COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 2ª CERTIFICAÇÃO – ANO 2013 – TARDE

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 2ª CERTIFICAÇÃO – ANO 2013 – TARDE

2º ANO – MATEMÁTICA I

NOTA:

Professor: Coordenadora: Maria Helena M. M. Baccar Data: / / 2013

Nome: GABARITO Nº: Turma:

ATENÇÃO:

 Valor da prova: 3,5

 Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.

1ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Em uma região litorânea estão sendo construídos edifícios residenciais. Um biólogo prevê que a quantidade de pássaros de certa espécie irá diminuir segundo a lei:

n(t) = n

0

.4

^-t/3

em que n

0

é a quantidade estimada de pássaros antes do início das construções e n(t) é a quantidade existente t anos depois. Qual é o tempo necessário para que a população de pássaros dessa espécie se reduza:

a) À metade da população existente no início das construções?

Solução. Utilizando as propriedades da exponencial, temos:

  ^{( anos )}

2 t 3 3 t2 3 1

2 t2 2 2

2 1 2 4. n n 2

)t( n n

4.

n )t(

n 3 1

t2 3

2 t 3 0

t 0 0

3 t

0             

 

 





    



.

Portanto depois de 1 ano e meio ou 18 meses a população estará reduzida à metade.

b) A 1,5625% da população existente no início das construções?

Solução. Utilizando as propriedades da exponencial, temos:

 

  ⁹

2 )6 ).(

t 3(

3 6 2 t2 2 2 2 2

2 1

10 2 5 10 2 5 1000000

15625 2

n

%.

5625 ,1 4.

n n

%.

5625 ,1 )t(

n 4.

n )t(

n

3 6 6 t2 3 1 6 t2 3

t2

6 3

t2 6 6 3

t2 3

2 t 3 0

t 0 0 3 t 0



















 



 

 



 



 

 













 

 







 

 





 

 

.

Portanto depois de 9 anos.

2ª QUESTÃO (valor: 1,0)

1

Resolva a equação ^log  ^x

²

^{ 20 x  31}  ^{ 2}

Solução. Usando a definição de logaritmo, temos:

x

²

– 20x + 31 = 10

²

. Então x

²

– 20x – 69 = 0. Resolvendo por soma e produto, temos:

S = 20 e o P = - 69. Logo as raízes são x’ = - 3 e x’’ = 23.

Testando no logaritmando, temos:

i) (– 3)

²

– 20.( – 3) + 31 = 9 + 60 + 31 > 0; ii) 529 – 460 + 31 = 69 + 31 > 0.

Como ambas tornam o logaritmando positivo, S = {-3, 23}.

3ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Calcule o valor das expressões:

a) ^{4 log}   ^{2 2 log 0 , 04}

5 1

8



Solução. Calculando os logaritmos separadamente, temos:

i) ^log

8

  ^{2 2}  ^x  ^{2 . 2}

²¹

 ⁸

^x

 ²

³²

   ²

^{3 x}

 ^{3 x}  ₂ ³  ^x  ₂ ¹ .

ii) ^{y 2}

5 1 5 1 5

1 25

1 5

1 100 y 4 04 , 0 log

y 2 y

y

5

1

  



 



 

 

 



 

 

 



 

 



 



 



 .

Substituindo na expressão, temos: ^{4 log}   ^{2 2 log 0 , 04 4 .} ₂ ^{1 2 2 2 4}

5 1

8

    



 



 

 .

b) log

0,1

 10 10   16

^log42

Solução. Calculando os logaritmos separadamente, temos:

i)

     

2 x 3 2 x 3 10

10

10 10 10

10 1 1

, 0 10 . 10 x 10 10 log

2 x 3

1 x 2

x 3 2

x 3 2

1 1

, 0





















 



 



 













.

ii) ¹⁶

^log42

^{ y }   ⁴

^{2 log42}

^{ y  4}

^2log42

^{ y  y  4}

^log422

^{ y  4}

^log44

^{ y  4}

¹

^{ 4 .}

Substituindo na expressão, temos:  

2 5 2

8 4 3

2 16 3

10 10

log

_0,1



^log42

       .

4ª QUESTÃO (valor: 0,5)

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M

w

) substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M

w

e M

0

se relacionam pela fórmula:

onde M

0

é o momento sísmico, cuja unidade é o dina·cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na

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BOA PROVA

comunidade científica internacional. Teve magnitude M

w

= 7,3. Qual foi o momento sísmico M

0

do terremoto de Kobe (em dina.cm)?

Solução. Substituindo o valor da magnitude M

w

= 7,3 na função logarítmica teremos:

     

  _{0 10}   _{0 10}   _{0 0} ²⁷

10

0 10 0

10 W

0 10 W

10 M 27 M 2 log

)18 ).(

M 3(

log 18 M log 3 . 2

7, 10 3,7 M log 3 . 3,7 2 M log 3 . 7, 2 10 3,7

M

M log 3 . 7, 2 10 M































 

 









.

3

BOA PROVA