LÓGICA MATEMÁTICA PARA CONCURSO

(1)

LÓGICA MATEMÁTICA PARA CONCURSO

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Sumário

RACIOCÍNIO LÓGICO ... 2

I

NTRODUÇÃO A

L

ÓGICA

P

ROPOSICIONAL

... 2

P

ROPOSIÇÃO

S

IMPLES OU

C

OMPOSTA

... 2

C

ONECTIVOS

L

ÓGICOS

... 3

I

NTRODUÇÃO AO

C

ÁLCULO

P

ROPOSICIONAL

... 3

T

ABELA

V

ERDADE

... 4

C

ONTINGÊNCIA OU

I

NDETERMINAÇÃO

... 5

T

AUTOLOGIA E

C

ONTRADIÇÃO

... 6

E

QUIVALÊNCIA

L

ÓGICA

... 6

N

EGAÇÕES DAS TABELAS

-

VERDADE

... 8

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO... 10

DIAGRAMA LÓGICO ... 13

SENTENÇAS ABERTAS ... 15

CONJUNTOS ... 15

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS ... 16

PORCENTAGEM ... 18

(3)

Raciocínio Lógico

Introdução a Lógica Proposicional

Como qualquer linguagem a Matemática utiliza os seus termos – palavras ou símbolos – e as suas proposições – combinação de termos, de acordo com determinadas regras que constituem o que chamamos de sintaxe matemática.

Princípios Fundamentais da Lógica Matemática - Princípio da não contradição

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

- Principio do terceiro excluído

Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca um terceiro caso.

As regras que determinam quais são as proposições que devem ser consideradas verdadeiras constituem a Lógica matemática.

Valor Lógico em uma proposição

Chamamos de valor lógico de uma preposição a verdadeira se a proposição é verdadeira e a falsidade se proposição for falsa.

Notação: Usaremos aqui V para verdade e F para falsidade.

Lembre-se que valem sempre os princípios da não contradição e terceiro excluído.

. p: “2,971 é um número inteiro”

. q: Bagé é uma cidade gaúcha.

. r: “O número inteiro 64 é um cubo perfeita”

Note que o valor lógico das proposições q e r é verdade (V) e o valor lógico da proposição p é a falsidade (F).

Proposição Simples ou Composta Definição de Proposição simples

Diz-se que uma proposição é uma proposição simples (ou atômica) se esta não possui nenhuma proposição como parte integrante de si mesma.

Exemplos:

. p: “8 é a raiz quadrada positiva de 64”

. q: “2

¹⁰

= 1024”

Os valores lógicos das proposições p e q são ambos V.

Definição de Proposição Composta

Diz-se que uma proposição é uma proposição composta (ou molecular) se esta é uma combinação de duas ou mais proposições simples, para estas combinações são utilizados os conectivos lógicos (veja a tabela pág. 1).

Uma proposição composta P que é obtida por meio de combinação das proposições simples p, q, r, ... será denotada por: P(p, q, r, ...).

Exemplos:

P: Joaquim e português e Hans é alemão.

p q Q: Pássaros voam ou cobras rastejam.

r s

Os valores lógicos das proposições acima são todos verdadeiros O que não é proposição:

Não são proposições frases que não se pode atribuir valores lógicos (V ou F), como por exemplo:

Qual o seu nome?

O filme é ótimo!

(4)

Conectivos Lógicos

Definição: Chamamos de conectivos lógicos as palavras ou símbolos que são usadas para formas novas proposições a partir de outras proposições dadas.

Os conectivos usuais da lógica matemática são os seguintes.

Conectivo Símbolos Palavras

Conjunção  E

Disjunção  Ou

Disjunção Exclusiva ^ Ou...ou...

Negação ~ou

^

Não

Condicional  Se...então

Bicondicional ^ ...se, e somente se ....

Introdução ao Cálculo Proposicional Negação de uma proposição

A negação de uma proposição p, indicada por ~p ou ~p, lê-se “não p”.

p ~p V F F V Exemplos:

a) p: O cachorro é um animal. V

~p: O cachorro não é um animal. F b) q: √9 não é um número primo F

~q: √9 é um número primo V Note que ~(~p)=p

c) r: Bagé não é uma cidade. F

~r: Bagé é uma cidade. V

Note que no exemplo acima a negação de uma negação é uma afirmação.

Exercícios:

1. Identifique as proposições e transforme as frases em linguagens simbólicas, conforme exemplo abaixo

Exemplo: Marcos é alto e Carlos não é baixo.

Solução:

p: Marcos é alto q: Carlos é baixo

~q: Carlos não é baixo.

em linguagem simbólica temos: p  ~q

a) Brasil é um país e Santa Catarina é um estado b) Juliana é dançarina ou Marcos é cantor c) Ou o Gol é Azul ou o gol é amarelo.

d) Se Jader receber seu salário então ele pagará as contas e) 2+7=9 se, e somente se 15x3=45

f) Sempre que Pedro bebe, ele não dirige

g) Se Lucio casar então, ou Mario se separa ou Joana fica viúva.

h) Patrícia é atriz e Humberta é Cantora se, e só se, Wagner for produtor.

2. Negue as sentenças a seguir:

a) Mônica é baiana.

b) Yon não é um marciano.

c) Luismar é Caçapavano.

d) Fabiula foi à manicure.

e) O político brasileiro é honesto.

(5)

3. Sabendo-se que:

p: Carla é professora q: Paulo é pedreiro r: Joana é prima de Paulo s: Gustavo é filho de Carla

Transforme as linguagens simbólicas em linguagem corrente, conforme exemplo abaixo:

Exemplo:

𝑝 → 𝑞

_Se Carla é professora então Paulo é pedreiro._______

a) ~𝑝 ∨ 𝑠

_____________________________________________________

b) ~𝑠 ∨ ~𝑟

_____________________________________________________

c) ~𝑠 ↔ ~𝑝

_____________________________________________________

d) 𝑠 → 𝑟

_____________________________________________________

Tabela Verdade

Definição: Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida.

As tabelas verdades são usadas para representar as regras usadas em lógica de uma forma bem transparente.

Imagine a seguinte situação:

Uma guria joga várias vezes uma mesma moeda para cima, e vai anotando os resultados, quantos resultados seriam possíveis se ela jogasse 2 vezes a mesma moeda?

- Primeira possibilidade: 1ª jogada Cara, 2ª jogada Cara.

- Segunda possibilidade: 1ª jogada Cara, 2ª jogada Coroa.

- Terceira possibilidade: 1ª jogada Coroa, 2ª jogada Cara.

- Quarta possibilidade: 1ª jogada Coroa, 2ª jogada Coroa.

Poderíamos ainda reescrever o raciocínio acima em forma de tabela 1ª jogada 2ª Jogada

Cara Cara

Cara Coroa

Coroa Cara

Coroa Coroa

Agora vamos transformar isso em proposições, suponha “p” a 1ª jogada e “q” a 2ª jogada, suponha também que Cara equivalha a verdade e Coroa a falsidade, logo teríamos a seguinte tabela:

p q

V V

V F

F V

F F

A quantidade de possibilidades (linhas em uma tabela verdade) é dada pela seguinte fórmula: 2

^𝑛

, onde n é o número de proposições.

Quantidade de proposições Quantidade de Possibilidades

1 2

2 4

3 8

n 2

^𝑛

(6)

Acompanhe a seguir as regras de acordo com os conectivos.

1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

P ~p V F F V

2. Tabela verdade da "conjunção": a conjunção é verdadeira somente quando as proposições são verdadeiras.

Conjunção  p q p  q

V V V

V F F

F V F

F F F

3. Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa somente quando as proposições são falsas, ou para que a proposição composta seja verdadeira basta que pelo menos uma das simples seja verdadeira.

Disjunção  p q p  q

V V V

V F V

F V V

F F F

4. Tabela verdade da "disjunção exclusiva": a disjunção exclusiva é verdadeira somente quando uma proposição é falsa e outra verdadeira.

Disj.Exclusiva ^ p q p  q

V V F

V F V

F V V

F F F

5. Tabela verdade da condicional: a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.

Condicional ^ p q p  q

V V V

V F F

F V V

F F V

6. Tabela verdade da bicondicional: a bicondicional é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos

Bicondicional  p q p  q

V V V

V F F

F V F

F F V

Com base nas tabelas cima completa a tabela abaixo:

𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 𝑝 → ~𝑞 𝑞 ∧ 𝑟 (𝑝 → ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)

Contingência ou Indeterminação

Obs. A tabela acima resultou em uma contingência ou indeterminação, isto é, os valores lógicos encontrados no

resultado final (última coluna) não são homogêneos (iguais), pois temos Verdades e Falsidades.

(7)

Tautologia e Contradição

Tautologia

Uma proposição composta é uma tautologia se tem todos os valores lógicos V como resultado.

Exemplo:

a) p∨~p

p ~p p  ~p

V F V

F V V

b) (p∧~p) →(q∨p)

P q ~p p∧~p (q∨p) (p∧~p) →( (q∨p)

V V F F V V

V F F F V V

F V V F V V

F F V F F V

Contradição

Uma proposição composta é uma tautologia se tem todos os valores lógicos F como resultado.

Exemplo:

a) p ∧~p [

p ~p p∧~p

V F F

F V F

b) (p∧~q) ↔(~p∨q)

p Q ~p ~q p∧~q (~p∨ q) (p∧~q) ↔(~p∨q)

V V F F F V F

V F F V V F F

F V V F F V F

F F V V F V F

Equivalência Lógica

Definição: Diz-se que as proposições p e q são logicamente equivalentes, e escreve-se p ≡q , quando p e q têm a mesma tabela-verdade.

Exemplos

. ~ (p ∧q) ≡~ p∨~ q . ~ (p ∨q) ≡~ p∧~ q

Antes de continuarmos vamos rever as tabelas-verdade:

Conjunção  Disjunção  Disj.Exclusiva ^ Condicional ^ Bicondicional ^ p q p  q p q p  q P q p  q p q p ^ q p q p ^ q

V V V V V V V V F V V V V V V

V F F V F V V F V V F F V F F

F V F F V V F V V F V V F V F

F F F F F F F F F F F V F F V

Agora veja as equivalências abaixo, elas serão provadas por tabela verdade a seguir.

p  q ≡q  p p  q ≡q  p p ^ q ≡q ^ p

p ^ q ≡ ~𝑞  ~𝑝 (Contra positiva) p ^ q ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞

p ^ q ≡q ^ p

(8)

Note que as colunas sombreadas são iguais, provando que as equivalências são válidas.

Vamos provar que p  q ≡q  p

p  q ≡q  p

p q p  q p q q  p

V V V V V V

V F F V F F

F V F F V F

F F F F F F

p  q ≡q  p

p q p  q p q q  p

V V V V V V

V F V V F V

F V V F V V

F F F F F F

p  q≡q  p

p q p  q p q q  p

V V F V V F

V F V V F V

F V V F V V

F F F F F F

p ^ q ≡~q  ~p

p q p ^ q p q ~q ~p ~q ^ ~p

V V V V V F F V

V F F V F V F F

F V V F V F V V

F F V F F V V V

p  q ≡q  p

p q p  q p q q 

p

V V V V V V

V F F V F F

F V F F V F

F F V F F V

Exercícios:

3. Encontre as equivalências lógicas e reescreva-as em forma de texto.

Exemplo:

𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝

Se Paulo não é pedreiro então Carla não é professora a) ~𝑝 ∨ 𝑠 ≡ _________

_____________________________________________________

b) ~𝑠 ∨ ~𝑟 ≡ _________

_____________________________________________________

c) ~𝑠 ↔ ~𝑝 ≡ _________

_____________________________________________________

(9)

Negações das tabelas-verdade

A negação de uma regra pode aparecer de diversas formas, por exemplo:

Dizer que:

Não é verdade que se Carlos trabalhar até tarde então não se encontrará com seus amigos.

É o mesmo que:

Carlos trabalhou até tarde e não se encontrou com seus amigos.

Isso é possível, pois temos as seguintes regras de negação.

~(𝑝  𝑞) ≡ ~𝑝  ~𝑞

~(𝑝  𝑞) ≡ 𝑝 → ~𝑞

~(𝑝  𝑞) ≡ ~𝑝  ~𝑞

~(𝑝  𝑞) ≡ ~𝑝  𝑞 ≡ 𝑝  ~𝑞 ≡ 𝑝 ↔ 𝑞

~(𝑝  𝑞) ≡ 𝑝  ~𝑞

~(𝑝  𝑞) ≡ (𝑝  ~𝑞)  (𝑞  ~𝑝) ≡ 𝑝 ∨ 𝑞

Faça as tabelas verdades de ambos os lados e compare-as para verificar as equivalências acima, como foi feito anteriormente.

No caso do exemplo anterior veja.

p: Carlos trabalhar até tarde.

q: Carlos se encontrará com seus amigos Na primeira frase temos:

Em simbologia Em linguagem corrente

~(p  q) Não é verdade que se Carlos trabalhar até tarde então não se encontrará com seus amigos.

Na segunda frase temos:

Em simbologia Em linguagem corrente

p  ~q Carlos trabalhou até tarde e não se encontrou com seus amigos.

Exercício:

4. Negue todas as proposições abaixo, e reescreva-as em linguagem corrente.

Exemplo:

~(p → q) ≡ p ∧ ~q

Carla é professora e Paulo não é pedreiro a) ~𝑠 ↔ ~𝑝

_____________________________________________________

b) 𝑠 → 𝑟

_____________________________________________________

c) 𝑟 ∨ ~𝑝

_____________________________________________________

d) ~𝑠 ∨ 𝑞

_____________________________________________________

Agora que já sabemos a regrais mais simples vamos ver algumas questões aplicadas em concursos públicos.

(10)

Questão 01. No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana.

a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.

b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.

c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.

d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.

e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.

Solução:

- Primeiro devemos encontrar as proposições:

p: Chiquita foi ao parque.

~p: Chiquita não foi ao parque.

q: Didi estuda.

r: Didi é aprovado.

s: Dadá vai a missa.

~s: Dadá vai visitar tia Célia.

- Agora vamos reler o texto e transformá-lo em simbologia.

~𝑝 Chiquita não foi ao parque

𝑞 → 𝑟 Sempre que Didi estuda, Didi é aprovado 𝑠 ∨ ~s Ou Dada vai a missa ou vai visitar tia célia

~𝑠 → 𝑝 Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque 𝑠 → 𝑞 Sempre que Dadá vai a missa, Didi estuda

- Sendo que todas as linhas devem ter Verdadeiro como valor lógico, já que a questão toda é uma afirmação, isto é devemos ter uma tautologia, sabendo-se isso a questão acima foi resolvida em passos, que foram numerados, observe.

Passo 1: ~𝑝 é V pois está sozinho q como cada linha é verdadeira, segue de imediato que ~p é verdade.

Passo 2: como ~p é V seque que p é F, logo pela tabela verdade segue que em ~𝑠 → 𝑝, teríamos duas possibilidades:

~s p ~𝑠 → 𝑝

V F F

F F V

Note que como queremos a verdade, a única possibilidade é que ~s seja F e daí temos que s é V.

Passo 3: Se s é V temos em 𝑠 → 𝑞:

s Q 𝑠 → 𝑞

V V V

V F F

Analogamente ao passo dois temos que q é V.

Passo 4: Como o mesmo raciocínio do passo três chegasse que r é V em 𝑞 → 𝑟.

Logo a resposta correta é a alternativa “a”.

Exercícios:

5. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de

Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.

b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.

c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.

d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.

e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

6. Uma sentença logicamente equivalente a “Se Ana é bela, então Carina é feia” é:

a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.

b) Ana é bela ou Carina não é feia.

c) Se Carina é feia, Ana é bela.

d) Ana é bela ou Carina é feia.

e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

(11)

7. X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7.

Sendo assim:

a) Se X ≥ 4, então Y < 7.

b) Se Y ≤ 7, então X > 4.

c) Se Y > 7, então X ≥ 4.

d) Se Y < 7, então X ≥ 4.

e) Se X < 4, então Y ≥ 7.

8. A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:

a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.

b) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.

c) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

d) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

Em algumas literaturas temos que:

p é chamada de condição suficiente e que q é chamada de condição necessária em 𝑝 → 𝑞.

9. Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar.

Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,

a) Beto não bebe ou Ana não chora.

b) Denise dança e Beto não bebe.

c) Denise não dança ou Ana não chora.

d) nem Beto bebe nem Denise dança.

e) Beto bebe e Ana chora.

Lógica de argumentação

Um argumento é “uma sequência de afirmações correlacionadas a fim de estabelecer uma proposição definida”.

Há vários tipos de argumentos, aqui estamos interessados nos “dedutivos”.

Argumentos dedutivos possuem três etapas: premissa, interferência e conclusão.

- Premissas: Significa a proposição, o conteúdo, às informações essenciais que servem de base para um raciocínio, para um estudo que levará a uma conclusão. Em lógica a premissa significa cada uma das proposições de um silogismo (dedução feita a partir de duas premissas, de modo a originar uma terceira logicamente implicada, denominada conclusão).

- Inferência: É a etapa onde “conectamos” duas premissas, desde que haja concordância entre estas.

- Conclusão: É o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular.

A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

Exemplo 1:

Premissa 1: Todos os brasileiros trabalham.

Premissa 2: Fabiano é brasileiro.

Conclusão: Logo, Fabiano trabalha.

Exemplo 2:

A seguir está exemplificado um argumento válido, que pode ou não ser “consciente”.

1) Premissas: Todo evento tem uma causa.

2) Premissas: O universo teve um começo.

3) Premissa: Começar envolve um evento.

4) Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento.

5) Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.

6) Conclusão: O universo teve uma causa.

(12)

Exercícios:

1. Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de cantos são também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também professor de piano. E alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe- se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não tem nenhum professor em comum, então:

a) Nenhum professor de violão é professor de canto.

b) Pelo menos um professor de violão é professor de teatro.

c) Pelo menos um professor de cantos é professor de teatro.

d) Todos os professores de piano são professores de cantos.

e) Todos os professores de piano são professores de violão.

2. Um rico dono das terras está pensando em distribuir sete lotes de terra (numeradas de 1 a 7) entre seus cinco filhos: Pango, Pento, Pingo, Pongo e Pungo. Todos os setes lotes serão distribuídos, devendo, no entanto, obedecer às seguintes condições.

I – Cada lote será dado a um e somente a um filho.

II – Nenhum filho ganhará mais de três lotes.

III – Quem ganhar o lote 2 não poderá ganhar nenhum outro lote.

IV – Os lotes 3 e 4 devem ser dados a diferentes filhos.

V – Se Pango ganhar o lote 2, então Pengo ganhará o lote 4.

VI – Pungo ganhará o lote 6, mas não poderá ganhar o lote 3.

Se Pingo e Pongo não ganharem lote algum, atendidas todas as condições, então necessariamente.

a) Apenas Pango ganhará três lotes.

b) Apenas Pengo ganhará três lotes.

c) Apenas Pungo ganhará três lotes.

d) Ambos, Pango e Pengo, ganharão três lotes de cada um.

e) Ambos, Pango e Pungo, ganharão três lotes de cada um.

3. Cinco aldeões foram levados à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real.

Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:

Bebelim: "Cebelim é inocente".

Cebelim: "Dedelim é inocente".

Dedelim: "Ebelim é culpado".

Ebelim: "Abelim é culpado".

O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei:

"Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram". O velho rei, que, embora um pouco surdo, era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

a) Abelim b) Bebelim c) Cebelim d) Dedelim e) Ebelim

4. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz: Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que:

a) Y fala a verdade.

b) A resposta de Y foi "não".

c) Ambos falam a verdade.

d) Ambos mentem.

e) X fala a verdade.

(13)

5. Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia, a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda nesse conjunto de cinco amigas é dado por:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr do sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense e outro, vascaíno. Sabe-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo e outro é cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente:

a) Regina e Sandra b) Tânia e Sandra c) Sandra e Tânia d) Regina e Tânia e) Tânia e Regina

7. Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa.

Juiz 1: "André foi o primeiro; Beto foi o segundo".

Juiz 2: "André foi o segundo; Dênis foi o terceiro".

Juiz 3: "Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto".

Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente:

a) André, Caio, Beta, Dênis.

b) Beta, André, Dênis, Caio.

c) André, Caio, Dênis, Beta.

d) Beta, André, Caio, Dênis.

e) Caio, Beto, Dênis, André.

(14)

Diagrama lógico

Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em outra proposição final, que será consequência das primeiras. Os argumentos a seguir solucionáveis por diagramas:

Todo Algum Nenhum

Um argumento válido tem obrigatoriamente a conclusão como consequência das premissas.

Assim, quando um argumento é válido, a conjunção das premissas verdadeiras implica logicamente a conclusão.

Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

1. Todos os alunos do C.Es.A.R. são aprovados.

2. Algum aprovado é funcionário do INSS.

Conclusão:

Existem alunos do C.Es.A.R que são funcionários do INSS

Diagrama 1 Diagrama 2

Nota-se que pelo diagrama 1 a conclusão é falsa e pelo diagrama 2 ela é verdadeira, porém para que a conclusão apresentada fosse verdadeira só poderíamos ter o diagrama 2, logo a conclusão é falsa.

Podemos concluir tantopelo diagrama 1 quanto pelo diagrama 2 que:

Existem funcionário do INSS que não são alunos de C.Es.A.R.

Neste caso temos um silogismo.

Um silogismo (do grego antigo συλλογισμός, "conexão de ideias", "raciocínio"; composto pelos termos σύν "com"

e λογισμός "cálculo") é um termo filosófico com o qual Aristóteles designou a argumentação lógica perfeita, constituída de três proposições declarativas que se conectam de tal modo que a partir das duas primeiras, chamadas premissas, é possível deduzir uma conclusão. A teoria do silogismo foi exposta por Aristóteles em Analíticos anteriores.

Veja os exemplos abaixo:

Algum: São consideradas sinônimas de algum as expressões: existe(m), há pelo menos um ou qualquer outra similar.

Existem elementos de A que estão em B.

Existem elementos de B que estão em A Existem elementos que estão em A e não estão em B

Existem elementos de B que não estão em A

Nenhum: Pode ser utilizado como sinônimo a expressão: Todo .... não...

Nenhum elemento de A estão em B Nenhum elemento de B está em A Todo o elemento de B não está em A.

Todo: Pode ser utilizado como sinônimo de todo a expressão

“qualquer um” ou outra similar.

Todos elementos de B está em A Existem elementos de A que não estão em B

(FCC: TCE-SP – 2010) Considere as seguintes afirmações:

Alunos aprovados

Funcionário do INSS Alunos

do C.Es.A.R

Alunos aprovados

Funcionário do INSS Alunos

do

C.Es.A.R

(15)

I. Todo escriturário deve ter noções de Matemática.

II. Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo são escriturários.

Se as duas afirmações são verdadeiras, então é correto afirmar que:

a) Todo funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo deve ter noções de Matemática.

b) Se Joaquim tem noções de Matemática, então ele é escriturário.

c) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, então ele é escriturário.

d) Se Joaquim é escriturário, então ele é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo.

e) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo podem não ter noções de Matemática.

Diagrama de acordo com as premissas.

Resposta:

Letra E

Negação de Todo, algum e Nenhum:

Negação de Algum: Para negar algum basta mostra que nenhum satisfaz a condição estabelecida.

Existem brasileiros que moram em Narnia.

Negação:

Nenhum brasileiro mora em Narnia.

Negação de Todos: Para negar todos basta mostrar alguém que não satisfaz a condição estabelecida.

Todos os brasileiros são corruptos.

Negação:

Algum brasileiro não é corrupto.

Algum Nenhum Todos Algum não

Negação

(16)

Sentenças Abertas

Não contém informação suficiente para serem declaras como verdadeiras ou falsas.

Exemplo e contraexemplo:

Ela é professora na escola onde eu estudo.

A sentença é aberta pois não sabemos quem é “ela”.

No ano passado, ocorrerem x acidentes de trânsito no Brasil.

A sentença é aberta pois não sabemos valor de x”.

1+14=15

A sentença é fechada pois podemos notar que é verdadeira.

x+1>3

A sentença é aberta pois não sabemos valor de x”.

Exercícios:

(FCC-ICMS-SP 2006) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor Jogador do mundo em 2005.

II. (x+y)/5 é um número inteiro.

III. João da Silva foi secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que apenas:

a) I e II são sentenças abertas.

b) I e III são sentenças abertas.

c) II e III são sentenças abertas.

d) I é sentença aberta e) II é sentença aberta

Note que no item I não sabemos em é “ele”, logo a sentença é aberta, também não sabemos quem são x e y no item dois, não temos como saber se o item dois é verdadeiro ou falso, logo o item II é aberto.

O item três é uma sentença fechada, pois temos todas as informações necessárias.

Resposta: alternativa A

Conjuntos

A Teoria dos Conjuntos, um dos temas de matemática que aparecem no Enem, foi formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor. Conjuntos não podem ser definidos, mas entende-se por conjunto toda lista de objetos, símbolos que seja bem definida.

Conceitos primitivos:

- Conjunto;

- Elemento;

- Pertinência.

Ao pensarmos em uma coleção de objetos, podemos associar a conjunto. Esses objetos da coleção são o que chamamos de elementos do conjunto. Se um elemento está presente em um conjunto, dizemos que o elemento pertence (∈∈) ao conjunto.

Caso contrário, dizemos que ele não pertence.

Símbolos:

∃ : Existe ∅ : Conjunto vazio

∄ : Não Existe | Ou / :Talque

∈ : Pertence ∀ Para todo (ou qualquer que seja)

∉ : Não pertence ℕ Conjunto dos números naturais

⊂ : Está contido ℤ Conjunto dos números inteiros

⊄ : Não está contido ℚ Conjunto dos números racionais

⊃ Contém ℝ Conjunto dos números reais

⊅ Não Contém ℚ

^𝐶

= 𝕀 Conjunto dos números irracionais.

(17)

Representações

Um conjunto pode ser representado da seguinte maneira:

Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;

Exemplos:

A = {–1, 0, 1}

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;

Exemplos:

𝐴 = 𝑥 ∈ ℤ | − 2 < 𝑥 < 2 ℕ = 𝑥 ∈ 𝑍| 𝑥 ≥ 0

Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

Conjuntos Iguais

Os conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Representa-se A = B.

Subconjuntos

O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é elemento de B. Representa-se 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐴 ⊂ 𝐵(A está contido em B).

Propriedades:

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, tem-se:

- A ⊂ A - ∅⊂ A

- (A⊂B e B⊂A)⇔A=B - (A⊂B e B⊂C)=>A⊂C Conjunto das partes

É o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A. É representado por P(A).

Propriedade: se o conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n2n elementos, ou seja, o conjunto A possui 2

^𝑛

subconjuntos.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS União (∪)

Intuitivamente, unir dois ou mais conjuntos significa agrupá-los com intuito de torná- los um só.

Definição:

Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto união de A e B por:

A∪B= {x∈A ou x∈B}

A∪∅ = A (elemento neutro);

- A∪A = A (recíproca) - A∪B=B∪A (comutativa)

- A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (associativa)

Exemplos:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:

a) A ∪ B.

b) A ∪ B ∪ C.

Solução:

a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}

b) A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(18)

Interseção

Intuitivamente, um elemento faz parte da interseção de dois ou mais conjuntos, se ele pertence a todos esses conjuntos ao mesmo tempo.

Definição:

Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto interseção de A e B por:

A ∩ B = {x| x ∈ A e x ∈ B}

Para três conjuntos arbitrários A, B e C, v alem as seguintes propriedades:

- A ∩ ∅ = ∅

- A ∩ A = A (recíproca) - A ∩ B = B ∩ A (comutativa)

- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)

Exemplos:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:

a) A ∩ B.

b) A ∩ C.

c) A ∩ B ∩ D.

Solução:

a) A ∩ B = {0, 5}

b) A ∩ C = Ø c) A ∩ B ∩ D = {0}

Diferença entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, define-se o conjunto diferença A - B por:

A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Para a diferença entre conjuntos, valem as seguintes propriedades:

A – ∅ = A

∅ – A = ∅ A – A = ∅ Exemplo 1:

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, obtenha:

a) A – B.

b) B – A.

Solução:

a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5}

b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6}

Exemplo 2:

Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A – B e B – A.

Respostas:

a) A – B = {0, 4, 6, 8}

b) B – A = {3, 5, 7}

Complementar de um conjunto

Dados dois conjuntos A e V tais que A ⊂ V, representa-se o complementar de A em relação a V como 𝐶

_𝑉

𝐴 ou 𝐴

^𝐶

ou 𝐴

^′

. Por definição, 𝐶

_𝑉

𝐴 = 𝑉 − 𝐴

São válidas as seguintes propriedades:

𝐶

_𝑉

= (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐶

_𝑉

𝐴 ∩ 𝐶

_𝑉

𝐵 𝐶

_𝑉

= (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶

_𝑉

𝐴 ∪ 𝐶

_𝑉

𝐵

Exemplo:

Dados os conjuntos X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter 𝐶

_𝑌

𝑋.

𝐶

_𝑌

𝑋 = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5}

(19)

Exercício:

Marque C para certo e E para errada.

1. Para o conjunto 𝛺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse sentido, julgue o item a seguir.

Se A e B forem subconjuntos de Ω, tais que 𝐴 ⊂ 𝐵, então 0 ≤ S(A) ≤ S(B) ≤ 55.

( ) Certo ( ) Errado

Observe que se o conjunto 𝐴 ⊂ 𝐵 , significa que todos os elementos de A estão em B, logo a soma dos elementos de A nunca será superior aos de B, portando 𝑆(𝐴) ≤ 𝑆(𝐵) e como a soma de todos os elementos de 𝛺 é 55 temos que 𝑆(𝐴) ≤ 𝑆(𝐵) ≤ 55.

Também pode-se observar que não há elementos negativos em 𝛺, portando 0 ≤ 𝑆(𝐴) ≤ 𝑆(𝐵) ≤ 55, isto é, a afirmação está correta.

2. (CESPE - PF 2014) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B.

A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.

Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.

( ) Certo ( ) Errado

Observe a figura abaixo:

Como 600 pessoas se inscreveram para o conjunto A e 400 pessoas para o conjunto B e x pessoas para os dois temos que: 600- x se inscreveram apenas em A, 400-x se inscreveram apenas em B, logo

Somente em A Somente em B Em A e B Outros Total

600-x 400-x X 400 1200

600 - x + 400 – x + x + 400 = 1200 -x+1400=1200

-x=-1400+1200 -x=-200 X(-1)

x=200 Portanto a afirmação está errada.

Porcentagem

A palavra porcentagem ou percentagem vem do latim (per e cento) que significa por um cento. Reza a lenda que o símbolo % (por cento) foi usado pela primeira vez por um comerciante Inglês no século XVII para realizar os cálculos nas suas transações comerciais.

Vejamos um exemplo do nosso cotidiano: a tabela abaixo mostra a evolução em reais dos amigos Emanuel e Ricardo nos anos de 2012 e 2013.

Funcionários Salário em 2015 Salário em 2016 Aumento salarial

Carlos 800 950 150

Marcia 1200 1300 100

Vamos calcular para cada um a razão entre o aumento salarial e o salário em 2015. Quem obteve o maior aumento salarial relativo? Uma das maneiras de compará-los consiste em expressá-lo com o mesmo denominador (100, por exemplo).