Alocação de modem PLC utilizando SNR em uma rede elétrica de baixa tensão

(1)

“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Ilha Solteira

FABIANO JOÃO LEONCIO DE PADUA

ALOCAÇÃO DE MODEM PLC UTILIZANDO SNR EM

UMA REDE ELÉTRICA DE BAIXA TENSÃO

(2)

FABIANO JOÃO LEONCIO DE PADUA

Alocação de Modem PLC Utilizando SNR em uma Rede

Elétrica de Baixa Tensão

Prof. Dr. Rubén Augusto Romero Lázaro.

Orientador

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia – UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica.

Área de Conhecimento: Automação.

(3)

(4)

(5)

(6)

Primeiramente, agradeço a Deus pela minha vida e oportunidades.

Também agradeço

Ao meu orientador, prof. Dr. Rúben Romero, e meu co-orientador, profº Dr. Marcos Rider, pela oportunidade e orientação.

À minha família, por sempre acreditar em mim e pelo apoio incondicional, a esposa Roberta e meus filhos Lucas e Luan.

Ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso – IFMT/Campus Cuiabá, pela iniciativa e apoio ao seu corpo docente, através do programa Dinter.

A todos os meus colegas do IFMT/Cuiabá/DAEE, pelo apoio e companheirismo, representados pelos professores Dr. Tony Inácio da Silva, coordenador operacional do Dinter, e Dr. Walterley de Araújo Moura pelos auxílios em circuitos.

Aos meus pais, Antônio Leôncio e Rosa Neide, por me darem todas as condições para eu estar aqui.

Aos meus amigos Edson Donizete, pela amizade e apoio local, ao Moisés V. Ribeiro, pela amizade e orientação, e ao Agameton Ramsés, pela amizade e revisão.

(7)

(8)

Esta tese apresenta um modelo matemático de programação linear inteira mista (PLIM) para o problema de alocação ótima de modems PLC em uma rede de distribuição elétrica de baixa tensão. O uso de um modem PLC pode provir aos consumidores acesso a dados externos, utilizando a infraestrutura da rede elétrica existente de baixa tensão. O uso de um modelo de PLIM garante a convergência ao ótimo, utilizando um software de otimização existente. O modelo proposto considera como principal restrição de operação a relação sinal/ruído (SNR) entre modems PLC. Uma matriz SNR é gerada através de um modelo de linha de transmissão baseado no circuito de duas portas (Quadripolo). Os resultados apresentados utilizam um sistema fictício com 7 postes e três sistemas reais com 13, 17 e 24 postes para testar a eficiência e precisão da metodologia proposta.

(9)

This thesis presents a mathematical model of mixed integer linear programming (MILP) to the optimal allocation problem of PLC modems in a low voltage electrical network distribution. Modem PLC can provide to the subscribers the access to external data using the existing infrastructure of low-voltage grid. Using a MILP model ensures the optimum convergence using existing optimization software. The proposed model considers as the main constraint of operation the signal noise ratio (SNR) between modems PLC. Matrix SNR is generated through a model of transmission line based on circuit of two ports (Quadrupole). The results presented using an unreal system with 7 poles and three real systems with 13, 17 and 24 poles to test the efficiency and precision of the proposed methodology.

(10)

Figura 1 Arquitetura de uma rede PLC...19

Figura 2 Diagrama esquemático de um Modem PLC. ...20

Figura 3 Diagrama de uma rede elétrica. ...23

Figura 4 Rede de distribuição PLC com topologia barramento. ...25

Figura 5 Rede de distribuição PLC com topologia estrela. ...26

Figura 6 Rede de distribuição PLC com topologia anel. ...26

Figura 7 Exemplo de uma topologia de rede de acesso. ...28

Figura 8 Exemplo de posicionamento do ponto de acesso à rede de dados. ...29

Figura 9 Exemplo de segmentação da rede de acesso PLC. ...30

Figura 10 Exemplo de uma rede de acesso PLC usando repetidores...31

Figura 11 Um diagrama de rede elétrica em baixa tensão...34

Figura 12 Poste ligando consumidores. ...35

Figura 13 Modelo de um canal de comunicação PLC. ...36

Figura 14 Representação de um segmento de uma linha de transmissão. ...36

Figura 15 Seção transversal de um cabo elétrico...37

Figura 16 Modelo de circuito PLC de duas portas com ramificação...39

Figura 17 Função de transferência sem e com ramificação...41

Figura 18 Curva PDF do ruído Gaussiano. ...43

Figura 19 Exemplo de Grafo...54

Figura 20 Exemplo de P-Medianas para o posicionamento de um transformador (T). ...56

Figura 21 Exemplo de BS e RR alocados. ...57

Figura 22 Modelo de uma rede de um ramo de rede elétrica BT. ...63

Figura 23 Rede de baixa tensão com 13 postes. ...64

Figura 26 Medidores de consumidores: quatro em um poste. ...67

Figura 27 Código em AMPL...68

Figura 28 Ilustração gráfica do resultado da Tabela 3...70

Figura 29 Número de RR necessário em função de K para a rede de 24 postes. ...71

Figura 30 Um ramal de uma subestação de energia elétrica da CEMAT em Mato Grosso. ...78

(11)

Tabela 1 Parâmetros utilizados nas simulações...41

Tabela 2 Parâmetros para uso no AMPL. ...66

Tabela 3 Atendimento dos RR da rede de 7 postes. ...69

(12)

AHC Algoritmo Heurístico Construtivo

AMPL A Mathematical Programing Language

ANATEL Agência Nacional de Telecomunicações

ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica

AT Alta Tensão

AWGN Additive White Gaussian Noise

B&B Algoritmo de Branch and Bound

BPL Broadband Power Lines – banda larga por meio de redes de energia elétrica

BS Modem PLC Mestre

BT Baixa Tensão

CENELEC Comité Européen de Normalisation Électrotechnique (European Committee for

Electrotechnical Standardization)

EMC Electromagnetic Compatibility

Ethernet Arquitetura de rede de computadores

FCC Federal Communications Commission

MODEM Equipamento de Transmissão/Recepção que faz Modulação e Demodulação

MT Média Tensão

NPL Narrowband Power Line

PL Programação Linear

PLC Power Line Communication

PLIM Programação Linear Inteira Mista

PPL Problema de Programação Linear

PSD Power Spectral Density

(13)

SNR Signal-Noise Rate

SS Modem PLC Consumidor

Tx Transmissor

USB Universal Serial Bus

VoIP Voice over IP – voz sobre o protocolo de internet

WAN Wide Area Network

WANAP Wide Area Network Access Point

(14)

ρ Resistividade do material condutor

γ Constante de propagação

µ Permeabilidade magnética (H/m)

ε0 Permissividade elétrica no vácuo (F/m)

Δd Comprimento de um segmento de uma linha de transmissão

εr Permissividade elétrica relativa (F/m)

µ0 Permeabilidade magnética no vácuo

A Área de seção transversal de um condutor

a Raio de um condutor elétrico (m)

bps Bit per second

C Capacitância

cinst _{Custo de instalação de BS e RR.}

cop _{Custo de operação de BS e RR}

d Distância entre condutores (m)

dB Unidade de medida decibel

dij Custo (distância) entre os pontos i e j

ƒ Frequência

G Condutância

i Índice origem

Ig Corrente de entrada

IL Corrente de saída

j Índice destino

(15)

L Indutância

M Número máximo de RR

nc Conjunto de circuitos

np Conjunto de postes

nr Conjunto de cruzamentos

p Representa os postes fixados

Q Número máximo de SS por poste

r Representa os pontos de cruzamento dos arcos

R Resistência

s Nível de SNR limite

sij Níveis de SNR entre BS e RR, RR e RR, e RR e SS

Sn(ƒ) PSD do Ruído (dBV2/Hz)

Sx(ƒ) PSD do Sinal de Entrada (dBV2/Hz)

T Transformador de potência

tan(δ) Fator de dissipação

u Representa os consumidores (usuários)

Vg Tensão de entrada

VL Tensão de saída

W Máximo de RR por BS e RR

x Define o SS

y Define o BS/RR

z Define a ligação entre BS/RR e RR/RR

Zbr Impedância da ramificação

(16)

Zs Impedância da fonte

ΩC Conjunto de cruzamentos em que não existe BS, RR e SS.

ΩP Conjunto de postes em que pode ser alocado o BS e o RR

(17)

1 INTRODUÇÃO 14

2 TECNOLOGIA PLC 17

2.1 ELEMENTOS BÁSICOS 17

2.2 PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO 19

2.3 REDE DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 21

2.4 TOPOLOGIA DA REDE PLC 24

2.5 REDES INTELIGENTES 32

3 MODELO DE UM SISTEMA PLC 34

3.1 LINHA DE TRANSMISSÃO PLC 35

3.2 RUÍDO ADITIVO GAUSSIANO BRANCO 42

3.3 A RELAÇÃO SINAL/RUÍDO (SNR) 43

4 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA 45

4.1 DEFINIÇÃO 45

4.2 O ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND 46

4.3 ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND PARA PLIM 50

5 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA 53

5.1 GRAFO 53

5.2 O PROBLEMA DAS P-MEDIANAS 55

5.3 A MODELAGEM MATEMÁTICA 56

6 TESTES E RESULTADOS 63

6.1 OS PARÂMETROS PARA O CÁLCULO DE SNR 66

6.2 PARÂMETROS PARA RESOLUÇÃO DA ALOCAÇÃO 66

6.3 SOFTWARE DE OTIMIZAÇÃO 67

6.4 TESTES E RESULTADOS ENCONTRADOS 68

7 CONCLUSÕES 72

REFERÊNCIAS 75

(18)

1 INTRODUÇÃO

Nos últimos anos vem ocorrendo um grande desenvolvimento e uma ampla disseminação de aplicações em redes de comunicação, como por exemplo, uso da tecnologia VoIP (Voice over IP). Nessa direção também vem crescendo a diversidade de tecnologias que proporcionam a comunicação em rede através de diferentes meios físicos. Desta forma, surge a comunicação de dados pela rede de energia elétrica em banda larga.

A ideia de utilizar o sistema de potência para comunicação de dados não é nova, pois tal método vem sendo utilizado em subestações, sistemas de transmissão e usinas hidroelétricas há anos. Essa tecnologia é chamada de Comunicação pela Rede Elétrica (PLC – Power Line Communication). A tecnologia PLC transforma a rede de sistema de potência em uma rede de comunicação, por meio da superposição de um sinal de informação de baixa energia ao sinal de corrente alternada de alta potência.

Recentemente têm surgido pesquisas aplicadas em montagem de redes de computadores utilizando PLC, (PRASANNA; CAMPOS; LI; MANNAH; NOUVEL, 2012), demonstrando haver suporte para diversos tipos de tráfego, tais como voz, dados e imagem. O grande motivo impulsionador do desenvolvimento dessa tecnologia é a facilidade de implantação de uma nova rede utilizando a rede elétrica já existente. Seu funcionamento pode ocorrer nas redes elétricas de alta tensão (AT), média tensão (MT) e baixa tensão (BT).

(19)

CENELEC respectivamente. Além disso, uma das principais organizações mundiais que propõe tecnologias em PLC é a HomePlug Alliance (ALLIANCE, 2000).

Diversas pesquisas em andamento procuram criar aplicações para a tecnologia PLC, dentre elas o provisionamento de acesso de banda larga (BPL), leitor de medidor automático (AMR) e rede inteligente (Smart Grid), de acordo com (HEO; LEE; KANG; KIM; KWON, 2007; PARK; HYUN; CHO, 2002; GALLI; SCAGLIONE; WANG, 2010). O acesso de banda larga permite que consumidores possam ter acesso à internet em alta velocidade através de uma conexão pela rede elétrica. O uso de AMR permite a leitura remota de um dispositivo (telemetria) para armazenamento de informações em uma estação centralizadora (servidor), como por exemplo, fazer o controle e monitoramento do consumo de energia elétrica de consumidores. Em redes inteligentes é possível antecipar e criar um ambiente que facilite o uso mais intenso da tecnologia em todo o ciclo da energia.

A rede de distribuição de energia elétrica é um meio extremamente hostil como canal de comunicação, principalmente devido à presença de ruídos gerados por motores, fontes chaveadas, reatores para iluminação, dentre outros. Sendo assim, há diversas pesquisas que vêm sendo realizadas com relação ao melhoramento do desempenho dos dispositivos PLC, (GIANAROLI; BARBIERI; PANCALDI; MAZZANTI; VITETTA, 2010; ZATTAR, 2011), bem como seus protocolos de comunicação,(TA; THOMPSON, 2011). Também é importante mencionar a respeito das técnicas de modulação e de processamento digital de sinais (DSP), que procuram minimizar as perdas na transmissão e recepção de sinais, como pode ser visto em (FERREIRA; LAMPE; NEWBURY; SWART, 2010; FERREIRA; MACHADO; RIBEIRO, 2009; MUSTAFA; RAO; MERCHANT; DESAI, 2010). A modulação OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) tem se destacado em sistemas de comunicação PLC devido, dentre outras coisas, sua maior eficiência.

(20)

(e.g., residência) e para o PLC Outdoor é definido a comunicação entre locais diferentes (e.g., subestação/residência).

Desta forma, esta tese apresenta uma solução para alocação de Modem PLC em redes de distribuição elétrica de baixa tensão baseada no cálculo do nível da relação Sinal/Ruído (SNR) medido em decibel. A SNR é baseada em vários parâmetros aplicados a uma linha de transmissão de dados. O problema de alocação de modem PLC está relacionado à sua localização em uma rede de acordo com determinados critérios. Trata-se, então, de um planejamento estratégico de posicionamento de modem PLC. Decisões sobre a melhor configuração para instalação de modems PLC estão relacionadas ao atendimento da demanda de consumidores e formato da rede elétrica. Além disso, pode propiciar decisões mais acertadas para redução de custos de equipamentos e instalação, bem como assegurar um bom funcionamento do sistema de comunicação.

(21)

2 TECNOLOGIA PLC

É uma tecnologia que faz transmissão de dados via rede elétrica, chamada de tecnologia de redes sem novos fios, (HRASNICA; HAIDINE; LEHNERT, 2004). Ela pode ser definida, segundo a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL, 2009), como um sistema de telecomunicações que utiliza a rede elétrica como meio de transporte para a comunicação digital ou analógica de sinais.

A PLC é um sistema de transmissão de dados que permite, em um mesmo fio condutor, transportar energia e dados, devido à diferença de faixa de frequência utilizada. Atualmente, vem sendo implementada em transmissão de dados uma estrutura ponto-multiponto e pode ser realizada na alta tensão (AT), média tensão (MT) ou baixa tensão (BT). A rede pode ser externa (AT, MT ou BT) ou interna (BT), variando em diversos países, como por exemplo, com relação à topologia, material dos condutores e tipo de cargas. Pode-se aplicá-la no acesso à Internet (BPL), na automação industrial (NPL) e nas medições à distância (telemetria).

2.1 ELEMENTOS BÁSICOS

São necessários alguns elementos básicos para compor uma rede PLC, para a realização da comunicação através de redes elétricas, (HRASNICA; HAIDINE; LEHNERT, 2004). Esses elementos têm como objetivo a preparação do sinal e conversão para a sua transmissão via rede elétrica, bem como a recepção de sinal. Para prover a comunicação de dados entre dois pontos usando PLC é utilizada a tecnologia de MODEM (MOdulação/DEModulação).

Os três principais elementos em uma rede de acesso PLC são:

• Modem PLC Mestre (BS): possui acesso a rede de dados;

• Modem PLC Repetidor (RR): repete o sinal e atende consumidores;

• Modem PLC Consumidor (SS): são os usuários finais.

(22)

Network Access Point), através da rede de distribuição de energia elétrica. Essa rede de dados pode ser um acesso à banda larga (Internet) ou pode ser um acesso a uma rede local corporativa. O BS é instalado, geralmente, em um ponto estratégico definido pela menor distância, para que possa atender a rede da melhor forma possível.

O Modem PLC Repetidor (RR) faz-se necessário quando as distâncias são grandes e/ou os níveis de sinais de comunicação estão baixos. O RR repete o sinal para outro Modem RR e/ou pode atender um Modem PLC Consumidor e, ainda, pode ser necessária a implantação de um ou mais RR, dependendo do tamanho e formato da rede elétrica que está sendo utilizada.

O Modem PLC Consumidor (SS) é conectado à rede elétrica através de um método de acoplamento específico. A interface do lado do usuário pode fornecer vários tipos de padrões para dispositivos de comunicação diferentes (e.g., Ethernet e USB) para a realização de transmissão de dados. Do lado da rede elétrica deve-se ter um acoplamento que mantenha uma separação segura e funcione como um filtro passa-alta do sinal de comunicação (e.g., acima de 1,7 MHz).

Há duas formas de conexão dos Modems PLC Consumidores à rede de acesso PLC:

• Conexão direta;

• Conexão indireta: através de Gateway (GW).

A conexão direta acontece quando os SS estão diretamente ligados aos BS. Não há separação entre as áreas interna (indoor- consumidor) e externas (outdoor– rede de acesso PLC), e o sinal de comunicação é transmitido diretamente pela rede elétrica. No entanto, as características das redes indoor e outdoor são diferentes, o que causa problemas adicionais em relação às características do canal de transmissão do PLC e problemas de compatibilidade eletromagnética. Portanto, a conexão indireta usando um Gateway é uma solução frequentemente utilizada para a ligação entre os SS e o BS.

(23)

que são especificadas para uso no acesso e na área indoor. O Gateway normalmente é instalado próximo à unidade consumidora de energia elétrica (medidor de energia). Ele também pode ser aplicado na passagem de sinal da média tensão para baixa tensão (como umby-pass) onde está situado o transformador de potência. Neste caso, o Gateway tem o objetivo de levar o sinal da rede de dados que está antes do transformador para os BS alocados na rede de distribuição elétrica.

2.2 PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO

A tecnologia PLC proporciona o uso do cabeamento das redes de distribuição elétrica já existente nas cidades como pontos de dados (e.g., voz, dados e imagem). Um cabo de rede elétrica padrão consiste de três condutores: fase, neutro e terra. A fase e o neutro são revestidos com isolamento e possuem espessura conforme a norma vigente ABNT. A comunicação de sinais pela rede elétrica é realizada pelos condutores fase e neutro. O usuário poderá conectar seu computador nas tomadas elétricas de sua residência ou trabalho, evitando ter que instalar novos cabos, como pode ser visto na Figura 1.

Figura 1 - Arquitetura de uma rede PLC.

Fonte: do próprio autor.

(24)

Para que seja possível a comunicação (transmissão e recepção) via rede elétrica é necessária a implementação de técnicas de modulação/demodulação, ilustrada na Figura 2. Sendo assim, em uma rede de comunicação de dados, sob a distribuição da rede elétrica, é necessária a instalação de equipamentos Modems PLC.

Esses Modems PLC interligam-se com dispositivos externos, tais como computadores, dispositivos de medição e relés. Uma rede de comunicação somente acontece se houver a instalação de pelo menos dois equipamentos na rede elétrica, sendo que os dados para uma transmissão podem ser modulados para uma única portadora (e.g., PSK e QAM) ou em um sistema de multi-portadora (e.g., OFDM e DMT). A modulação OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) tem sido mais utilizada na tecnologia PLC, a qual é uma técnica multi-portadora que divide a largura de banda disponível em várias bandas, através do emprego de sub-portadoras ortogonais.

É necessária a instalação de filtro para a obtenção da frequência desejada, o qual atua como um filtro passa-alta removendo as frequências baixas utilizadas na rede de distribuição elétrica, além de harmônicos e quaisquer outros espectros de baixa frequência que estejam na rede.

Figura 2 - Diagrama esquemático de um Modem PLC.

(25)

garantindo a segurança operacional do sistema e dos usuários. Os acopladores são utilizados tanto no transmissor como no receptor.

Do ponto de vista eletromagnético, a injeção do sinal PLC na rede elétrica resulta na radiação de um campo eletromagnético no meio ambiente, onde os cabos de alimentação agem como antenas. Este campo é visto como uma perturbação para o ambiente e, por essa razão, o seu nível não deve ultrapassar certo limite, chamado de compatibilidade eletromagnética (EMC). Compatibilidade Eletromagnética significa que o sistema PLC tem de operar em um ambiente sem perturbar a funcionalidade do outro sistema existente neste ambiente (HRASNICA; HAIDINE; LEHNERT, 2004).

De acordo com a ANATEL (ANATEL, 2009), a tecnologia PLC deve operar em MHz (1,705 MHz a 50,0 MHz). Lembrando que o sinal de energia elétrica utiliza faixas de frequência baixa (e.g., 50 e 60 Hz). Entretanto, os sinais de comunicação do PLC não poderão provocar radiações indesejadas em algumas faixas de frequência, chamadas de faixas de exclusão, as quais abrangem faixas de radiofrequências atribuídas ao Serviço Móvel Aeronáutico e Radioamador. Os dois sinais, de energia elétrica e de PLC, podem utilizar o mesmo meio, sem que um interfira no outro.

Também, de acordo com a ANATEL (ANATEL, 2009), a prestadora do serviço de telecomunicações deverá cumprir com as obrigações com a ANATEL provenientes da autorização do serviço de telecomunicação pertinente que fizer uso de sistema PLC para Banda Larga (BPL). Os equipamentos que compõem o sistema BPL devem possuir certificação expedida ou aceita pela ANATEL e atender às normas cabíveis, referentes ao sistema elétrico, expedidas pela ANEEL (ANEEL, 2009). A ANEEL regulamenta a utilização das instalações de distribuição de energia elétrica como meio de transporte para a comunicação digital ou analógica de sinais, por meio da resolução normativa nº 375.

2.3 REDE DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

(26)

Esses sistemas são construídos para fornecer energia elétrica a diferentes tipos de consumidores. Assim, devem atender as particularidades dos mesmos, satisfazendo diversos critérios de qualidade que são estabelecidos por órgãos competentes.

A energia elétrica gerada nas usinas é transmitida até os centros consumidores através de linhas de transmissão. Essas linhas são interligadas por meio de subestações, nas quais se localizam os vários transformadores necessários para controlar o nível de tensão, sendo as subestações das proximidades dos consumidores responsáveis pela distribuição da rede elétrica de média tensão (MT) e baixa tensão (BT). Por sua vez, a rede elétrica que chega a uma subestação é considerada de alta tensão (AT), e são redes utilizadas para interligar os centros de geração aos centros de consumo, geralmente percorrendo grandes distâncias.

Os valores das tensões de cada nível são dados por:

• Baixa Tensão (BT): até 1 KV;

• Média Tensão (MT): entre 1 KV e 64 KV;

• Alta Tensão (AT): acima de 64 KV.

A saída da rede elétrica da subestação é de média tensão (geralmente em 13,8KV) e distribuída em uma determinada região chamada de rede primária. As redes de média tensão são responsáveis pela interligação com regiões dentro de uma cidade, entre as subestações e também podem fornecer energia elétrica diretamente aos consumidores de maior porte como indústrias, hospitais, condomínios, dentre outros.

(27)

A Figura 3 ilustra um diagrama de uma rede elétrica de distribuição de energia elétrica em uma cidade. Observa-se que os consumidores estão no final da rede elétrica, sendo que os consumidores residenciais e comerciais podem ser chamados de consumidores de última milha (last mile).

Figura 3 - Diagrama de uma rede elétrica.

O cabeamento usado nas redes elétricas foi projetado, inicialmente, para o transporte de energia elétrica, que trabalha em baixa frequência (e.g., no Brasil é 60 Hz). Para a tecnologia PLC utilizam-se sinais de frequências mais elevadas (entre 1,7 e 50 MHz), sendo, portanto, necessária a realização de pesquisas quanto às características inerentes desse meio de transmissão (linhas de potência – power line), uma vez que tais características podem comprometer o desempenho de um sistema de comunicação PLC, tais como:

• Impedância;

• Seção do cabeamento;

• Atenuação;

• Interferência eletromagnética;

(28)

A impedância em um circuito elétrico equivalente pode ser definida como a impedância característica ZC. De acordo com (TAN; THOMPSON, 2011), a

impedância característica em uma linha de transmissão é definida em (1). A impedância também depende da carga conectada à rede elétrica (e.g., lâmpadas e chuveiros).

C j G

L j R Z_C

ω ω

+ +

= (1)

O sinal de propagação pode ser afetado pela seção e comprimento do cabeamento elétrico. Sendo assim, pode-se definir que, quanto maior a seção e comprimento (distância) do cabo (ou fio), maior é a atenuação do sinal de propagação. Além disso, a atenuação também depende da topologia da rede elétrica.

Quanto à interferência eletromagnética, ela pode ser gerada por outros serviços que operam na mesma faixa de frequência, em função de irradiações emitidas por frequência transmitida sem nenhum tipo de proteção (blindagem).

E por fim, há um nível de ruído que pode ser inserido em um sistema de transmissão, através de dispositivos conectados à rede elétrica ou na proximidade. A rede de baixa tensão é um ambiente bastante ruidoso e os piores causadores destes ruídos são os vários dispositivos elétricos e eletrônicos residenciais. Há alguns tipos de ruídos, tais como ruído impulsivo, ruído branco e ruído harmônico, sendo eles, em geral, quantificados pela relação Sinal/Ruído (SNR), medido em dB.

Atualmente, os dispositivos PLC possuem técnicas que evitam problemas de SNR, interferências e ruídos que comprometem seu funcionamento, (VIDAL, 2005; RATHINASABAPATHY; NAKKEERAN, 2012; SANYA, SWART; FERREIRA, 2013). E embora seja possível haver melhora no controle do ruído, sua atenuação é limitada pela potência do sinal, frequência e distância.

2.4 TOPOLOGIA DA REDE PLC

(29)

de distribuição elétrica pode ser construída em diferentes topologias (e.g., barramento, estrela, anel e malha) para atender os consumidores (ou também chamados de usuários).

2.4.1 Topologia da Rede de Distribuição PLC

A topologia da rede de distribuição PLC é dada pela topologia da rede de distribuição elétrica de média tensão. Essa topologia a ser escolhida tem de garantir um bom custo/benefício, mas também uma solução confiável (incluindo uma alternativa em caso de falha), e isso depende principalmente da localização das redes de acesso PLC. Essas redes de acesso PLC são as redes que estão ligadas aos consumidores.

A topologia da rede de barramento é uma das possíveis soluções que podem ser realizadas com baixo custo, como mostra a Figura 4. No entanto, o fator custo não é o único critério para a decisão sobre a topologia da rede de distribuição PLC. Um critério muito importante é a confiabilidade da rede, no caso de falhas de ligação (corte do link). Se uma ligação entre duas redes de acesso PLC falha (desconectada), as demais redes de acesso também poderão ser desconectadas.

Figura 4 - Rede de distribuição PLC com topologia barramento.

Fonte: Hrasnica, Haidine e Lehnert (2004).

(30)

Figura 5 - Rede de distribuição PLC com topologia estrela.

Também é possível a aplicação da topologia em anel, aumentando a confiabilidade da rede, conforme visto na Figura 6. No caso de uma falha em uma única ligação entre os pontos do anel, há sempre a possibilidade da realização de transmissão alternativa.

Figura 6 - Rede de distribuição PLC com topologia anel.

Finalmente, a topologia de uma rede de distribuição PLC também pode ser uma combinação de qualquer uma das três estruturas básicas de rede apresentada, configurando uma topologia chamada malha (mesh).

No entanto, a escolha de uma topologia de rede depende de vários fatores, entre outros:

(31)

• Disponibilidade de um meio de transmissão dentro da área de aplicação;

• Possibilidade da realização de redes de distribuição confiáveis;

• Estrutura geográfica favorável.

2.4.2 Topologia da Rede de Acesso

A topologia de uma rede de acesso PLC é dada pela topologia da rede de distribuição elétrica de baixa tensão. No entanto, uma rede de acesso PLC pode ser organizada de diferentes maneiras (e.g., localização da rede de dados e segmentação da rede), que podem influenciar a operação da rede.

As redes elétricas de baixa tensão usam várias tecnologias (e.g., diferentes tipos de cabos, aérea ou subterrânea e unidades de transformadores) em conformidade com as normas existentes, que diferem de país para país. A topologia de uma rede de baixa tensão também difere de lugar para lugar e depende de vários fatores, tais como:

• Local de Rede – A rede PLC pode ser instalada em uma área residencial, comercial ou industrial. Além disso, há uma diferença entre zonas rurais e urbanas.

• Demanda (Consumidor) – O número de usuários em uma rede de baixa tensão, sendo que a concentração da demanda varia de rede para rede.

• Comprimento da Rede – A maior distância entre a unidade de transformador e um consumidor dentro de uma rede de baixa tensão também difere de lugar para lugar.

• Projeto da Rede – As redes geralmente consistem de várias segmentações (ramificação), o que difere de uma rede para outra.

(32)

Figura 7 - Exemplo de uma topologia de rede de acesso.

Cada segmentação pode ter uma topologia diferente e interligar com um número variável de consumidores (usuários). Os consumidores podem ser concentrados, distribuídos de forma simétrica ou de forma assimétrica ao longo da rede elétrica de baixa tensão. Há também uma diferença entre os comprimentos dos segmentos, predominando a topologia do tipo árvore.

Os segmentos da rede de distribuição elétrica diferem uma das outras e não é possível especificar uma estrutura típica de rede para elas. No entanto, é possível definir alguns parâmetros característicos (Centrais Elétricas Matogrossenses – CEMAT, 2014):

• Número de consumidores em uma rede elétrica de BT: 300;

• Número de segmentos de rede: 3;

• Número de usuários em um segmento de rede: de 80 a 120;

• Comprimento da rede elétrica de BT: 200 m.

É importante observar que os consumidores de uma rede elétrica podem ou não serem usuários de PLC.

T

Segmentos

Consumidores (Usuários)

(33)

2.4.3 Organização da Rede de Acesso PLC

As redes elétricas de baixa tensão são usadas como um meio de transmissão para redes de acesso PLC. No entanto, existem várias possibilidades para a organização dos sistemas de acesso PLC usando a mesma rede ou múltiplas redes de baixa tensão. Assim, são consideradas várias possibilidades para o posicionamento de uma rede de dados, segmentação de rede, redes com repetidor e técnicas de gateway.

A rede de dados disponibiliza os serviços de dados (e.g., dados, voz e imagem) na rede de acesso PLC. Essa rede de dados pode ser chamada de WANAP (Wide Area Network Access Point) ou rede dorsal (backbone), havendo duas principais possibilidades para a alocação do ponto da rede de dados:

• A rede de dados é instalada na unidade de transformação (transformador) e a rede de acesso PLC mantém a mesma topologia da rede elétrica de baixa tensão, como mostrado na Figura 7;

• A rede de dados é situada nas instalações do consumidor ou qualquer outro local na rede (e.g., poste de rua), como mostra a Figura 8. A topologia da rede de acesso pode ser diferente da topologia da rede elétrica de baixa tensão.

Figura 8 - Exemplo de posicionamento do ponto de acesso à rede de dados.

Se a rede de dados não é alocada na unidade de transformação (T), o ponto central de dados da rede PLC muda para outro lugar na rede. No entanto, a posição da rede de dados pode ser alocada apenas ao longo da rede elétrica de distribuição

T

(34)

de baixa tensão. Isso pode causar variação nas distâncias entre a rede de dados e os consumidores.

A rede de acesso PLC pode ser incluída para atender toda rede elétrica de baixa tensão ou para incluir apenas parte de uma rede. Para reduzir o número de consumidores por sistema PLC é possível dividir a rede elétrica de baixa tensão em várias partes (e.g., um sistema de PLC por segmento de rede). Neste caso, vários sistemas PLC podem trabalhar simultaneamente em uma rede elétrica de baixa tensão.

A Figura 9 apresenta uma segmentação possível da rede de acesso PLC, que consiste em criar dois seguimentos. Cada segmento de rede tem um acesso à rede de dados que se conecta a um determinado número de usuários PLC. Desta forma, o número de usuários que compartilham a capacidade de rede disponível é reduzido.

Figura 9 - Exemplo de segmentação da rede de acesso PLC.

Dessa forma, a transmissão de dados pode ser realizada com menor potência do sinal, bem como menor distância de alcance. Há também um número menor de usuários em potencial em um segmento de rede, de tal forma que o compartilhamento de serviços da rede de dados é menor. Entretanto, a

T

(35)

segmentação da rede não se limita apenas às divisões de rede, pois cada parte de uma rede de acesso também pode ser como um sistema separado de acesso PLC. Isso causa uma redução ainda maior no tamanho da rede e no número de usuários conectados a uma rede de acesso PLC.

A distância que pode ser alcançada por redes de acesso PLC, garantindo certa taxa de transmissão de dados (bps), depende da potência do sinal injetado. Mas essa potência é limitada pela regulamentação nacional e, desta forma, limitando a distância de alcance. Assim, para que as redes de acesso PLC cubram uma grande área e garantam uma boa taxa de transmissão, tem-se a aplicação de repetição (repetidor), como mostra a Figura 10.

Figura 10 - Exemplo de uma rede de acesso PLC usando repetidores.

Os locais mais distantes da rede de comunicação estão conectados à rede de dados através de dispositivos repetidores, os quais recebem o sinal e retransmitem para outro segmento de rede. Os repetidores operam de forma bidirecional com frequências diferentes. A instalação dos repetidores tem certo custo que pode ser minimizado de acordo com a estratégia de seus posicionamentos (alocação).

Em se tratando de colocar gateways na rede elétrica, é possível que cada gateway possa controlar um conjunto de PLC e realizar a ligação com uma rede de

T Rede de Dados

(36)

dados. Os gateways simplesmente encaminham os dados entre os segmentos de rede e a rede de dados.

2.5 REDES INTELIGENTES

Uma rede de energia elétrica inteligente, também conhecida como Smart Grid, é um conceito de utilização de tecnologia de informação e comunicação na rede elétrica, através da possibilidade de comunicação na geração, transmissão, distribuição e consumo. Isso permitirá a implantação de estratégias de controle e otimização da rede de forma muito mais eficiente que as atualmente em uso.

A Smart Grid deve transformar o sistema elétrico em uma moderna rede que permitirá às concessionárias de energia e aos consumidores mudar a forma como disponibilizam e consomem energia. Ela executará continuamente o seu próprio diagnóstico, estabelecendo condições adequadas de balanço de energia da rede, analisando, localizando e respondendo em tempo real às necessidades de operação do sistema, adequando ou restabelecendo os componentes de rede ou das áreas afetadas por alguma condição incomum com um mínimo de intervenção humana (PASCALICCHIO, 2011). Contudo, essas realizações dependem da transmissão confiável de dados através da rede de informação e comunicação.

Algumas das principais tecnologias utilizadas em Smart Grid são (PRASANNA; CAMPOS; LI; MANNAH; NOUVEL, 2012):

• Tecnologias de Comunicação: comunicação integrada para permitir a comunicação nos dois sentidos, o que significa que cada parte da rede deve ser capaz de transmitir e receber.

• Componentes Avançados: avanços em supercondutividade, eletrônica de potência e armazenamento irá melhorar a funcionalidade da rede fim-a-fim. Além disso, tem a interconexão de recursos distribuídos, que inclui a geração de energia renovável e de distribuição, bem como os materiais inteligentes irão melhorar todo o sistema de potência.

(37)

melhorando a gestão do fluxo e aumentando, assim, a capacidade da rede.

• Melhor Controle e Personalização: são para monitoramento, diagnóstico e resolução de qualquer evento, bem como detecção de falhas e reparação automatizada de falhas. Programas eficazes de resposta à demanda podem ser implementados com os avanços nestas tecnologias.

(38)

3 MODELO DE UM SISTEMA PLC

A comunicação dos Modems PLC é feita de forma bidirecional, ou seja, a transmissão e recepção usam o mesmo meio físico. Porém, é necessário que sejam utilizados dois canais de comunicação (frequências diferentes). Um diagrama de rede elétrica em baixa tensão, a partir de um transformador (T), é ilustrado na Figura 11. Os círculos enumerados representam os postes, o círculo preto representa um cruzamento de cabos e os valores da ligação entre dois círculos representam a distância em metros.

Figura 11 - Um diagrama de rede elétrica em baixa tensão.

Em cada poste é possível ter um ou mais consumidores (usuários) ligados à linha de potência. Esse número de consumidores por poste varia conforme a região dentro de uma cidade, havendo mais consumidores por poste onde existir maior concentração de pessoas, dependendo também da capacidade do transformador de potência.

Para o desenvolvimento do modelo é inserido pelo menos um consumidor por poste com seu respectivo Modem SS. O Modem BS é instalado no poste onde se localiza o transformador, devido à sua centralização física na rede BT, bem como há em certos casos acesso WANAP para telemetria em transformadores.

(39)

ligado à rede elétrica de baixa tensão e envia e recebe comunicações ao longo dessa rede, podendo passar por repetidores (RR), até chegar ao modem SS. Na Figura 12 é mostrado um exemplo de conexão do poste.

Figura 12: Poste ligando consumidores.

Os postes que ligam cada consumidor à rede elétrica se constituem em diversos pontos de derivação geradores de reflexões. A combinação dos ruídos presentes nas linhas de baixa tensão, com as frequentes derivações e os elevados valores de atenuação total, faz dessas linhas um ambiente relativamente hostil para a transmissão de sinais de telecomunicações.

3.1 LINHA DE TRANSMISSÃO PLC

Uma linha de transmissão PLC pode ser representada como um sinal que sai de um transmissor (Tx) do Modem PLC e entra em uma rede elétrica. Em seguida, soma-se um ruído ao longo do caminho e que depois segue para o receptor (Rx) de outro Modem PLC, conforme é visto na Figura 13. A H(ƒ) é a resposta em frequência de um canal PLC.

(40)

ROBBA, 2010). Basicamente esses parâmetros dependem das dimensões físicas dos condutores e da natureza do dielétrico utilizado.

Figura 13 - Modelo de um canal de comunicação PLC.

Assim, se as linhas de transmissão consideradas forem subdivididas em segmentos, cada seção infinitesimal terá resistência (R), indutância (L), capacitância (C) e condutância (G). Na Figura 14 é apresentada uma representação de um segmento da linha de transmissão com comprimento Δd (KITAYAMA; ABE;

TANABE, 2009). Tem-se que VS é a tensão de entrada, VLé a tensão de saída, IS e

IL são as correntes. As linhas de transmissão tornam-se, portanto, uma sequência

em cascata de tais segmentos.

Figura 14 – Representação de um segmento de uma linha de transmissão.

A resistência de uma linha de transmissão pode ser obtida através da equação (2), onde ρé a resistividade do material condutor,l o comprimento total do

(41)

A l

R= ρ⋅ (2)

Entretanto, o valor da resistência (Ω/Km) também pode ser obtido por um catálogo técnico de um fabricante de cabo elétrico (PRYSMIAN, 2014), o qual fornece dados técnicos de um determinado cabo. Sendo assim, neste trabalho é usado um valor dado por um cabo de um fabricante especificado em seu catálogo técnico. A Figura 15 mostra uma seção transversal de um cabo elétrico.

Figura 15 – Seção transversal de um cabo elétrico.

O fluxo magnético produzido por uma corrente em um condutor resulta na indutância (H/Km) que pode ser obtida pela equação (3), (ANATORY; THEETHAYI, 2010), onde µ0 é permeabilidade magnética no vácuo, d é a distância entre

condutores eaé o raio do cabo elétrico.

a d L

2

0⋅

=

μ

(3)

A capacitância (F/Km) das linhas de transmissão (ANATORY; THEETHAYI, 2010) ocorre devido ao campo elétrico produzido entre os condutores e pode ser determinada pela equação (4), na qual εr e ε0 são as permissividades elétricas

relativa e no vácuo.

d a

C=2⋅ε_r⋅ε₀⋅ (4)

(42)

alguma corrente flua de um para outro. Esse valor é calculado conhecendo a frequência ƒ e o fator de dissipação dado portan(δ).

) tan( 2⋅

π

⋅ ⋅ ⋅

δ

= f C

G (5)

De acordo com (TAN; THOMPSON, 2011), uma linha de transmissão também tem parâmetros secundários que são apresentados pelas equações (6) e (7).

C j G

L j R ZC

ω ω + +

= (6)

(

R jωL

) (

G jωC

)

ρ = + ⋅ + (7)

Pelas equações (6) e (7), ZCe γsão a impedância característica e a constante

de propagação, respectivamente. A variável ω é a frequência angular. A impedância característica da linha de transmissão é a razão entre as ondas de tensão e corrente que se propagam em um dado sentido ao longo da linha. A constante de propagação caracteriza a maneira pela qual uma onda se propaga ao longo da linha de transmissão, com respeito às variações de fase e amplitude da mesma.

Na literatura pode ser encontrado um modelo clássico de linha de transmissão, (GIANAROLI; BARBIERI; PANCALDI; MAZZANTI; VITETTA, 2010), o qual se baseia em circuito de duas portas (Quadripolo). Um Quadripolo é um circuito qualquer com dois pares de portas, um par para a entrada do sinal através de uma fonte e um par para uma carga. Ele pode ser modelado matricialmente.

(43)

Figura 16 – Modelo de circuito PLC de duas portas com ramificação.

Os principais parâmetros envolvidos são: tensão da fonte VS, impedância na

fonte ZS, tensão do receptor VL, impedância no receptor ZL, circuito de duas portas

(Quadripolo ABCD representando os parâmetros primários) e a impedância da ramificação Zbr. A matriz de um circuito elétrico (ou matriz de transmissão), segundo

a lei de Kirchoff, para uma linha de transmissão é apresentada em (8).

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

L L S S

I

V

D

C

B

A

I

V

(8)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

)

cos(

)

sin(

1 )

sin(

)

cos(

D

C

B

A

l

Z

l

Z

l

C C

ρ

(9)

Baseando-se na Figura 16 e em (ESMAILIAN; KISCHISCHANG; GULAK, 2003), pode-se encontrar a impedância característica equivalente da ramificação de acordo com a equação (10).

) tanh( ) tanh( br br br C br br C br C eq d Z Z d Z Z Z Z

ρ

+ + = (10)

O γbr é a constante de propagação da ramificação, Zbr é a impedância

característica da ramificação e dbr é a distância entre a linha de transmissão e a

(44)

Então, a matriz ABCD pode ser dividida em quatro partes

M

=

∏

_i4₌₁

M

_i . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ) cosh( / ) sinh( ) sinh( ) cosh( 1 1 0 1 ) cosh( / ) sinh( ) sinh( ) cosh( 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 d Z d d Z d M Z M d Z d d Z d M Z M eq S ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

Sendo d1 a distância entre o transmissor e a ramificação e d2 a distância entre a ramificação e o receptor. Assim, a função de transferência do circuito da Figura 16 é calculada através da equação (11).

S S L L L S L Z Z Z Z Z f V f V f H d c b a ) ( ) ( ) ( + + + = = (11)

Em (11) os valores dea,b,cedsão obtidos da matriz M.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

d

b

a

M

Assumindo o diagrama da Figura 11 como referência, foram montados dois cenários para simulações de comunicação entre dois pontos utilizando o software Matlab:

• Sem Ramificação: O Modem BS é fixado no poste 1 e um Modem SS no poste 2, fazendo uma ligação ponto-a-ponto;

• Com Ramificação: O Modem BS é fixado no poste 1 e um Modem SS no poste 3, tendo o poste 2 como intermediário.

(45)

Tabela 1- Parâmetros utilizados nas simulações.

Parâmetro Definição Valor

ƒ Faixa de frequência (MHz) 30

μ Permeabilidade magnética (H/m) 1,257x10-6

ε Permissividade elétrica (F/m) 8,86x1012 d Distância entre condutores (m) 9,3x10-3 a Raio de um condutor elétrico (m) 2,8x10-3

tanδ Fator de dissipação 0,025

R Resistência (Ω/m) 0,443x10-3

C Capacitância (F/m)

r a

r⋅ ⋅

⋅ ₀

2 ε ε

L Indutância (H/m)

ar d ⋅

0

μ

G Condutância (S/m) ω⋅C⋅tanδ

ZS Impedância da fonte (Ω) 50 ZL Impedância do receptor (Ω) 50 Zbr Impedância de ramificação (Ω) 50 dbr Distância do poste ao consumidor (m) 5 Sn(ƒ) PSD do Ruído (dBV2/Hz) -120 Sx(ƒ) PSD do Sinal de Entrada (dBV2/Hz) -55

Figura 17 – Função de transferência sem e com ramificação.

(46)

3.2 RUÍDO ADITIVO GAUSSIANO BRANCO

Uma das formas possíveis de caracterizar os sinais é classificá-los em determinísticos ou aleatórios (estocásticos ou randômicos). Durante uma transmissão todo sinal está sujeito a uma perturbação por ruído. O ruído se refere a um sinal elétrico indesejado que está sempre presente em sistemas elétricos (SKLAR, 2001).

Cada canal de comunicação tem suas características particulares em termos de resposta em frequência e ruído. O ruído é de natureza aleatória, de forma que não é fácil prever seu valor em um determinado instante. Dessa forma, ele deve ser descrito com recursos e métodos estatísticos e estocásticos.

Os ruídos podem ser caracterizados:

• No domínio do tempo: propriedades estatísticas – por sua média μ e seu desvio padrão σ (ou variância σ2). Os ruídos se distribuem ao longo do tempo, segundo uma função densidade de probabilidade.

• No domínio da frequência: através da função densidade espectral de potência, a qual descreve a distribuição de potência do ruído em função da frequência.

Um modelo bastante utilizado em função de sua simplicidade matemática, e que se aplica a um grande conjunto de canais físicos, é o modelo de ruído aditivo gaussiano branco (AWGN – Additive White Gaussian Noise). Ele introduz nos sinais transmitidos um ruído modelado de forma estocástica.

A função densidade de probabilidade (PDF) de um ruído aditivo com

distribuição gaussiana, com média nula e variânciaσ2_{, é definida na equação (12) e}

ilustrada na Figura 18.

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − ⋅ =

σ

πσ 2

exp 2

1 )

(

2 2

n n

(47)

Figura 18 – Curva PDF do ruído Gaussiano.

Um modelo simplificado do ruído branco apresenta uma densidade espectral de potência plana para todas as frequências.

Os efeitos do ruído no desempenho dos sistemas de transmissão podem ser minimizados através da utilização de técnicas de projeto dos circuitos e através de filtragem. Dada à natureza aleatória do ruído, não é possível eliminar completamente o ruído em um sistema de transmissão.

3.3 A RELAÇÃO SINAL/RUÍDO (SNR)

O nível de influência de um ruído nos sistemas eletrônicos é apresentado de várias formas. Uma das mais importantes é a razão entre a potência do sinal desejado e a potência do ruído ou, simplesmente, razão sinal/ruído (SNR). A SNR permite avaliar de modo objetivo a eficiência de todo o processo de medição, orientado no sentido de enfatizar o sinal e minimizar a presença do ruído.

(48)

2 ) ( ) ( )

(f S f H f

S_y = _x ⋅ (13)

) ( ) ( )

(f S f S f

Sz = y + n (14)

Sendo em (13), Sx(ƒ) é a densidade espectral de potência do sinal de entrada.

Desta forma, é calculada a SNR pela equação (15).

∫

= W n W y df f S df f S SNR ) ( ) ( (15)

Em (15) Sn(ƒ) é a densidade espectral de potência do ruído aditivo e W é a

largura de banda do canal. Sendo assim, pode-se descrever melhor a expressão da SNR na equação (16).

∫

⋅ = W W ij x df f N df f H f S SNR ) ( ) ( ) ( 2 (16)

H(ƒ) é a função de transferência do canal PLC entre os nós origemie destino j. É considerado um ruído branco N(ƒ) de densidade espectral de potência (PSD) constante N0, para um sinal de entrada com PSD constante S0. Portanto, os valores

de Sx(ƒ) e N(ƒ) são baseados em valores medidos de forma prática e o valor de H(ƒ)

(49)

4 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

O campo da programação matemática é enorme e suas técnicas consagraram-se em face à sua grande utilidade na solução de problemas de otimização de diferentes áreas do conhecimento. A Programação Linear (PL) é a parcela fundamental da programação matemática e, portanto, é o modelo básico para programação matemática, segundo (GOLDBARG; LUNA, 2005). A PL consiste em métodos para resolver problemas de otimização com restrições, em que a função objetivo e as restrições são lineares em relação às variáveis de controle.

4.1 DEFINIÇÃO

Segundo (GOLDBARG; LUNA, 2005), pode-se formular de uma forma geral o problema de programação linear como segue:

∑

= ⋅ = n j j j x c z Otimizar 1

sujeito a:

n j e m i b x a _i n j j

ij , 1,2, , 1,2, ,

1 K K = = ≥ ⋅

∑

= 0 ≥ j x

Onde z é a função objetivo, ci denota o coeficiente de custo e xj são as

variáveis de decisão a serem determinadas. Os coeficientes aij são chamados de

restrições tecnológicas e seus valores podem ser dados por uma matriz

A.

O vetor

coluna bi representa os requisitos mínimos a serem satisfeitos. As restrições do tipo

xj≥0 representam as restrições de não-negatividades. Quando um conjunto de

variáveisxjsatisfaz todas as restrições é chamado de ponto factível ou vetor factível.

(50)

4.2 O ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND

A técnica de solução denominada Branch and Bound (B&B) é utilizada para resolver problemas de programação linear inteira mista (PLIM). Os problemas que se encontram nesta categoria podem ser representados usando a seguinte forma general:

( )

_∑

= ⋅ = n j j j x c x z Min 1 s.a: ) I ( I , , 2 , 1 para inteiro , , 2 , 1 , 0 , , 2 , 1 , 1 n j x n j x m i b x a j j i n j j ij ≤ = = ≥ = ≤ ⋅

∑

= K K K

A ideia básica da metodologia de B&B é aplicar a estratégia de dividir e conquistar (RENDÓN; ZULUAGA; LAZARO, 2007). Como o problema original é bastante difícil de resolver diretamente, o problema original divide-se em subproblemas menores, sucessivamente, até que estes problemas possam se resolver completamente.

A primeira fase é feita dividindo a região factível de um problema em sub-regiões pequenas. A conquista ou sondagem é realizada para encontrar um limitante da melhor solução que pode ter um subproblema (solução ótima parcial) para garantir que neste subproblema não seja encontrada a solução ótima global.

Então, há três ações básicas associadas ao algoritmo de B&B: Dividir - Limitar - Sondar (Branching–Bounding–Fathoming).

4.2.1 Dividir

Quando a solução de um problema ou um subproblema de PL não é inteira se deve selecionar uma variável para realizar a separação ou divisão (branching). Se xj

é a variável selecionada para dividir, tem-se que ∗ j

x representa o valor que essa

(51)

Usando a anotação

[ ]

∗ =

j

x o maior número inteiro menor ou igual a x∗_j, o

subproblema atual se divide em outros dois subproblemas adicionando as restrições

[ ]

∗ ∗ _≤

j j x

x e x∗_j ≥

[ ]

x∗_j +1. Cada restrição gerada é uma restrição adicional do

subproblema.

4.2.2 Limitar

Para cada subproblema é necessário obter a informação de uma limitante inferior, tão bom quanto possível, da melhor solução inteira que existe em um subproblema. A maneira mais simples de obter uma limitante é resolvendo um problema relaxado, ou seja, o PL correspondente do subproblema. Assim, se a solução de um PL correspondente produz uma função objetivo δ, então se pode afirmar que a melhor solução inteira que existe neste subproblema, z

( )

x , deve

satisfazer z

( )

x ≥δ (problema de minimização).

4.2.3 Sondar

Um subproblema pode ser conquistado (sondado) ou eliminado para futuras avaliações, no caso em que a solução do PL relaxado seja inteira, ou no caso em que a limitante do subproblema seja maior que a incumbente ou no caso em que a solução do PL seja infactível.

Prova de Sondagem – Um subproblema pode ser sondado se satisfazer uma das seguintes provas:

• Prova 1: Se a limitante δ satisfaz _≥ ∗

z

δ onde z∗ é a incumbente, a

qual é a melhor solução inteira já encontrada (problema de minimização).

• Prova 2: Se o PL correspondente é infactível.

• Prova 3: Se a solução do PL correspondente é inteiro. Neste caso se a solução inteira é melhor que a incumbente, então se deve atualizar a incumbente e aplicar novamente a prova 1.

4.2.4 Algoritmo Geral de B&B

(52)

1. Inicialização:

• Faça i = 0, definir o incumbente inicial e inicializar a lista de

subproblemas candidatos com o problema correspondente, ou seja, o problema original relaxado Po.

2. Prova de Convergência:

• Se a lista de problemas candidatos está vazia, então o processo termina e a incumbente atual é a solução ótima. Caso contrário, ir para o passo 3.

3. Seleção do Problema Candidato:

• Dos problemas LP que ainda não foram sondados (removido), escolher aquele problema que deve ser examinado usando alguma estratégia para identificar o problema mais atrativo para ser resolvido, entre os problemas armazenados na lista. Supondo que foi escolhido o PL do nó da árvore de B&B. Resolver o PL selecionado e armazenar a solução ótima deste LP como limitante inferior (LI) de todos os problemas decorrentes deste LP.

4. Provas de Sondagem:

• Problema PL representa um nó da árvore de B & B pode ser sondado, ou seja, eliminado de futuras avaliações se uma das seguintes condições for verdadeira:

(a) Se a solução do problema LP indica que o problema não é infactível. Neste caso, os problemas que se derivam dele também serão infactível e, portanto, não existe uma solução inteira para analisar.

(b) Se a solução do PL é maior do que a incumbente _> ∗

v vK

PL , onde ∗

v

é o valor da incumbente e K PL

v é a solução do LP. Neste caso, se

existe uma solução inteira na região factível do problema k, a

(53)

(c) Se a solução do PL é inteira para as variáveis inteiras. Neste caso, se tem encontrado a melhor solução inteira que existe na região factível do PL identificado por k. Então, o problema k também é

sondado porque foi encontrada a melhor solução inteira que existe na região factível do problema k. Deve-se verificar se a solução

inteira encontrada é de melhor qualidade do que a incumbente atual. Se for de melhor qualidade, a incumbente é atualizada e tem que repetir a prova (b) para tentar sondar (eliminar) alguns problemas a partir da lista usando nova incumbente. Se o problema foi sondado, depois de repetir a prova (b), retorne ao passo 2.

5. Separação:

• A partir da solução do PL escolhido, identificado por k, selecionar uma

variável para a separação. Neste caso seleciona-se uma variável inteira que tem um valor não inteiro na solução do problema k e usar

alguma estratégia de seleção de variáveis para a separação do problema k. Seja xj a variável selecionada para separar o problema k

e que tenha um valor x_j na solução do problema k. Portanto, os dois

problemas de PL gerados a partir do problema K

PL que está sendo

analisado assume a seguinte forma:

(

)

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ⇒ ∗ + j j K i x x PL

PL 1

(

)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ + ⇒ ∗ + 1 2 j j K i x x PL PL

• Onde

[ ]

∗ j

x é o maior inteiro em x∗_j.

• Fazer i =i+2 e retornar ao passo 3.

Observações:

• Seleção do PL candidato:

o No passo 3 do algoritmo B&B deve-se selecionar, da lista de

problemas de PL que ainda não foram sondados, o próximo problema de PL que se deve resolver primeiro.

(54)

o No passo 5 do algoritmo B&B se deve selecionar a variável

inteira que apresenta um valor não inteiro na solução do problema de PL que foi escolhida para resolver. Essa variável deve ser usada para gerar os dois novos problemas de PL.

• O número de problemas de PL que um algoritmo de B&B resolve, e que define o tempo de processamento do algoritmo, depende de forma determinante da maneira em que se tomam as decisões relacionadas com os pontos mencionados anteriormente.

4.3 ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND PARA PLIM

Pode-se definir os seguintes passos do algoritmo:

• Passo inicial:

1. Fazendo z∗ =∞ _{(incumbente inicial para o problema de}

minimização). Aplicar os passos de limitação, sondagem e a prova de otimalidade para o problema inteiro, ou seja, para o PL correspondente. Se o problema não é sondado classificar este problema como o primeiro problema ou subproblema a ser analisado.

• Passo para cada interação:

1. Divisão – Entre subproblemas restantes (não sondados), escolher o subproblema gerado mais recentemente (em caso de empate escolher aquele com menor limitante). Entre as variáveis inteiras cujo valor atual na solução do LP relaxado não é inteiro, selecionar a primeira variável na ordem natural como variável para divisão.

Seja xj essa variável e ∗

j

x _{seu valor atual. Gerar dois}

subproblemas adicionando a cada subproblema as restrições

[ ]

∗

≤ j j x

x

e ≥

[ ]

+1 ∗

j j x

x

.

(55)

3. Sondagem – Em cada um dos subproblemas gerados, utilizar as três provas de sondagem e descartar aqueles que satisfazem qualquer das duas provas de sondagem.

o Prova 1: Se z ≥z∗

PL , então o subproblema é sondado. ∗

z é a

incumbente.

o Prova 2: Se o PL relaxado é infactível, então o subproblema é

sondado.

o Prova 3: Se o óptimo do PL relaxado tem valores inteiros para

todas as variáveis inteiras, então o subproblema é sondado. Se a solução encontrada é melhor que a incumbente, então atualizar a incumbente e retornar a prova 1 para todos os subproblemas ainda não sondados.

• Prova de Otimalidade: Pare se todos os subproblemas foram sondados. A incumbente atual é a solução ótima. Em caso contrário realize outra interação.

Observações:

• No algoritmo se encontra uma limitante resolvendo o PL relaxado. Outra possibilidade é usar uma metodologia denominada relação lagrangeana.

• Para encontrar soluções ótimas alternativas devem-se fazer as seguintes modificações:

o Trocar a limitante ≥ z∗pela limitante >z∗.

o Cada vez que se encontra uma solução inteira com valor igual a

incumbente atual deve-se armazenar todas estas incumbentes.

o Se aparece uma incumbente de melhor qualidade, então

deve-se atualizar o armazenador de incumbentes.

(56)

selecionado existem várias estratégias para eleger a variável para divisão. Neste algoritmo básico se seleciona a primeira variável na ordem natural das variáveis inteiras com valor atual não inteiro. Também se usa a regra LIFO para selecionar o próximo problema que deve se resolver no processo B&B

• É desejável usar um algoritmo heurístico para encontrar um bom incumbente inicial com o propósito de melhorar a eficiência das provas de sondagem.

(57)

5 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA

Apresenta-se um problema de alocação de Modem PLC, BS e RR para atendimento de uma demanda de consumidores (Modem SS). A modelagem matemática desse problema pode ser formulada como sendo um problema de programação linear inteira mista (PLIM), devido ao valor contínuo de nível de SNR e ao valor discreto de alocação de Modem. A solução é de tal forma que seja possível encontrar um plano ótimo de localização e atribuição de Modems BS e RR que atendam aos Modems SS. Este problema também pode ser formulado como um problema de grafos, com arcos e vértices.

Os modelos em redes são definidos de acordo com as suas necessidades, sendo que os vértices normalmente representam os usuários e os arcos normalmente representam as redes de distribuição elétrica de baixa tensão de uma determinada região.

5.1 GRAFO

Considere G=(N;A) um grafo, (BAZARAA; JARVIS; SHERALI, 2009), N={1,2,...,n} o conjunto de vértices e A={1,2,...,a} o conjunto de arcos (BIGGS, 1994). Cada arco (i;j)∈A tem um custo dijassociado. Um arco (i;j) é considerado no

caminho somente se for possível satisfazer a restrição dij>0. A Figura 19 ilustra um

exemplo de grafo formado por cinco vértices interligados por arcos de distâncias dij.

Neste caso o custo envolvido entre vértices é a distância.

(58)

Figura 19 – Exemplo de Grafo.

No grafo, os arcos representam os cabos elétricos ou malha elétrica de baixa tensão e os nós representam os postes, onde os equipamentos relacionados com os usuários são instalados.

5.1.1 Grau do Vértice

O Grau de um vértice (nó) é o número de arestas (ligação) incidentes no vértice. Há arestas chegando ou saindo do vértice. Então, a soma das arestas que chegam e saem formam o grau do vértice, sendo neste trabalho o grau do poste é o número de cabos elétricos que estão ligados a ele.

5.1.2 Matriz de Adjacência

A matriz de adjacência é a representação mais intuitiva de um grafo. Consiste na matriz Mij que registra a existência de uma aresta entre dois vérticesie j, através

de um valor binário:

⎩ ⎨ ⎧ =

contrário caso

,

e entre aresta existe se , 0

1 i j

ij M

A matriz de adjacências tem complexidade de O(n2) sobre a quantidade de vértices presentes no grafo.

5.1.3 Sucessor e Antecessor

Seja um arco aij ligando dois pontos i e j, o sucessor de i é o vértice a ele

ligado, que no caso é o vérticej. No caso da ocorrência da relação inversa é dito que o vértice i é o antecessor do vértice j. Para o exemplo da Figura 19, há uma necessidade de fazer uma conexão entre os nós 1 e 3. O caminho a ser percorrido será 1-2-3, que utilizará as arestas d12e d23. Assim, o nó 1 é o antecessor do nó 2 e

(59)

5.1.4 Vetor

Essa é uma representação simples que determina a presença ou a ausência de uma aresta em um grafo. Um vetor binário de dimensão m tem cada posição

indexada a uma determinada aresta que pode estar presente ou não no grafo. É uma representação mais econômica em memória porque tem complexidade de O(m) sobre a quantidade de arestas do grafo.

5.1.5 Caminho

Um caminho é uma sequência de arestas em que todos os nós visitados são distintos. O caminho liga um nó i a um nó j passando, às vezes, por outros nós

intermediários. Um nó j pode ser alcançado a partir de um nó i, se existe um caminho deiaj.

5.1.6- Caminho Mínimo

Em uma rede, dependendo das suas características construtivas, podem existir vários caminhos entre um nó origem e um nó destino. Entre os caminhos possíveis, aquele que possui menor "peso" é chamado de caminho mínimo. Este peso pode ser representado pela soma dos atributos dos arcos que formam o caminho, tais como tempo de viagem, distância percorrida, etc.

Para resolver problemas desse tipo, há vários algoritmos, porém o algoritmo utilizado neste trabalho é o Algoritmo de Dijkstra (CORMEN; LEISERSON; RIVEST; STEIN, 2002). O algoritmo de Dijkstra identifica, a partir de um vértice do grafo, qual é o custo mínimo entre esse vértice e todos os outros do grafo. Neste trabalho o custo envolvido é o SNR, ou seja, o caminho a percorrer deve ser o menor em termos de perdas de sinal e não em distância.

5.2 O PROBLEMA DAS P-MEDIANAS