Teste de Hipóteses
1.
Introdução
Em diversas situações cotidianas buscamos, muitas vezes de forma intuitiva e experimental, verificar se um determinado valor que encontrado, por exemplo, o preço da gasolina no posto ao lado de casa é condizente com o preço médio da gasolina em todos os postos de gasolina, pelo menos aqueles que estão instalados em nossa cidade. O que estamos fazendo nada mais é do que um teste de hipótese.
Nesta parte do curso, veremos que para um determinado aspecto da população podemos estabelecer que existe uma hipótese que será válida até que se prove o contrário. Logo, esta hipótese será testada com base nos resultados amostrais, podendo ser aceita ou rejeitada.
Para começarmos, devemos ter claramente qual hipótese estamos testando e qual é o resultado alternativo, caso a hipótese não se confirme. Neste caso, temos dois aspectos relevantes: uma hipótese existente, ou hipótese a ser testada (também chamada de hipótese nula) – H0; e uma hipótese alternativa, que representa os demais resultados da variável que não H0 (ou seja, ela é o oposto de H0), a qual representamos por H1.
2.
Criando nossas hipóteses
As hipóteses a serem testadas são criadas pelo ‘pesquisador’ dependendo de cada caso analisado,
assim não há uma regra única para construirmos as hipóteses. O que faremos é apresentar diferentes casos e mostrar como as hipóteses foram criadas a partir de cada situação.
a) Uma equipe de engenheiros desenvolveu um novo sistema de injeção para automóveis. Para avaliar o novo sistema, ele será instalado em diversos veículos e a equipe quer saber se o sistema aumenta a taxa média de quilômetros por litro dos veículos, a qual é estimada em 10,21 Km/litro. Neste caso nossa hipótese básica, ou nula será: H0: 𝜇 ≤10,21. E nossa hipótese alternativa será: H1: 𝜇 > 10,21. Por meio dos resultados dos testes e da aplicação de alguns instrumentos estatísticos poderemos verificar se o sistema não gera o resultado esperado, ou se alternativamente ele se mostra de melhor desempenho.
b) Um fabricante de refrigerante declara que seus fracos de 2 litros, possuem no mínimo 1,99 litros de bebida. Para testar sua afirmação, selecionou-se uma amostra de frascos e foram testadas as seguintes alternativas: H0: 𝜇 ≥ 1,99 e H1: 𝜇 < 1,99.
em média duas polegadas de tamanho. Neste caso, as hipóteses nula e alternativa serão: H0: 𝜇 = 2 e H1: 𝜇 ≠ 2.
Os dois primeiros casos que vimos são chamados de testes unicaudais, pois somente estamos interessados se a variável for maior ou menor que um determinado valor. O último caso trata de um teste bicaudal, pois tanto valores maiores, quanto menores nos importam. Notem que nos testes unicaudais, a hipótese nula é sempre estabelecida como a detentora da igualdade, ou seja, a possibilidade do parâmetro assumir um determinado valor especificamente sempre será colocada na H0.
3.
Erros do Tipo I ou Tipo II
As hipóteses nula e alternativa são afirmações excludentes a respeito da população. Idealmente, o procedimento de teste de hipóteses deve levar à aceitação de H0 quando H0 é verdadeira, e à rejeição de H0 quando H1 for à verdadeira. Porém, ao efetuarmos o teste de hipóteses, podemos tomar decisões certas ou erradas ao aceitar ou rejeitar a hipótese testada, uma vez que estes se baseiam em informações de amostras e não da população como um todo, logo devemos admitir alguma probabilidade de erro. Podemos representar todas as situações possíveis na tabela abaixo:
A probabilidade de cometermos um erro do Tipo I quando a hipótese nula é verdadeira é chamada nível de significância. Normalmente α assume os valores 0,05 (5%), 0,025 (2,5%) ou 0,01 (1%). Na prática, esta probabilidade é controlada, especificada pela pessoa que realiza o teste. Notem a semelhança entre o nível de significância e o grau de confiança que usávamos no caso de intervalos de confiança (1-α).
Não obstante as aplicações de testes de hipótese controlar a probabilidade de cometer um erro do Tipo I, elas nem sempre controlam a probabilidade de se cometer um erro do Tipo II. Assim, em razão da incerteza associada à probabilidade de cometer um erro do Tipo II quando se realizam os
testes, os estatísticos recomendam que devemos usar a afirmação “não rejeitar H0” em vez de “aceitar H0”.
Exercícios Resolvidos 1:
1. O gerente de uma concessionária de automóveis está pensando em um novo plano de bonificações para aumentar o volume de vendas. Atualmente, o volume médio de vendas é de 14 automóveis por mês. O gerente quer realizar um estudo e pesquisa para verificar se o novo plano de bonificações aumenta o volume de vendas. Para coletar dados sobre o plano, uma amostra da equipe de vendas será autorizada a vender sob o novo plano de bonificação durante o período de um mês. a. Desenvolva as hipóteses nula e alternativa mais apropriadas a essa situação de pesquisa.
𝑯𝟎: 𝝁 ≤ 𝟏𝟒 𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟏𝟒
b. Comente a conclusão relativa a quando H0não pode ser rejeitada. Não há evidencias de que o novo plano aumentará as vendas.
c. Comente a conclusão relativa a quando H0pode ser rejeitada.
A hipótese de pesquisa 𝝁 > 𝟏𝟒 é sustentável; o novo plano aumentará as vendas.
2. Em virtude do tempo e dos custos elevados de produção e transformação, um diretor de manufatura precisa convencer a administração de que um novo método de manufatura proposto reduz os custos, antes de o novo método ser implementado. O método de produção atual opera com um custo médio de US$ 220 por hora. Um estudo e pesquisa medirão o custo do novo método ao longo de um período de produção amostral.
a. Desenvolva as hipóteses alternativa e nula mais apropriadas a esse estudo. 𝑯𝟎: 𝝁 ≥ 𝟐𝟐𝟎
𝑯𝟏: 𝝁 < 𝟐𝟐𝟎 b. Comente a conclusão de quando H0 não pode ser rejeitada.
Não há evidencias de que novo método gera um custo inferior.
c. Comente a conclusão de quando H0 pode ser rejeitada.
A hipótese de pesquisa 𝝁 < 𝟐𝟐𝟎 é sustentável; o novo método reduzirá custos.
acredita que os jovens alemães do sexo masculino passam mais tempo assistindo à TV no horário nobre. Uma amostra de jovens da Alemanha será selecionada pelo pesquisador, e o tempo que eles passam assistindo à TV em um dia será registrado. Os resultados da amostra serão usados para testar as hipóteses nula e alternativa seguintes:
𝐻0: 𝜇 ≤ 56,2 𝐻1: 𝜇 > 56,2
a. Qual é o erro de Tipo I nessa situação? Quais são as consequências de cometer esse erro? Rejeitar 𝑯𝟎: 𝝁 ≤ 𝟓𝟔, 𝟐, quando ela é verdadeira.
b. Qual é o erro de Tipo II nessa situação? Quais são as consequências de cometer esse erro? Aceitar 𝑯𝟎: 𝝁 ≤ 𝟓𝟔, 𝟐, quando ela não é verdadeira.
4. O rótulo de um frasco de 2,83 litros de suco de laranja afirma que o suco de laranja contém em média 1 grama ou menos de gordura. Responda às questões a seguir considerando um teste de hipóteses que possa ser usado para testar a afirmação constante no rótulo.
a. Desenvolva as hipóteses nula e alternativa apropriadas. 𝑯𝟎: 𝝁 ≤ 𝟏
𝑯𝟏: 𝝁 > 𝟏
b. Qual é o erro de Tipo I nessa situação? Quais são as consequências de cometer esse erro? Afirmar que 𝝁 > 𝟏, quando isso não é verdadeiro.
c. Qual é o erro de Tipo n nessa situação? Quais são as consequências de cometer esse erro? Afirmar que 𝝁 ≤ 𝟏, quando isso não é verdadeiro.
5. Suponha que um novo método de produção seja implementado se um teste de hipóteses sustentar a conclusão de que o novo método reduz a média de custo operacional por hora. a. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa apropriadas considerando que o custo médio do
método de produção atual seja igual a US$ 220 por hora. 𝑯𝟎: 𝝁 ≥ 𝟐𝟐𝟎
𝑯𝟏: 𝝁 < 𝟐𝟐𝟎
b. Qual é o erro de Tipo I nessa situação? Quais são as consequências de cometer esse erro? Afirmar que 𝝁 < 𝟐𝟐𝟎, quando isso não é verdadeiro.
4.
Procedimentos para o teste de hipóteses
4.1.
Teste de média com σ conhecido
Nesta seção mostraremos como realizar um teste de hipóteses sobre a média populacional, considerando o caso em que o desvio padrão da população é conhecido. Como vimos, podemos ter duas situações, testes unicaudais (a direita ou a esquerda) ou testes bicaudais. Primeiramente, veremos o caso dos testes unicaudais.
4.1.1.Teste Unicaudal
Os testes unicaudais sobre a média de uma população assumem uma das seguintes formas: Teste da cauda inferior: H0: 𝜇 ≥ 𝜇0 e H1: 𝜇 < 𝜇0
Teste da cauda superior: H0: 𝜇 ≤ 𝜇0 e H1: 𝜇 > 𝜇0
Onde 𝜇0 é um valor esperado, ou a ser testado, para a média da população.
Conforme observamos na seção anterior, o nível de significância, denotado por α, é a probabilidade de se cometer um erro do Tipo I ao rejeitar H0 quando a hipótese nula é verdadeira. Se o custo de cometer um erro do Tipo I for elevado, um valor pequeno deve ser escolhido para o nível de significância. A próxima etapa para desenvolvermos nosso teste de hipótese consiste em calcularmos a chamada estatística de teste, por meio dos dados amostrais disponíveis.
A estatística de teste para testes de hipóteses a respeito de uma média populacional com σ conhecido, é
definida como:
𝑧 =𝑋̅ − 𝜇𝜎 0 √𝑛
⁄ ~ 𝑁(0, 1)
Estamos testando o desvio, a diferença entre a média amostral e o valor hipotético, que suspeitamos ser verdadeiro, da média populacional. A questão fundamental é sabermos quão pequena deve ser a estatística de teste z antes de optarmos por rejeitar a hipótese nula, para o caso de um teste da cauda inferior? Existem dois possíveis critérios que podemos aplicar.
Critério do p-valor
ou menor que aquele produzido pela amostra, assim, devemos encontrar a área sob a curva normal padrão à esquerda da estatística de teste, para tanto usamos a tabela da distribuição normal. Conforme o gráfico abaixo:
Agora, precisamos decidir se o p-valor encontrado é pequeno o suficiente para rejeitarmos H0, para tanto vamos compará-lo ao nível de significância α.
Regra de decisão: Se p-valor ≤ 𝛼 então rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.
Já se estivermos fazendo um teste de hipótese unicaudal, de cauda superior (𝐻1: 𝜇 > 𝜇0), o critério de decisão do p-valor, deveremos encontrar a área sob a curva normal padrão à direita da estatística de teste.
Critério do valor crítico
Para um teste da cauda inferior (𝐻1: 𝜇 < 𝜇0), o valor crítico é o valor tabelado para uma distribuição
normal padrão que apresente uma probabilidade igual a α sob a curva normal na cauda à esquerda.
Vejamos o gráfico abaixo:
O valor crítico é o maior valor da estatística de teste que resultará na rejeição da hipótese nula, ou seja: Regra de decisão: Se 𝑧 ≤ −𝑉𝐶, ou seja, se o valor da estatística de teste estiver a esquerda do valor crítico negativo, então rejeitamos H0, onde VC é o valor crítico encontrado na tabela.
[Capture a atenção do leitor com
p-valor
O mesmo procedimento pode ser utilizado para o caso de um teste da cauda superior (𝐻1: 𝜇 > 𝜇0), entretanto, devemos utilizar a comparação entre a estatística de teste da seguinte maneira:
Regra de decisão: Se 𝑧 ≥ +𝑉𝐶, ou seja, se o valor da estatística de teste estiver a direita do valor crítico positivo, então rejeitamos H0, onde VC é o valor crítico encontrado na tabela, conforme figura a seguir:
Exemplo:
O Inmetro realiza estudos estatísticos para testar afirmações feitas pelos fabricantes de produtos. Por exemplo, o rótulo de um pacote grande de café Tupiniquim informa que o pacote contém 3 quilos de café. O Inmetro quer testar esta afirmação, sendo que a instituição somente está preocupada se houver menos que 3 quilos por pacote, caso haja exatamente este valor ou uma quantidade maior, o consumidor não estará sendo prejudicado. Para realizar seus testes, o Inmetro selecionou 36 pacotes do café Tupiniquim de forma aleatória, sendo que o peso médio desta amostra foi de 2,92 quilos. Sabendo-se que o desvio-padrão da população é de 0,18 e que o Inmetro utiliza um nível de significância de 1%, determine se há indícios de fraude por parte do fabricante.
Passo 01: definir as hipóteses
𝐻0: 𝜇 ≥ 3
𝐻1: 𝜇 < 3
Logo, trata-se de um teste de cauda inferior. Passo 02: determinar o nível de significância
𝛼 = 0,01
Passo 03: calcular a estatística de teste
𝑧 =𝑋̅ − 𝜇𝜎 0 √𝑛 ⁄
𝜎𝑋̅ = 𝜎 √𝑛=
0,18 √36= 0,03
𝑧 =2,92 − 30,03 = −2,67
Passo 04: determinar o p-valor
Passo 05: aplicar a regra de decisão para o p-valor Como 0,0038 < 0,01 (p-valor < α) então rejeitamos H0.
Podemos agora refazer o passo 4 e 5 para o uso do critério do valor crítico: Passo 04 alternativo: determinar o valor crítico
Queremos o valor 𝑧𝛼 que gera uma área sob a curva normal padrão igual a 0,01 (α). Pela tabela da distribuição normal, procuraremos no meio da tabela o valor 0,49, pois sua diferença para 0,5 dará 0,01. Na tabela, vemos que o valor é 2,33, como queremos a área na cauda inferior, por simetria, encontramos o valor crítico de -2,33.
Passo 05 alternativo: aplicar a regra de decisão para o valor crítico
Como o valor calculado da estatística de teste (-2,67) é menor que o valor crítico 𝑉𝐶 = −2,33, então rejeitamos a hipótese nula.
Assim, a empresa Café Tupiniquim não coloca 3 quilos de café em seus pacotes grandes como ela anuncia.
Todos estes nossos procedimentos de teste de hipótese indicam que, com base no valor amostral, não é provável que a média da população seja aquela anunciada, ou esperada.
4.1.2.Teste bicaudal
São testes cujas hipóteses são do tipo:
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0
Em um teste bicaudal. Os valores da estatística de teste que se encontram em qualquer uma das caudas indicam falta de suporte à hipótese nula.
A estatística de teste é dada por:
𝑍 =𝑋̅ − 𝜇𝜎 0 √𝑛
⁄ ~𝑁(0, 1)
Para verificação da hipótese nula, deve-se estabelecer os critérios de avaliação do teste, os quais podem ser: critério do valor crítico e critério do p-valor.
Critério do valor crítico:
No caso do teste bicaudal, os valores críticos ocorrerão tanto na cauda inferior, quanto na superior da
distribuição normal padrão. Com um nível de significância α, a área em cada cauda, para além dos
Se a estatística de teste for menor que -Vc ou maior que +Vc então rejeitamos H0. Em outras palavras: 𝑹𝒆𝒋𝒆𝒊𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑯𝑶 ⇔ 𝒁 ≥ |𝑽𝒄|
Critério do p-valor:
Em um teste bicaudal, o p-valor é a probabilidade de se obter um valor para a estatística de teste tão ou mais improvável do que aquele que é fornecido pela amostra. Assim, para o teste bicaudal devemos encontrar a probabilidade das caudas superior e inferior associadas ao valor da estatística de teste. O p-valor é a soma dessas probabilidades.
Se o p-valor for menor ou igual ao nível de significância α, então rejeitamos H0. Ou seja, 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐻0 ⇔ 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ≤ 𝛼
Exemplo:
A associação americana de golfe estabelece normas de fabricação de bolas de golfe, sendo que estas podem atingir no máximo 295 m (percurso). Por sua vez, os jogadores buscam bolas que possam percorrer a maior distância possível, assim as fábricas de bolas de golfe têm a preocupação adicional de seus produtos não alcançarem os 295 metros de percurso. Suponha que o desvio-padrão populacional seja de 12 metros e que uma amostra com 50 bolas, apresentou uma média de percurso de 297,6 metros. Nessa situação analise a hipótese relevante, com um nível de significância de 5%.
𝐻0: 𝜇 = 295
𝐻1: 𝜇 ≠ 295
𝜎𝑋̅ = 12 √50= 1,7
𝑍 =𝑋̅ − 𝜇𝜎 0 √𝑛
⁄ =
297,6 − 295 1,7 = 1,53
Considerando o critério de decisão do valor crítico: Como α = 0,05 e considerando o teste bicaudal, pelo
uso da tabela normal padrão teremos o valor tabelado de 1,96. Como o valor calculado (1,53) é menor que o tabelado, então não rejeitamos H0.
Considerando o critério de decisão do p-valor: pela tabela normal padrão, buscamos a probabilidade que gera o valor de 1,53 e, encontramos, 0,437, como estamos interessados na cauda superior e inferior então subtraímos 0,5 e multiplicamos por 2, assim o p-valor será de: 0,126. Como p-valor é maior do
Exercícios Resolvidos 2:
6. Considere o seguinte teste de hipóteses:
𝐻0: 𝜇 ≤ 25 𝐻1: 𝜇 > 25
Uma amostra de tamanho 40 produziu a média amostrai 26,4. O desvio padrão da população é 6. a. Calcule o valor da estatística de teste.
𝒁 =𝑿̅ − 𝝁𝝈 𝟎
𝑿̅ = 𝟏, 𝟒𝟖
b. Qual é o p-valor?
𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 = 𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟑𝟎𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟗𝟒 c. Com 𝛼 = 0,01, qual é a sua conclusão?
𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 > 𝟎, 𝟎𝟏, não rejeitar H0.
d. Qual é a regra de rejeição, usando-se o valor crítico?
Rejeitar H0 se 𝒁 ≥ 𝟐, 𝟑𝟑 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝟏, 𝟒𝟖 < 𝟐, 𝟑𝟑, então não rejeita H0.
7. Considere o seguinte teste de hipóteses:
𝐻0: 𝜇 = 15 𝐻1: 𝜇 ≠ 15
Uma amostra de tamanho 50 produziu a média amostrai 14,15. O desvio padrão da população é 3. a. Calcule o valor da estatística de teste.
𝒁 = −𝟐, 𝟎𝟎 b. Qual é o p-valor?
𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 = 𝟐 × (𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟕𝟕𝟐) = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟔 c. Com 𝛼 = 0,05 , qual é a sua conclusão?
𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 < 𝜶, rejeitar H0
d. Qual é a regra de rejeição, usando-se o valor crítico? Qual é a sua conclusão? Rejeitar H0 se |𝒛| ≥ 𝟏, 𝟗𝟔, logo rejeita-se H0.
8. Considere o seguinte teste de hipóteses:
𝐻0: 𝜇 ≥ 80 𝐻1: 𝜇 < 80
Uma amostra de tamanho 100 é usada e o desvio padrão da população é 12. Calcule o p-valor e apresente sua conclusão quanto a cada um dos seguintes resultados amostrais. Use 𝛼 = 0,01.
a. 𝑋̅ = 78,5
𝑍 =78,5 − 8012 √100
⁄ =
−1,5
Na tabela normal padrão, usando o 0,01 do nível de significância, a cauda a esquerda, chegamos ao valor de 2,33 (área 49%), como a distribuição é simétrica, o valor critico será de -2,33. Assim, como 𝑍 ≥ −𝑉𝐶, então não rejeitamos H0.
Pelo critério do p-valor, para 1,25 determinamos a área sub a curva da normal padrão como 0,3944, assim como estamos interessados na área à esquerda do - 1,25, então, o p-valor será dado por:
p-valor = 0,5-0,3944 = 0,1056
Como p-valor é maior do que α então não rejeitamos H0.
b. 𝑋̅ = 77
𝒁 =𝟕𝟕 − 𝟖𝟎𝟏, 𝟐 =𝟏, 𝟐 = −𝟐, 𝟓−𝟑
Como -2,5 é menor que -2,33 (valor crítico para α=0,01) então rejeitamos H0.
Pelo p-valor teremos:
A área gerada pela curva da normal padrão para o valor 2,5 é 0,4938. Assim o p-valor será dado
por:
p-valor = 0,5 – 0,4938 = 0,0062.
Como p-valor é menor que o α=0,01, então, rejeitamos H0
c. 𝑋̅ = 75,5
𝒁 =−𝟒, 𝟓𝟏, 𝟐 = −𝟑, 𝟕𝟓
Como 𝒁 < −𝟐, 𝟑𝟑, então não rejeitamos H0
Pelo p-valor teremos:
A área gerada pela curva da normal padrão para o valor 3,75 é aproximadamente 0,5. Assim o
p-valor será 0. Logo, 𝐩 − 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 < 𝛂, então rejeitamos H0.
d. 𝑋̅ = 81
𝒁 =𝟏, 𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟏
Notem que nesse caso o valor é maior que 80 e nossa hipótese nula é dada por: 𝐻0: 𝜇 ≥ 80
Assim, notamos que 0,833> -2,33, assim não rejeitamos H0.
Da mesma forma, como o p-valor é dado pela área à esquerda do valor da estatísitica de teste, teremos
pela tabela da normal padronizada a área de 0,2967. Como queremos tudo a esquerda deste valor,
então: p-valor = 0,5 + 0,2967 = 0,7967, que é maior que o nível de significancia, assim não rejeitamos H0.
9. Considere o seguinte teste de hipóteses:
Uma amostra de tamanho 75 é usada e o desvio padrão da população é 10. Calcule o p-valor e apresente sua conclusão quanto a cada um dos seguintes dados amostrais. Use 𝛼 = 0,01.
a. 𝑋̅ = 23
𝑍 =23 − 2210 √75
⁄ =
1
1,155 = 0,866
Área = 0,3078, logo o p-valor = 2*(0,5-0,3078)=0,3844 > α, então não rejeitar H0.
b. 𝑋̅ = 25,1
𝑍 =1,155 = 2,6843,1
Área = 0,4963, logo o p-valor = 2*(0,5-0,4963)=0,0074 < α, então rejeitar H0.
c. 𝑋̅ = 20
𝑍 =1,155 = −1,732−2
Área = 0,4582, logo o p-valor = 2*(0,5-0,4582)=0,0836 > α, então rejeitar H0.
4.1.3.Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses
Como estamos testando a hipótese da média populacional assumir um determinado valor (teste bicaudal), com um determinado nível de significância α (o complementar do nível de confiança, 1- α), podemos inferir que: Se um intervalo de confiança for criado para os mesmos valores amostrais, caso o valor testado esteja dentro desse intervalo, então não rejeitamos a hipótese nula, para um nível de significância de α.
4.2.
Testes de hipóteses da média com σ desconhecido
Com sigma desconhecido, precisamos utilizar seu estimador amostral (s), dado por:
𝑠 = √∑(𝑋𝑛 − 1𝑖− 𝑋̅)2
Os procedimentos para testes de hipóteses em que o σ é desconhecido são similares ao caso de σ
conhecido. Entretanto, o cálculo da estatística de teste será diferente: 𝑡 =𝑋̅ − 𝜇𝑠 0
√𝑛
⁄ ~𝑡(𝑛 − 1)
Desta forma, as análises de decisão deverão utilizar a tabela t ao invés da tabela de distribuição normal padrão.
Exemplo 1:
𝐻0: 𝜇 ≤ 7 𝐻1: 𝜇 > 7 𝛼 = 0,05
𝑡 =𝑋̅ − 𝜇𝑠 0 √𝑛
⁄ =
7,25 − 7 1,052
√60 ⁄ = 1,84
Trata-se de um teste de cauda superior, de distribuição t com n-1 = 59 graus de liberdade. Assim, podemos verificar pela tabela t que:
Área da cauda superior 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 Valor t (59 g.l.) 0,848 1,296 1,671 2,001 2,391
Pode-se verificar que como o valor da estatística de teste encontra-se entre 1,671 e 2,001, então o p-valor está entre 0,025 e 0,05. De qualquer forma:
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ≤ 𝛼 ⇔ 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝐻0
Pelo critério do valor crítico, com base no α = 0,05 e com n-1 = 59, lembrando que se trata de um teste unicaudal, na tabela t determinamos o valor crítico como sendo 1,671, assim:
𝑍 (1,84) ≥ 𝑉𝐶 (1,671) ⇔ 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝐻0
Exemplo 2:
𝐻0: 𝜇 = 40 𝐻1: 𝜇 ≠ 40 𝛼 = 0,05
𝑛 = 25 𝑋̅ = 37,4 𝑠 = 11,79
𝑡 =𝑋̅ − 𝜇𝑠 0 √𝑛
⁄ =
37,4 − 40 11,79
√25
⁄ = −1,10
Trata-se de um teste de bicaudal, de distribuição t com n-1 = 24 graus de liberdade. Assim, podemos verificar pela tabela t que:
Área da cauda superior 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 Valor t (24 g.l.) 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492
Pode-se verificar que como o valor absoluto da estatística de teste encontra-se entre 0,857 e 1,318, então o p-valor está entre 0,2 e 0,1. Porém como se trata de um teste bicaudal, devemos multiplicar por dois a probabilidade da cauda superior encontrada, ou seja, o p-valo encontra-se entre 20% e 40%. De qualquer forma:
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 > 𝛼 ⇔ 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝐻0
Pelo critério do valor crítico, com base no α = 0,05 e com n-1 = 24, lembrando que se trata de um teste bicaudal, na tabela t determinamos o valor crítico como sendo 2,064 (lembrem-se de usar α/2, para testes bicaudais), assim:
|𝑍| (1,10) < 𝑉𝐶 (2,064) ⇔ 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝐻0
Exercícios Resolvidos 3:
10. Considere o seguinte teste de hipóteses:
Uma amostra de tamanho 48 produziu uma média amostral 𝑋̅ = 17 e um desvio padrão amostral s = 4,5.
a) Calcule o valor da estatística de teste.
b) O que a tabela de distribuição t lhe diz sobre o p-valor? c) Com α = 0,05, qual a sua conclusão?
d) Qual a regra de decisão, usando o valor crítico? Qual é sua conclusão?
𝒕 =𝑿̅ − 𝝁𝒔 𝟎 √𝒏
⁄ =
𝟏𝟕 − 𝟏𝟖 𝟒, 𝟓
√𝟒𝟖
⁄ = −𝟏, 𝟓𝟒 Com n-1 = 47 graus de liberdade
A área da cauda inferior se encontra entre 0,05 e 0,01 O p-valor (bicaudal) se encontra entre 0,10 e 0,20
𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 > 𝜶 ⇔ 𝒏ã𝒐 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒊𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑯𝟎
Com 47 graus de liberdade, o valor crítico será dado por: 𝒕𝟎,𝟎𝟐𝟓= 𝟐, 𝟎𝟏𝟐.
|𝒕| (𝟏, 𝟓𝟒) < 𝑽𝑪 (𝟐, 𝟎𝟏𝟐) ⇔ 𝒏ã𝒐 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒊𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑯𝟎
11. Considere o seguinte teste de hipóteses:
𝐻0: 𝜇 = 100 𝐻1: 𝜇 ≠ 100
Uma amostra de tamanho 65 é usada. Identifique o p-valor e apresente sua conclusão em relação a cada uma das seguintes situações. Use α = 0,05.
a) 𝑋̅ = 103 e s = 11,5
P-valor entre 0,02 e 0,05, logo rejeitamos H0.
b) 𝑋̅ = 96,5 e s = 11,0
P-valor entre 0,01 e 0,02, logo rejeitamos H0.
c) 𝑋̅ = 102 e s = 10,5
P-valor entre 0,10 e 0,20, logo não rejeitamos H0.
4.3.
Teste de Hipóteses para Proporções
Supondo 𝑛 × 𝑝 ≥ 5 𝑒 𝑛 × (1 − 𝑝) ≥ 5, a distribuição da proporção amostral é aproximadamente normal. Nesse caso, a única diferença em relação aos procedimentos que fizemos até o momento é o cálculo da estatística de teste, o qual será dado por:
𝑍 =𝑝̅ − 𝑝𝜎 0 𝑝̅
𝜎𝑝̅= √𝑝0(1 − 𝑝𝑛 0)
A construção das hipóteses e a interpretação do nível de significância (α) é idêntico ao que fizemos até o
momento. Exemplo:
atração de novas tenistas, o gerente buscou identificar se houve mudança da situação, a partir de uma amostra de 400 jogadores, na qual verificou que a proporção de mulheres foi de 25%. Faça um teste de hipótese para analisar se houve mudança na proporção populacional de jogadoras de tênis no clube analisado. Considere um nível de significância de 5%.
𝐻0: 𝑝 = 0,2 𝐻1: 𝑝 ≠ 0,2
𝜎𝑝̅= √𝑝0(1 − 𝑝𝑛 0)= √0,2 × 0,8400 = 0,02
𝑍 =𝑝̅ − 𝑝𝜎 0 𝑝̅ =
0,25 − 0,2 0,02 = 2,5
Para um teste bicaudal com α = 0,05, então a área da cauda será 0,025 (𝛼⁄2), assim o valor crítico será de 1,645, o qual como é menor que o Z, então rejeitamos H0. De forma análoga, o p-valor será de 0,0062 (0,5 – 0,4938), o qual é inferior a 5%, logo rejeitamos H0.
Exercícios Resolvidos 4:
12. Considere o seguinte teste de hipóteses:
𝐻0: 𝑝 ≥ 0,75 𝐻1: 𝑝 < 0,75
Uma amostra de 300 itens foi selecionada. Calcule a p-valor e apresente a sua conclusão com respeito a
cada um dos seguintes resultados amostrais. Use α = 0,05.
a) 𝑝̅ = 0,68
𝝈𝒑̅= √𝒑𝟎(𝟏 − 𝒑𝒏 𝟎)= √𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟕𝟓𝟑𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓
𝒁 =𝒑̅ − 𝒑𝝈 𝟎 𝒑̅ =
𝟎, 𝟔𝟖 − 𝟎, 𝟕𝟓
𝟎, 𝟎𝟐𝟓 = −𝟐, 𝟖
Como pela tabela o valor crítico será dado por 1,645, logo 𝒁 < −𝑽𝑪, então rejeitamos H0. Pelo critério do p-valor temos:
Área = 0,4974, logo p-valor = 0,5 –0,4974 = 0,0026 < α, então rejeita-se H0.
b) 𝑝̅ = 0,72
𝝈𝒑̅= √𝒑𝟎(𝟏 − 𝒑𝒏 𝟎)= √𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟕𝟓𝟑𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓
𝒁 =𝒑̅ − 𝒑𝝈 𝟎 𝒑̅ =
𝟎, 𝟕𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟓
𝟎, 𝟎𝟐𝟓 = −𝟏, 𝟐
Como pela tabela o valor crítico será dado por 1,645, logo 𝒁 > −𝑽𝑪, então não rejeitamos H0. Pelo critério do p-valor temos:
Área = 0,3849, logo p-valor = 0,5 – 0,3849 = 0,1151 > α, então não rejeita-se H0.
c) 𝑝̅ = 0,70
𝒁 =𝒑̅ − 𝒑𝝈 𝟎 𝒑̅ =
𝟎, 𝟕𝟎 − 𝟎, 𝟕𝟓
Como pela tabela o valor crítico será dado por 1,645, logo 𝒁 > −𝑽𝑪, então rejeitamos H0. Pelo critério do p-valor temos:
Área = 0,4772, logo p-valor = 0,5 –0,4772 = 0,0228 < α, então rejeita-se H0.
d) 𝑝̅ = 0,77
𝒁 =𝒑̅ − 𝒑𝝈 𝟎 𝒑̅ =
𝟎, 𝟕𝟕 − 𝟎, 𝟕𝟓 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟖
Como pela tabela o valor crítico será dado por 1,645, logo 𝒁 > −𝑽𝑪, então não rejeitamos H0. Pelo critério do p-valor temos:
5. Exercícios:
1. A média de rendimento anual total dos fundos mútuos de ações diversificados - de 1999 a 2003 foi de 4,1% acima da inflação. Um pesquisador gostaria de realizar um teste de hipóteses para verificar se os rendimentos dos fundos de crescimento de média capitalização, ao longo do mesmo período, são significativamente diferentes da média dos fundos mútuos de ações diversificados.
a. Formule as hipóteses que podem ser usadas para determinar se a média de rendimento fundos de crescimento de média capitalização difere da média dos fundos mútuos de ações diversificados.
b. Uma amostra de 40 fundos de crescimento de média capitalização fornece uma média de retorno anual de 3,4%. Suponha que se saiba, em decorrência dos estudos anteriores, que o desvio da população dos fundos de crescimento de média capitalização seja 2%; use os resultados amostrais para calcular a estatística de teste e o p-valor do teste de hipóteses.
c. Com α = 0,05, qual é a sua conclusão?
2. A média nacional dos preços de venda de casas novas é R$ 181.900. Uma amostra de 40 vendas de casas no sul do país exibiu uma média amostral de preço de venda igual a R$ 166.400. Use o desvio padrão populacional de R$ 33.500.
a. Formule as hipóteses nula e alternativa que podem ser usadas para determinar se os dados amostrais sustentam a conclusão de que a média populacional dos preços de venda de casas novas no sul do país seja menor que a média nacional de R$ 181.900. b. Qual é o valor da estatística de teste?
c. Qual é o valor p?
d. Com α = 0,01, qual é a sua conclusão?
3. Um estudo realizado pela organização de Saúde Pública revelou que 23,3% do adultos são fumantes e que aproximadamente 70% dos que fumam indicam que querem parar de fumar. A organização relatou que, das pessoas que fumaram em algum período da vida, 50% conseguiram abandonar o hábito. Parte do estudo sugeriu que o índice de sucesso para deixar de fumar se elevava de acordo com o nível de educação. Suponha que uma amostra de 100 graduados em cursos superiores que fumaram em algum período da vida tenha revelado que 64 foram capazes de parar de fumar de maneira bem-sucedida.
a. Estabeleça as hipóteses que podem ser usadas para determinar se a população de graduados em cursos superiores apresenta um índice maior que a população global quando se trata de vencer o hábito de fumar.
c. Qual é o valor p? Com α = 0,01, qual é a conclusão do seu teste de hipóteses?
4. Os funcionários de escritório da Shell Oil foram solicitados a responder qual programação de trabalho seria a mais atraente: trabalhar cinco dias de oito horas por semana ou trabalhar quatro dias de dez horas por semana. Admitamos que p = a proporção da população de funcionários de escritório que preferem trabalhar quatro dias de dez horas por semana.
a. Estabeleça as hipóteses para o caso de a gerência da Shell estar interessada em obter evidências estatísticas que mostrem que mais de 50% dos funcionários de escritório preferem trabalhar quatro dias de dez horas por semana.
b. Qual é a proporção amostral se uma amostra de 105 funcionários de escritório tiver revelado que 67 prefeririam a programação de quatro dias de dez horas?
