COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – MEIO AMBIENTE - PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Números Binomiais – 2014 - GABARITO
1. Determine m que verifique: a)
m 4
12 1
m 2
12 ; b)
3m 5
10 3
m
10 .
Solução. Utilizando as propriedades dos números binomiais, temos:
a)
m 3 mou 5
3 m 9 m3 3 12 m3 12 4 m 1 m2 ou
5 m 4 m 1 m2 4 m
12 1 m2
12
.b)
2 m, Logo .0 3 :el incompatív 3
10 3 6 6 10 m Se
6 m 12 m2 2 10 m2 10 5 m3 3 m ou
2 m 8 m 4 3 5 m 3 m 5 m3 3 m 5 m 3
10 3 m
10
.
2. Sabendo que p ≠ q, resolva o sistema:
2 q 3 p
q 10 p
10
.
Solução. Como p é diferente de q, temos que p + q = 10. Utilizando a outra equação informada, temos:
2qe 8p, Logo
.28 10q 8p 4 Se.8
p32 32 2q3 p4
p 30q3 p3 2q3
p
)3(
10q p
.
3. Utilize as propriedades e calcule os binomiais:
a) C02 C13 C24 b) C07 C18C92C103 c)
10 13
10 12 9 11 8
10 7 10
Solução. Temos:
a)
10 ) 2 ).(
5
! ( 3
!.
2
! 3 . 4 . 5
! 3
!.
2
! 5 2 5 2
1 2 2 2 4 1 3 0 C 2 C C
p 1 p n p
p ... n 2
2 n 1
1 n 0 : n diagonais das
. Teorema
2 4 1 3 0
2
.
b) (11).(15) 165
! 8
!.
3
! 8 . 9 . 10 . 11 3 11 3
1 3 7 3 10 2 9 1 8 0 C 7 C C C
diagonais das
. Teorema
3 10 2 9 1 8 0
7
.
b)
1 10 13 10 13
10 13
10 12 9
12
10 13
10 12 9
11 8
11
10 13
10 12 9
11 8
10 7
10 p
n p
1 n 1 p
1 : n Stifel de . lação Re
.
4. Sabendo que 28 y x
e 56
1 y
x
, calcule o valor de
1 y
1
x .
Solução. Utilizando a Relação de Stifel, temos: yx yx1 yx 11 yx 11285684
.
5. Calcule o valor de
10 0
k k
10 . (Sugestão: Utilize uma propriedade do triângulo de Pascal).
Solução. Utilizando o teorema das linhas, temos:
1024 10 2
... 10 2 10 1 10 0
10 k
10 10
10 0 k
.
6. (Unificado) Resolva a equação na variável n: 254 p
n
1 n
1 p
.
Solução. Utilizando o teorema das linhas, temos:
8n 2 2 256 2
21 254 1 n 2 254 n 0 n 1n 254 ... n 2 n 1 n p n
n 2 n 1n ... n 1 n 0 n p n
8 n n
n n
1n 1p n n 0p
.
7. Calcule: a)
5 0
k k
5 b) k
8 1 k
2 k .
8
c)
k 6 6
0
k 2
. 1 k
6
Solução. Utilizando as propriedades, temos:
a) 2 32
5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 5 k
5 5
5 0 k
.
b)
6560 1 6561 1 3 k 2.
8
3 k 2.
2. 8 0 8 8 2.
... 8 3 2.
2. 8 2 2. 8 1 2. 8 k 8
3 )2 1(
8 2.
... 8 1 2.
2. 8 0 2. 8 k 8
8 8 k
1 k
8 8 k
1 k 0 8
3 2 1 8 k
1 k
8 8 8 1
0 8 k
0 k
.
c) 64
729 2
1 3 2 ) 1 1 2 .(
. 1 k 6 2
. 1 k
6 6 6 k k 6 6
0 k k 6 6
0 k
.8. Se um número natural n é tal que
2 n
12 7
11 6 10 5 10
2 , então n é:
a) igual a 6 ou – 6 b) um número par c) um quadrado perfeito d) divisor de 15 Solução. Utilizando a Relação de Stifel, temos:
3 n : Solução
el incompatív IN
n 17 n 5 12 n 12 7 2 n )ii
el incompatív 0
3 n
3 9 n
n 7 2 n )i
2 n
12 7
12 2
n 12 7
11 6 11 2
n 12 7
11 6
10 5
10
2 2
2
2 2
2 2
2
.
O natural 3 é divisor de 15.
9. (UFMG) Determine o número inteiro m que satisfaz a equação envolvendo números combinatórios:
2m 200
2000 m
2 1999
1999 1
m 2
1999
Solução. Utilizando as propriedades, temos:
4 550 m 2200 200
2000 m
4 2000 200
m 2 m 2 ou
el incompatív 200
0 200 m 2 m 2 200 m 2
2000 m
2 ) 2000 iii
m 2 2000 m
2 1999 1
m 2
1999 p
n p
1 n 1 p
1 )ii n
m 2 1999 )
m 2 1999 1999
1999 m
2 1999
1999 )
m 2 1999 ( 1999
1999 m
2 1999
1999 p
n n p
)i n
.
10. (UERJ) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a seguir.
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal
pode ser calculada pela fórmula pn11
p n p
2 p p
1 p p
p C C ... C C
C , na qual n e p são números naturais, n ≥ p e Cpn corresponde ao número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações, calcule:
a) a soma C22C23C24 ...C182 ;
b) o número total de laranjas que compõem quinze camadas.
Solução. Utilizando os conceitos binomiais, temos:
a) (19).(17).(3) 969
! 16
!.
3
! 16 . 17 . 18 . 19
! 16
!.
3
! C 19
C ...
C C
C22 23 24 182 319 .
b) As camadas de laranjas podem ser representações de números binomiais em colunas. Observando as primeiras representações do triangulo de Pascal, temos que a 3ª coluna multiplicada por 2 fornece a quantidade indicada de laranjas por camadas:
1360 5.
16 .
! 17 14 ).3 .2 (
! 14 . 15 . 16 . .2 17 : Total
! 14
!.3
! .2 17 C.
2 C ...
C C .2 : Total
C.
2:
camada ª 15 ....
C.
2 20 : camada ª4
C.
2 12 : camada ª3
C.
2 6:
camada ª2
C.
2 2:
camada ª1
3 17 2 16 2 3 2 2
2 16
2 5 2 4 2 3 2 2
.
b) Solução 2. Observe que (2, 6, 12, 20, ...) é uma progressão aritmética de 2ª ordem, pois subtraindo uma vez o termo pelo antecessor, temos a progressão aritmética de razão 2: (4, 6, 8,...). Temos:
1360 910
420 30 ) ordem ª 2 PA ( Soma
) 13 ).(
14 ).(
5 ( ) 14 ).(
30 ( 30 ) 13 ).(
14 ).(
15 6 .(
) 2 14 ).(
15 2 .(
) 4 15 ).(
2 ( 15 n
2 r
4 b
2 a
) 2 n ).(
1 n ( 6 n.
)1 r n .(
2 n.
n. b a :) ordem ª 2 PA ( Soma
240 238 2 ) 7 ).(
34 ( 2 2
14 ).
30 4 2 ( a 30 26 4 2 ).
1 14 ( 4 b
1 1
1 1
15 14
.
