Progressões aritméticas e progressões geométricas

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

Progressões aritméticas e

progressões geométricas

Ricardo Ferreira Paraizo

Aula

10

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Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 241

Objetivos

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. identificar e calcular uma progressão aritmética; 2. identificar e calcular uma progressão geométrica; 3. utilizar o termo geral de uma progressão e a soma de seus termos.

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Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 241

Seqüências numéricas

Na Matemática, estudamos conjuntos numéricos (conjunto cujos elementos são números) quando os elementos desses conjuntos são dispostos obedecendo a uma determinada regra, o que chamamos de seqüência numérica.

As seqüências numéricas estão estreitamente associadas aos processos de con-tagem e ao desenvolvimento dos sistemas de numeração. Toda seqüência nu-mérica possui uma ordem para organização dos seus elementos, assim podemos dizer que em qualquer seqüência os elementos são dispostos da seguinte forma:

(a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n, ...) ou (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n), onde a₁ é o 1º elemento,

a₂ o segundo elemento, e assim por diante: a_n é o enésimo elemento.

Fonte: http://www.brasilescola.com/upload/e/sequencia%20numerica.jpg

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 242 Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 243 Vamos estudar duas seqüências importantes à progressão aritmética e à progressão

geométrica. As progressões são aplicadas aos mais diversos campos de estudos em matemática.

Progressão aritmética (PA)

Chama-se Progressão Aritmética (PA) toda seqüência numérica (a₁, a₂, ..., a_n)

cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante. A essa constante denominamos razão da PA, indicada por r.

Exemplos:

A = (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...) é uma PA de razão (r) = 3; B = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...) é uma PA de razão (r) = 2; C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PA de razão (r) = 0;

D = (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, ...) é uma PA de razão (r) = -10.

No exemplo anterior, os conjuntos A e B são PA crescentes, enquanto o conjunto C é uma PA constante e o conjunto D uma PA decrescente.

Uma PA crescente é toda PA em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r > 0).

Uma PA constante é toda PA em que todos os termos são iguais, para isso tendo a razão r que ser sempre igual a zero.

Uma PA decrescente é toda PA em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, para isso tendo a razão r que ser sem-pre menor do que zero (r < 0).

Termo geral de uma PA

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

a_n= a₁ + (n - 1)r

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 242 Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 243

Demonstração do termo geral de uma PA

• O valor de qualquer termo de uma PA é igual ao anterior mais a constante. • O valor do segundo termo de uma PA é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo de uma PA é igual ao segundo mais a constante:

• O valor do quarto termo de uma PA é igual ao terceiro mais a constante:

a₄ = a₃ + r = (a₁+ 2r) + r; portanto: a₃ = a₁+ 3r

• Como o número multiplicado pela razão é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula do termo geral de uma PA:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

Em suma, a demonstração pode ser vista desta forma:

a₁ a₂= a₁ + r a₃ = a₁+ r + r = a₁+ 2r a₄= a₁+ 2r + r = a₁ + 3r a₅= a₁+ 3r + r = a₁+ 4r a_n = a₁ + (n -1)r

Se a seqüência numérica (a, b, c) está em uma PA, então .

a₂ = a₁ + r.

a₃ = a₂+ r = (a₁ + r) + r; portanto: a₃ = a₁ + 2r

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Soma dos termos de uma PA

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética não infi nita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A seguir, vamos fazer uma demonstração de como nós chegamos a essa fórmula.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/ Carl_Friedrich_Gauss

Figura 10.2: Johann Carl Friedrich Gauss.

Johann Carl Friedrich Gauss foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Foi conhecido como o príncipe dos matemáticos e muitos o consideram o maior gênio da história da matemática. Ele possuía memória fotográfi ca, tendo retido nitidamente as impressões da infância e da meninice até a sua morte. Segundo história famosa, o diretor da escola onde ele estudava pediu que os alunos somassem os números inteiros de um a cem. Mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss demonstrou o seu talento sobre a mesa, dizendo: “Já sei! A resposta é 5050.” O raciocínio tem como base a demonstração da fórmula da soma de uma progressão aritmética, conforme adiante: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 2S = (1 + 100) + (1 + 100) + (1 + 100) + ... + (1 + 100) + (1 + 100) + (1 + 100) = 100(1 + 100)

Soma

O diretor da escola fi cou tão atônito com a proeza de um menino de dez anos que pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele desenvolver suas habilidades.

Saiba mais...

Sn₌n(a1+an)

(7)

Demonstração da soma dos termos de uma PA

• Podemos expressar uma PA de duas maneiras:

S_n = a₁ + (a₁ + r ) + (a₁ + 2_r ) ... + ... na – 2r + na – r + na

S_n = na + (na – r ) + (na – 2r ) ... + ... a₁ + 2r + a₁ +r + a₁

• Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo r se cancelam, e então ficamos com:

2S_n = (a₁+ a_n) + (a₁+ a_n) + (a₁ + a_n) … + … (a₁ + a_n) + (a₁+ a_n) + (a₁+ a_n) Simplificando, temos: 2 2 1 1 S n S n n n n n = + = + ( ) ( ) a a a a

Atende aos Objetivos 1 e 3

Atividade

1

Nayanna estava com um problema de vazamento de água no açude de seu sítio. O encanamento entupiu. A terra está absorvendo muito rapidamente a água. O poço

tinha capacidade para 7 m3_{de água. Ela observa que a cada 1 hora a terra está}

absorvendo uns 100 litros de água. Por quanto tempo Nayanna poderá deixar

esse vazamento continuar para ficar com pelo menos 3,5m3_{de água? Ou seja, ela}

poderá perder somente 3,5 m3_{de água?}

Ri car do Ferr eir a P ar aizo

(8)

O fazendeiro, Sr. Rodrigo, está querendo aumentar a produção de peixes do seu sítio seguindo esta tabela que seu filho o ajudou a montar:

Atividade

2

Ano Massa de peixe para venda

2006 800 kg

2007 900 kg

2008 1.000 kg

2009 1.100 kg

E assim sucessivamente…

Tendo um lucro de R$ 5,00 pelo quilo do peixe que vende na peixaria “Ki Peixe”, daqui a quanto tempo Rodrigo poderá ter aproximadamente R$ 50.000,00 para comprar um pedaço de terra e aumentar seu sítio?

Se Nayanna não conseguir conter a vazão do poço, o mesmo vai secar e os peixes nele contidos vão morrer.

(9)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 246 Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 247 Ri car do Ferr eir a P ar aizo

Rodrigo está discutindo com seu filho, que sabe matemática, sobre o tempo que deve esperar para ter um valor aproximado a fim de poder comprar um terreno com a venda de peixes da sua fazenda.

(10)

Um poceiro, para cavar um poço de 6 metros de profundidade, cobra R$ 50,00 pelo primeiro metro, R$ 100,00 pelo segundo, R$ 150,00 pelo terceiro etc. Quanto ele recebe pelo serviço todo?

Atividade

3

Fonte: www.sxc.hu

Quanto mais fundo for ficando o buraco do poço, mais difícil será furá-lo!

(11)

Progressão geométrica (PG)

Chama-se Progressão Geométrica (PG) toda seqüência numérica (a₁, a₂, ..., a_n)

cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao produto do termo anterior por um valor constante. A essa constante denominamos razão da PG, mas também chamamos de quociente de uma PG e indicamos por q.

é igual à constante q. Exemplos: A = (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2.187...) é uma PG de quociente (q) = 3; B = (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, ...) é uma PG de quociente (q) = 1/2; C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PG de quociente (q) = 1; D = (-3, 9, -27, 81, -243, 729, –2.187, ...) é uma PG de quociente (q) = –3. No exemplo anterior, o conjunto A é uma PG crescente, o conjunto B é uma PG decrescente, o conjunto C é uma PG constante e o conjunto D é uma PG oscilante. Uma PG é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, para isso tendo a razão q que ser sempre positiva e maior que 1. Uma PG é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, para isso tendo a razão q que ser sempre positiva e diferente de zero.

Uma PG é constante quando todos os termos são iguais.

Uma PG é oscilante (ou alternante) quando todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos têm sempre sinais opostos, para isso tendo a razão q que ser sempre negativa e diferente de zero.

Termo geral de uma PG

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é expressa da seguinte forma:

a_n = a₁ q(n - 1)

A seguir, vamos fazer uma demonstração de como nós chegamos a essa fórmula.

a a a a a a a a 2 1 3 2 4 3 1 = = =...= n =... n−−

(12)

Demonstração do termo geral de uma PG

Agora precisamos encontrar uma expressão que nos forneça o termo geral de uma

PG conhecendo apenas o primeiro termo (a₁) e a razão (q). Isso é possível graças

à lei de formação específica da PG. Seja (a₁, a₂, a₃, ... , a_n) uma PG de quociente q.

Temos: a₂ = a₁ . q a₃ = a₁ . q . q = a₁ . q2 a₄ = a₁ . q2_{. q = a} 1 . q3 a₅ = a₁ . q3_{q = a} 1 . q4

Continuando a seqüência, chegaremos ao termo a_n, que ocupa a n-ésima posição

da PG, dada pela expressão:

a_n = a₁. q(n - 1)

Atenção!

Se (a, b, c) estão em PG, então b2_{= a.c}

A soma dos termos de uma PG

Para demonstrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, consideramos duas seqüências geométricas Sn (Equação I) e q.Sn (Equação II). Subtraindo a Equação I da Equação II, temos:

S_n = a₁ + (a₁ . q ) + (a₁ . q2_{) + ... + (a} 1 . qn-1) (I) q . S_n = a₁ . q + (a₁ . q2_{) + .. + (a} 1 . qn-1) + (a1 . qn) (II) (II) – (I) q . S_n – S_n = -a₁ + a₁ . qn S_n(q – 1) = a₁(-1 + qn₎ Sn a q q n =

(

−

)

− 1 1 1

(13)

Os técnicos em agropecuária Rômulo e Pedro estão trabalhando numa pesquisa num laboratório de piscicultura e verificaram que os peixes do aquário estão morrendo. Parece que alguma moléstia atacou os peixes. Na semana da pesquisa, apareceu 1 peixe morto na segunda-feira. Na terça morreram 3 peixes. Na quarta morreram 9 outros. Se continuar essa progressão, no final de domingo quantos peixes terão morrido?

Atividade

4

Quantos peixes ainda restarão na experiência dos técnicos, no final de uma sema-na, se os mesmo estão morrendo em progressão geométrica?

(14)

Continuando a Atividade 4, resolva a questão:

É possível fazer a estimativa de quantos peixes, no total, morrerão até o domingo? Atende aos Objetivos 2 e 3

Atividade

5

(15)

O Sr. Vicente resolveu fazer uma criação de coelhos em sua chácara. Ele começou com dois casais. No final de um mês, desses casais nasceram mais 16 coelhos; no mês seguinte nasceram 80 coelhos. Verificou-se que o crescimento segue uma PG. Quantos coelhos esperamos ter na chácara de Vicente no final de 5 meses?

Na cunicultura do Sr. Vicente os animais estão crescendo muito rapidamente. Será que esse crescimento está em progressão aritmética ou geométrica?

Atividade

6

(16)

No primeiro ano de instalação de uma indústria, ela fabrica 106_{unidades de}

determinado produto, e a previsão é que a cada ano dobre a sua produção. Durante 10 anos, quantas unidades essa fábrica terá produzido?

Atividade

7

Fonte: www.sxc.hu Cr ai g J ewell

Numa indústria de água mineral embalam-se muitas e muitas unidades de garrafões por ano.

(17)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 254 Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 255 Resumindo...

• O estudo que fizemos nesta aula está ligado ao processo de contagem indireta, principalmente em se tratando de uma seqüência numérica muito extensa. Recorrendo a algumas fórmulas bem simples, fica muito fácil obter resultados de soma ou elementos dessas seqüências.

• PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA):

A representação dos termos de uma PA é (a₁, a₂, a₃, ... ,a_n, a_n+1 ...), onde:

a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = ... = a_n+1 – a_n = r.

• Fórmula do termo geral de uma PA − qualquer termo da PA pode ser obtido pela fórmula:

Em que: a₁ = primeiro termo; a_n = último termo;

n = número de termos; r = razão. • Fórmula da soma dos n primeiros termos da PA:

n = número de termos; S_n = soma dos termos.

• PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG):

A representação dos termos de uma PG é (a₁, a₂, a₃, ... ,a_n, a_n+1 ...), onde:

• Fórmula do termo geral de uma PG − qualquer termo da PG pode ser

obtido pela fórmula: a_n = a₁ . qn-1

n = número de termos; q = razão.

• Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita − Para obter a

soma dos n termos da PG (a₁, a₂, a₃, ... ,a_n) finita, usamos a fórmula:

Em que: a₁ = primeiro termo; q = razão;

n = número de termos; S_n = soma dos termos.

Sn₌(a1+a nn). 2 a a a a a a q n n 2 1 3 2 1 = =_...= + = S a q q n n = 1 1 1 ( −− ) −− a_n = a₁ + (n-1).r

(18)

Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos estudar Exponencial e Logaritmo.

Respostas das Atividades

Atividade 1

100 litros = 0,1 m3

Temos, aqui, um problema de PA: Vamos chamar de:

a₁ = 0,1 m3_{→ Volume de água perdido depois de 1 hora}

a₂ = 0,2 m3_{→ Volume de água perdido depois de 2 horas}

a₃ = 0,3 m3_{→ Volume de água perdido depois de 3 horas}

a_n = 3,5 m3_{→ Volume de água perdido depois de n horas}

Para calcular esse tempo, vamos usar a fórmula a_n = a₁ + (n – 1).r,

que é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA), em que

a_n = último termo = 3,5 a₁ = 1º termo = 0,1 n = número de termos = ? r = razão = a₂ – a₁ = 0,2 – 0,1 = 0,1 Substituindo a fórmula: a_n = a₁ + (n – 1).r 3,5 = 0,1 + (n –1).0,1 3,5 = 0,1 + 0,1.n – 0,1 3,5 = 0,1.n n = 35 horas 24 h + 11 h = 1 dia + 11 horas

(19)

Esse poço vai estar com 3,5 m3_{de água daqui a 1 dia + 11 horas. Nayanna}

precisa descobrir logo o que está agarrado dentro do cano, senão o poço ficará comprometido em termos de volume de água.

Atividade 2

Primeiro vamos ver quanto de lucro o Sr. Rodrigo ganha por ano. Se ele vende 800 kg no primeiro mês, então 800 x 5 = R$ 4.000,00 Completando a tabela:

(Supondo períodos sem inflação, ou seja, em que não haverá aumento no preço do peixe.)

Ano Massa de peixe para venda Lucro previsto

2006 800 kg R$ 4.000,00 = a₁

2007 900 kg R$ 4.500,00 = a₂

2008 1.000 kg R$ 5.000,00 = a₃

2009 1.100 kg R$ 5.500,00 = a₄

Temos aqui uma seqüência chamada de PA (Progressão Aritmética).

Nesse caso, precisamos somar todos os lucros obtidos, e a soma total precisa ser de R$ 50.000,00 (que é o valor que Rodrigo quer juntar).

Para saber o número de anos que ele precisa esperar para juntar tal valor, pre-cisamos usar a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA, que é:

Onde Sn = 50.000 (soma dos termos da progressão)

a₁ = 4.000

a_n (último termo) e n (número de termos) nós não temos. No entanto, podemos

calcular a_n com a fórmula usada no problema da vazão (problema anterior).

Então, usando a fórmula a_n = a₁ + (n –1).r, temos:

a₁ = 4.000

r = a₂- a₁ = 500

Então, substituindo na fórmula, temos:

a_n = a₁ + (n –1).r a_n = 4.000 + (n – 1 ).500 a_n= 4.000 + 500n – 500 a_n = 3.500 + 500n Sn₌(a1+a nn). 2

(20)

Agora podemos usar a fórmula de S_n para calcular o n, que será o número de anos

que você quer achar:

Multiplicando cruzado (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos:

100.000 = (7.500 + 500n)n

100.000 = 7.500n + 500n2

Trocando os membros, temos uma equação do 2º grau:

500 n2_{+ 7.500n – 1.000.000 = 0}

Fazendo a devida simplificação por 100 temos:

5n2_{+ 75n – 10.000 = 0}

Usando a fórmula de Baskara, podemos resolver esta equação do 2º grau:

∆ = b2_{- 4ac} ∆ = (75)2_{- 4.5(-10.000)} ∆ = 5.625 + 20.000 ∆ = 25.625 n = (-b ± 160)/2a = n´ = (-75+160)/10 ≅ 8,5 anos

8 anos e 6 meses é o tempo aproximado que ele deve esperar para comprar seu terreno.

Atividade 3

Aqui temos uma progressão aritmética (PA). Veja:

a₁ = R$ 50,00 → a₁ representando o preço que o poceiro cobra para furar o 1º

metro de profundidade do poço.

a₂ = R$ 100,00 → a₂ representando o preço que o poceiro cobra para furar o 2º

a₃= R$ 150,00 → a₃ representando o preço que o poceiro cobra para furar o 3º

Sn₌(a1+a nn).

2

50 000 4 000 3 500 500 2

(21)

a₆ = ? → a₆ representando o preço que o poceiro cobra para furar o 6º metro de

profundidade do poço.

Como queremos calcular o valor total que o poceiro cobra por todo o serviço, devemos calcular a soma dos termos de uma PA, cuja fórmula é:

Nós não temos o a_n, ou seja, a₆. Precisamos, então, calculá-lo! Vamos usar a

fórmula do termo geral da PA, que é a_n = a₁ + (n - 1).r

a₆ = 50 + (6 - 1).50

a₆ = 50 + (5).50

a₆ = 50 + 250

a₆= 300

Substituindo a fórmula de S_n, temos:

O poceiro recebe R$ 1.050,00 pelos 6m do poço perfurado.

Atividade 4

Isto é uma PG de razão 3. Vamos, então, calcular quantos peixes deverão morrer no final de domingo.

Vamos considerar a seqüência: a1 = 1→ Segunda-feira

a₂ = 3→ Terça-feira

a₃ = 9→ Quarta-feira (ontem)

a₄ = 27→ Quinta-feira (previsão no final do dia de hoje)

a₇ = Domingo

Aqui temos a razão q = 3

Por meio da fórmula para calcular o termo geral de uma PG, temos:

Sn₌(a1+a nn). 2 a a q a a a a n = ⋅ n = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = − − 1 1 7 1 37 1 7 1 36 7 1 729 7 729 Sn₌(a1+a nn). ₌( + )⋅ = ⋅ = ⋅ = _. 2 50 300 6 2 350 6 2 350 3 1 050

(22)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 260 Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 261 Se continuar assim, na segunda-feira seguinte Rômulo e Pedro terão poucos

peixes para desenvolverem a pesquisa.

Atividade 5

Se a seqüência continuar geometricamente, é só somar seus termos para sabermos aproximadamente quantos peixes, no total, estarão mortos até domingo.

Vamos, então, calcular a soma dos termos de uma PG. Consideramos:

a₁ = 1, n = 7 (número de dias, de segunda a domingo) e q = 3 (que é a

razão da PG)

Agora é só usar a fórmula substituindo esses valores:

Então, se a seqüência seguir uma PG, até domingo estarão mortos, no total, 1.093 peixes, somando-se todos os peixes que estão previstos de morrer de segunda a domingo.

Como foram colocados inicialmente 1.293 peixes no início da pesquisa, deverão

sobrar 200 peixes para terminarmos a pesquisa na segunda (a₈). Na terça,

provavelmente, não vai mais sobrar peixe.

Atividade 6

Como o Sr. Vicente começou com um casal, vamos considerar o total inicial (a₀)

de 4 coelhos. No final do 1º mês desse casal nasceram mais 16 coelhos (a₁), então

ficaram 20 coelhos (16 que nasceram + 4 que já existiam inicialmente). No final

do 2º mês (a₃) nasceram mais 80 coelhos, ficando 100 (20 + 80). Vamos, então,

ter a seguinte seqüência:

a₀ = 4 → Desconsiderar este número da seqüência;

a₁ = 20 →Total de coelhos no final do 1º mês;

a₂ = 100→ Total de coelhos no final do 2º mês;

a₃ = 500→ Total de coelhos no final do 3º mês;

a₅ = ? Total de coelhos no final do 5º mês → Esta é a questão.

Sn a q q Sn Sn Sn n = = ⋅ = ⇒ = = 1 7 1 1 1 3 1 3 1 2 187 1 2 2 186 2 1 093 ( ) ( ) ( . ) . . −− −− −− −− −−

(23)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 260 Aula 10 – Pr ogr essões aritméti cas e pr ogr essões g eométri cas 261 Temos, aqui, uma progressão geométrica de razão (q) igual a 5 →

Usando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos:

a_n = a₁ . qn-1

a₅ = 20. 55-1

a₅ = 20.54_{= 20.625 = 12.500}

O número de coelhos que se espera ter no final de 5 meses na chácara do Sr. Vicente é 12.500.

Atividade 7

a₁ = 106_{→ Total de unidades fabricadas no final do 1º ano}

a₂ = 2.106_{→ Total de unidades fabricadas no final do 2º ano}

a₃ = 4.106_{→ Total de unidades fabricadas no final do 3º ano}

a₁₀ = ? → Total de unidades fabricadas no final do 10º ano (n = 10)

Nesta atividade, precisamos calcular a soma de todas as unidades fabricadas durante os 10 anos de instalação da fábrica.

Como podemos ver pela seqüência anterior, temos uma progressão geométrica. Para calcular a somas dos termos da PG, usamos a fórmula:

S_n = 1.023.000.000

Durante 10 anos após instalada, essa fábrica terá fabricado o total de 1.023.000.000 (um bilhão e vinte e três milhões) de unidades.

a a 2 1 100 20 5 = =       S a q q S S S n n n n n = − − = − − = − = ⋅ 1 6 10 6 6 1 1 10 2 1 2 1 10 1 024 1 1 10 1 023 ( ) ( ) ( . ) .

(24)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 262

Referências bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática. 1999. v. 1. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD. 2000. v. 2.

IEZZI Gelson et al. Matemática: ciência e aplicação. 2. ed. São Paulo: Atual. 2004. v. 1.

PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1997. v. 2.

Sites

consultados

MARQUES, Paulo. Progressões matemáticas, PA. Disponível em: <http://www. algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html>. Acesso em: 14 jan. 2009.

MIRANDA, Daniele de. Progressão matemática. Disponível em: <http://www.bra-silescola.com/matematica/progressao-geometrica.htm>. Acesso em: 14 jan. 2009.

Progressões aritméticas e progressões geométricas