀ .

Interpretação gráfica do

teorema do valor médio

V

imos na aula 4, que a derivada de uma função num ponto pode ser interpretada como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função naquele ponto. Assim, olhando para a expressão anterior temos que o lado direito nada mais é do que a inclinação da reta que liga os pontos ฀a฀ f฀a)) e ฀b฀ f฀b)) e o lado direito é a inclinação da

reta tangente ao gráfico no ponto c que está entre a e b. Resumindo, se uma função satisfaz a hipótese do teorema do valor médio, então, existirá um ponto no interior do domínio cuja reta tangente nesse ponto é paralela à reta que liga os pontos ฀a฀ f฀a)) e ฀b฀ f฀b)).

Exemplo 4

Consideremos f : [฀฀2]฀R definida por ฀฀x) =x฀. Já vimos nas aulas passadas

(23)

Atividade 6

f฀฀฀) = f฀2)฀f฀0)

20 = 4฀0 20 = 2.

Substituindo o valor da derivada de f฀฀฀) = 2฀ na equação anterior, encontramos ฀฀= ฀, o que implica ฀= ฀ . Se traçarmos a reta tangente ao gráfico da f no ponto ฀1฀ f฀1))

teremos pelo teorema do valor médio que essa reta deve ser paralela à reta ligando os pontos ฀0฀ f฀0)) e ฀2฀ f฀2)), ou seja, ฀0฀0)e฀2฀4). Vamos verificar?

Verificando na aula 4 como obtemos a equação da reta tangente no ponto ฀1฀ f฀1)), concluiremos que a mesma é dada por: y=฀฀1) +฀฀฀1)฀x฀1) = 1 + 2฀x฀1). Traçando o gráfico, obteremos

Dada a função ฀฀x) =x3฀9x฀+ 15x, definida no intervalo [฀฀7], encontre:

a. os pontos críticos;

b. os extremos (máximos e mínimos) relativos;

c. os extremos (máximos e mínimos) absolutos.

Figura 7 – Ilustração da interpretação geométrica do teorema do valor médio

(24)

2

3

4

5

6

7

Dada a função ฀฀x) =x36x+ 9x, definida no intervalo [฀฀5], encontre:

a. os pontos críticos;

b. os extremos (máximos e mínimos) relativos;

c. os extremos (máximos e mínimos) absolutos.

Dada a função ฀฀x) =x3+ 15x63x, definida no intervalo [฀1฀1฀], encontre:

a. os pontos críticos;

b. os extremos (máximos e mínimos) relativos;

c. os extremos (máximos e mínimos) absolutos.

Ache a área do maior retângulo com base inferior sobre o eixo

x

e os vértices superiores na parábola y= ฀7฀฀.

Deseja-se transformar um pedaço de papelão retangular de lados ฀฀m e ฀5฀m em uma caixa sem tampa, recortando-se em cada

canto do papelão um pequeno quadrado de lado x. Considere que a caixa obtida tem altura ฀=฀฀x), o maior lado da base ฀฀x) e o menor lado ฀฀x). Determine:

1. as funções

฀฀x), ฀฀x) e ฀฀x);

2.

a função ฀฀x), e seu domínio, que calcula o volume da caixa em

função de x;

3. para qual valor de x a caixa tem o volume máximo e qual é esse

volume máximo.

Considere ฀฀x) = 1฀x ฀

x฀2 , ฀=฀฀ e ฀= ฀. Mostre que f฀฀) = 0,

f฀฀) = 0 e que existe c no intervalo ฀a฀ b) de modo que f฀฀฀) = 0. Determine o valor de c para este caso.

(25)

Resumo

1

2

Auto-avaliação

Dê alguns exemplos de situações em que seja interessante saber se existe um máximo.

Dê alguns exemplos de situações em que seja interessante saber se existe um mínimo.

Referências

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.

SIMMONS, George F. Cálculo: com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1.

THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2002.

(26)
(27)
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Referências