MAT0134 - Introdu¸ c˜ ao a ´ Algebra Linear
1a¯ Prova - 30/08/2012 GABARITO
Quest˜ao 1. Expresse as solu¸c˜oes do sistema linear
−x1 − x2 + 2x3 + x4 = 2 2x1 + x2 − x3 − x4 = −1 3x1 + x2 + x3 − 2x4 = −2
−2x1 − x2 + 2x4 = 3
como soma de uma solu¸c˜ao particular e a solu¸c˜ao geral do sistema homogˆeneo associado.
Destaque, em sua resposta, quantas e quais s˜ao as solu¸c˜oes b´asicas do sistema homogˆeneo associado.
Solu¸c˜ao. A matriz completa do sistema ´e:
−1 −1 2 1 2
2 1 −1 −1 −1
3 1 1 −2 −2
−2 −1 0 1 3
Usando o algor´ıtmo de Gauss, encontramos a matriz escalonada
1 1 −2 −1 −2 0 1 −3 −1 −3
0 0 1 −1 −2
0 0 0 0 0
que nos fornece o sistema
x1 + x2 − 2x3 − x4 = −2 x2 − 3x3 − x4 = −3 x3 − x4 = −2
, equivalente ao original.
Observamos que o sistema escalonado tem 4 inc´ognitas, 3 equa¸c˜oes e, por- tanto, a solu¸c˜ao geral tem 4-3 = 1 parˆametro. A var´avel x4 ´e livre e a ela atribu´ımos um parˆametro: x4 = t. Substituindo nas equa¸c˜oes do ´ultimo sis- tema, obteremos x3 =−2 +t, x2 =−9 + 4t e x1 = 3−t.
As solu¸c˜oes do sistema s˜ao:
x1 x2 x3
x4
=
3−t
−9 + 4t
−2 +t t
=
3
−9
−2 0
+t
−1 4 1 1
, t∈R
X0 =
−1 4 1 1
´e uma solu¸c˜ao b´asica do sistema homogˆeneo associado.
Quest˜ao 2. Considere o sistema linear homogˆeneo
x + y − z = 0 ax + y + z = 0 x + y + az = 0
Determine todos os poss´ıveis valores deapara os quais o sistema admite solu¸c˜ao n˜ao trivial. Determine as solu¸c˜oes em cada caso.
Solu¸c˜ao. Para fazer o escalonamento da matriz A dos coeficientes do sistema, precisamos considerar os casos a = 0 ea 6= 0:
Sea= 0, teremos A=
1 1 −1
0 1 1
1 1 0
→
1 1 −1
0 1 1
0 0 1
Como n˜ao h´a vari´aveis livres, conclu´ımos que paraa= 0 o sistema admite apenas a solu¸c˜ao trivial (x= 0, y = 0, z = 0).
Suponhamos ent˜aoa6= 0. Neste caso, temos:
A=
1 1 −1 a 1 1
1 1 a
−→
(−aL1+L2) (−L1+L3)
1 1 −1
0 1−a a+ 1
0 0 a+ 1
−→
(L2−L3)
1 1 −1
0 a−1 0
0 0 a+ 1
(∗) Notamos que paraa6= 0, a6= 1 ea 6=−1 o posto da matriz dos coeficientes
´
e igual a 3, que ´e o n´umero de inc´ognitas. Portanto, o sistema ter´a apenas uma solu¸c˜ao, a saber, a solu¸c˜ao trivial. Sea= 1 oua=−1, o posto do sistema ser´a 2 e o conjunto solu¸c˜ao ter´a um parˆametro. Ou seja, o sistema ter´a infinitas solu¸c˜oes.
Sea= 1, a ´ultima matriz fica
1 1 −1 0 0 0 0 0 2
−→
1 1 −1 0 0 1 0 0 0
Nesse caso, o sistema tem infinitas solu¸c˜oes dadas por z = 0, y =t e x =−t.
Assim a solu¸c˜ao geral pode ser dada por
X =t
−1 1 0
, t∈R.
Analogamente,a=−1, a matriz (*) fica
1 1 −1
0 −2 0
0 0 0
−→
1 1 −1 0 1 0 0 0 0
. Assim, z ser´a uma vari´avel livre e o sistema ter´a infinitas solu¸c˜oes dadas por z =t, y= 0, e x=−t. A solu¸c˜ao geral ´e
X =t
−1 0 1
, t∈R.
Portanto, o sistema ter´a infinitas solu¸c˜oes se a= 1 oua=−1 e uma ´unica solu¸c˜ao em qualquer outro caso.
Quest˜ao 3. Seja A= 2 4 1 3
!
. (a) Determine A−1.
(b) Use o resultado obtido em (a) para resolver o sistema
( 2x + 4y = −6 x + 3y = 7 Solu¸c˜ao.
(a) O determinante de A ´e det(A) = 2·3−4·1 = 2. Portanto,
A−1 = 1 2
"
3 −4
−1 2
#
=
" 3
2 −2
−12 1
#
(b) O sistema dado pode ser visto como
"
2 4 1 3
#
| {z }
A
·
"
x y
#
| {z }
X
=
"
−6 7
#
| {z }
B
ou seja, em forma de uma equa¸c˜aoAX =B. Multiplicando `a esquerda os dos lados da equa¸c˜ao por A−1, iremos obter
A−1·(AX) =A−1B ⇐⇒ (A−1·A)X =A−1B ⇐⇒ IX =A−1B
Portanto,
"
x y
#
=
" 3
2 −2
−12 1
#
·
"
−6 7
#
=
"
−9−14 3 + 7
#
=
"
−23 10
#
ou seja, x=−23 e y= 10.
Quest˜ao 4. Seja B uma matriz quadrada.
(a) Simplifique o produto (I−B)(I+B)
(b) Suponha que B2 = 0 e conclua que I−B ´e uma matriz invers´ıvel. Qual ´e a sua inversa?
Solu¸c˜ao.
(a) Usando propriedades de opera¸c˜oes com matrizes, temos:
(I−B)(I+B) =I+B−B−B2 =I−B2
(b) Se B2 = 0, ent˜ao (I−B)(I +B) = I. Por outro lado, (I+B)(I −B) = I −B +B −B2 = I. Assim sendo, temos o produto de duas matrizes, nas duas ordens, igual `a matriz identidade. Conclu´ımos que I −B ´e uma matriz invers´ıvel e sua inversa ´e I+B.
Quest˜ao 5.
(a) Verifique que a matriz P = 1 0 1 0
!
tem a propriedade P2 =P.
(b) Mostre que se Q´e uma matriz quadrada que tem a propriedade Q2 = Q, ent˜ao a matriz I−Q tamb´em tem essa mesma propriedade.
Solu¸c˜ao.
(a) P2 = 1 0 1 0
!
· 1 0 1 0
!
= 1 0
1 0
!
=P
(b) Precisamos verificar que (I−Q)2 =I−Q, admitindo queQ2 =Qe sabendo apenas que Q´e uma matriz quadrada (de qualquer tamanho).
Note queI−Q pode ser calculada poisI ´e tamb´em uma matriz quadrada e o resultado ´e uma matriz quadrada de mesmo tamanho. Logo tem sentido calcular (I −Q)2. A solu¸c˜ao ´e:
(I −Q)2 = (I−Q)(I −Q) = I−Q−Q+Q2 =I−Q−Q+Q=I−Q
Quest˜ao 6. Decida se cada afirma¸c˜ao abaixo ´e verdadeira ou falsa e jus- tifique sua resposta. E considerado um sistema linear de´ n equa¸c˜oes e m inc´ognitas dado porAX =B, sendoA a matriz dos coeficientes do sistema,X a matriz das inc´ognitas e B a matriz dos termos constantes.
(a) Se n < m, ent˜ao o sistemaAX =B admite infinitas solu¸c˜oes.
Solu¸c˜ao. Falso. Por exemplo, o sistema
( x + y + z = 1 x + y + z = 7 tem n = 2 equa¸c˜oes e m = 3 inc´ognitas (logo n < m) e n˜ao admite infinitas solu¸c˜oes.
(b) Se n < m, o sistema homogˆeneo AX = 0 admite infinitas solu¸c˜oes.
Solu¸c˜ao. Verdadeiro. Sabemos que:
(1) um sistema homogˆeneo sempre tem solu¸c˜ao e
(2) se um sistema tem solu¸c˜ao ent˜ao o n´umero de inc´ognitas menos o posto (r) ´e igual ao n´umero de parˆametros do conjunto das solu¸c˜oes.
Logo, podemos deduzir que r ≤n. Portanto, o n´umero de parˆametros ´e m−r ≥ m−n ≥ 1. Tendo pelo menos um parˆametro, o sistema tem infinitas solu¸c˜oes.
(c) SeAfor uma matriz de tamanho 4×5 e tiver uma linha de zeros ent˜ao a solu¸c˜ao geral do sistema homogˆeneo AX = 0 tem 2 ou mais parˆametros.
Solu¸c˜ao. Verdadeiro. Neste caso, vemos que o sistema tem 5 inc´ognitas e 4 equa¸c˜oes (sendo uma delas nula). Logo, o posto ´e r≤3. Portanto, o n´umero de parˆametros ´e maior ou igual a 5−3 = 2.
