COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª CERTIFICAÇÃO – MATEMÁTICA I e II - 2013

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª CERTIFICAÇÃO – MATEMÁTICA I e II - 2013

2º ANO DO ENSINO MÉDIO – IN212 e MA214

NOTA:

Professor: Coordenadora: Maria Helena M. M. Baccar Data:

Nome: GABARITO Nº : Turma:

ATENÇÃO:

 Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.

 A prova é individual e sem consulta.

 Esta prova vale 7,0 pontos.

1ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Em quantas décadas a população de certa cidade que cresce 20% a cada década irá se tornar o triplo da população atual? (Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48).

Solução. Considere a população atual com o valor P. Como o crescimento é de 20% a cada década, temos: Atual: P; 1ª década: 1,2P; 2ª década: (1,2) ² .P; ...; Nª década: (1,2) ^N .P

De acordo com pedido, temos:

     

 

08 6 , 0

48 , 0 1 08 , 1

48 , 0 1 ) 48 , 0 ( 6 , 0

48 , 0 1

) 48 , 0 ( ) 3 , 0 ( 2

48 , N 0

10 log 3 log 2 log 2

3 log 10

log 3 log 2 log

3 log 10

log 3 . 2 log

3 N log

10 log 12 log

3 log 10

log 12 3 3 log log N 3 2 , P 1

P 2 3

, 1 P 3 P . 2 , 1

2 2

2 , 1 N

N N



 

 

 



 



 

 



 

 



 



















. Triplica em 6

décadas.

2ª QUESTÃO (valor: 1,0): 2 ^{x  1}  3 . 2 ^{x  1}  2 ^{x  2}  18

Solução. Separando os produtos exponenciais e resolvendo, temos:

 

2 x 2 2 4 9 2

2 36 2 18

. 9 2 2 18

8 3 . 4 2 18 2 4

2 3 . 2

18 2 2 . 3 2 . 2 18 2 . 2 2 . 2 . 3 2 . 2 18 2 2 . 3 2

2 x x

x x

x x

2 1 x

2 x 1 x x

2 x 1 x 1 x

















 



 



 

 



 



  



 



 



  

























 ^{   }



.

3ª QUESTÃO (valor: 0,5)

Calcule o valor da seguinte expressão: ^{log 5}

243 1

44 1 log 27 100

log  

Solução. Aplicando as propriedades dos logaritmos, temos:

 

 

10 253 10

250 25 3

10 0 3 100 27 log 1 log

0 1 log ) iii

10 x 3 2 x 3 5 3

3 3

243 3 3 1

x 27 log ) ii

25 10

10 10

10 10000

)i

5 log 243

1 44

44

x 2 5 x 3 2 5

x 3 3

243 1

25 log 5

log 5 log 5 2

5 log 5

log

²

 



 

































 



 



 



















.

4ª QUESTÃO (valor: 1,0)

A função L(x) = a.2 ^bx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.

a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.

Solução. De acordo com as informações temos: L(1) = 60 e L(2) = 30.

 

 

1 b 2 2 2 2 1 120 2 60 120 a)ii

120 a 0 120 a

)0 a(

0a 0a 120 30

aa 30 0a 3600 a30 a 3600 a a30

30 a 3600

a 30 a 60

a 2 30 a 2 30 30 2.a 2.a

2.a )2(L

30 )2(L

a 2 60 60 2.a 2.a

2.a )1(L

60 )1(L )i

1 b b b

2 2

2

2

2b b2

b2 b2 2.b

b b

b 1.b



















 



















 



















 



 

 

 



 















 

 













 

 









.

Resposta: a = 120 e b = – 1.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

Solução. Considerando L(x) = 15, temos:

3 x 2 8 2

2 1 120 2 15 15 2.

2. 120 120 )x(L

15

)x(L _{x x x x 3}

x          

 





 _{    }

 ^{. R: 3m}

5ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Uma bola é abandonada de uma altura de 3 m em relação ao solo e, cada vez que toca no mesmo,

sobe até uma altura equivalente à terça parte da altura que se encontrava anteriormente. Se a bola

continuar esse movimento indefinidamente até ‘parar’, qual será a distância total que ela percorrerá?

Solução. A partir do primeiro toque no solo, a bola percorre duas distâncias iguais (subida e descida). Essas distâncias estão em PG infinita de razão q = 1/3.

 

 

6 3 2 3 2 3 3 ) Total ( Distância

2 3 2 .1 3 3 2 1 3

1 3

1 3 1 1 ... 1 27

1 9 1 3 1 1 )ii

27 ...

1 9 1 3 1 1 2 3 ) Total ( Distância

...

9 1 3 , 1 3 : 1 distância ª4

3 1 1 3 , : 1 distância ª3

1 3 3 : 1 distância ª2

3:

distância ª1

)i





 



 



 







 















 

 



    







 

 







 







 



 









.

Resposta: 6m.

6ª QUESTÃO (valor: 0,5)

Quantos termos possui a seguinte sequência?

(1024, 512, 256,..., 1/4096) Solução. Cada termo é a metade do anterior. Logo, forma uma PG de razão 1/2.

  ^{2 2 2 1 n 24 n 1 24 25}

2

2 1 2.

2 1 2

. 1 2 2

1 2

. 1 4096 1024

1

4096 a 1

2 q 1

1024 a

n 1 1 24

1 n 24

1 n 10 14 1 n 10 14 1 n

n 1

























 



 

 

 



 



 

 



 



 



 





 















 











. Há 25 termos.

7ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Um súdito salvou a filha do Rei e por isso poderia escolher qualquer recompensa. Mas, para

surpresa de todos, ele sugeriu ao Rei que pegasse um tabuleiro de xadrez, que possui 64 casas,

colocasse um grão de milho na primeira casa, dois grãos na segunda, quatro grãos na terceira, e

assim sucessivamente, até a última casa. Ele gostaria de receber o total de grãos ali acumulados.

Se o Rei concordou com o pedido, quantos grãos o súdito deveria receber?

Solução. A situação representa uma PG de razão 2 com 64 elementos. Temos:

1 1 2

2 1 2 2 1

2 1 1 q 1

q a 1 ) PG (S 64 n

2 q

1 a

64 64 64

n 1 1

 



 







 



 







 



 







 

 



 









.

8ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por Joãozinho, à uma taxa de 2% ao mês, capitalizados mês a mês, durante 12 meses. Seu amigo aplicou os mesmos R$ 1.000,00 à juros simples com taxa de 2% ao mês, também durante 12 meses. Determine a diferença entre os montantes acumulados por Joãozinho e seu amigo. (Dado: (1,02) ¹²  1,26824)

Solução. Calculando os montantes para cada tipo de capitalização, temos:

  ^{,1. 26824 $R 1268 24,}

1000 M

) 02, 1(

1000 ) 02, 0 1(

1000 )i 1(

C M 1000 C

meses 12 t

% 2 i :) compostos (

Juros )ii

00, 1240

$R ) 24, 1(

1000 ) 24, 0 1(

1000 M

) 12.

02, 0 1(

1000 ) 12.

02, 0 1(

1000 )t.i 1(

C M 1000 C

meses 12 t

%2 i :) simples ( Juros )i

12 12

t



















 



 

































 



 









.

A diferença entre os montantes é: R$1268,24 – R$1240,00 = R$28,24.