COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Poliedros – 2013 - GABARITO
1. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a:
a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 44
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de vértices que concorrem em cada vértice para calcular o número de arestas, temos:
16 14 30 F F 14 2 28 F V 2 A ) ii
2 28 56 2
20 12 24 2
5 . 4 4 . 3 6 . A 4 2 A pV ) i
,
2. (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro.
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o número de arestas e sabendo que F = 10 + 10 + 1 = 21, temos:
21 21 42 V 21 V 2 40 F V 2 A ) ii
2 40 80 2
10 40 30 2
10 . 1 10 . 4 10 . A 3 2 A nF ) i
. Há 21 vértices.
3. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:
a) 33 vértices e 22 arestas b) 12 vértices e 11 arestas c) 22 vértices e 11 arestas d) 11 vértices e 22 arestas e) 12 vértices e 22 arestas.
Solução. Como há 11 faces triangulares, essas faces deverão estar apoiadas em 11 bases. Logo há 12 faces com a base contendo 11 arestas e, portanto, 11 vértices. O total de vértices será 12, contando o vértice da pirâmide unindo todas as faces triangulares. Sendo assim, temos:
A + 2 = V + F => A + 2 = 12 + 12 => A = 24 – 2 = 22.
4. (Mack) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18rad. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
Solução. Expressando em graus a soma dos ângulos, temos 18rad18x180º3240º. Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem:
11 V 9 2 º V 360
º 2 3240 V º 3240 º 360 ).2 º V(
3240 S
º 360 ).2 V(
S
.
Se há 11 vértices, um deles é da pirâmide, reunindo todas as faces triangulares. Na base há outros 10.
5. (Mack) Considere uma pirâmide cuja base é um polígono convexo. Se a soma das medidas dos ângulos internos de todas as suas faces é 3600º, o número de lados da base dessa pirâmide é igual a:
a) 11 b) 12 c) 9 d) 10 e) 8
Solução. Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem:
12 V 10 2 º V 360
º 2 3600 V º 3600 º 360 ).2 º V(
3600 S
º 360 ).2 V(
S
.
Se há 12 vértices, um deles é da pirâmide, reunindo todas as faces triangulares. Na base há outros 11.
6. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices do poliedro é:
a) 80 b) 60 c) 50 d) 48
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o número de arestas e sabendo que F = 80 + 12 = 92, temos:
60 92 152 V 92 V 2 150 F V 2 A ) ii
2 150 300 2
60 240 2
12 . 5 80 . A 3 2 A nF ) i
. Há 60 vértices.
7. Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é:
a) 24 b) 48 c)73 d) 96
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o número de arestas e sabendo que F = 15 + 7 + 2 = 24, temos:
24 24 48 V 24 V 2 46 F V 2 A ) ii
2 46 92 2
12 35 45 2
2 . 6 7 . 5 15 . A 3 2 A nF ) i
. Há 24 vértices.
8. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale.
a) 6 b) 4 c) 5 d) 12 e) 9 Solução. Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem:
3 4 12 3
)6(
2 3 F) A2 III
6 A 6 12 A2 A3 A2 12 6 3 A3
4 A2 2 A F V 2 A
3 F A2 )ii
4 V 2 2 º V 360
º 2 720 V º 720 º 360 ).2 º V(
720 S
º 360 ).2 V(
)i S
.
9. (UFPE) Calcule a oitava potência do comprimento, em metros, da aresta de um icosaedro regular, sabendo-se que sua área mede 15m2.
Solução. O icosaedro regular possui 20 faces que são triângulos equiláteros. Temos:
3 3 3 3 3 9 m
3 L 3
L )ii
3 L 3 5 3 15 L 15 3 L.
5 4 15
3 . L 20 4
3 . L 20 A
m 15 A )i
2 2 4 4 4 4 2 4
8
2 2
2 2
2 2
.
10. (UNITAU) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta a é:
a) a2 b) a2 3 c) 4a2 d) a2 5 e) a2 2 Solução. O tetraedro regular possui 4 faces que são triângulos equiláteros. Temos:
3 a 4 S
3 . a 4
S 2
2
.
11. (UEL) Para explicar a natureza do mundo, Platão “[...] apresenta a teoria segundo a qual os ‘quatro elementos’ admitidos como constituintes do mundo - o fogo, o ar, a água e a terra - [...] devem ter a forma de sólidos regulares. [...] Para não deixar de fora um sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a representação da forma de todo o universo.” (DEVLIN, Keith. Matemática: a ciência dos padrões.
Porto: Porto Editora, 2002. p.119.)
As figuras a seguir representam esses sólidos geométricos, que são chamados de poliedros regulares. Um poliedro é um sólido limitado por polígonos. Cada poliedro tem um certo número de polígonos em torno de cada vértice. Uma das figuras anteriores representa um octaedro. A
soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice desse octaedro é:
a) 180º b) 240º c) 270º d) 300º e) 324º Solução. O octaedro regular possui 8 faces que são triângulos
equiláteros. Em cada vértice concorrem 4 arestas. Logo os vértices formam ângulos tetraédricos de 60º. A soma será 240º
