Partículas e antipartículas no cone de luz.

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DOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173731845

Part´ıculas e antipart´ıculas no cone de luz

(Particles and antiparticles in the light cone)

Jorge Henrique Sales

1

, A.T. Suzuki

2

, L.A. Soriano

2

1_{Universidade Estadual de Santa Cruz, Ilh´eus, BA, Brasil}

2_{Instituto de F´ısica Te´}_{orica, Universidade Estadual Paulista “J´}_{ulio de Mesquita Filho”,}

S˜ao Paulo, SP, Brasil

Recebido em 23/2/2015; Aceito em 5/7/2015; Publicado em 30/9/2015

Na teoria quântica de campos usual, descrita no espa¸co-tempo de Minkowski, os conceitos de part´ıcula e an-tipart´ıcula surgem associados aos estados de energia positiva e negativa respectivamente. Nesse artigo focando como público alvo alunos de pós-gradua¸cão em F´ısica, discutimos de maneira pedagógica como esses conceitos podem ser ou não transferidos quando fazemos uma mudan¸ca de coordenadas, do espa¸co-tempo de Minkowski para as coordenadas do cone de luz. Conclu´ımos que nessas novas coordenadas temos uma arbitrariedade na escolha, uma vez que o sinal da energia fica atrelado ao sinal da componente longitudinal do momento no cone de luz. Embora haja essa arbitrariedade, a correla¸cão de sinal que existe entre a energia e o momento longitudinal implica profundas consequencias f´ısicas. Momentos positivos implicam energias positivas e momentos negativos implicam energias negativas. Isso significa, por exemplo, que no vácuo quântico da frente de luz não pode haver produ¸cão de pares part´ıculas e antipart´ıculas, ao contrário do que ocorre no espa¸co de Minkowski usual.

Palavras-chave: teoria quˆantica de campos, espa¸co de Minkowski, cone de luz, antipart´ıculas.

In the usual quantum theory of fields, as described in the Minkowski space-time, the concepts of particle and antiparticle appear associated with positive and negative energy states respectively. In this article, which is directed to graduate students in physics, we discussed in a pedagogical way how these concepts can be transferred when we make a change of coordinates, from the Minkowski space-time to the coordinates of the light cone. We conclude that these new coordinates have an arbitrary choice, once the sign of the energy is coupled to the sign of the longitudinal component of the momentum in the light cone. Although there is this arbitrariness, the sign correlation between the energy and the longitudinal momentum implies profound physical consequences. Positive momenta imply positive energy, and negative momenta imply negative energies. This means, for example, that in the quantum vacuum of the light front there cannot be any pair production of particle and antiparticle, unlike what happens in the usual Minkowski space.

Keywords: quantum theory of fields, Minkowski space, light cone, antiparticles.

1. Introdu¸

c˜

ao

No universo material em que estamos inseridos, a matéria que a compõe tem hoje uma formula¸cão ma-temática muito elegante, baseada nos conceitos da teo-ria quântica de campos, que utiliza tanto o formalismo da mecânica quântica - fundamental para a descri¸cão dos constituintes do microcosmo – bem como do for-malismo da mecânica relativ´ıstica de Einstein – fun-damental para descrever as part´ıculas com velocidades próximas à da luz.

Dentro desse arcabou¸co teórico, entendemos os princ´ıpios de conserva¸cão de quantidades f´ısicas como resultante das propriedades de invariância por simetria das equa¸cões de movimento que governam certo

pro-cesso f´ısico. Assim, a invariância por transla¸cão de um sistema f´ısico reflete-se na conserva¸cão da quantidade de movimento (ou momento linear) desse sistema, en-quanto a invariância por transforma¸cões de calibre re-dundam em conserva¸cão da carga elétrica.

Um dado experimental que a natureza nos apre-senta é que part´ıculas que compõe a matéria podem vir sob duas cargas elétricas distintas: positiva e/ou negativa. Quando todas as demais propriedades de duas part´ıculas, tais como massa, spin, etc. são iguais, mas a carga elétrica delas é diferente, temos a´ı con-figurado a part´ıcula e a antipart´ıcula. Por exemplo, o elétron e o pósitron, o próton e o anti-próton, são exemplos desse par part´ıcula-antipart´ıcula: Cada par desses tem a mesma massa, o mesmo spin, mas cargas

2_{E-mail: suzuki@ift.unesp.br.}

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elétricas opostas. Por conven¸cão, o elétron e o próton são as part´ıculas e o pósitron e o anti-próton são as antipart´ıculas correspondentes ao elétron e ao próton.

A interpreta¸cão teórica desse fato experimental, isto é, a maneira de entender a existência dessas antipart´ıculas veio primeiramente com as idéias de P.A.M. Dirac ao tentar resolver o problema das solu¸cões quânticas da equa¸cão de Klein-Gordon com energias negativas, possibilitadas na rela¸cão relativ´ıstica de energia-momento:

E=±√k2c2₊_m2_c4_. ₍₁₎ Como essa ideia de antipart´ıculas surgiu na con-cep¸cão de Dirac? Bem, vimos que a rela¸cão entre ener-gia e momento de uma part´ıcula eletricamente carre-gada como o elétron, é dada pela rela¸cão (1). Para Dirac, a possibilidade de se admitir a solu¸cão de ener-gia negativa para o elétron implicaria na necessidade de se postular uma antipart´ıcula do elétron da seguinte forma: Como os sistemas f´ısicos tem a tendência de evolu´ırem para estados de energia m´ınima, a existencia de estados de energia negativa para os elétrons impli-caria que eles tenderiam a ir para os estados cada vez mais negativos, irradiando energia de maneira continua e infinitamente. Mas isso não se verifica experimental-mente. Então Dirac postulou que há um “mar (infinito) de elétrons” de energia negativa, uniforme e por con-seguinte não produzindo efeitos observáveis. Devido ao princ´ıpio de exclusão de Pauli, os elétrons de esta-dos de energia positiva não poderiam ir para os estaesta-dos de energia negativa, já todos ocupados por elétrons. Quando um elétron desse “mar de elétrons”, todos de energia negativa, fosse excitado por um fóton e fosse conduzido para um estado de energia positiva, no “mar” ficaria um“buraco” ou uma “bolha”, agora com efeito observável, que se comportaria como part´ıcula de carga positiva e energia positiva. Em outras palavras, como uma antipart´ıcula do elétron. Embora seja uma idéia interessante, ela é instatisfatória na medida em que se associa antipart´ıculas a “buracos” ou “vazios/bolhas”. Além disso, esses “buracos” seriam aqueles deixados num “mar infinito” de elétrons de energia negativa, que carece de uma fundamenta¸cão experimental [1].

Mais tarde, na década de 1940, R.P. Feynman deu a interpreta¸cão que atualmente se aceita como sendo a explica¸cão mais plaus´ıvel para os estados quânticos de energia negativa que seriam então os estados quânticos associados às antipart´ıculas. A idéia de Feynman foi interpretar, na solu¸cão da fun¸cão de onda expressa em termos de ondas planas, de energia negativa, (−E), a propaga¸cão da part´ıcula para o passado, (−t), o qual agora seria interpretado como sendo antipart´ıculas de energia positiva, (+E), progapagndo-se para o futuro, (+t),

ψ(x, t) = Aei(k·x−(−E)(−t)) = Aei(k·x−(+E)(+t))_.

Vamos a seguir ver o que ocorre com essa ideia de Feynman aos transferirmos para as coordenadas do cone de luz.

Nas coordenadas usuais do espa¸co de Minkowski, temos os quadrivetores espa¸co definidos por

x= (ct,x) = (ct, x, y, z) = (x0, x1, x2, x3), que, expressos nas coordenadas do cone de luz ficam

x= (x+_{, x}1_{, x}2_{, x}−

) = (x+_,_x⊥

, x−

),

em quex+ _e_x− _s˜_{ao definidos por}

x±

= x 0

±x3

√

2 ,

x⊥ = (x1_{, x}2₎_.

Analogamente para os quadrivetores momento, te-mos

k±

= k 0

±k3

√

2 ,

k⊥ = (k1, k2).

Do produto escalar entre eles,k·x=k0_x0

−k_·x= k0_x0

−k1_x1

−k2_x2

−k3_x3_{, expresso em termos dessas} novas coordenadas da frente de luz,k·x=k−

x+

−k⊥

· x⊥

+k+x−

=k−

x+−k1x1−k2x2+k+x−

notamos dois pontos importantes: a) Podemos associar a coordenada k− _{como a energia na frente de luz e a coordenada}_x+ como o tempo na frente de luz, em analogia `a energia k0 _{e ao tempo} _x0 _{usuais; e b) o produto do momento} longitudinalk+ _{e a coordenada longitudinal}_x−_´e

posi-tivo, diferentemente do caso usual, onde o sinal dek3_x3 ´e sempre negativo.

Que interesse f´ısico haveria para se fazer uma sim-ples mudan¸ca de coordenadas e quais consequencias há para tal mudan¸ca? Evidentemente que a f´ısica perma-nece a mesma, porém, assim como mudar de coordena-das cartesianas para coordenacoordena-das polares ou esféricas pode facilitar a descri¸cão de sistemas com simetria esférica, utilizamos a mudan¸ca de coordenadas para a frente de luz para facilitar a descri¸cão anal´ıtica de um fenômeno onde as variáveis envolvidas sejam tais que envolvam grandes momentos (momento “infinito”). O formalismo da frente de luz é bastante útil então na des-cri¸cão de espalhamentos em altas energias que ocorrem nas colisões entre hádrons ou entre léptons e hádrons realizadas nos grandes aceleradores de part´ıculas, uma vez que nessas experiências, as part´ıculas interagentes são ultra-relativ´ısticas e ocorrem ao longo de um eixo preferencial que é o eixo da colisão [2–9].

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dif´ıcil interpretar o que seria a raiz quadrada de um operador quˆantico. Por outro lado, a mesma rela¸c˜ao de energia e momento expressa nas coordenadas da frente de luz se torna:

k−

= k

⊥2₊_m2_c2

2k+ , (2)

que mostra ser uma rela¸cão racional linear entre ener-gia e momento. Além do mais, a Eq. (2) mostra que existe uma correla¸cão do sinal da energia com o sinal do momento longitudinalk+_{: Quando}_k+ _{é positivo, a} energia é positiva e vice-versa. Esta correla¸cão, entre outras coisas, pro´ıbe a manifesta¸cão da cria¸cão de pares no vácuo quântico da frente de luz, o que fisicamente interpretamos como sendo um vácuo de estrutura mais simples que no caso covariante.

Uma outra consequencia importante do uso das co-ordenadas da frente de luz tem a ver com o que chama-mos de maximiza¸cão do grupo de estabilidade dos ge-radores da álgebra de Poincarè. Sistemas relativ´ısticos podem ser descritos pelo grupo de transforma¸cões de Lorentz juntamente com as transla¸cões – que compõem o que denominamos de grupo das transforma¸cões de Poincarè. No espa¸co de Minkowski usual, os dez ge-radores do grupo de Poincarè se subdividem em seis geradores cinemáticos e quatro dinâmicos. Nas coor-denadas do cone de luz, os dez geradores de Poincarè se subdividem em sete cinemáticos (máximo poss´ıvel) e três dinâmicos, o que representa uma vantagem na dcri¸cão anal´ıtica das equa¸cões do movimento. Mais es-pecificamente, “boosts” (“empurrões”) ao longo do eixo transversal são puramente cinemáticos, conservando o momento longitudinal ao longo desse eixo. Em tese, portanto, a f´ısica na frente de luzdeveriaser mais sim-ples de ser tratada. Em tese, porque como diz o di-tado chinês, “não há almo¸co grátis”. A vantagem au-ferida por uma lado, acarreta desvantagens de outro lado! Notamos que na expressão da Eq. (2) temos o denominador k+ _{que quando se anula se torna numa} singularidade para a energia k−

. Essa singularidade ´e conhecida pelo nome de “modo zero”, que interv´em em muitos processos e requer um ferramental especializado para se tratar.

Neste trabalho mostramos como no formalismo da Mecânica Quântica no cone de luz (ou como aparece algumas vezes na literatura, formalismo do plano-nulo) definimos a propaga¸cão de part´ıculas ou antipart´ıculas. Isso pode ser observado pela Mecânica Quântica no cone de luz que nos indica para x+ _> _{0 e} _k+ _> ₀ temos a part´ıcula se propagando para frente no tempo no plano-nulo (x+_{= 0). Caso contr´}_{ario, para}_x+_<_{0 e} k+_<_{0 teremos a part´ıcula propagando-se para o} pas-sado, o que corresponde a uma antipart´ıcula avan¸cando para frente no tempo do cone de luz.

Mas ser´a poss´ıvel descrever um sistema f´ısico em qualquer hipersuperf´ıcie do espa¸co-tempo com condi¸c˜oes iniciais definidas em uma hipersuperf´ıcie

di-ferente de t = 0? Em 1949 Dirac [10] publicou uma compara¸cão entre três distintas formas que poderiam descrever a dinâmica de sistemas relativ´ısticos. A mo-tiva¸cão estava em que duas dessas formas não usam o tempo usual t para descrever a dinâmica das propri-edades do sistema. Em outras palavras, a escolha de qual forma utilizamos para descrever a dinâmica rela-tiv´ıstica é uma questão de conven¸cão, a escolha sendo a princ´ıpio arbitrária. Portanto, Dirac propõe, dessa ma-neira, diferentes formas de dinâmica relativ´ıstica. Es-tas formas de dinâmica são identificadas, como sendo a forma instantânea (ou instante), que corresponde à teo-ria relativ´ıstica quântica com as condi¸cões de contorno definidas em t = 0; a forma frente de luz (ou cone de luz), onde as condi¸cões iniciais são dadas em um hiper-plano do espa¸co de Minkowski que contém a trajetória da luz, e a forma pontual, a qual não trataremos neste trabalho.

Neste artigo vamos explorar o conceito que garante ao propagador quântico no cone de luz a sua correspon-dente evolu¸cão do estado de part´ıcula para um tempo futuro no cone de luz x+_/c _{= (}_t₊_z/c₎_/√_{2, tempo} definido no cone de luz). Em princ´ıpio, isto é equiva-lente à quantiza¸cão canônica no cone de luz [2–9,11–13]. Kogut e Soper [4] também utilizam esta maneira de construir quantidades no cone de luz: partem de am-plitudes ou equa¸cões 4-dimensionais e realizam a inte-gra¸cão em k−

= (k0₊_k3₎_/√_{2, equivalente à energia} da part´ıcula no cone de luz), com a defini¸cão k+ >0 (k+_{= (}_k0₊_k3₎_/√_{2), o que corresponde à representa¸cão} dos processos descritos por tais amplitudes ou equa¸cões no tempo x+_/c_{. Com isto o tempo relativo entre as} part´ıculas desaparece e apenas a propaga¸cão global do sistema intermediário é permitida. A propaga¸cão glo-bal do sistema intermediário é a transla¸cão temporal do sistema f´ısico entre dois instantesx+_/c_{[14, 15].}

2. Part´ıcula e antipart´ıcula na

relativi-dade

A mecânica ondulatória de Schrödinger não previa o spin do elétron, e a equa¸cão de onda definia a fun¸cão Ψ como quantidade escalar. Pauli tentou introduzir o spin na mecânica ondulatória. Para isso, construiu uma fun¸cão de onda Ψ de duas componentes, corres-pondente a duas orienta¸cões poss´ıveis do spin. Era um progresso em rela¸cão a teoria de Schrödinger, mas a teo-ria não se apresentava como relativ´ıstica. Dirac, depois de ter estabelecido a forma relativ´ıstica da equa¸cão de Schrödinger, mostrou que a fun¸cão de onda Ψ era uma grandeza de quatro componentes e que as equa¸cões as-sim obtidas eram invariantes sob a transforma¸cão de Lorentz.

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vou da sua quantidade de movimentoktemos

E=1 2mv

2₌ 1 2mk

2_,

o que corresponde a um valor deE sempre positivo na mecânica clássica. Na mecânica relativ´ıstica, por outro lado, a energia total é dada pela Eq. (1), que reescre-veremos agora de maneira um pouco diferente

E=_±c√m2

0c2+k2, (3)

em que introduzimos a nota¸c˜ao para a massa de repouso como m0, para distingui-la da massa relativ´ıstica que muitas vezes encontramos na literatura. Vemos que a Eq. (3) permite que a energia seja positiva ou negativa, numa rela¸c˜ao irracional com os quadrados do momento e da massa de repouso.

Este ponto é de grande importancia para a teoria das antipart´ıculas no cone de luz, e é por isso que vamos insistir na análise via teoria da relatividade restrita. A rela¸cão (3) é equivalente a

E= m0c 2

±

√ 1₋v2

c2

. (4)

A partir da Eq. (3), criou-se a defini¸c˜ao de massa relativ´ıstica,mrel, para simplificar a nota¸c˜ao,

mrel= m0

±

√ 1−vc22

=γm0, (5)

em queγ=±√ 1

1−v2

c2

e ent˜ao a famosa f´ormula de

Eins-tein poderia ser escrita genericamente tamb´em para corpos em movimento

E=mrelc2. (6)

A rela¸c˜ao dada pela Eq. (3), rigorosamente falando, deveria ser sempre escrita com um sinal _± antes da raiz como fizemos explicitamente. Foi assim que Dirac conectou as anti-part´ıculas da teoria de campos com a relatividade especial.

Um outro modo de analisar a questão é através do sinal do intervalo invariante. O quadrado do intervalo invariante do espa¸co-tempo de Minkowski é dado por

ds2₌_c2_dt2

−dx2

−dy2

−dz2_. ₍₇₎

Manipulando o quadrado do intervalo invariante e dividindo por dt2_{, obtemos o fator} _γ _{da seguinte} ma-neira

ds2

c2_dt2 = 1− 1 c2

(

vx2−vy2−v2z

)

= 1−v

2 c2 =

1 γ2 ds

dt =± c

γ . (8)

Usando este resultado na Eq. (5), permite reescre-ver a massa relativ´ıstica como

mrel= cm0 (±ds/dt).

Se tomarmos o sinal +, mrel será também positiva e a energia E =mrelc2 será positiva. Consequentemente, a escolha do sinal negativo − para o valor da massa relativ´ıstica implica um valor negativo para a energia E.

Vemos ent˜ao que o sinal da massa relativ´ıstica – e consequentemente o aparecimento de anti-part´ıculas – est´a relacionado com a escolha dos valores±ds/dt vis-tos na Eq. (8).

3. Part´ıcula e antipart´ıcula no cone de

luz

Podemos fazer algo semelhante no cone de luz. Usando as transforma¸c˜oes de coordenadas do espa¸co de Min-kowski para as coordenadas do cone de luz, temos

x+ =√1

2 (

x0+x3)

x−

=√1

2 (

x0

−x3)

x⊥=x1i+x2j, (9)

em que x0₌_ct_{é a componente temporal,}_x1_, _x2 _e_x3 são as componentes espaciais (x, y, z) respectivamente. O vetorx⊥ está contido no plano (x, y) e é transversal

`as compontentes (x+_{, x}−

).

Os momentos canonicamente conjugados `as coorde-nadas x+_{, x}− _e_x⊥ _s˜_{ao, respectivamente dados por}

k−

= √1

2 (

k0−k3) ,

k+ = √1

2 (

k0+k3) ,

k⊥ = (

k1, k2)

. (10)

O método usual de encontrar a rela¸cão da energia nas coordenadas do cone de luz é calcular o produto escalar kµkµ =c2m20 do quadri-momento nessas coor-denadas, com massa de repousom0, ou seja,

kµ_k

µ = c2m20 E

c2 2

−k2x−ky2−k2z = c2m20 2k+k−

−k⊥2 = c2m20 k− = c

2_m2 0+k

⊥2

2k+ (11) Note que a energia de uma part´ıcula livre no espa¸co-tempo de Minkowski ´e dada por k0 = E = _±c√

m2

(5)

quadr´atica de k0 _com _k _{em contraste com a} de-pendˆencia linear entre (k+₎−1 _e _k− _{nas coordenadas}

do cone de luz. Observe que na energia relativ´ıstica temos os dois sinais, e na Eq. (11) o sinal de k− _est´a

atrelado ao dek+_. O sinal da energiak−

depende do sinal dek+_. Va-mos agora, analisar com ajuda do quadrado do intervalo invariante do espa¸co-tempo no cone de luz se é poss´ıvel encontrar uma rela¸cão que nos mostre se o sinal da energia no cone de luz está associado ao sinal do qua-drado do intervalo invariante. Usando a Eq. (9) para reescrever a Eq. (7), temos

ds2 = (

dx+₊_dx−

√

2 )2

−dx2−dy2−

( dx+

−dx−

√

2 )2

= 2dx+dx−−dx⊥2. (12) Não escolheremos, como usualmente se faz, a coor-denada x+ _{como o “tempo” no cone de luz, mas} usa-remos o tempo próprio τ e a massa de repouso m0, pois são invariantes por mudan¸ca de referencial. Dessa forma

ds2

dτ2 = 2v +_v−

−v⊥2

m2 0ds2

dτ2 = 2k +_k−

−k⊥2, (

m0 ds dτ

)2

= 2k+_k−

−k⊥2, (13)

em que usamosv+,−,⊥₌ dx+,−,⊥ dτ ek

+,−,⊥₌_m

0v+,−,⊥, e sendo ds/dτ=±c, teremos

c2_m2

0= 2k+k

−

−k⊥2

k−

= c 2_m2

0+k

⊥2

2k+ . (14)

Vemos na Eq. (13) que, no cone de luz, não pode-mos associar o sinal da energia ao quadrado do intervalo invariante como anteriormente. A rela¸cão dada pela Eq. (14) é exatamente a que encontramos na Eq. (11). O sinal negativo para a energia – ou seja, a existência de anti-part´ıculas – é arbitrária, através da escolha do sinal de k+_{. Além disso, nas coordenadas do cone de} luz, como os sinais de k− _{e de} _k+ _{estão vinculados,} não há a possibilidade do aparecimento simultâneo de part´ıculas e antipart´ıculas.

4. Conclus˜

ao

Como na dinˆamica da part´ıcula no cone de luz o sinal da energiak−

está vinculado com o sinal dek+_{, a escolha} do sinal é totalmente arbitrária. Sendo assim, fica claro que não é poss´ıvel termos part´ıculas e antipart´ıculas si-multaneamente, uma vez escolhido o sinal, teremos um ou o outro, mas não os dois o mesmo tempo.

Esse resultado, muitas vezes referido como triviali-dade do v´acuo, na realitriviali-dade ´e apenas um artif´ıcio da

forma de descri¸cão da dinâmica no cone de luz, nada tendo a ver com a experiência. Os resultados experi-mentais nos garantem que há part´ıculas e antipart´ıculas subsistindo simultaneamente e que o vácuo quântico não é trivial.

No espa¸co-tempo da dinâmica na forma instantânea a rela¸cão de energia-momento é uma rela¸cão quadrática, de onde surge naturalmente os estados com energia positiva e negativa respectivamente interpretadosà la Feynman como part´ıculas e antipart´ıculas. Tal não ocorre quando utilizamos o espa¸co-tempo de Minkowski no cone de luz, onde a rela¸cão de Einstein entre ener-gia e momento é linear mas agora os sinais da enerener-gia k−

e do momento k+ _{estão vinculados. Desta forma,} o espa¸co de Fock dos estados quânticos das part´ıculas contém apenas part´ıculas (ou antipart´ıculas — a esco-lha é apenas uma questão de conven¸cão). Processos f´ısicos onde antipart´ıculas aparecem, no formalismo do cone de luz estão “camuflados” como efeitos subjacen-tes do modo zero - a singularidade da energia no limite quandok+

→0. Este fato introduz muitas sutilezas na forma da dinˆamica no cone de luz por ser uma dinˆamica singular.

Agradecimentos

L.A. Soriano agradece o apoio financeiro da CAPES. J.H.O. Sales agradece o apoio da FAPESB-Propp 00220.1300.1088 e a hospitalidade do Instituto de F´ısica Te´orica, UNESP, onde parte desse trabalho foi desen-volvido.

Referˆ

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