i3k.i25z seja um número real?Solução. Se o número é real, então sua parte imaginária deve ser nula.

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Exercícios de Números Complexos – Forma Algébrica – 2011 - GABARITO 1. Complete os espaços com as partes reais e imaginárias dos complexos a seguir:

Solução. Identificando as partes reais e imaginárias (somente o coeficiente de i), temos:

a)

  



 

 zIm( 4) 3) i4 zRe(

3z

b)



 





 

 



4 5 )z Im(

3)z 5 i Re(

5 4 5 3 5

i4

z 3

c)

 





 





 Im( )z 4

0 )z i4 Re(

0 i4 z

d)

  



 



 Im( )z 3 7) 7i zRe(

3 z

^e)

 





 



 zIm( 0)

7) z i0 Re(

7 7

z

f)



 





 

 



1 3 )zIm(

0) i zRe(

3 0 1 3 z i

2. Observe os complexos representados no Plano Argand-Gauss.

Solução. Os complexos são identificados como pares ordenados z = (a,b) no plano e então, escritos na forma algébrica.

a) Escreva cada complexo na forma (a + bi).

3 z ) 0 , 3 (

z₁  ₁ ^z2 ⁽¹^,²⁾^z2 ¹²ⁱ i

3 z ) 3 , 0 (

z₃   ₃  ^z4 ⁽²^,¹⁾^z4 ²ⁱ 4

z ) 0 , 4 (

z₅    ₅  b) Efetue as operações:

i) z₁z₂ (3)(12i)42i42i ii)

i 8 2 i 12 i 4 2 ) i 3 ( 4 ) i 2 1 ( 2 z . 4 z .

2 ₂  ₃        

3. Calcule a e b reais, para que ⁴⁵ⁱ  ¹³ⁱ ^a^bi.

Solução. Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias, também

devem ser iguais:

   

 





 



























 b 2

5 bi a

a i2 5 bi a i3 1 i5 4 bi a i3 1 i5

4

^.

4. Qual o valor de k para que o número real ^z^⁵^²ⁱ ^.^k^³ⁱ seja um número real?

Solução. Se o número é real, então sua parte imaginária deve ser nula.

(2)

  

5, 2 7 k 15 15 k2 0 k2 15 IR z

k2 15 )z Im(

6 k5 )z i)k Re(

2 15 ( )6 k5 ( )6 ( i)k 2 15 ( k5 i6 ki2 i 15 k5 i3 k.

i2 5

z

²

















 









 

























.

OBS: Como não foi exigido que o número fosse real diferente de zero, não foi analisada a parte real, já que z = o ainda é real.

5. Sendo i a unidade imaginária, determine o valor numérico da soma 1ii²i³...i²⁷. Solução 1. Agrupando as potências que apresentam os mesmos valores (de 4 em 4), temos:

0 ) i 7 ( ) 7 ( ) i 7 ( ) 7 ( ) i i i i i i i(

) i i i i i i i(

) i i i i i i i ( ) i i i i i i 1 (

27 23 19 15 11 7 3

26 22 18 14 10 6 2 25 21 17 13 9 5 24

20 16 12 8 4















 .

Solução 2. Caso fossem muitas parcelas, esse grupamento poderia ser extenso. Observe que esta soma é a adição de 28 termos em progressão geométrica de razão q = i. Temos:

   

₀

i 1

1 1 i 1

i 1 i 1

i 1 ) 1 S ( q

1 q 1 S a

0 28

28 n

1 



 



 



 

 

  .

6. Seja o número complexo zi¹⁰¹i¹⁰²i¹⁰³ i¹⁰⁴ i¹⁰⁵i¹⁰⁶. Calcule z². Solução. Aplicando a soma de PG de razão i com seis termos, vem:

    ^ ^ ^{ }



¹ ⁱ



¹ ²ⁱ ⁱ ¹ ²ⁱ ¹ ²ⁱ

z

i 2 1

) i 1 ( 2 1 1

) 1 ( 2 i 2 i

1 i 2 i 2 i 1

i .1 i 1

i 2 i 1

2 ) i ( i

1 ) 1 ( 1 ) i ( i 1

i 1 ) i ( i

1 i 1 ) i S ( z

2 2 2

6 101 6

























 

 





 



 



 



 



 



 



.

7. Resolva, em C, cada equação:

0 5 x 4 x )

a ²    b)x² 2x50 c)9x² 12x80

Solução. Resolvendo as equações pela fórmula de Báskhara, temos:

a)

 









 



 





 





 





 







 x 2 i

i 2 x 2

i2 4 2

4 4 2

20 16 4 )1(2

)5)(

1(4 )4(

x )4(

0 5 x4 x

2 1 2

2

_.

b)

 









 

 



 



 





 







 x 1 i2

i2 1 x 2

i4 2 2

16 2 2

20 4 2 )1(2

)5)(

1(4 )2 ( )2 x (

0 5 x2 x

2 1 2

2

.

(3)

c)

 



 





 





 





 

 

 



 







 









3 i 2 3 2 3

i 2 x 2

3 i 2 3 2 3

i 2 x 2

18 i 12 12 18

144 12

18 288 144 12

) 9 ( 2

) 8 )(

9 ( 4 ) 12 ( ) 12 x (

0 8 x 12 x 9

2 1

2 2

.

8. O número i m

i 3



 possui a parte imaginária nula. Calcule o valor do número real m.

Solução. Identificando as partes reais e imaginárias, temos:

3 m 0 m 3 0) zIm(

1 m

m )z 3 Im(

1 m

1 )z m3 Re(

1 m

i)m 3(

)1 m3(

i m

i mi i3 m3 im . im im i3 im i3

2 2 2

2 2

2

      

 



 





 



 

 



 





 





 





.

9. Sabendo que z2z3z4z32028i, determine o valor de z. (z é conjugado de z).

Solução. Considerando z = a + bi e desenvolvendo a expressão e igualando as partes reais e imaginárias, temos:

i14 32 14 z

b 28 b2

32 a 320 a i28 10 320 bi2 a 10 i28 320 bi6 a6 bi4 a4

i28 320 )bi a(6 )bi a(4 i28 320 z6 z4 i28 320 z4 z3 z2 z





 

 













 











































.

10. Determine: ^



 







 i 3 5

i Re 2 )

a ^



 







 i 3 3

i Re 3

)

b _



 



 



 

 



 

  i

2 i 1 2 Im 1 ) c

Solução. Em cada caso, as identificações das partes reais e imaginárias são identificadas ou pela multiplicação pelo conjugado no denominador e numerador, caso seja necessário, ou pela observação direta.

a) 34

i 7 34 11 34 Re 7 9

25 3 i 11 Re 10

i 9 25

i 3 i 5 i 6 Re 10

i 3 5

i 3 .5 i 3 5

i Re 2 i 3 5

i

Re 2 ₂ ²  



 



 





 









 



 









 



 









 



 







 .

b)

3 1 18 i 6 18 12 18 Re 6 9

9 3 i 12 Re 9

i 9 9

i 3 i 3 i 9 Re 9

i 3 3

i 3 .3 i 3 3

i Re 3 i 3 3

i

Re 3 ₂

2   



 



 





 







 



 









 



 









 



 







 .

(4)

c)   0i 0 4

Im 5 4 Im 5 4 1

Im 1 2 i

i 1 2

Im 1 ²

2

 

 

 

 

 

 



 

 









  



 



 



 



 



 

 



 

  .