MODELOS E TÉCNICAS DE SIMULAÇÃO AULA 2

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 08 de Agosto 2013

MODELOS E TÉCNICAS DE SIMULAÇÃO AULA 2

2

Variáveis Aleatórias

Demanda

Como determinar a demanda de um determinado produto?

Responder esta pergunta é importante para:

•Dimensionar o número de peças a serem pedidas;

•Determinar a compra ou não de maquinário;

•Expansão unidade existente ou construção de nova

unidade.

(2)

3

Em várias situações é interessante saber como uma variável aleatória muda ao longo do tempo. Por exemplo:

(1) O preço de uma ação na bolsa de valores;

(2) A demanda de energia elétrica (ou de um outro produto qualquer);

Em particular será estudado um processo estocástico denominado Cadeias de Markov.

Valor de ação Demanda de energia Balança Comercial

4

Cadeias de Markov

Definição de Processo Estocástico:

Suponha que uma determinada característica de um sistema é observada em pontos discretos do tempo cujos índices são 0,1,2,...).

Seja X_t o valor que a característica do sistema assume no tempo t. Então, na maioria das situações, X_t não é conhecida com certeza antes do tempo t e deve ser vista como uma variável aleatória.

Um processo estocástico discreto no tempo é uma descrição da relação entre as variáveis X₀,X₁,X₂,....

Exemplos de processos estocásticos são ilustrados a seguir.

X₀ X₁ X₃

?

(3)

5

X₀

A ruína do apostador

X₁ X₁

Perde (1-p) Ganha (p)

•••

••• ••••••••••••

X_t Fim de jogo X_t

6

Exemplo 1: A ruína do apostador

Suponha que um jogo no qual o saldo inicial, no tempo 0, é de R$2. Nos tempos 1, 2,..., I é realizado o jogo tal que em cada tempo I é apostado R$1. Há uma probabilidade p de se ganhar o jogo e (p-1) de se perder. O objetivo é aumentar o capital para R$4 e se isto ocorrer o jogo termina. Outra forma de terminar o jogo é se o capital for reduzido a R$0. Define-se X_t como o capital após ocorrer o jogo no tempo t (se existir) tal que X₀,X₁,X₂,...,X_t podem ser vistos como um processo estocástico discreto no tempo. Embora o saldo inicial seja uma constante conhecida (X₀=2), os demais valores (X₁,X₂,p.ex.) são aleatórios. Por exemplo, X₁=3 com probabilidade p e X₁=1 com probabilidade (p-1). Note que se X_t=4, então, X_t+1 e todos os demais X_ts serão iguais a 4. Similarmente o mesmo ocorre para X_t=0. Este tipo de situação é chamada de “A ruína do apostador”.

(4)

7

Exercício 1: A ruína do apostador

Quais são os possíveis estados deste jogo?

8

Exercício 1: A ruína do apostador

0 1 2 3 4

(5)

9

Bola na Urna

10

Exemplo 2: Bola na urna

Para modelar este problema como um processo estocástico define-se o tempo t como o tempo depois que a moeda foi lançada e a bola escolhida foi pintada. O estado em qualquer tempo é descrito por um vetor [u r b] onde u é o número de bolas brancas na urna, r o número de bolas vermelhas e b o número de bolas pretas na urna. Dado que X₀ = [2 0 0]. Após o primeiro lançamento de moeda uma moeda foi pintada de vermelho ou preto tal que o estado será X₁ = [1 1 0]

ou X₁ = [1 0 1], respectivamente.

Claramente existe um tipo de relacionamento entre os X_t’s. Por exemplo, se X_t = [0 2 0], então, com certeza X_t+1 = [0 1 1].

(6)

11

Exercício 2: Bola na urna

12

Exercício 2: Bola na urna

2 0 0 1 1 0 1 0 1

0 1 1 0 2 0 0 0 2

(7)

13

Preço de ações

X₀ X₁,X₂,...,X_t X_t+1

14

Exemplo 3: Preço de ações

Seja X₀ o preço de uma ação no começo do dia. Suponha ainda que X_t é o preço de abertura no t-ésimo dia de operação do mercado no futuro. Saber os valores de X₀,X₁,X₂,...,X_t pode fornecer alguma informação acerca da função de distribuição de probabilidade de X_t+1? Como os valores da ação no passado (anteriores ao tempo t) influenciam no valor de X_t+1?

Estas questões serão melhor discutidas mais adiante.

É importante observar que para o caso do mercado de ações é importante determinar o estado do sistema em qualquer instante de tempo e não somente em instantes discretos de tempo. Para tanto, é necessário empregar processo estocásticos em tempo contínuo que não serão abordados no curso.

(8)

15

Definição de Cadeia de Markov:

Um tipo especial de processo estocástico discreto no tempo é denominado de Cadeia de Markov. Assumindo que em qualquer instante de tempo o processo estocástico pode estar em um dos seguintes estados finitos indexados 1,2,..., s.

Um processo estocástico discreto no tempo é uma Cadeia de Markov se, para t = 0, 1, 2, ..., e em todos os estados:

P(X_t+1 = i_t+1|X_t = i_t, X_t-1 = i_t-1, ..., X₁ = i₁, X₀ = i₀)

= P(X_t+1 = i_t+1|X_t = i_t) (1) A equação (1) diz que a função de distribuição de probabilidade do estado no instante t+1 depende do estado no tempo t(i_t) e não depende dos estados da cadeia percorridos para até se atingir i_t no tempo t.

16

Portanto, no estudo de Cadeias de Markov é suposto que para todos os estados i e j e todos os intervalos de tempo t:

P(X_t+1 = i_t+1|X_t = i_t)= p_ij (2)

onde pij é a probabilidade de que o sistema no estado i no tempo t esteja no estado j no tempo t+1. Se no próximo período o sistema se move do estado i para o estado j, então, é dito que ocorreu um transição de i para j. Assim, os pij´s são chamados de probabilidades de transição da Cadeia de Markov.

A Equação (2) implica que a lei de probabilidade que relaciona o estado atual com o próximo não muda (ou permanece estacionário) no tempo. Assim, (2) é dita a hipótese de estacionariedade e qualquer Cadeia de Markov que satisfaz (2) é dita estacionária.

(9)

17

No estudo de Cadeias de Markov é necessário definir q_i que é a probabilidade que a cadeia esteja no estado i no tempo 0; ou seja, P(X₀ = i)= q_i.

O vetor q = [q1 q2 ... qs] é chamado de função de distribuição de probabilidade inicial para a Cadeia de Markov.

Na maioria das aplicações as probabilidades de transição são dadas por uma matriz P de transição de probabilidade de tamanho s x s.













=

ss s

s

s s

p p

p

p p

p

p p

p P

L M O M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

18













=

ss s

s

s s

p p

p

p p

p

p p

p P

L M O M

M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

1

1 2 s

Estado 2

s

Probabilidade de sair de i (=1) em t e ir para j (=2) em t+1.

∑

∑=1

∑ ∑

= + = = = = =

s

j

s

j ij t

t j X i p

X P

1 1

1 | ) 1

(

≥≥≥≥0

(10)

19

Representação Gráfica:

Uma matriz de transição pode ser representada por um grafo no qual um nó representa o estado e o arco (i,j) representa a probabilidade de transição p_ij.

i

j p_ij

1

2

3

4 p₁₁

p₁₂

p₁₃ p₁₄

20

X₀

A ruína do apostador

X₁ X₁

Perde (1-p) Ganha (p)

•••

••• ••••••••••••

X_t Fim de jogo X_t

Exercício 3:

Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

(11)

21













−

=

1 0 0 0

0

0 1

0 0

1 0

0 0 0

1

0 0 0 0

1

p p

P

0 1

3

∑∑

∑∑=1

∑ ∑

= + = = = = =

s

j

s

j ij t

t j X i p

X P

1 1

1 | ) 1

( 2

4

0 1 2 3 4

Exercício 3:

22

Exercício 3:

0 1

1-p

1

2 p

1-p

3 1-p

p

4 p

1 Ganhou

(12)

23

Bola na Urna Exercício 4: Encontrar a matriz

P e o grafo deste problema.

24

Exercício 4: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[0 1 1]

[0 2 0]

[0 0 2]

[2 0 0]

[1 1 0]

[1 0 1]

1ª. Sugestão:

[u r b]

(13)

25

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[1 1 0]

2ª. Sugestão:

1/2

1/4 1/2

1/4

1/2 1/2

1/2

1/4 1/4

[0 2 0]

[0 1 1]

[1 0 1]

26

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[1 1 0]

2ª. Sugestão:

1/2

1/4 1/2

1/4

1/2 1/2

1/2

1/4 1/4

[0 2 0]

[0 1 1]

[1 0 1]

1/4 1/4 1/2

(14)

27













=

0 2 1 0 4 1 0 4 1

2 1 0 0 0 4 4 1

1

2 1 2 1 0 0 0

0

0 0

0 0 0

1

0 0

0 0 0

1

0 0

0 2 1 2 1 0

P

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[0 1 1]

[0 2 0]

[0 0 2]

[2 0 0]

[1 1 0]

[1 0 1]

28

[0 1 1]

[0 2 0]

[0 0 2]

[2 0 0]

[1 1 0]

[1 0 1]

1 1/2

1/2 1

1/4

1/2

1/2 1/2 1/2

1/4 1/4

1/4

(15)

29

Exercício 5: Em uma pequena cidade existe 90% de chance que os dias de Sol sejam sucedidos por dias também de Sol e 80% de chance que os dias de chuva sejam sucedidos por dias de chuva. Encontrar a matriz P e o grafo da Cadeia de Markov deste problema.

30

(16)

31

1 2



 



= 

8 . 0 2 . 0

1 . 0 9 . 0 P ¹

2 2

1 0.9

0.1

0.2 0.8

32

Exercício 6: Considere um sistema de controle de estoque cuja sequência de operação é dada por:

(1) Observar o nível do estoque (chame de i) no início do período.

(2) Se i ≤ 1, 4 – i unidades são pedidas. Se i ≥≥≥≥ 2, 0 unidades são pedidas. Todos os pedidos são imediatamente entregues.

(3) Com probabilidade 1/3 a demanda d é de 0 unidades;

com probabilidade 1/3 a demanda d é de 1 unidade; e com probabilidade 1/3 a demanda d é de 2 unidades.

Seja o intervalo de tempo do estado como o início do período, então, determinar a matriz de transição e o grafo da Cadeia de Markov para este problema de controle de estoque.

(17)

33

Estados:

0 1 2 3 4

0 1 4 1

1 4

34

Estados:

0 1 2 3 4

2 1/3

0 d=2

1/3 d=1 1 2 1/3

d=0

(18)

35

Estados:

0 1 2 3 4

1/3

d=2 1 1/3 d=1

2 1/3

d=0 3

3

1/3

d=2 1/3 d=1

2

1/3

d=0 3 4

4

36

0 1

1/3

1 2 1/3

1

3 1/3

4

1/3 1/3

1/3

1/3 1/3

(19)

37













=

3 / 1 3 / 1 3 / 1 0 0

0 3 / 1 3 / 1 3 / 1 0

0 0 3 / 1 3 / 1 3 / 1

1 0 0 0 0

P

0 1

3 2

4

0 1 2 3 4

38

Definição de Probabilidades de Transição em n passos:

Dado que uma Cadeia de Markov no estado i no tempo m, como determinar a probabilidade de que n períodos depois a Cadeia de Markov estará no estado j?

Supondo que a Cadeia de Markov é estacionária, então, esta probabilidade é independente de m e pode ser escrita por:

P(X_m+n = j|X_m = i) = P(X_n = j|X₀ = i) = P_ij(n)

Onde: P_ij(n) é denominado de a probabilidade de transição do estado i para j em n passos.

(20)

39

Para um passo: P_ij(1) = p_ij

Para se determinar P_ij(2) note que neste caso o sistema se encontra agora no estado i e em dois passos deverá estar no estado j. Assim, no passo 1 o sistema deve passar por algum estado intermediário k antes de atingir, no passo 2, o estado j. Isto é:

∑

=

×

= ^s

k

Pij

1

) j para k de prob.

( k) para i de prob.

( ) 2 (

Empregando os valores da matriz de transição:

∑

=

×

= ^s

k

kj ik

ij p p

P

1

) 2

( (3)

P_ij(2) = pi1 × p1j + pi2 × p2j + ... + pis × psj

40

O grafo correspondente a Eq. (3) é como a seguir:

i

1 p_i1

2

k

••• j

•••

••••••

s

••••••

p_i2

p_ik

p_is

p_1j p_2j

p_kj

p_sj

Tempo 1

Tempo 0 Tempo 2

(21)

41

O termo da direita da Eq. (3) corresponde ao produto escalar da linha i com a coluna j da matriz P.

P_ij(n) = ij-ésimo elemento de Pⁿ (4)

Assim, P_ij(2) é o ij-ésimo elemento da matriz P². Esta observação pode ser generalizada para n > 1:

∑

= s ×

k

k p

p

1

2 1

Para i=1 e j =2:













ss s

s

s s

p p

p

p p

p

p p

p

L M O M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

=













ss s

s

s s

p p

p

p p

p

p p

p

L M O M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

××××

42

Para n = 0, P_ij(0) = P(X₀ = j|X₀ = i) tal que:





≠

= =

i j

i P_ij j

se 0

se ) 1 0 (

(22)

43

Exemplo 4: Consumo de Refrigerantes Suponha que indústria produza apenas dois refrigerantes. Supondo que uma pessoa comprou o refrigerante 1, existe um probabilidade de 90% a próxima compra seja do mesmo. Se ela comprou o refrigerante 2, então,

a chance de comprar o mesmo de novo é de 80%.

××××

1 2

(1) Se a pessoa consome o refrigerante 2, qual a probabilidade de que ela compre o refrigerante 1 após duas compras a partir de agora?

(2) Se a pessoa consome o refrigerante 1, qual a probabilidade de que ela compre o refrigerante 1 na terceira compra contando a partir de agora?

44

Resolução: As compras de cada pessoa podem ser representadas por uma Cadeia de Markov cujos estados X_t no tempo t representam o último refrigerante comprado, tal que, X₀ é o refrigerante comprado agora e X_n é o refrigerante comprado no tempo, futuro, n.

1 2



 



= 

8 . 0 2 . 0

1 . 0 9 . 0 P ¹

2 2

1 0.9

0.1

0.2 0.8

(23)

45

(1) Deseja-se obter P(X₂ = 1|X₀ = 2) = P₂₁(2) = P_ij²:



 



= 



 







 



= 

66 . 0 34 . 0

17 . 0 83 . 0 8

. 0 2 . 0

1 . 0 9 . 0 8 . 0 2 . 0

1 . 0 9 .

2 0 P

2

1

1 p₂₂=0.80

p₂₁=0.20

p₁₁=0.90

46

(2) Deseja-se obter P₁₁(3) = P₁₁³:



 



= 



 







 



=

= 0.438 0.562

219 . 0 781 . 0 66 . 0 34 . 0

17 . 0 83 . 0 8 . 0 2 . 0

1 . 0 9 . ) 0 ( ²

3 P P

P

1 1 2

2

1 1 2

1 1

p₁₁=.90 p₁₂=.10 p₁₁=.90

p₁₁=.90

p₁₂=.10

p₂₁=.20

p₂₂=.80 p₂₁=.20

p₁₁=.90 p₂₁=.20

0.729 0.018 0.018 0.016

0,781

(24)

47

Em muitas situações não se sabe o estado da Cadeia de Markov no tempo 0. Nestes casos, define-se q_i como a probabilidade de que a Cadeia de Markov esteja no estado i no tempo n como dado na Figura:

1 q₁

2

i

j

s

P_1j(n) P_2j(n)

Tempo 0 Tempo n

P_ij(n) P_sj(n) q₂

q_i q_s

48

Em muitas situações não se sabe o estado da Cadeia de Markov no tempo 0. Nestes casos, define-se q_i como a probabilidade de que a Cadeia de Markov esteja no estado i no tempo n como dado na Figura:

∑

= ×

= ^s

k 1 (prob.deipara japósn transições) i)

inicial estado de prob.

(

(5)

Probabilidade de estar no estado j no tempo n

∑=

= ^s

k ij

iP n

q

1

) (

) P de j coluna

( ⁿ

=q

onde q = [q₁ q₂ ... q_s].

(25)

49

Para ilustrar o uso de (5) no Exemplo 4 imagine que Atualmente 60% das pessoas bebem o refrigerante 1 e 40% bebem o 2. Determinar a fração de pessoas que bebem o refrigerante 1 após três compras a partir de agora. Se q = [.6 0.4] e q(coluna 1 de P³) = a probabilidade de que após três compras as pessoas bebam o refrigerante 1:

[0.60 0.40] [0.781]

[0.438]

= 0.6438

Ou seja, após três compras haverá 64% de pessoas que bebem o refrigerante 1.

50

Exercício 7: Supor que atualmente 30% das pessoas bebam o refrigerante 1 e 70% o refrigerante 2. Determinar a fração de pessoas que bebem o refrigerante 1 após dois e três passos.



 



= 

66 . 0 34 . 0

17 . 0 83 .

2 0

P _



 



= 

562 . 0 438 . 0

219 . 0 781 .

3 0 P

(26)

51

Exercício 7: Supor que atualmente 30% das pessoas bebam o refrigerante 1 e 70% o refrigerante 2. Determinar a fração de pessoas que bebem o refrigerante 1 após dois e três passos.



 



= 

66 . 0 34 . 0

17 . 0 83 .

2 0

P _



 



= 

562 . 0 438 . 0

219 . 0 781 .

3 0 P

[0.30 0.70] [0.781]

[0.438]

= 0.5409 [0.30 0.70] [0.83]

[0.34]

= 0.4870

52

O comportamento das probabilidades de transição após n-passos com n crescente é como dado a seguir:

n p₁₁(n) p₁₂(n) p₂₁(n) p₂₂(n)

1 .90 .10 .20 .80

2 .83 .17 .34 .66

3 .78 .22 .44 .56

4 .75 .25 .51 .49

5 .72 .28 .56 .44

10 .68 .32 .65 .35

20 .67 .33 .67 .33

30 .67 .33 .67 .33

(27)

53

Para n grande o suficiente tanto P₁₁(n) quanto P₂₁(n) são constantes e tendem ao valor 0.67. Isto significa que, para n grande, não importa o estado inicial a chance de uma pessoa se tornar comprador do refrigerante 1 é de 67%, e portanto, do 2 é de 33%.

n passos

54

OBRIGADO !!!

FIM !!!