SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I APONTAMENTOS DE TRACÇÃO E COMPRESSÃO DINAR CAMOTIM

(1)

S

ECÇÃO DE

M

ECÂNICA

E

STRUTURAL E

E

STRUTURAS

D

ISCIPLINA DE

R

ESISTÊNCIA DE

M

ATERIAIS

I

A

PONTAMENTOS DE

T

RACÇÃO E

C

OMPRESSÃO

D

INAR

C

AMOTIM

(2)

(3)

Tracção e Compressão de Peças Lineares

T

RACÇÃO E

C

OMPRESSÃO DE

P

EÇAS

L

INEARES

1 OPROBLEMA DE SAINT-VENANT

 Considere-se uma barra prismática e homogénea submetida a um esforço normal constante N. A barra tem comprimento L e secção transversal de área A  ver a Figura 1.1. O material que a constitui é elástico linear, isotrópico e caracterizado pelos valores do módulo de elasticidade E e do coeficiente de Poisson .

Figura 1.1 Problema de Saint-Venant da tracção/compressão.

 Conforme se viu anteriormente, a resolução deste problema, através do método semi-inverso, conduz à solução:

0 23 13 12 22 11      A N  33  0 23 13 12    EA N   11 22  EA N  33  1 2 1 1 x kx k EA N u  ₂  x₂kx₁k₂ EA N u  ₃  x₃k₃ EA N u EA L N u L u L    3( ) 3(0) (alongamento/encurtamento da barra)





E L N ) ( V V       

(4)

 Observações

(i) A grandeza EA designa-se por rigidez axial e representa “o esforço normal que é

necessário aplicar numa secção para provocar uma extensão longitudinal unitária”. Mede a resistência da secção (barra) à deformação axial.

(ii) Em barras comprimidas as expressões apresentadas não são válidas para qualquer valor do esforço normal. O seu limite de validade é controlado pela esbelteza da barra (grandeza que depende da relação entre o comprimento e as dimensões e forma da secção transversal) e está associada à ocorrência de fenómenos de instabilidade  fenómenos geometricamente não-lineares que serão estudados posteriormente (nomeadamente na disciplina de Resistência de Materiais II).

2 PEÇAS LINEARES SUJEITAS A ESFORÇO AXIAL

 Na secção anterior recordaram-se expressões válidas para barras prismáticas, homogéneas, constituídas por um material elástico linear e isótropo, e submetidas apenas à acção de um esforço normal constante (i.e., sem variações de temperatura ou tensões iniciais). Estas expressões podem continuar a ser utilizadas se alguma ou algumas destas condições não forem verificadas, passando então a fornecer soluções aproximadas. Abordam-se em seguida os casos de barras:

(i) Submetidas a um esforço normal variável  N=N(x3). (ii) Com secção transversal variável  A=A(x3).

(iii)Heterogéneas  E=E(x1,x2,x3). Tratam-se separadamente as barras em que os vários materiais estão dispostos em série (E=E(x3)) e em paralelo (E=E(x1,x2)). (iv) Submetidas a variações de temperatura (uniformes na secção) T=T(x3). (v) Com tensões iniciais 0(x3)0.

 Saliente-se que em todas as situações anteriores se admite que o material (ou os materiais) que constitui a barra é elástico linear e isótropo  esta hipótese só será abandonada na disciplina de Resistência de Materiais II, onde se consideram materiais isótropos mas não elásticos lineares.

(5)

2.1 ESFORÇO NORMAL VARIÁVEL N=N(X3)

 Neste caso, as tensões, deformações e deslocamentos da barra são dadas por:

 

A x N x 3 3 33  

 

EA x N x 3 3 33  

 

EA x N x x 3 3 22 3 11     

 



  L dx x N EA L 1 ₀ ₃ ₃ 3 ₀

 

3 3 k3 1 3  

_

x N x dx EA u _{(E e A constantes)} Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.1, com comprimento L e secção transversal de área A, a qual está submetida à acção de uma carga P e do seu peso próprio  p(x3)=A. Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

Figura 2.1 Exemplo ilustrativo  esforço normal variável.

 

x3 P px3 N   N

 

0 P N

 

L P pL

 

3 3 3 33 x A P A x p P x      

 

3 3 3 33 x E EA P EA x p P x       





E L EA PL L p PL EA dx x p P EA L L 2 2 1 1 2 2 0 3 3                 

_

  3 3 32 3 2 3 3 3 0 3 3 3 1 k 1 ₂ k ₂ k 3 _ __ _ _             

_

x E x EA P x p x P EA dx x p P EA u x 

(6)

2.2 SECÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL A=A(X3)

 Antes de mais, deve referir-se que se admite aqui uma variação da secção transversal da barra A=A(x3) fraca (necessariamente contínua), por oposição a uma variação forte (e.g., uma variação brusca ou a existência de furos ou entalhes). Este último caso será abordado, de forma sucinta, no final desta secção.

 Se a variação da secção transversal da barra for fraca, as tensões, deformações e deslocamentos que nela ocorrem são razoavelmente aproximados pelas expressões:

 

_{ }

3 3 33 x A N x  

 

3 3 33 x EA N x  

 

_{ }

3 3 22 3 11 x EA N x x     

 



  L dx x A E N L ₀ ₃ 3 1   3 0 ₃ 3 3 1 k 3 _ 

_

x dx x A E N u _{(N e E constantes)} Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.2, com comprimento L e secção rectangular de altura constante (h) e largura variável (b(x3)  variação linear entre b0 e bL), a qual está submetida à accção de um esforço axial constante N. Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

(7)

 

A b h A 0  ₀  ₀ A

 

L  A_L b_Lh

 

x h L b b b x A L          3 0 0 3

 

_

_

3 0 0 3 33 1 x b b L b h NL x L    

 

_

_

3 0 0 3 33 1 x b b L b Eh NL x L   





_  















        

_

L L L L L x b b L b ln b b Eh NL dx x b b L b Eh NL L ₀ ₀ ₃ ₀ 0 0 3 3 0 0 1 1



_



_ _  0 0 ln b b b b Eh NL _L L









0



0



3





3 0 3 _ ln b L b b x k b b Eh NL u _L L Exemplo Ilustrativo

Determinar o perfil de igual resistência de uma barra submetida à acção de uma carga P e do seu peso próprio  p(x3)=A (ver a Figura 2.3).

Figura 2.3 Exemplo ilustrativo  perfil de igual resistência.

Perfil de igual resistência:

_{ }

 

constante x A x N 3 3

 

x3 A A A

 

0  P  A₀ 

 

3  



03

 

3 3  



03

 

3 3 x x dx x A P dx x p P x N

(8)

Tracção e Compressão de Peças Lineares Secção x3: N

 

x3 A

 

x3

 

3  3 x A x N Secção x3+dx3: N

 

x3 dN A

 

x3 dA

 

    dA x A dx x A x N 3 3 3 3

 

    







  dA A dx A N dA x A dx x A x N  _ _ _ 3 3 3 3 3 C x A dx A dA dA dx A        ₃ ₃ ln ₃      

 

3 0 3 3 0 0 0 ln ln 0 x A x A e x A A A C A A     _ _           

 

    3 3 33 x A x N E  33 E L L  3 x3k3 E u   Observações

(i) Quando a variação da secção transversal da barra for forte (e.g., uma variação brusca ou a existência de furos ou entalhes) as expressões anteriores constituem uma má aproximação na vizinhança da zona barra onde ocorre essa variação. De facto, a distribuição das tensões normais deixa de ser uniforme nessa zona  ver a Figura 2.4.

(a) (b) (c)

Figura 2.4 Distribuição das tensões normais em barras com (a) uma variação brusca da secção transversal, (b) um furo circular e (c) dois entalhes semi-circulares.

(9)

O valor fornecido pelas expressões apresentadas (med) subestima a tensão máxima instalada na barra (max), devendo ser “corrigido” por meio de um factor K cujo valor depende da forma da secção e do tipo e características geométricas da sua variação (max=Kmed)  existem na literatura expressões que fornecem valores de K. (ii) Apesar da observação anterior, numa barra em que a variação da secção (A(x3)) seja

descontínua e caracterizada por troços prismáticos constantes adopta-se a solução aproximada (N e E constantes e barra constituída por n troços prismáticos):

 

i A N  1 33 

 

i i EA N  33 

   

1 1 22 1 11 EA N     



   n i i i A L E N L 1 3 1 1 3 1 1 3 k      _  



    m i i m m i i i L x EA N EA NL u com



     m i i m i i x L L 1 3 1 1

Como o perfil de igual resistência de uma barra submetida ao seu peso próprio e a uma carga P é difícil de fabricar (ver o último exemplo ilustrativo), considera-se muitas vezes uma barra contituída por vários troços prismáticos  ver a Figura 2.5. As características de um perfil “de igual resistência” desse tipo são determinadas através das expressões anteriores (i.e., admitindo distribuições de tensões uniformes).

(10)

2.3 BARRAS HETEROGÉNEAS E=E(x1, x2, x3) 2.3.1 MATERIAIS DISPOSTOS EM SÉRIE E=E(X3)

 

A N x3  33 

 

_{ }

A x E N x 3 3 33  

 

_{ }

A x E N x x 3 3 22 3 11     

 



  L dx x E A N L ₀ ₃ 3 1   3 0 ₃ 3 3 1 k 3 _ 

_

x dx x E A N u _{(N e A constantes)}

 Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x3) não é contínua mas sim por troços constantes (correspondentes aos n materiais  comprimentos Li e módulos de elasticidade Ei), tem-se:

 

A N i  33 

 

A E N i i i   33

   

A E N i i i   11  22 



   n i i i E L A N L 1 3 1 1 3 1 1 3 k        



    m i i m m i i i _x _L A E N A E NL u com



     m i i m i i x L L 1 3 1 1 (N e A constantes) Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.6, a qual (i) está submetida ao carregamento indicado e (ii) é constituída por quatro troços prismáticos e homogéneos  cada troço tem as seguintes características:

Troço : N1= 3P A1=A E1=E L1=L Troço : N2= 4P A2=A E2=2E L2=1.5L Troço : N3= 2P A3=1.5A E3=2E L3=1.5L Troço : N4= P A4=A E4=1.5E L4=2L

Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

(11)

Tracção e Compressão de Peças Lineares A P 3 1   A P 4 2   A P 3 4 3   A P   4  EA P 3 1  EA P 2 2   EA P 3 2 3   EA P 3 2 4   EA PL EA PL EA PL EA PL EA PL L 3 25 3 4 3 3        3 3 1 33_EAP x k u (0x3 L)  ₃  ₃ 2 3 3_EAPL2_EAP x L k u (Lx3 2.5L)  ₃  ₃ 3 36_EAPL2_EAP x 2.5L k u (2.5Lx3 4L)  ₃  ₃ 4 3 7_EAPL2₃_EAP x 4L k u (4 Lx3 6L)

2.3.2 MATERIAIS DISPOSTOS EM PARALELO E=E(X1, X2)

 Admite-se que a barra funciona como um todo, o que implica que a aderência entre os vários materiais impede quaisquer deslocamentos (deslizamentos) relativos entre eles.

 A existência de uma distribuição uniforme de tensões normais conduziria agora a extensões longitudinais variáveis nas secções transversais da barra (E=E(x1,x2)), o que contraria a hipótese anterior (não ocorrerem deslocamentos relativos entre os vários materiais). Assim, as condições de equilíbrio não são suficientes para determinar o campo de tensões e o problema diz-se estaticamente indeterminado (ou hiperstático).

 É necessário recorrer a condições que envolvem as deformações que ocorrem na barra

 equações de compatibilidade, as quais traduzem o facto de as extensões longitudinais terem de ser uniformes nas secções da barra (única forma de estas sofrerem apenas translacções de corpo rígido na direcção longitudinal). Elas têm a forma:



 







33 x1,x2  x1,x2 constante  Tem-se, então:

(12)

























_



_





                         A A A A N dA x , x E x , x E x , x dA x , x E N N dA x , x E x , x E x , x N dA x , x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1







  AE x ,x dA L N L 2 1





3 3 2 1 3





k



E

x

,

x

dA

x

N

u

A

 Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x1,x2) não é contínua mas sim por áreas constantes, correspondentes às zonas da secção ocupadas pelos n materiais  áreas

Ai e módulos de elasticidade Ei. Trata-se de um problema hiperstático de grau n1, definido pelas equações

N A E A n i i i n i i i 







 1 1   equação de equilíbrio n ,..., j 1 j   para 2  equações de compatibilidade (n1)

e cuja solução é dada por (Ni é a parcela do esforço normal absorvida porcadamateriale admite-sequetodososmateriaistêmomesmo coeficiente de Poisson):

 

N A E E n i i i i i i



   1 33  

 



   _n i i i i A E N 1 33  

   

11_i  22 _i  N A E A E N _n i i i i i i



  1



   _n i i iA E L N L 1 3 3 1 3  k



 x A E N u _n i i i  Observações

(i) A rigidez axial da secção (barra) é agora dada por



 n i i iA E 1 .

(ii) As parcelas do esforço normal absorvidas por cada um dos materiais (Ni) são proporcionais aos respectivos valores da rigidez axial (EiAi).

(iii) Admite-se que o único elemento de redução não nulo da distribuição de tensões normais determinada, no centróide da seccção transversal, é o esforço normal N  esta hipótese é trivialmente satisfeita se a secção exibir dupla simetria (geométrica e material).

(13)

No caso geral, o qual será abordado na disciplina de Resistência de Materiais II, os elementos de redução não nulos da distribuição de tensões normais, no centróide da seccção transversal, são o esforço normal e os dois momentos flectores.

Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 2.7, a qual (i) está submetida a uma tracção uniforme N e (ii) é constituída por dois materiais, a e b, dispostos em paralelo (a secção da barra tem dupla simetria geométrica e material) e com as áreas e módulos de elasticidade indicados. Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

Figura 2.7 Exemplo ilustrativo barra heterogénea com materiais em paralelo.

EA N A E A E N b b a a b a 20        A N N EA Ea a 4 20    4 N A Na a a  A N N EA E_b b 20 20    4 3 N A Nb b b  EA NL L 20   ₃ ₃ k₃ 20   x EA N u

2.4 BARRAS SUBMETIDAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA T=T(X3)

 

₃ 0 33 x   ₃₃

 

x₃ T

 

x₃ ₁₁

 

x₃ ₂₂

 

x₃ T

 

x₃

 



    L dx x T L ₀ ₃ ₃ 3 ₀  3 3 k3 3_ _ 

_

x T x dx u  _(N=0;_{e E(x}₁_,_x₂_{) constantes)}

(14)

 A grandeza  designa-se por coeficiente de dilatação térmica linear e é uma característica de cada material. Representa “a extensão linear provocada por uma variação de temperatura unitária” e as unidades em que se exprime são (ºC)1_

recorde-se que a extensão linear é uma grandeza adimensional.

 Observações

(i) Em barras heterogéneas, tem-se, no caso geral, =(x3) (materiais em série) ou

=(x1,x2) (materiais em paralelo)  neste último caso, continua a admitir-se que a secção transversal da barra possui dupla simetria geométrica e material.

(ii) Barras estaticamente determinadas sujeitas apenas à acção de uma variação de temperatura apresentam tensões nulas em todos os seus pontos. No caso de barras estaticamente indeterminadas, uma variação de temperatura provoca, em geral, um estado de coacção  tensões não nulas mas que equilibram forças aplicadas nulas (i.e., “equivalentes a zero”). Estas afirmações permanecem válidas no caso de estruturas, conforme se verá na secção 3.

Considere-se a barra representada na Figura 2.8, a qual está submetida a (i) uma tracção uniforme N e (ii) uma variação de temperatura variável longitudinalmente T=T(x3). Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.

Figura 2.8 Exemplo ilustrativo barra sujeita a tracção e variação de temperatura.

 

A N x3  33  ₃₃

 

₃ T

 

x₃ EA N x    ₁₁

 

₃ ₂₂

 

₃ T

 

x₃ EA N x x    

 



     L dx x T EA L N L ₀ ₃ ₃ 3 3 ₀  3 3 k3 3_ _   x

_

x T x dx EA N u 

(15)

Considere-se a barra heterogénea (dois materiais dispostos em paralelo) representada na Figura 2.9, a qual está submetida a uma variação de temperatura constante T. Pretende-se

determinar os campos de tensões e deformações instalados na barra.

Figura 2.9 Exemplo ilustrativo barra heterogénea sujeita a variação de temperatura.

       a a a a a A E N T      b b b b b A E N T                    b a b b b a b a N N EA N T EA N T N N 10 15 2 0                                                T T E T E T EA T N EA T N a b a b a b 5 7 5 7 6 5 2 6 6 L T L    5 7 3 3 3 k 5 7 _ _  T x u                 0 tracção compressão 0 0 compressão tracção 0       a b a b T T

O estado de tensão caracterizado por a e b é um estado de coacção: 0 mas 0 e 0        _a _a ,

_

_A dA _aA_a _bA_b .

2.5 BARRAS COM TENSÕES INICIAIS (OU RESIDUAIS)MAS =0)

 Definem-se tensões iniciais (ou residuais) de um corpo como as tensões que correspondem ao estado natural do corpo, isto é, ao estado do corpo não solicitado por acções exteriores. Assim, as tensões inicias são auto-equilibradas, na medida em que equilibram forças

(16)

exteriores nulas. É ainda habitual considerar o estado natural do corpo como o seu estado indeformado (ij=0). Então, o estado natural pode ser caracterizado por (i) N=0,

33=0 e ij=0 (tensões inicias nulas) ou por (ii) N=0, 330 e ij=0 (tensões inicias não nulas  estado de coacção).

 Admitindo que o valor das tensões inicias não varia longitudinalmente, as tensões, deformações e deslocamentos da barra são dadas por:



1 2



0



1 2



33 , x,x A N x x    

 









E x x x x EA N x 33 1 2 0 1 2 3 33 , ,        

 



 

 ₁₁ x₃  ₂₂ x₃  EA NL L  ₃ x₃k₃ EA N u (N, E e A constantes)

Exemplo Ilustrativo  Pré-Esforço

 Pode definir-se pré-esforço como a operação que consiste em aplicar uma determinada solicitação a uma estrutura (neste caso uma barra) com o objectivo de melhorar a sua capacidade resistente a outras solicitações, a aplicar posteriormente. Aborda-se aqui o caso de barras de betão armado (betão + aço) submetidas a um esforço normal de tracção.

 Sabe-se que (i) no aço as resistências à tracção e à compressão são sensivelmente iguais, e que (ii) a resistência à compressão do betão é significativamente maior que a sua resistência à tracção (muito pequena). Deste modo, a resistência de uma barra de betão armado à tracção é condicionada pela muito pequena resistência do betão a tensões de tracção.

 Este facto sugeriu a realização de uma operação de pré-esforço, a qual visa aumentar a resistência da barra (e do betão) a um esforço normal de tracção e compreende os passos que se descrevem em seguida:

(i) Considera-se um varão de aço submetido a um esforço de tracção Fp, designado por “força de pré-esforço”.

p i a F N  a p i a A F   a a p i a A E F   a a p i a A E L F L  

(17)

(ii) Envolve-se o varão de aço com betão, mas mantêm-se os dois materiais independentes.

p ii a F N  a p ii a A F   a a p ii a A E F     0 a a p ii a A E L F L (peq. defs.) 0  ii b N _bii 0 _bii 0 Lii_b 0

(iii) Provoca-se a aderência entre os dois materiais, de modo a impedir totalmente qualquer deslizamento relativo, e retira-se o esforço Fp, o que equivale a aplicar um esforço (Fp) ao conjunto aço + betão  note-se que quando se retira Fp os dois materiais já estão a trabalhar solidariamente.

         b b a a a a p iii a A E A E A E F N 1 p b b a a a a p iii a F A E A E E A F     p b b a a b b iii b F A E A E A E N    _p b b a a b iii b F A E A E E     b b a a p iii b iii a A E A E F        b b a a p iii b iii a A E A E L F L L L        

Obteve-se assim uma barra de betão pré-esforçado (pré-esforço Fp), onde está instalado um estado de coacção caracterizado por tensões de compressão no betão e tensões de tracção no aço. De algum modo, “transferiu-se” alguma resistência à tracção do aço para o betão. O estado natural da barra de betão pré-esforçado é:

p b b a a a a p a F A E A E E A F    0  _a0 0 p b b a a b b F A E A E E    0  _b0 0 L A E A E L F L b b a a p _         1 (pequenas deformações)

(18)

(iv) Aplica-se à barra de betão pré-esforçado um esforço normal N (de tracção  caso contrário, a operação de pré-esforço teria sido prejudicial).

(troca os s por As)





b b a a a a p p iv a A E A E A E F N F N    





b b a a a p a p iv a A E A E E F N A F     





b b a a b b p iv b A E A E A E F N N   





b b a a b p iv b A E A E E F N     b b a a iv b iv a A E A E N       b b a a iv b iv a A E A E NL L L L                aço no tracção e betão no Compressão aço no e betão no Tracção p p F N F N 2.6 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

 Na Teoria da Elasticidade mostrou-se que a energia de deformação (U) armazenada num corpo elástico é dada por

0 U dV W

U 



_V 

onde U0 é a energia intrínseca (energia armazenada pelo corpo no seu estado natural) e W é a densidade da energia de deformação (por unidade de volume) associada às acções exteriores a que o corpo está submetido.

 No caso de o corpo ser constituído por um material elástico linear e isótropo W toma a forma:



kl kl





ij ij



ij



ij ij



ijkl T T T H W        0    2 1

onde os coeficientes Hijkl podem ser expressos em termos de duas constantes e se tem:





0 ij ij kl kl ijkl T H     

(19)

 Logo, a energia de deformação (U) armazenada no corpo é dada por:







T



dV U _ij _ijo _ij _ij V      

_

2 1

 Consideram-se em seguida as expressões da energia de deformação relativas a uma série de casos particulares:

(I) Peças Lineares (barras)









0 3 0 0 2 1 U dx dA T U 

 

L _A _ij _ij _ij  _ij 

(II) Peças Lineares onde apenas existem esforço axial e tensões normais 33









0 3 0 33 0 33 33 2 1 U dx dA T U 

 

L _A     

(III) Caso (II) + Ausência de variações de temperatura e tensões iniciais

3 0 33 33 2 1 dx dA U 

 

L _A 

(IV) Caso (III) + Secções transversais homogéneas (materiais dispostos em série)

3 0 2 3 0 2 2 3 0 ₂ 1 2 1 2 1 dx EA N dx dA EA N dx dA EA N A N U 

 

L _A 

 

L _A 



L Exemplo Ilustrativo

Calcular a energia de deformação das barras analisadas nos Exemplos Ilustrativos das secções 2.1 e 2.3.1.

(i) Exemplo Ilustrativo da secção 2.1 (página 3)

 

_







_             L L L p P L p L P EA dx x p P x p P EA dx x N EA U ₀ 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 0 3 2 3 3 2 1 2 2 1 2 1 EA L P U p 2 0 2   

(20)

(ii) Exemplo Ilustrativo da secção 2.3.1 (página 8)













 

EA L P EA L P EA L P EA L P EA L P L A E N U _j j j j j 2 2 2 2 2 4 1 2 6 73 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 4 3 2 1 2 1 _                   





3 ESTRUTURAS CONSTITUÍDAS POR PEÇAS LINEARES SUJEITAS APENAS A ESFORÇO AXIAL

 Considere-se agora um tipo especial de problemas que envolvem corpos constituídos unicamente por peças lineares (eventualmente associadas a um ou mais corpos rígidos)

 estes corpos designam-se habitualmente por estruturas reticuladas.

 As ligações das peças lineares (entre si, com o exterior ou com eventuais corpos rígidos) e o carregamento a que as estruturas estão submetidas são de forma a que essas peças lineares estejam sujeitas apenas a esforço axial.

 Para resolver um problema deste tipo basta determinar, para todas as barras da estrutura: (i) Os esforços axiais (N). O procedimento utilizado para efectuar esta determinação depende da estatia global da estrutura, a qual combina as respectivas estatia exterior e estatia interior. Enquanto a estatia exterior está relacionada com o modo como a estrutura está ligada ao exterior (i.e., com o número e natureza dos seus apoios), a estatia interior diz respeito a forma como estão ligados entre si os vários elementos (barras e/ou corpos rígidos) que a constituem.

(ii) Os alongamentos/encurtamentos (L).

(iii)Os deslocamentos das extremidades ().

3.1 ESTATIA GLOBAL

 A estatia global de uma estrutura está relacionada com o modo como os seus vários elementos estão ligados entre sim e ao exterior. Assim, diz-se que uma estrutura, submetida à acção de um carregamento geral (arbitrário) é:

(21)

(i) Hipoestática se não for possível garantir o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes. O grau de hipoestatia da estrutura é fornecido pelo número de movimentos de corpo rígido que podem ter a estrutura ou as suas partes.

(ii) Isostática se existir apenas uma combinação de reacções de apoio e esforços axiais nas barras que garanta o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes. (iii)Hiperstática se existirem várias combinações de reacções de apoio e esforços axiais

nas barras que garantam o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes. O grau de hiperstatia da estrutura é fornecido pelo número de ligações (interiores e/ou exteriores) que podem ser suprimidas continuando a garantir o equilíbrio estático.

 A Figura 3.1 mostra alguns exemplos de estruturas (i) hipoestática de grau 1 ((g)), (ii) isostáticas ((a), (d) e (h)), e (iii) hiperstática de grau 3 ((b)) e (iv) hiperstáticas de grau 1 (todas as restantes).

(22)

3.2 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

 Estruturas isostáticas são, por definição, aquelas em que é possível determinar os valores de todas as reacções de apoio e dos esforços normais (neste contexto, admite-se que todas as barras da estrutura estão submetidas unicamente a esforço normal) em todas as barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. Uma vez conhecidos todos os esforços axiais é possível calcular as tensões normais e o alongamento/encurtamento em cada barra (utilizando as equações estabelecidas na secção 2). Finalmente, as equações de compatibilidade permitem determinar os valores dos deslocamentos que definem completamente a configuração deformada da estrutura.

Considere-se a estrutura isostática representada na Figura 3.2, a qual está submetida ao carregamento indicado (carga P e variação de temperatura T) e é constituída por uma barra rígida e duas barras deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea  dois materiais dispostos em paralelo). Pretende-se determinar (i) o esforço normal, as tensões normais e o alongamento/encurtamento de cada barra deformável e (ii) o valor do deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P.

Figura 3.2 Exemplo ilustrativo  estrutura isostática.

Equações de equilíbrio:                    AB A CD C A C A N P R N P R PL L R P R R 3 3 2 3

(23)

Tracção e Compressão de Peças Lineares Relações esforços-tensões:              E T A P E T A P A P b CD a CD AB      3 2 45 2 3 10 9 4 24 Relações esforços-alongamentos:               H T EA H P L H T EA H P L CD AB   3 5 45 2 24 Relações deslocamentos-alongamentos: _B L_AB _D L_CD Equação de compatibilidade: E AB



CD AB



B D B E L L L L L         3 2 3 / 2      3.3 ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS

 Estruturas hiperstáticas são, por definição, aquelas em que não é possível determinar os valores de todas as reacções de apoio e/ou dos esforços normais (neste caso) em todas as barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. É necessário utilizar também as equações de compatibilidade e as relações esforços-alongamentos. O sistema constituído por estes três tipos de equações é determinado, permitindo calcular inicialmente: (i) Ou os esforços normais nas barras e, eventualmente, as reacções de apoio  para isso,

escrevem-se as equações de compatibilidade em termos dos esforços, utilizando as equações esforços-alongamentos.

(ii) Ou os alongamentos/encurtamentos nas barras e, eventualmente, as reacções de apoioparaisso,escrevem-seasequaçõesdeequilíbrioemtermos dos alongamentos, utilizando as equações esforços-alongamentos.

(24)

 No primeiro caso, (i) segue-se a determinação das tensões normais e dos alongamentos nas várias barras, após o que (ii) se calculam os deslocamentos que definem a configuração deformada da estrutura.

 No segundo caso, determinam-se (i) por um lado os esforços e as tensões normais nas várias barras e (ii) por outro lado os deslocamentos necessários à definição da configuração deformada da estrutura.

 Observação

Uma variação de temperatura introduz numa estrutura hiperstática uma distribuição de esforços normais (não nulos) auto-equilibrada, i.e., que equilibra forças exteriores nulas (no caso de uma estrutura isostática esses esforços são todos nulos).

Considere-se a barra hiperstática representada na Figura 3.3, a qual tem comprimento L (L=L1+L2) e está submetida ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar (i) os diagramas de esforços normais e das tensões normais, e (ii) o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da carga P.

Figura 3.3 Exemplo ilustrativo barra hiperstática. Equações de equilíbrio: RARC P NAB RA NBC RC Relações esforços-tensões: A N A N BC BC AB AB     Relações esforços-alongamentos: EA L N L EA L N L BC BC AB AB 2 1     Relações deslocamentos-alongamentos: _B L_AB L_BC Equação de compatibilidade: L_AB L_BC 0

(25)

(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais 0 0  ₁ ₂     L_AB L_BC N_ABL N_BCL                                     P L L N P L L N L L N N P L L N L N L N P N N AB BC BC AB BC BC AB BC AB 2 1 1 2 1 2 2 1 1 0 BC AB BC AB L EA P L L L L A P L L A P L L _ _ __ ___   2  1 1 2 

 

   EA P L L L B 2 1 

(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos

EA P L L L L P L EA L L EA L P N N AB BC BC AB BC AB                2 1 2 1                          AB BC AB BC AB BC AB L L EA P L L L L L L EA L L P L L L L 1 2 1 2 1 2 0 A P L L P L L N A P L L P L L NAB AB BC BC 1 1 2 2       

 

   EA P L L L B 2 1  Exemplo Ilustrativo

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.4, a qual (i) é constituída por uma barra rígida e duas barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar (i) os esforços normais e as tensões normais nas barras BD e CE, e (ii) os deslocamentos verticais dos pontos D, E e F (ponto de aplicação da carga P).

(26)

Figura 3.4 Exemplo ilustrativo  estrutura hiperstática.

Equações de equilíbrio: _BD _B _CE _C C B C B A R N R N L P L R L R P R R R               2 3 2 Relações esforços-tensões: A N A N CE CE BC BC     Relações esforços-alongamentos: EA H N L EA H N L CE CE BD BD     Relações deslocamentos-alongamentos: D LBD E LCE Equações de compatibilidade: 2 2 2 D E BD CE F D E L L           

(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais

BD CE BD CE L N N L 2  2                  P N P N P N N N N CE BD CE BD BD CE 5 3 10 3 2 3 2 2 EA H P L A P EA H P L A P CE CE BD BD 5 3 5 3 10 3 10 3         EA H P EA H P EA H P F E D 20 9 5 3 10 3 _ _ _ _  

(27)

(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos

EA H P L L P N NBD CE BD CE 2 3 2 2 3 2                              EA H P L EA H P L EA H P L L L L CE BD CE BD BD CE 10 3 10 3 2 3 2 2 A P P N A P P N_BD _BD _CE _CE 5 3 5 3 10 3 10 3       EA H P EA H P EA H P F E D 20 9 5 3 10 3 _ _ _ _  

 As duas formas de abordar o problema que acabam de ser descritas e ilustradas estão na base de dois métodos especiais que permitem resolver, de forma sistemática, estruturas hiperstáticas: (i) o Método das Forças (ou dos Esforços) e (ii) o Método dos Deslocamentos. Ambos os métodos utilizam o Princípio da Sobreposição, o que significa que podem ser aplicados na resolução de estruturas lineares, isto é, estruturas para as quais sejam válidas as hipóteses da linearidade geométrica e da linearidade física.

 O método das forças consiste em fornecer um processo sistemático para estabelecer sistemas determinados (i.e., com solução única) de equações de compatibilidade, cujas incógnitas são esforços ou reacções de apoio. Uma vez calculados os valores dessas incógnitas é possível, recorrendo apenas a equações de equilíbrio, determinar todos os restantes esforços e reacções de apoio.

 O método dos deslocamentos fornece um processo sistemático para estabelecer sistemas determinados de equações de equilíbrio, cujas incógnitas são deslocamentos. Após calcular os valores dessas incógnitas é possível, utilizando só equações de compatibilidade e relações alongamentos-deslocamentos, determinar os alongamentos/encurtamentos em todas as barras da estrutura.

 Descreve-se em seguida apenas o método das forças e ilustra-se a sua aplicação através de um exemplo. Antes, porém, é conveniente recordar o enunciado do Princípio da Sobreposição, o qual, como se disse atrás, é válido apenas para estruturas lineares:

(28)

“Considere-seumaestruturasubmetidaàactuaçãoindependentedeváriassolicitações (e.g., forças aplicadas ou variações de temperatura). Pode então dizer-se que qualquer efeito (e.g., uma reacção de apoio, um esforço ou um deslocamento) provocado por uma combinação linear dessas solicitações é igual à mesma combinação linear dos efeitos homólogos causados por cada uma das solicitações primitivas”

 Observações

(i) Neste capítulo aplica-se o método das forças apenas a estruturas reticuladas cujas barras deformáveis estão submetidas unicamente a esforço normal. No capítulo relativo à Flexão e nas disciplinas de Resistência de Materiais II e Análise de Estruturas I estudar-se-á a sua aplicação a problemas mais gerais.

(ii) O método dosdeslocamentos só voltaráa ser abordado mais tarde, no âmbito da disciplina de Análise de Estruturas I.

3.3.1 MÉTODO DAS FORÇAS (OU DOS ESFORÇOS)

 PASSOs DO MÉTODO

(i) Determinar o grau de hiperstatia da estrutura (n).

(ii) Definir um sistema base, o qual se obtém da estrutura original através da supressão de n ligações (interiores e/ou exteriores)  é, portanto, sempre uma estrutura isostática. Passam assim a ser permitidos n deslocamentos (relativos ou absolutos, consoante as correspondentes ligações suprimidas forem interiores ou exteriores). Os esforços (ligações interiores) e/ou reacções de apoio (ligações exteriores) associados às n ligações suprimidas designam-se por redundantes ou incógnitas hiperstáticas (X1,..., Xn).

Observações

(1) Uma estrutura hiperstática pode dar origem a vários sistemas base. O único factor a condicionar a escolha de um determinado sistema base é a conveniência (facilidade) de cálculo.

(2) A escolha das n ligações a suprimir deve ser feita de forma criteriosa, de modo a garantir que a estrutura resultante não seja hipoestática (i.e., tenha as ligações “mal distribuídas”).

(29)

(iii)Submeter o sistema base (estrutura isostática) aos seguintes (n+1) carregamentos:

(iii.1) 1 carregamento constituído por todas as solicitações aplicadas à estrutura original (hiperstática).

(iii.2) n carregamentos constituídos por uma única força (ou esforço) aplicada, a qual tem valor unitário e corresponde a uma incógnita hiperstática (Xi=1, i=1, ,n). Observação

Os sentidos convencionados para as forças e/ou esforços unitários (e, portanto, também para as incógnitas hiperstáticas) são arbitrários.

(iv) Calcular, no sistema base e para cada um dos (n+1) carregamentos definidos no

ponto anterior, os n deslocamentos correspondentes às ligações suprimidas. Representam-se esses deslocamentos por U_i0 (deslocamento correspondente à ligação suprimida i e provocado pelas solicitações actuantes na estrutura original) e por f_ij (deslocamento correspondente à ligação suprimida i e provocado pela força ou esforço unitário associada à incógnita hiperstática Xj)  estes últimos deslocamentos designam-se por coeficientes de flexibilidade (ou flexibilidades). Observação

Toma-se para sentido positivo do deslocamento correspondente à ligação suprimida i o sentido arbitrado para a incógnita hiperstática Xi deste modo, todos os coeficientes de flexibilidade f_ii são sempre positivos.

(v) Aplicar o princípio da sobreposição para calcular o valor das incógnitas hiperstáticas. Observe-se que:

(v.1) A estrutura original com o seu carregamento pode ser obtida através da sobreposição de (n+1) carregamentos no sistema base, n dos quais estão

expressos em termos dos valores das incógnitas hiperstáticas Xi, ainda desconhecidas e cujo cálculo constitui o objectivo do método das forças. (v.2) São sempre conhecidos, na estrutura original, os valores dos deslocamentos

correspondentes às ligações suprimidas  representam-se por Ui e, na grande maioria dos casos, tem-se Ui=0.

(30)

Podem então escrever-se as seguintes equações de compatibilidade, utilizando o princípio da sobreposição,                         n nn n n n n n n n n U f X f X f X U U f X f X f X U U f X f X f X U ... ... ... 2 2 1 1 0 2 2 22 2 21 1 0 2 1 1 12 2 11 1 0 1  

as quais constituem um sistema de equações lineares que permite determinar os valores das redundantes Xi. O sistema de equações pode ser escrita de forma matricial como

 

U0 

 

F

   

X  U

onde a matriz

 

F 

 

f_ij se designa por matriz de flexibilidade. Pode provar-se que fij=fji, i.e., que a matriz de flexibilidade é simétrica.

Observações

(1) No caso de redundantes que correspondam a reacções de apoios elásticos tem-se

Ui=  Xi /K, onde K é a rigidez do apoio elástico.

(2) No caso de estruturas hiperstáticas de grau 1, o sistema de equações lineares degenera numa única equação.

(3) Um valor de Xi positivo significa que o sentido arbitrado para essa redundante estava correcto. Um valor de Xi negativo significa que é necessário inverter o sentido inicialmente arbitrado para essa redundante.

(vi) Uma vez conhecidos os valores das incógnitas hiperstáticas pode calcular-se qualquer efeito (e.g., um esforço, uma reacção de apoio, uma tensão ou um deslocamento) na estrutura original de duas formas:

(vi.1) Raciocinando directamente em termos da estrutura original, a qual foi tornada estaticamente determinada pelo conhecimento das n redundantes.

(vi.2) Utilizando o princípio da sobreposição e somando os valores desse efeito produzidos no sistema base pelas n redundantes Xi e pelas solicitações actuantes na estrutura original.

(31)

Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.5, a qual (i) é constituída por uma barra rígida e três barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar os valores (i) das reacção nos apoios A, B, C e D e (ii) dos deslocamentos verticais dos pontos E, F, G e H (ponto de aplicação da carga).

Figura 3.5 Exemplo ilustrativo  aplicação do método das forças.

Adopta-se o sistema base representado na Figura 3.6, o qual se obtém da estrutura original suprimindo os apoios em B e C. Nessa mesma figura está esquematizada a aplicação do método das forças (para esse sistema base)  consideram-se os três carregamentos indicados, identificados respectivamente por  (carregamento aplicado à estrutura original),  (força unitária correspondente ao apoio suprimido em C) e  (força unitária correspondente ao apoio suprimido em B). A resolução do problema envolve os seguintes passos:

(32)

(i) Resolução do sistema base submetido ao carregamento 

 

  P R_D 4 3

 

                              EA H P U EA H P U EA H P EA H P EA H P E F G E G F G 16 3 8 3 16 3 4 8 3 2 4 3 0 2 0 1       

(ii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento 

 

  2 1 D R

 





                              EA H f EA H EA H f EA H EA H EA H E F G E G F G CF 8 1 4 5 1 8 1 4 4 1 2 2 1 21 11 incluialongamentode       

(iii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento 

 

  4 1 D R

 







                            BE EA H EA H f f EA H f EA H EA H EA H E F G E G F G de o alongament inclui 16 17 1 8 1 16 1 4 8 1 2 4 1 22 21 12       

(iv) Determinação das incógnitas hiperstáticas

                                       2 1 2 1 22 21 12 11 0 2 0 1 2 22 2 21 2 0 2 1 12 2 11 1 0 1 U U X X f f f f U U U f X f X U U f X f X U

(33)

 

                         P R P X P R P X P X X P X X B C 7 1 7 1 7 2 7 2 16 3 16 17 8 1 8 3 8 1 4 5 2 1 2 1 2 1 (v) Resultados finais

 

                 P X X P R_D 7 4 4 1 2 1 4 3 2 1

 

                                     EA H P EA H P EA H P EA H X EA H X EA H P G E G F G 7 1 4 7 2 2 7 4 4 1 2 1 4 3 2 1

 

    EA H P G F H 7 3 2    3.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

 Até aqui utilizaram-se as seguintes abordagens para calcular os deslocamentos dos nós de uma estrutura reticulada:

(i) Calculam-se inicialmente os esforços normais e os alongamentos/encurtamentos das várias barras da estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade (deslocamentos-alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-se esta abordagememestruturasisostáticas(sempre)eestruturashiperstáticas com as equações de compatibilidade escritas em termos dos esforços e reacções de apoio. Observação

Recorde-se que a aplicação do método das forças envolve unicamente o cálculo de deslocamentos num sistema base, sempre uma estrutura isostática.

(34)

(ii) Calculam-se inicialmente os alongamentos/encurtamentos das várias barras da estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade (deslocamentos-alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-se esta abordagememestruturashiperstáticas com as equações de equilíbrio escritas em termos dos alongamentos/encurtamentos.

 Apresentam-se nesta secção dois métodos especiais para calcular deslocamentos em estruturas reticuladas, os quais se baseiam nos conceitos de trabalho e energia. A utilização de qualquer destes dois métodos é particularmente vantajosa no caso de estruturas com um elevado número de barras, na medida em que nenhum deles requer o estabelecimento de relações deslocamentos-alongamentos (muito complexas) ou qualquer outro tipo de considerações de natureza geométrica.

 O primeiro método baseia-se no Princípio da Conservação da Energia Mecânica e apenas pode ser utilizado num número restrito de problemas.

 O segundo método é uma aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e pode ser utilizado em qualquer tipo de problema.

3.4.1 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

 O Princípio da Conservação da Energia Mecânica afirma que:

“Numa estrutura elástica actuada por um conjunto de forças aplicadas quasi-estaticamente (i.e., sem alterarem o valor da energia cinética) e em que não ocorram trocasdecalorcom oexterior (transformação adiabática) ou geração interna de calor, tem-se que o trabalho realizado pelas forças exteriores (_e) é igual à variação da energia de deformação (U)”. Tem-se, então, _e U.

Observações

(1) Se se admitir que U=0 quando as forças exteriores que realizam _e são nulas,

vem U U e, portanto, _e U  esta hipótese será admitida daqui em diante. (2) Apesar de o princípio ser válido para qualquer estrutura elástica, considera-se

(35)

 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

A energia de deformação de uma estrutura reticulada é dada pela soma das energias de deformação das barras que a constituem, i.e.,



  N i i U U 1

(Ui é a energia de deformação da barra i e n o número de barras deformáveis)

Recorde-se (ver secção 2.6) que a energia de deformação de uma barra constituída por um material elástico linear, submetida apenas a esforço normal e sem variações de temperatura ou tensões iniciais é dada, no caso geral, por

3 0 2 33 3 0 33 33 ₂ 1 2 1 dx dA E dx dA U 

 

L _A  

 

L _A 

podendo ainda utilizar-se outras expressões (escritas directamente em termos do esforço normal N) numa série de casos particulares  ver secção 2.6.

 TRABALHO DAS FORÇAS EXTERIORES

Admite-se que a estrutura é actuada por um conjunto de forças exteriores conservativas (o trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final do ponto de aplicação, e não da trajectória por ele percorrida) representadas por Qj (j=1,...,m). Podem ser forças (i) concentradas (aplicadas num ponto de um corpo rígido, num nó ou no interior de uma barra  neste último caso, actuando obrigatoriamente segundo o respectivo eixo) ou (ii) distribuídas (aplicadas ao longo de uma barra e actuando segundo o respectivo eixo)  no seu conjunto, designam-se por Forças Generalizadas.

A cada força generalizada Qj corresponde um deslocamento generalizado qj, o qual representa o deslocamento (ou soma dos deslocamentos) da estrutura no(s) ponto(s) de aplicação, na direcção e no sentido de Qj. Pode então definir-se o Trabalho Exterior realizado pelas forças exteriores para levar a estrutura da sua configuração inicial (qj=0) até à sua configuração final (q_j q_jf) como

 



      m j j q j m q m q e Q dq ... Q dq Q dq f j f m f 1 0 0 1 0 1 1

Em virtude de se considerarem apenas estruturas com comportamento linear (linearidade geométrica + linearidade física) pode ainda escrever-se

(36)

Tracção e Compressão de Peças Lineares f j m j f j m j j q j e Q dq Q q f j



 

     1 1 0 2 1

Por exemplo, no caso de uma estrutura ser solicitada por uma única força exterior, o valor de _e corresponde à área tracejada representada na figura

 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

O princípio da conservação da energia mecânica apenas permite calcular deslocamentos em estruturas reticuladas nas seguintes condições:

(i) A estrutura é solicitada por uma única força generalizada Q.

(ii) Calcula-se unicamente o valor do deslocamento generalizado q, correspondente à força generalizada Q.

Nestas condições, tem-se



     n i n i i i Q U q U q Q 1 1 2 2 1 Exemplo Ilustrativo

Considere-se a barra representada na Figura 3.7, constituída por dois troços distintos e submetida ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar o valor do deslocamento horizontal do ponto C (deslocamento do ponto de aplicação da carga no sentido desta).