Teste de Hipóteses
1) Introdução
Com base em dados de uma amostra pode-se verificar se um determinado parâmetro ( ), relativo à população de onde essa amostra proveio, tem valor estatisticamente diferente de um valor especificado ( o).
Ex: Em uma pesquisa com 210 meninos de Curitiba, verificou-se que 13 eram daltônicos. Assim a freqüência relativa de daltônicos, nessa amostra, é
%. 19 , 6 0619 , 0 210 13 = ou
De acordo com a literatura, a probabilidade de um indivíduo do sexo masculino ser daltônica é de 8%.
Com base nos dados da amostra é possível concluir que a probabilidade de um menino, residente em Curitiba, ser daltônico, não é estatisticamente diferente de 8%.
Para chegar a esta conclusão deve-se fazer um teste de hipóteses, cujo procedimento introduziremos. Entretanto, para estabelecer conceitos, vamos utilizar outro exemplo que, embora artificial, é bem mais simples.
2) As hipóteses
Vamos supor que para saber se a proporção de crianças do sexo masculino, nascidas em certa localidade durante os últimos cinco anos, é estatisticamente diferente de 0,5, um pesquisador fez um levantamento de dados junto ao registro civil da localidade.
Vamos supor ainda que a amostra aleatória simples, obtida pelo pesquisador, tem tamanho n=8.
Como o problema já está configurado, podemos introduzir a terminologia técnica usada pelos estatísticos para proceder a um teste de hipóteses.
Desde que o pesquisador pretende saber se a proporção de crianças do sexo masculino, nascidas na localidade nos últimos cinco anos, é estatisticamente diferente de 0,5, são estabelecidas as hipóteses:
i) A hipótese da nulidade, representada por H , de que essa proporção é 0,5. 0 Escrevemos:
H0 :p=0,5.
ii) A hipótese alternativa, representada por H1, de que essa proporção é diferente de 0,5. Escrevemos:
Então, usando a terminologia própria, diremos que o pesquisador pretende testar 5 , 0 : 0 p=
H contra H1 :p≠0,5, com base em uma amostra aleatória simples de tamanho n=8.
3) Regra de Decisão
De acordo com o que estudamos em aulas passadas, nota-se que o número de registro de meninos, em um conjunto de n registros, é uma variável aleatória com distribuição binomial. Sob H , a proporção de crianças do sexo masculino, nascido na 0
localidade durante os últimos cinco anos, é p=0,5. Então, sob H , esperamos que em 0
amostras de 8 registros existam, em média, 4 registros relativos a crianças do sexo masculino. Parece bastante evidente que o pesquisador não deve rejeitar a hipótese de que a população de crianças do sexo masculino é p=0,5, se verificar que 4 dos 8 registros amostrados são de meninos.
Também é razoável estabelecer que, se na amostra o número de registro relativos a meninos estiver “próximo” de 4, o pesquisador não deve rejeitar a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino é p=0,5.
Por outro lado é razoável estabelecer que, se na amostra o número de registros de meninos estiver “distante” de 4, o pesquisador deve rejeitar a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino é p=0,5.
Sabemos que o número de registro relativos a crianças do sexo masculino, em um total de 8 registros, é uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor inteiro, entre 0 e 8, inclusive. Vamos considerar então que o pesquisador estabeleceu a seguinte regra de decisão, em função dos valores que podem ser assumidos por essa variável aleatória, que representamos por X:
i) se o número de registros relativos a meninos for muito pequeno, isto é, 0 ou 1, ou então for muito grande, isto é 7 ou 8, será rejeitado a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino é
5 , 0
=
p ;
ii) se o número de registros relativos a meninos assumir ou um valor igual à média ou um valor próximo da média, isto é, 2, 3, 4, 5 e 6, não será rejeitada a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino é p=0,5.
Usando a terminologia própria, diremos que o pesquisador estabeleceu a seguinte regra de decisão, mostrada graficamente na Figura 1.
i) Rejeitar H0 :p=0,5, se a variável aleatória X assumir valor 0, 1, 7 ou 8. tais valores constituirão a “região de rejeição”;
ii) Não rejeitar H0 : p=0,5, se a variável aleatória X assumir valor 2, 3, 4, 5 ou 6. tais valores constituirão a região de não rejeição.
Figura 1: região de não rejeição e região de rejeição para um teste de hipóteses bilateral.
4) Erro tipo I e Erro tipo II
Podemos agora ampliar nossa discussão sobre teste de hipóteses, fazendo a pergunta: a decisão tomada, com base na regra estabelecida, estará sempre certa?
Voltemos ao nosso exemplo e à regra de tomada de decisão estabelecida. O pesquisador pretende, com base em uma amostra de 8 registros, testar a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino, nascidas em uma certa localidade nos últimos cinco anos, é p=0,5. Ficou estabelecido que se o número de registro de meninos for igual a 0, 1, 7 ou 8, a hipótese de que p=0,5 deverá ser rejeitada.
Entretanto, mesmo que a proporção de crianças do sexo masculino nascidas na localidade durante os últimos cinco anos seja p=0,5, em uma amostra de 8 registro pode não aparecer nenhum registro de menino ou aparecer apenas 1. Também pode aparecer um número relativamente elevado de meninos, como 7 ou 8.
Então a regra de decisão que estabelecemos pode nos levar a rejeitar a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino é p=0,5, em casos onde essa hipótese é verdadeira. É claro que podemos modificar a regra de decisão. Entretanto, qualquer modificação apenas indicará que não é possível estabelecer uma regra que permita rejeitar
0
H , sem estarmos sujeito a erro. Afinal, tomamos uma decisão com base nos dados de uma
amostra. Portanto, embora a regra de decisão seja razoável, não podemos está certos de que a decisão tomada, em função dessa regra é correta.
Todo teste de hipóteses se baseia em dados de amostras. Portanto, todo teste de hipótese está associado a erros.
Denomina-se, tecnicamente, erro tipo I ao erro que consiste em rejeitar H , dado 0
que H é verdadeira. No nosso exemplo que estamos discutindo, o erro tipo I consiste em 0
rejeitar a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino, nascidas na localidade nos últimos cinco anos, é p=0,5, quando essa hipótese é verdadeira.
Também associa-se, aos testes de hipóteses, o erro tipo II, que consiste em não rejeitar H , dado que 0 H é falsa. Em nosso exemplo consiste não rejeitar a hipótese de que 0
a proporção de crianças do sexo masculino, nascida na localidade nos últimos anos , é
5 , 0
=
p , quando essa hipótese é falsa.
Região de Rejeição de H0 Região de Rejeição de H0 Região de não Rejeição de H0
5) Nível de significância × nível descritivo (valor-p)
Conforme acabamos de discutir, é perfeitamente possível que os dados de uma amostra nos levem a rejeitar H , em situações onde essa hipótese é verdadeira. Portanto, 0
quando rejeitamos H não sabemos se tomamos a decisão correta ou se estamos 0
cometendo erro tipo I. Entretanto, podemos determinar a probabilidade de estarmos cometendo esse tipo de erro.
Voltando ao nosso exemplo, o pesquisador estabeleceu que a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino é p=0,5 seria rejeitada, se X assumisse valor 0, 1, 7 ou 8. Entretanto, tais valores podem ocorrer quando p=0,5. Vejamos a probabilidade de X assumir valor 0, 1, 7 ou 8 quando p=0,5 e n=8. Basta calcular:
0039 , 0 0039 , 0 . 1 . 1 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 0 8 ) 0 (X = = 0 8 = = P 0312 , 0 0078 , 0 . 5 , 0 . 8 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 1 8 ) 1 (X = = 1 7 = = P 0312 , 0 5 , 0 . 0078 , 0 . 8 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 7 8 ) 7 (X = = 7 1 = = P 0039 , 0 1 . 0039 , 0 . 1 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 8 8 ) 8 (X = = 8 0 = = P
De acordo com o teorema da soma, podemos obter a probabilidade de X assumir o valor 0, ou 1, ou 7, ou 8. Para isso, basta calcular:
0702 , 0 00039 , 0312 , 0 0312 , 0 0039 , 0 ) 8 ( ) 7 ( ) 1 ( ) 0 ( = + + + = = + = + = + = =P X P X P X P X P
Lembremos que, de acordo com a regra de decisão estabelecida, a hipótese de que a proporção de crianças do sexo masculino é p=0,5, será rejeitada se o pesquisador verificar que o número de registro de meninos, na amostra, é 0, 1, 7 ou 8. Entretanto, tais valores podem ocorrer mesmo sob essa hipótese verdadeira. Ainda a probabilidade de ocorrer um desses valores é, conforme acabamos de calcular, 7,02 %. Então, se o pesquisador rejeitar H0 :p=0,5, porque X assumiu valor 0, 1, 7 ou 8, a probabilidade de cometer erro tipo I é dada pela probabilidade de ocorrer qualquer um desses valores sob
0
H , ou seja, 7,02%.
Denomina-se nível de significância do teste à probabilidade associado ao erro tipo I. O nível de significância é indicado pela letra grega α , geralmente é fixado em 0,05 ou 0,01. No nosso exemplo, o nível de significância associado ao teste é 0,0702.
A probabilidade de cometer o erro tipo II é indicada por β . Denomina-se poder do
teste à probabilidade de rejeitar H , dado que 0 H é falsa. Indica-se o poder do teste por 0
β
−
1 .
Vamos supor Agora que o pesquisador verificou que 7 dos 8 registros amostrados se referiam a meninos. Com base no que acabamos de discutir, o pesquisador deve rejeitar
0
H , ao nível de 7,02%. Também é comum expressar a mesma idéia através da seguinte
frase, bastante usada em pesquisa: “O resultado é siginificante ao nível de 7,02%”.
6) Teste de Hipótese bilateral baseado na distribuição normal
Para conduzir um teste de hipóteses, vamos recorrer ao nosso conhecimento da distribuição amostral da média. Assuma que a variável aleatória X tem média µ0 e
desvio-padrão σ conhecido. Assim, de acordo com o teorema do limite central
n X Z / 0 σ µ − =
tem uma distribuição normal padrão se o valor de n for suficientemente grande. Para uma amostra com média x, podemos calcular o resultado Z correspondente, chamado de
estatística do teste. Usando uma tabela da curva normal padrão para determinar a
probabilidade de obtermos um valor de Z que seja tão extremo ou mais que o observado. Por mais extremo, queremos dizer mais distante de µ na direção da hipótese alternativa.
Por contarmos com a distribuição normal padrão, um teste desse tipo é chamado teste-z. Quando o desvio-padrão da população não é conhecido, substituímos σ pelo valor da amostra s. Se a população original for normalmente distribuída, a variável aleatória
n s X t / 0 µ − =
terá uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade. Nesse caso, podemos calcular o resultado de t que corresponde a um dado x e consultar uma tabela para encontrar a probabilidade de obtermos uma média que seja mais extrema do que a observada. Esse procedimento é conhecido como teste-t.
−zα/2 zα/2
Região de não rejeição Região de
Assim, não rejeitaremos a hipótese de nulidade se Z <zα, caso contrário existe
evidências para se rejeitar a hipótese de nulidade.
Exemplo 1: Em uma pesquisa com 12 homens fumantes, com idade entre 20 e 74 anos,
mediu-se o nível sérico de colesterol. Assuma que o nível sérico de colesterol tem uma distribuição normal com média µ=211mg/100ml e desvio-padrão σ =46mg/100ml. Na amostra aleatória encontrou-se que o nível médio sérico de colesterol é
ml 100 / mg 217
x= . A um nível de significância α =0,05 (ou 5%), é plausível que esta amostra venha de uma população com média de 211 mg/100ml?
Queremos testar a hipótese nula de que
ml mg
H0 :µ =211 /100 contra a hipótese alternativa
ml mg
H1:µ ≠211 /100
Para responder essa pergunta, primeiro calcula-se a estatística do teste 45 , 0 12 / 46 211 217 n / X Z 0 = − = σ µ − =
Agora precisamos calcular o valor de referência zα/2, utilizando uma tabela de curva
normal padrão: 96 , 1 z zα/2 = 0,025 =
Comparando os valores temos que Z =0,45<1,96=zα/2, assim não existe evidências
para rejeitar a hipótese H . 0
Graficamente percebemos que o valor calculado pertence a região de não rejeição, portanto não existe evidências para rejeitar a hipóteseH . 0
-1,96 0,45 1,96
Conclusão: Assim, concluímos ao um nível de 5% de significância que a amostra de
nível sérico de colesterol foi extraída de uma população normal com média
ml 100 / mg 211 . R.não R. R.R . R.R.
R.R . R.R
. R.A
.
Exemplo 2: Considere a amostra aleatória de 10 crianças selecionadas da população de
bebês que recebe antiácidos com alumínio. A distribuição original dos níveis de alumínio no plasma para essa população é aproximadamente normal com média µ e desvio-padrão
σ desconhecidos. No entanto sabemos que o nível médio de alumínio no plasma para a
amostra de tamanho 10 é x=37,20 µg/l e que os desvio-padrão é s=7,13 µg/l. Além disso, o nível médio de alumínio no plasma para a população de bebês que não recebe antiácidos é 4,13 µg/l. Os dados de nossa amostra são provenientes de uma população com média 4,13 µg/l?
Para responder a pergunta, faz-se a aplicação de um teste de hipóteses, onde a hipótese nula é l / g 13 , 4 : H0 µ= µ e a hipótese alternativa é l / g 13 , 4 : H1 µ≠ µ
Queremos saber se µ é realmente maior do que 4,13 ou se é menor do que 4,13. Então, vamos assumir um nível de significância de 5%.
Por não conhecer o desvio-padrão σ da população, usamos um teste-t em lugar de um
teste-z. A estatística do teste é
67 , 14 10 / 13 , 7 13 , 4 20 , 37 n / s X t= −µ0 = − =
Agora precisamos calcular o valor de referência t(α/2;n−1gl.), utilizando tabela da
distribuição t 262 , 2 t t(α/2;n−1) = (0,025;9gl) =
Comparando os valores temos que t =14,67>2,262=t(α/2;n−1gl), assim existe evidências para rejeitar a hipótese H . 0
Gráficamente percebemos que o valor calculado pertence a região de rejeição, portanto existe evidências para rejeitar a hipóteseH . 0
-2,262 2,262 14,67
Conclusão: Assim, concluímos ao um nível de 5% de significância que a amostra
fornece evidências de que o nível médio de alumínio no plasma de crianças que recebem antiácido não é igual ao nível médio de alumínio no plasmas das crianças que não o recebem.
7) Teste de Hipótese unilateral baseado na distribuição normal
Antes de conduzirmos um teste de hipóteses, precisamos decidir se estamos preocupados com os desvios de µ que poderia ocorrer em ambas as direções – significando
médias maiores ou menores do que µ – ou somente em uma direção. Essa escolha
determina se consideramos a área nas duas extremidades da curva apropriada, quando calculamos um valor-p (valor descritivo) ou a área em uma única extremidade. A decisão precisa ser tomada antes que uma amostra aleatória seja selecionada, pois não pode ser influenciada pelos dados.
Se o conhecimento prévio indicar que µ não pode ser menor do que µ0, os únicos
valores de x que fornecerão evidências contra a hipótese nula
o
H0 :µ =µ
são aqueles muito maiores que µ0. E a hipótese alternativa como
o
H1:µ >µ .
z α
Assim, não rejeitaremos a hipótese de nulidade se Z <zα, caso contrário existe
evidências para se rejeitar a hipótese de nulidade.
Se o conhecimento prévio indicar que µ não pode ser maior do que µ0, os únicos
valores de x que fornecerão evidências contra a hipótese nula
o
H0 :µ =µ
são aqueles muito maiores que µ0. E a hipótese alternativa como
o H1:µ <µ . α z − Região rejeição Região de não rejeição Região de rejeição Região de não rejeição
Região rejeição
Região de não rejeição
Assim, não rejeitaremos a hipótese de nulidade se −zα <Z, caso contrário existe
evidências para se rejeitar a hipótese de nulidade.
Exemplo 3: Considere a distribuição dos níveis de hemoglobina para a população de
crianças com até seis anos, expostas a altos níveis de chumbo. Essa distribuição tem média
µ desconhecida e seu desvio-padrão é assumido ser σ=0,85 g/100ml. Para uma amostra aleatória com 74 crianças exposta a altos níveis de chumbo, tem-se um nível médio de hemoglobina de x=10,6 g/100ml. Em crinças, com até 6 anos, que não foram exposta a altos níveis de chumbo, o nível médio de hemoglobina de µ=12,29 g/100ml. A exposição de crianças a altos níveis de chumbo reduz o nível de hemoglobina?
Nesse caso queremos saber se µé menor que 12,29, assim vamos aplicar um teste de hipótese unilateral. A hipótese nula é
ml 100 / g 29 , 12 : H0 µ= e a hipótese alternativa é ml 100 / g 29 , 12 : H1 µ< . A estatística apropriada é 10 , 17 74 / 85 , 0 29 , 12 6 , 10 n / X Z 0 = − =− σ µ − =
Agora precisamos calcular o valor de referência z , utilizando uma tabela de curva α normal padrão 645 , 1 z zα = 0,05 =
Comparando os valores temos que −zα =−1,645>−17,10=z(α), assim existe
evidências para rejeitar a hipótese H . 0
Graficamente percebemos que o valor calculado pertence a região de rejeição, portanto existe evidências para rejeitar a hipóteseH . 0
-17,10 -1,645
Conclusão: Assim, concluímos a um nível de 5% de significância que o nível médio de
hemoglobina para crianças expostas ao chumbo é de fato mais baixo que a média para crianças não expostas.
Resumo de outros testes de Hipótese
i) Teste para a variância populacional σ 2
Hipóteses: 2 0 2 0 :σ =σ H < > ≠ 2 0 2 2 0 2 2 0 2 : 1 ) ( ) ( ) ( σ σ σ σ σ σ c b a H Estatística: 2 0 2 2 ( 1) σ χ = n− S onde: nula hipótese da valor amostral iância S amostra da tamanho n : var : : 2 0 2 σ Conclusões: (a) Se 2 ) 2 / ( 1 2 2 2 / 2 α α χ χ χ χ > ou < − => rejeita-se H 0 (b) Se 2 2 α χ χ > => rejeita-se H 0 (c) Se 2 1 2 α χ χ < − => rejeita-se H 0
ii) Teste para a proporção p Hipóteses: 0 0 :p p H = < > ≠ 0 0 0 : 1 ) ( ) ( ) ( p p c p p b p p a H Estatística: n p p p f Z ) 1 ( 0 0 0 − − = onde: amostra da tamanho n nula hipótese da valor p amostra na evento do relativa frequência f : : : 0
Conclusões:
(a) Se Z >zα/2=> rejeita-se H 0
(b) SeZ > => rejeita-se zα H 0
(c) SeZ<−zα=> rejeita-se H 0
iii) Teste para a diferença de duas médias µ1 e µ2
1) Dados emparelhados Hipóteses: 0 0 2 1 0 : D ou D H µ −µ = µd = < < − > > − ≠ ≠ − 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 : 1 ) ( ) ( ) ( D ou D c D ou D b D ou D a H d d d µ µ µ µ µ µ µ µ µ Estatística: n S D d t d / 0 − = onde: diferenças das amostra da tamanho n diferenças das amostra da padrão Desvio S testar quer se que diferença a para proposta valor D diferenças das amostra da média d d : : , : : 0 obs: n d d = i e ( . ) ) 1 ( 1 2 2 2 d nd n Sd i − − = Conclusões: (a) Set >t(α/2;n−1gl)=> rejeita-se H 0 (b) Set>t(α;n−1gl)=> rejeita-se H 0 (c) Set<−t(α;n−1gl)=> rejeita-se H 0
2) Dados não emparelhados; variâncias populacionais conhecidas Hipóteses: 2 1 2 1 0 :µ −µ =0 ou µ =µ H < < − > > − ≠ ≠ − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 : 1 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ ou c ou b ou a H Estatística: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( n n X X Z σ σ µ µ + − − − = Conclusões: (a) Se Z >zα/2=> rejeita-se H 0 (b) SeZ > => rejeita-se zα H 0 (c) SeZ <−zα=> rejeita-se H 0
3) Dados não emparelhados; variâncias populacionais desconhecidas, mas supostamente iguais ( 2 2) 2 2 1 σ σ σ = = e amostras independentes Hipóteses: 2 1 0:µ =µ H < > ≠ 2 1 2 1 2 1 : 1 ) ( ) ( ) ( µ µ µ µ µ µ c b a H Estatística: 2 1 2 1 ' 2 1 2 1 . ) ( ) ( n n n n S X X t + − − − = µ µ onde: 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 ' − + − + − = n n S n S n
S : média ponderada das variâncias amostrais
Conclusões:
(a) Set >t(α/2;φgl)=> rejeita-se H 0
(b) Set>t(α;φgl)=> rejeita-se H 0
(c) Set<−t(α;φgl)=> rejeita-se H 0
4) Dados não emparelhados; variâncias populacionais desconhecidas e supostas distintas, com amostras independentes
Hipóteses: 2 1 0:µ =µ H < > ≠ 2 1 2 1 2 1 : 1 ) ( ) ( ) ( µ µ µ µ µ µ c b a H Estatística: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( n S n S X X Z + − − −
= µ µ (para amostras grandes) ou
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( n S n S X X t + − − − = µ µ
Se usarmos a estatística “t” o número de graus de liberdade é calculado por: 2 1 1 ) ( 2 2 2 1 2 1 2 2 1 − + + + − = n v n v v v φ onde : 1 2 1 1 n S v = e 2 2 2 2 n S v =
(d) Teste para a igualdade de duas variâncias populacionais 2 1 σ e 2 2 σ Hipóteses: 2 2 2 1 0 :σ =σ H < > ≠ 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 : 1 ) ( ) ( ) ( σ σ σ σ σ σ c b a H
Estatística: 2 2 2 1 S S F =
com φ1 = n1−1 graus de liberdade no numerador e φ2 = n2 −1 graus de liberdade no
denominador. Conclusões:
(a) SeF <F1−α/2(φ1,φ2) ou F >Fα/2(φ1,φ2)=> rejeita-se H 0
(b) SeF >Fα(φ1,φ2)=> rejeita-se H 0
(c) SeF < F1−α(φ1,φ2)=> rejeita-se H 0
(e) Teste para a diferença de duas proporções populacionais p e 1 p 2
Hipóteses: 0 : 1 2 1 2 0 p = p ou p −p = H < − < > − > ≠ − ≠ 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 : 1 p p ou p p c p p ou p p b p p ou p p a H Estatística: 2 ' ' 1 ' ' 2 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( n p p n p p p p f f Z − + − − − − = sendo: 2 1 2 2 1 1 ' n n f n f n p + +
= ( média ponderada das proporções amostrais) Conclusões:
(a) SeZ >zα/2=> rejeita-se H 0
(b) SeZ > => rejeita-se zα H 0
(f) Teste para o coeficiente de correlação: Hipóteses: 0 0 :ρ=ρ H < > ≠ 0 0 0 : 1 ) ( ) ( ) ( ρ ρ ρ ρ ρ ρ c b a H Estatística: 2 1 2 0 − − − = n r r t ρ onde: amostral correlação de e coeficient r pares de total número n : : Conclusões: (a) Set >t(α/2;n−2gl)=> rejeita-se H 0 (b) Set>t(α;n−2gl)=> rejeita-se H 0 (c) Set<−t(α;n−2gl)=> rejeita-se H 0
(g) Teste para o coeficiente linear ou intercepto: Hipóteses: 0 0 :α =α H < > ≠ 0 0 0 : 1 ) ( ) ( ) ( α α α α α α c b a H Estatística: ) ( 0 a s a t= −α onde: 2 2 1 2 ) ( 1 ) ( s X X X n a s − + = Conclusões: (a) Set >t(α/2;n−2gl)=> rejeita-se H 0 (b) Set>t(α;n−2gl)=> rejeita-se H 0 (c) Set<−t(α;n−2gl)=> rejeita-se H 0
(h) Teste para o coeficiente de regressão ou angular da reta Hipóteses: 0 0 :β =β H < > ≠ 0 0 0 : 1 ) ( ) ( ) ( β β β β β β c b a H Estatística: ) ( 0 b s b t= −β onde: 2 1 2 2 ) ( ) ( X X s b s − = Conclusões: (a) Set >t(α/2;n−2gl)=> rejeita-se H 0 (b) Set>t(α;n−2gl)=> rejeita-se H 0 (c) Set<−t(α;n−2gl)=> rejeita-se H 0
