Matemática. Exercícios sobre Geometria Espacial: Prismas. Exercícios

Exercícios sobre Geometria Espacial: Prismas

Exercícios

1.

(G1 - cftrj 2019) No bloco retangular mostrado na figura a seguir, as faces 𝐴𝐵𝐶𝐷 e 𝐸𝐹𝐺𝐻 são quadrados iguais e as demais faces são retângulos iguais.

Cada quadrado tem perímetro 1.600 cm e cada retângulo tem um dos lados medindo 7 m.

a) Qual a distância, em metros, do ponto A ao ponto G?

b) Qual o volume, em litros, do bloco retangular?

2.

(Ueg 2011) Considere um cubo com 3 cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada um com 1 cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo.

a) Calcule o volume da figura I.

b) Calcule a área da superfície da figura II.

3.

(Uerj 2012) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a 3 m.

Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba.

4.

(FGV 2016) Os quatro cantos de cubo de aresta 6𝑎 são cortados, obtendo-se um novo sólido geométrico sem os quatro prismas retos, como o prisma indicado como exemplo na figura abaixo.

a) Qual é a área do sólido geométrico formado em termos de a?

b) Qual é o volume do novo sólido geométrico formado em termos de a?

5.

(UFG 2014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo.

6.

(Unesp 2010) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano.

As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa.

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de 10% desse volume.

7.

(FGV 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?

8.

(UFJF 2012) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida 1cm.

a) Calcule o volume da embalagem.

b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em 1/5 (um quinto) quando passa do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não transborde?

9.

(Uerj 2015) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um plano 𝛼 de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo representa o cubo com a água.

Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com área igual a 32√5dm². Determine o volume total, em dm³, de água contida nesse cubo.

10.

(EBMSP 2017) Uma pesquisa realizada durante 75 anos nos Estados Unidos mostrou que não é uma carreira de sucesso, a fama ou os bens adquiridos durante a vida a fórmula da felicidade para uma jornada tranquila. Segundo o estudo, as pessoas que participam de grupos sociais, se relacionam bem com a família, com os amigos e com a comunidade são mais felizes, fisicamente mais saudáveis e vivem mais tempo do que as pessoas que têm menos relações sociais.

Uma pessoa para realizar um evento ao ar livre, com familiares e amigos, está planejando instalar um toldo cuja cobertura tem a forma do sólido, de volume igual a ^20√3

3

 m

³

,

representado na figura 1.

Com base nessa informação, calcule a área total da planificação dessa cobertura, constituída por dois retângulos congruentes e dois triângulos, representada na figura 2.

Gabarito

1. a) Calculando:

𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 ⇒ 4𝑥 = 1600 ⇒ 𝑥 = 400 𝑐𝑚 = 4 𝑚 Δ𝐴𝐺𝐶 ⇒ ⟨𝐴𝐶 = 4√2

𝐶𝐺 = 7

𝐴𝐺²= 7²+ (4√2)²⇒ 𝐴𝐺²= 81 ⇒ 𝐴𝐺 = 9 b) Calculando:

𝑉 = 4 ⋅ 4 ⋅ 7 = 112 𝑚³= 112000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

2. a) O volume de um cubo de aresta 3cm é igual a 3³= 27 𝑐𝑚³, e o volume de um cubo de aresta 1𝑐𝑚 é 1³= 1 𝑐𝑚³. Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo maior, o resultado pedido é 27 − 7 = 20 𝑐𝑚³. b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de um cubo de aresta 1cm multiplicada por 6 ⋅ 5 = 30, ou seja, 1²⋅ 30 = 30 𝑐𝑚².

3. Seja 𝑎 a aresta da base da caçamba.

Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua capacidade é dada por 𝑎²⋅ 1 = 𝑎². Desse modo, como a diagonal do paralelepípedo mede 3 𝑚 e a diagonal da base mede 𝑎√2, vem

3²= (𝑎√2)²+ 1²⇔ 2𝑎²= 8   ⇔ a²= 4 m³. 4. a) Calculando:

𝑆 = 2 ⋅ (36𝑎²− 2𝑎²) + 4 ⋅ 4𝑎 ⋅ 6𝑎 + 4 ⋅ 𝑎√2 ⋅ 6𝑎 = 68𝑎²+ 96𝑎²+ 24𝑎²√2 = 164𝑎²+ 24𝑎²√2 b) Calculando:

𝑉 = 𝑆 ⋅ ℎ = 34𝑎²⋅ 6𝑎 = 204𝑎³

5. A quantidade de água obtida é dada por:

0,9 ⋅ (12 ⋅ 18 ⋅ 56 +⁵⁶⁺¹⁶

2 ⋅ (52 − 18) ⋅ 12) = 24.105,6 𝑚³.

6. Quantidade de chuva em mm + 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 700 mm Área da base do telhado: 8 ⋅ 10 = 80𝑚²

700 mm de chuva correspondem a 700l por m²

Logo o telhado captou 80.700 = 56000L (56 m³) de água.

Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1 𝑐𝑚³= 10⁻⁶ 𝑚³, segue que a medida real da capacidade do depósito é

25,92⋅500³

10⁶

= 3240 𝑚

³

.

8. a) Área da base (área do retângulo menos 4 vezes a área do triângulo):

𝐴 = 20 ⋅ 10 − 4 ⋅1 ⋅ 1 𝐴 = 198𝑐𝑚² 2

Portanto, seu volume será:

𝑉 = 198 ⋅ 10 = 1980𝑐𝑚³

b) x = volume inicial do sorvete líquido Portanto,

𝑥 +𝑥

5= 1980 6

5

⋅ 𝑥 = 1980 ⇔ 𝑥 = 1650𝑐𝑚

³ 9.

No retângulo ABCD: 8𝑥 = 32√5 ⇒ 𝑥 = 4√5𝑑𝑚

No triângulo AED: (4√5)²= 8²+ 𝑦²⇒ 𝑦²= 16 ⇒ 𝑦 = 4 Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por:

𝑉 =

^4⋅8⋅8

= 128 𝑑𝑚

³

10.

O toldo formará um prisma reto triangular. No triângulo da base do prisma, podemos escrever que:

𝑠𝑒𝑛 60°=2 𝐿⇒√3

2 =2

𝐿⇒ 𝐿 = 4

√3 𝑚

Logo, a área do triângulo da base será dada por:

𝐴_Δ=1

2⋅ 𝐿 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 120°=1 2⋅ 4

√3⋅ 4

√3⋅√3 2 = 4

√3 𝑚² O volume do prisma será dado por:

𝐴_Δ⋅ ℎ =20 ⋅ √3

3 ⇒ 4

√3⋅ ℎ =20 ⋅ √3

3 ⇒ ℎ = 5 𝑚

Portanto, a área total do toldo será a soma das áreas dos dois triângulos e dos dois retângulos.

𝐴

_𝑇

= 2 ⋅ 𝐴

_Δ

+ 2 ⋅ 𝐴▭

𝐴

_𝑇

= 2 ⋅ 4

√3 + 2 ⋅ 4

√3 ⋅ 5 𝐴

_𝑇

= 48

√3

𝐴

_𝑇

= 16 ⋅ √3 𝑚

²