DCC008 Aula08 Integracao Numerica

(1)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Fórmulas Fechadas Formulas de Newton-Cotes Análise do Erro de Integra¸cão

Regras de Integra¸c˜ao Generalizadas

Formulas de Newton-Cotes An´alise dos Erros das F´ormulas Generalizadas

M´etodo dos Coeficientes Indetermina-dos Quadratura Gaussiana

Integra¸c˜ao Num´erica

DCC008 - C´alculo Num´erico

Prof. Ruy Freitas Reis -ruyfreitas@ice.ufjf.br

(2)

Num´erico -UFJF

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 F´ormulas Fechadas

Formulas de Newton-Cotes An´alise do Erro de Integra¸c˜ao

3 Regras de Integra¸c˜ao Generalizadas Formulas de Newton-Cotes

An´alise dos Erros das F´ormulas Generalizadas

4 M´etodo dos Coeficientes Indeterminados

5 Quadratura Gaussiana

(3)

Num´erico -UFJF Introdu¸c˜ao

Fórmulas Fechadas Formulas de Newton-Cotes Análise do Erro de Integra¸cão

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(4)

Introdu¸c˜ao

• Estamos interessados em estudar métodos numéricos para calcular de forma aproximada a integral de uma fun¸cão com uma variável real em um intervalo[a, b].

• O problema consiste em: encontrar

I =I(f) =

Z b

a

f(x) dx

onde f(x)´e uma fun¸c˜ao cont´ınua com derivadas cont´ınuas no intervalo [a, b].

• SejaF(x) a fun¸c˜ao primitiva def(x), tal que

F′₍_x_{) =}_f₍_x₎_{. Pelo Teorema Fundamental do C´alculo}

(TFC) sabemos que o valor da integral ´e dado por

I =

Z b

a

f(x)dx=F(b)₋F(a)

(5)

Introdu¸c˜ao

Exemplo

CalcularR₀2x4 dx. ComoF(x) = x₅5 satisfaz F′₍_x_{) =}_x4₌_f₍_x₎_{, pelo TFC, temos}

I =

Z 2

0

x4 dx= 2₅5 ₋0₅5 = 32₅ = 6.4 Algumas observa¸c˜oes:

• nem sempre conseguimos determinar a primitivaF(x)

Z b

a

ex2 dx

• em algumas situa¸c˜oes a manipula¸c˜ao deF(x)pode ser complexa

(6)

Introdu¸c˜ao

• De forma geral, a integra¸cão numérica consiste em integrar o polinômio Pn(x) que interpola os pontos

(x0, f(x0)),(x1, f(x1)), . . . ,(xn, f(xn)) onde x0, . . . , xn∈[a;b]

• Ou seja,

I =

Z b

a

f(x)dx_≈ Z xn

x0

Pn(x)dx

(7)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

F´ormulas Fechadas

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(8)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao F´ormulas Fechadas

Formulas de Newton-Cotes

An´alise do Erro de Integra¸c˜ao

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(9)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

• Considera-se inicialmente as f´ormulas de Newton-Cotes do tipo fechada, isto ´e, quando x0 =ae xn=b

• Serão adotados aqui polinômios interpoladores Pn(x) sobre nós igualmente espa¸cados no intervalo [a;b]

• Assim,

xi=

b₋a n

i+a; i= 0,1, . . . , n

• Al´em disso,

h= b−a

n ⇒xi =x0+ih; i= 0,1, . . . , n • A Forma de Lagrangedo polinˆomio interpolador ser´a

(10)

Num´erico -UFJF

Regra do Retˆangulo

• O polinˆomio mais simples ´e uma constante

• f(x)´e aproximada pelo seu valor em x0 =a(ou em x1=b), de tal forma que

Z b

a

f(x) dx_≈ Z b

a

P0(x) dx=

Z b

a

f(a)dx

=xf(a)

b

a

= (b₋a)f(a) = hf(a) =IR

a _b

(11)

Num´erico -UFJF

Regra do Ponto M´edio

• Tamb´em pode-se aproximar f(x) por uma outra constante tomada ao avaliar f(x) em algum outro ponto do

intervalo[a;b]

• Uma escolha comum ´e o ponto m´edio do intervalo Z b

a

f(x) dx_≈(b₋a)f

a+b

2

= hf

a+b

2

=IM

(12)

Num´erico -UFJF

Regra do Trap´ezio

• SejaP1(x)o polinˆomio interpolador de f(x) que passa

pelos pontos (x0, f(x0))e (x1, f(x1)), comx0=ae x1=b, ent˜ao

Z b

a

f(x)dx_≈ Z x1

x0

P1(x)dx

• A Forma de Lagrange do Polinˆomio interpolador ´e dada por

P1(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) L0(x) =

x₋x1 x0−x1

e L1(x) =

x₋x0 x1−x0 • Assim,

Z x1

x0

P1(x)dx=

Z x1

x0

[f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x)]dx

(13)

Num´erico -UFJF

Regra do Trap´ezio

Ent˜ao

Z x1

x0

P1(x)dx

=f(x0) Z x1

x0

x−x1

x0−x1 | {z }

L0(x)

dx+f(x1) Z x1

x0

x−x0

x1−x0 | {z }

L1(x) dx

• Sabe-se quex1=x0+h

• Cada integral pode ser determinada, fazendo a seguinte substitui¸c˜ao:

(14)

Numérico -UFJF Introdu¸cão Fórmulas Fechadas Formulas de Newton-Cotes

Regra do Trap´ezio

Deste modo, podemos calcular:

Zx1

x0

P1(x)dx=f(x0)

Z x1

x0

x−x1 x0−x1

dx+f(x1)

Zx1

x0

x−x0 x1−x0

dx

=f(x0) Z 1

0

x0+zh−x0−h

−h hdz+f(x1)

Z 1

0

x0+zh−x0 h hdz

=−f(x0)

Z1

0

(zh₋h)dz+f(x1)

Z1

0 zhdz

=−hf(x0)

Z1

0

(z₋1)dz+hf(x1) Z 1

0 zdz

=−hf(x0)

z2

2 −z 1 0

+hf(x1) z2 2 1 0

=−hf(x0)

12

2 −1

+hf(x1)

12

2

=h 2f(x0) +

h

2f(x1) =

h

2(f(x0) +f(x1))

(15)

Num´erico -UFJF

Regra do Trap´ezio

IT =

h

(16)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo - Regra do Trap´ezio

Calcule de forma aproximada o valor da seguinte integral R1.2

0 excos (x) dxusando aregra do trap´ezio.

Solu¸c˜ao do Exemplo

Temosa=x0 = 0 e b=x1= 1.2, logoh=x1−x0= 1.2.

Calculando os valores da fun¸c˜ao emx0 e x1 temos

f(0) =e0cos (0) = 1 f(1.2) =e1.2cos (1.2) = 1.20

logo

I = 1.2

2 [f(0) +f(1.2)] = 0.6[1 + 1.20] = 1.32

(17)

Num´erico -UFJF

Solu¸c˜ao do Exemplo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.0

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

(18)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

• Aproximandof(x) por um polinˆomio interpoladorP2(x),

ent˜ao

Z b

a

f(x)dx_≈ Z x2

x0

P2(x)dx

P2(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) +f(x2)L2(x) L0(x) =

(x₋x1)(x−x2)

(x0−x1)(x0−x2) L1(x) =

(x₋x0)(x−x2)

(x1−x0)(x1−x2) L2(x) =

(x₋x0)(x−x1)

(x2−x0)(x2−x1)

(19)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

• Assim,

Z x2

x0

P2(x)dx=f(x0)

Z x2

x0

(x₋x1)(x−x2)

(x0−x1)(x0−x2) dx+

f(x1)

Z x2

x0

(x₋x0)(x−x2)

(x1−x0)(x1−x2)

dx+

f(x2) Z x2

x0

(x₋x0)(x−x1)

(x2−x0)(x2−x1)

dx

• Sabe-se quex1=x0+h e x2 =x0+ 2h

• Cada integral da soma ´e ent˜ao determinada trocando

x=x0+zh; z∈[0; 2]

(20)

Regra 1/3 de Simpson

Zx2

x0

(x−x1)(x−x2)

(x0−x1)(x0−x2)

dx= Z 2

0

(x0+zh−x0−h)(x0+zh−x0−2h)

(−h)(−2h) hdz

= Z 2

0

(zh₋h)(zh₋2h)

2h dz

= h

2

2h

Z 2

0

(z−1)(z−2)dz

= h 2

Z 2

0

(z2₋3z+ 2)dz

= h 2

z3

3 − 3z2

2 + 2z 2 0 = h 2 ₍₂₎3 3 − 3(2)2

2 + 2(2)

= h

6(8−18 + 12) =

h

3

(21)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

Z x2

x0

(x−x0)(x−x2) (x1−x0)(x1−x2)dx=

Z 2

0

(x0+zh−x0)(x0+zh−x0−2h)

(h)(−h) hd

=

Z 2

0

(zh)(zh−2h) −h dz

= h

2

−h

Z 2

0

z(z−2)dz

=−h

z3

3 − 2z2

2

0

=−h

(2)3

3 −(2)

2

= −h

3 (8−12) = 4h

(22)

Regra 1/3 de Simpson

Z x2

x0

(x−x0)(x−x1) (x2−x0)(x2−x1)

dx=

Z 2

0

(x0+zh−x0)(x0+zh−x0−h)

(2h)(h) hdz

=

Z 2

0

(zh)(zh−h) 2h dz

= h

2

2h

Z 2

0

z(z−1)dz

= h 2 z3 3 − z2 2 2 0 = h 2 (2)3 3 − (2)2 2 = h

12(16−12) = h

3

(23)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

• Sendo Z x2

x0

P2(x)dx=f(x0)

Z x2

x0

(x₋x1)(x−x2)

(x0−x1)(x0−x2) dx+

f(x1)

Z x2

x0

(x₋x0)(x−x2)

(x1−x0)(x1−x2)

dx+

f(x2) Z x2

x0

(x₋x0)(x−x1)

(x2−x0)(x2−x1)

• Obt´em-se ent˜ao Z x2

x0

P2(x)dx=f(x0)

h

3 +f(x1)

4h

3 +f(x2) h 3

= h

(24)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

I1/3S =

h

3[f(x0) + 4f(x1) +f(x2)]

(25)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo - Regra 1/3 de Simpson

Vamos calcular o valor da integralR₀1.2excosx dx. Temos que

h= x2−x0 2

Pela f´ormula ´e preciso calcular o valore def(x) emx0,x1 ex2. f(x0) =f(0) =e0cos (0) = 1

f(x1) =f(0.6) =e0.6cos (0.6) = 1.50 f(x2) =f(1.2) =e1.2cos (1.2) = 1.20

assim

I = 0.6

(26)

Num´erico -UFJF

Regra 3/8 de Simpson

• Aproximandof(x) por um polinˆomio interpoladorP3(x),

ent˜ao

Z b

a

f(x)dx_≈ Z x3

x0

P3(x)dx

P3(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) +f(x2)L2(x) +f(x3)L3(x)

L0(x) = (x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)

L1(x) =

(x−x0)(x−x2)(x−x3)

(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)

L2(x) =

(x−x0)(x−x1)(x−x3)

(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)

L3(x) = (x−x0)(x−x1)(x−x2)

(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)

(27)

Num´erico -UFJF

Regra 3/8 de Simpson

• Novamente, pode-se utilizar o polinˆomio interpolador na Forma de Lagrange

• A Regra 3/8 de Simpson ´e definida como

I_3/8S=

3h

(28)

Num´erico -UFJF

Resumo

• Regra Retˆangulo

IR=h∗f(a)

• Regra Ponto-M´edio

IM =h∗f

a+b

2

• Regra Trap´ezio

IT =

h

2(f(x0) +f(x1))

• Regra 1/3 Simpson

I_1/3S =

h

3 (f(x0) + 4f(x1) +f(x2))

• Regra 3/8 Simpson

I3/8S =

3h

(29)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo - Regra 3/8 de Simpson

Podemos calcular novamenteR₀1.2excos (x)dx, agora pela regra 3/8 de Simpson. Para tal, sabemos queh= 1.2−0

3 = 0.4

e assim calculamos

f(0) = 1, f(0) = 1.37

f(0.8) = 1.55, f(1.2) = 1.2

logo

I = 3(0.4)

(30)

Num´erico -UFJF

Exerc´ıcios

Sabe-se que

ln 2 =

Z 2

1

xdx

Utilizando oito d´ıgitos significativos e as f´ormulas de Newton-Cotes, calcule uma aproxima¸c˜ao paraln 2, e o erro relativo cometido, com

a) n= 1, h= 1

b) n= 2, h= 1/2

c) n= 3, h= 1/3

(31)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao F´ormulas Fechadas Formulas de Newton-Cotes

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(32)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

• Vamos considerar agora o erro cometido ao usar as regras de quadratura apresentadas at´e agora.

• Em todos os casos aproximamos f(x) por um polinˆomio interpoladorPn(x) de grau nno intervalo[a, b]

• Calculamos a integral de Pn como aproxima¸c˜ao para a integral.

• Erro cometido ´e dado por

E=

Z b

a

[f(x)₋Pn(x)] dx

• Como vimos no estudo de interpola¸c˜ao, o erro ´e dado por

f(x)₋Pn(x) = (x−x0)(x−x1). . .(x−xn)

f(n+1) ₍_η₍_x₎₎

(n+ 1)!

onde η(x) é um ponto entre[a, b]e x0, . . . , xn são os pontos de interpola¸cão.

(33)

Num´erico -UFJF

Erro na Integra¸c˜ao Num´erica

• Assim de forma geral temos que

E = ₍_n_+1)!1

Z b

a

(x₋x0)(x−x1). . .(x−xn)f(n+1)(η) dx

• Antes de continuar vamos enunciar um resultado do qual faremos uso na dedu¸cão das fórmulas dos erros cometidos na integra¸cão numérica.

Teorema Valor M´edio para Integrais

Sejamh(x) e g(x)fun¸cões cont´ınuas em [a, b]tal que h(x)não muda de sinal, então existeξ _∈[a, b]tal que

Z b

a

h(x)g(x)dx=g(ξ)

Z b

a

(34)

Num´erico -UFJF

Erro na Regra do Retˆangulo

Nesse cason= 0 e x0 =a, portanto ER=

Z b

a

(x₋a)f′₍_η₍_x₎₎_dx

Aplicando o teorema do valor m´edio para integrais temos

ER= Z b

a

(x₋a)f′₍_η₍_x₎₎_dx₌_f′₍_ξ₎

Z b

a

x₋a dx

=f′₍_ξ₎hx2

2 −ax

i b

a

=f′₍_ξ₎hb2

2 −ab−a

2

2 +a2

i

= f′(ξ) 2

b2₋2ab+a2 isto ´e

ER=

f′₍_ξ₎

2 (b−a)

2

(35)

Num´erico -UFJF

Erro na Regra do Retˆangulo

ER=

f′₍_ξ₎

2 (b−a)

2

Devido a dificuldade de determinar o pontoξ, em geral trabalhamos com um limitante superior para o erro, o qual ´e dado por

|ER| ≤

M1

2 (b−a)

2

ondeM1 ´e um limitante para |f′(x)|em [a, b], isto ´e

M1= max

a_≤x_≤b|f

(36)

Num´erico -UFJF

Erro na Regra do Trap´ezio

Para a regra do trap´ezio temosn= 1 e x0 =ae x1 =b, assim

temos

ET =

1 2

Z b

a

(x₋a)(x₋b)f′′₍_η₍_x₎₎_dx

Como(x₋a)(x₋b) n˜ao muda de sinal, usamos o teorema do valor m´edio para integrais e obtemos

ET =

f′′₍_ξ₎

2

Z b

a

(x₋a)(x₋b) dx que ap´os integra¸c˜ao resulta em

ET =−

f′′₍_ξ₎

12 (b−a)

3

ondeM2 ´e um limitante para a segunda derivada de |f′′(x)|no

intervalo[a, b].

(37)

Num´erico -UFJF

Erro na Regra do Trap´ezio

Para a regra do trap´ezio temosn= 1 e x0 =ae x1 =b, assim

temos

ET =

1 2

Z b

a

(x₋a)(x₋b)f′′₍_η₍_x₎₎_dx

Como(x₋a)(x₋b) n˜ao muda de sinal, usamos o teorema do valor m´edio para integrais e obtemos

ET =

f′′₍_ξ₎

2

Z b

a

(x₋a)(x₋b) dx que ap´os integra¸c˜ao resulta em

ET =−

f′′₍_ξ₎

12 (b−a)

3 _{⇒ |}_E

T| ≤

M2

12(b−a)

3

ondeM2 ´e um limitante para a segunda derivada de |f′′(x)|no

(38)

Resumo

• Regra do Retˆangulo

ER=

f′₍_c₎

2 (b−a)

2 _ou ER=

f′₍_c₎

2 h

2

• Regra do Trap´ezio

ET= −

f′′₍_c₎

12 (b−a)

3 _ou

ET= −

f′′₍_c₎

12 h

3

• Regra do Ponto M´edio

EM =

f′′₍_c₎

24 (b−a)

3 _ou

EM =

f′′₍_c₎

24 h

3

• Regra 1/3 de Simpson

E1/3S=−

f(4)(c) 2880 (b−a)

5

ou E1/3S=−

f(4)(c) 90 h

5

• Regra 3/8 de Simpson

E3/8S= −

f(4)(c) 6480 (b−a)

5 _ou

E3/8S= −

3f(4)(c)

80 h

5

(39)

Num´erico -UFJF

Exerc´ıcios

1) Um exemplo de aplica¸cão de integra¸cão numérica extremamente importante é para aproximar o calculo de integrais que não possuem solu¸cão anal´ıtica, tal como:

Z 1

0

ex2dx.

a) Aproxime essa integral pela regra do trapézio e calcule uma cota superior para esta aproxima¸cão. Você acha que o resultado é confiável?

b) Agora aproxime essa integral pela regra 1/3 de Simpson e calcule uma cota superior para o erro. (Dica

f(4)_{= 4}_e−x 2

(40)

Num´erico -UFJF

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(41)

Num´erico -UFJF

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(42)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

• Quando o intervalo é grande, pode não ser conveniente aumentar o grau do polinômio interpolador

• Uma ideia ´e dividir o intervalo original em diversos subintervalos e aplicar uma regra de integra¸c˜ao em cada subintervalo

• Essas s˜ao as chamadas regras repetidas

• generalizadas • compostas

(43)

Num´erico -UFJF

Regra do Retˆangulo Generalizada

• Dividindo o intervalo [a;b]emm subintervalos, com x0=a,xm=b e xi=a+ih para i= 0, . . . , m, ent˜ao

I =

Z b

a

f(x)dx=

m X

i=1

Z xi

xi−1

f(x)dx

• Sendo a Regra do Retˆangulo dada por

IR=hf(a)

• Ent˜ao a regra generalizada fica como

IRR = m X

i=1

(44)

Num´erico -UFJF

Regra do Retˆangulo Generalizada

IRR = m X

i=1

hf(xi₋1)

(45)

Num´erico -UFJF

Regra do Ponto M´edio

Generalizada

• Dividindo o intervalo [a;b]emm subintervalos, com x0=a,xm=b e xi=a+ih para i= 0, . . . , m, ent˜ao

I =

Z b

a

f(x)dx=

m X

i=1

Z xi

xi−1

f(x)dx

• Para o caso do ponto m´edio tem-se que

IM =hf

xi−1+xi

2

⇒IM R= m X

i=1 hf

xi−1+xi

2

(46)

Num´erico -UFJF

Regra do Ponto M´edio

Generalizada

IM R= m X

i=1 hf

xi−1+xi

2

(47)

Num´erico -UFJF

Regra do Trap´ezio Generalizada

• A Regra do Trap´ezio ´e dada por

IT =

h

2[f(x0) +f(x1)]

• Subdividindo o intervalo de integra¸c˜ao[a;b]emm subintervalos iguais ent˜ao

IT R= Z b

a

f(x)dx=

m X

i=1

Z xi

xi−1

f(x)dx

=h

2[f(x0) +f(x1)] +

h

2[f(x1)+f(x2)] +· · ·+

h

2[f(xm−2) +f(xm−1)] +

h

2 [f(xm−1)+f(xm)] =h

(48)

Num´erico -UFJF

Regra do Trap´ezio Generalizada

• Assim,

IT R =

h

2[f(x0) + 2f(x1) +· · ·+ 2f(xm−1) +f(xm)] =h

2

m X

i=0

cif(xi)

ondec0 =cm = 1 e ci= 2, parai= 1, . . . , m−1

(49)

Num´erico -UFJF

Regra do Trap´ezio Generalizada

IT R=

h

2

m X

i=0

(50)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo: Aplicar a regra do trap´ezio generalizada para calcular:

Z 1,2

0

excos(x)dx, utilizando os dados da tabela a seguir:

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

ex_cos(_x₎ ₁ _1,197 _1,374 _1,503 _1,552 _1,468 _1,202

Z1,2

0

excos(x)dx

=h

2[f(x0) + 2(f(x1) +f(x2) +f(x3) +f(x4) +f(x5)) +f(x6)]

= 0,2

(51)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

Generalizada

• Sendo a Regra 1/3 de Simpson dada por

I_1/3S =

h

3[f(x0) + 4f(x1) +f(x2)]

• Subdividindo o intervalo de integra¸cão[a;b]emm (múltiplo de 2) subintervalos iguais então

I1/3SR=

h

3[f(x0) +4f(x1)+f(x2)] +

h

3[f(x2)+4f(x3)+f(x4)] +

h

3[f(x4)+4f(x5)+f(x6)] +· · ·+

h

3[f(xm−2) +4f(xm−1)+f(xm)]

=h

(52)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

Generalizada

• Portanto,

I1/3SR=

h

3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) +· · ·+f(xm]

=h 3

m

X

i=0

cif(xi)

onde

• c0 =cm = 1

• caso contr´ario (i= 1, . . . , m₋1)

• ci = 4, seifor ´ımpar

• ci = 2, seifor par

(53)

Num´erico -UFJF

Regra 1/3 de Simpson

Generalizada

I_1/3SR=

h

3

m X

i=0

(54)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo: Aplicar a regra 1₃ de Simpson generalizada para calcular:

Z 1,2

0

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

ex_cos(_x₎ ₁ _1,197 _1,374 _1,503 _1,552 _1,468 _1,202 Z1,2

0

excos(x)dx

=h

3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) +f(x6)]

=0,2

3 [1 + 4(1,197 + 1,503 + 1,468) + 2(1,374 + 1,552) + 1,202]

= 0,2

3 [1 + 4(4,168) + 2(2,926) + 1,202]

=0,2

3 [1 + 16,672 + 5,852 + 1,202] = 0,2

3 [24,726] = 1,6484

(55)

Num´erico -UFJF

Regra 3/8 de Simpson

Generalizada

• Sendo a Regra 3/8 de Simpson dada por

I_3/8S=

3h

8 [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) +f(x3)]

• Subdividindo o intervalo de integra¸cão[a;b]emm (múltiplo de 3) subintervalos iguais então

I3/8SR= 3h

8 [f(x0) +3f(x1)+3f(x2)+f(x3)] + 3h

8 [f(x3)+3f(x4)+3f(x5)+f(x6)] + 3h

8 [f(x6)+3f(x7)+3f(x8)+f(x9)] +· · ·+ 3h

8 [f(xm−3) +3f(xm−2)+3f(xm−1)+f(xm)]

=3h

(56)

Num´erico -UFJF

Regra 3/8 de Simpson

Generalizada

• Portanto,

I_3/8SR=

3h

8 [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) +· · ·+f(xm)] =3h

8

m X

i=0

cif(xi)

onde

• c0 =cm = 1

• caso contr´ario (i= 1, . . . , m₋1)

• ci = 2, seifor divis´ıvel por 3

• ci = 3, caso contr´ario

I_3/8SR=

3h

8

m X

i=0

cif(xi)

(57)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo: Aplicar a regra 3₈ de Simpson generalizada para calcular:

Z 1,2

0

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

ex_cos(_x₎ ₁ _1,197 _1,374 _1,503 _1,552 _1,468 _1,202

Z 1,2

0

excos(x)dx

=3

8h[f(x0) + 3(f(x1) +f(x2)) + 2f(x3) + 3(f(x4) +f(x5)) +f(x6)]

= 0,6

8 [1 + 3(1,197 + 1,374) + 2(1,503) + 3(1,552 + 1,468) + 1,202]

= 0,6

8 [1 + 3(2,571) + 3,006 + 3(3,020) + 1,202]

= 0,6

8 [1 + 7,713 + 3,006 + 9,060 + 1,202] = 0,6

(58)

Num´erico -UFJF

Exerc´ıcios

1) A velocidade v de um foguete lan¸cado do ch˜ao

verticalmente (para cima, ´e claro) foi tabelada como se segue:

t(s) 0 5 10 15 20

v(p´es/s) 0 60,6 180,1 341,6 528,4

Usando a regra de 1/3 de Simpson, aproximar a altura do foguete ap´os 20 segundos

(59)

Num´erico -UFJF

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(60)

Num´erico -UFJF

An´alise dos Erros das F´ormulas

Generalizadas

• Ser˜ao considerados que todos os espa¸camentos s˜ao iguais

• hi=h

• Logo,

h= b−a

m ⇒m=

b₋a h

(61)

Num´erico -UFJF

An´alise do Erro

Regra do Retˆangulo Generalizada

• Considerando a Regra do Retˆangulo, tem-se que

ER=

f′₍_c₎

2 (b−a)

2

• Somando o erro para todos os intervalos [xi−1;xi], ent˜ao

ERR = m X

i=1 f′₍_c_i₎

2 h

2 ₌ f′(c)

2 h

2_m₌ f′(c)

2 h

2b−a h

= f′(c)

2 (b−a)h

• Al´em disso, o seguinte limitante superior do erro pode ser obtido

|ERR| ≤ |

b₋a_|h

2 cmax∈[a;b]

(62)

Num´erico -UFJF

An´alise do Erro

Regra do Ponto M´edio Generalizada

• Para a Regra do Ponto M´edio

EM =

f′′₍_c₎

24 h

3

• Logo, em sua f´ormula repetida

EM R= m X

i=1 f′′₍_c_i₎

24 h

3 ₌ f′′(c)

24 h

3_m₌ f′′(c)

24 h

3b−a h

= f′′(c)

24 (b−a)h

2

• Assim, um limitante para o erro fica como

|EM R| ≤ |

b₋a_|h2

24 cmax_∈[a;b]

f′′(c)

(63)

Num´erico -UFJF

An´alise do Erro

Regra do Trap´ezio Generalizada

• De forma similar, sabendo que para a Regra do Trap´ezio

ET = −

f′′₍_c₎

12 h

3

• Portando,

ET R= m X

i=1

−f′′₍_c_i₎

12 h

3₌ −f′′(c)

12 h

3_m₌ −f′′(c)

12 h

3b−a h

=₋−f′′(c)

12 h

2₍_b −a)

|ET R| ≤ |

b₋a_|h2

12 cmax∈[a;b]

(64)

Num´erico -UFJF

An´alise do Erro

Regra 1/3 de Simpson Generalizada

• Para a Regra 1/3 de Simpson

E_1/3_S= −f

(4)₍_c₎

90 h

5

• Portanto,

E1/3SR= m/2 X

i=1

−f(4)₍_c i) 90 h

5₌ −f(4)(c)

90 h

5m

2 =

−f(4)₍_c₎

180 h

5b−a

h

=−f

(4)₍_c₎

180 h

4₍_b₋_a₎

|E1/3SR| ≤ |

b₋a_|h4

180 cmax_∈[a;b]

f(4)(c)

(65)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo: Determinar o menor n´umero de intervalos em que podemos dividir [0,1.2] para obter: R₀1.2ex_cos(_x₎_dx, _{pela regra} do trap´ezio com erro_≤0,5_×10−3_).

• f(t) =et_cos_t_⇒_f′′₍_t_{) =}₋₂_et_sin_t

(66)

Num´erico -UFJF

Exemplo

• Assim, temos que

R(f) _≤ 1.2h

2

12 (6,188)≤0,5×10

−3

⇒ h2 _≤0,0000808

⇒ h_≤0,02842.

• Escolhemosh que divida exatamente o intervalo [0,1.2], ou seja, h= 0,025

• Usando N = b−a

h , obtemosNmin = 48.

(67)

Num´erico -UFJF

Exerc´ıcios

1) Quantos subintervalos devem ser usados no c´alculo de Z 1

0 e−x2

dx

para que a aproxima¸c˜ao tenha um erro menor que 10−4_{, nos}

seguintes casos:

a) Formula dos trap´ezios

(68)

Num´erico -UFJF

M´etodo dos Coeficientes Indetermina-dos

Quadratura Gaussiana

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(69)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

• Como vimos podemos obter uma regra para integra¸cão numérica ao integrar o polinômio interpolador do integrando.

• Veremos agora uma forma alternativa de derivar as fórmulas de integra¸cão numérica até então estudadas.

• Como vimos as fórmulas de integra¸cão numérica são do tipo

Z b

a

f(x) dx_≈Xwif(xi)

onde wi são constantes e f(xi)são os valores da fun¸cão f nos pontos xi.

• Ex: regra do Trap´ezio, Simpson 1/3

IT =

h

2[f(x0)+f(x1)], IS =

h

(70)

Num´erico -UFJF

Coeficientes Indeterminados

• No método dos coeficientes indeterminados, consideramos os pontos x0, . . . , xn dados e buscamos determinar os coeficientes w0, . . . , wn de tal forma que a fórmula de integra¸cão numérica

Z b

a

f(x) dx_≈Xwif(xi)

seja exata para certos tipos de fun¸cões, como por exemplo quando f(x)é um polinômio de grau_≤n.

• Vamos ilustrar a ideia do m´etodo atrav´es de um exemplo.

• Procuramos uma f´ormula Z b

a

f(x) dx_≈w0f(x0) +w1f(x1) +w2f(x2)

que será exata para todos os polinômios de grau _≤2, isto é, quandof(x) =c0+c1x+c2x2 então a fórmula de

integra¸c˜ao num´erica fornece o valor exato da integral.

(71)

Num´erico -UFJF

Coeficientes Indeterminados

• Como

Z b

a

f(x)dx=

Z b

a

[c0+c1x+c2x2]dx

=c0 Z b

a

dx+c1 Z b

a

x dx+c2 Z b

a

x2 dx

• Isto é, exigir que a fórmula integre a fun¸cãof(x)(nesse exemplo um polinômio de grau 2) exatamente é o mesmo que exigir que a fórmula integre as fun¸cões base1,xe x2

exatamente.

• Assim temos que

f(x) = 1⇒wo1 +w11 +w21 = Z b

a

dx

f(x) =x⇒wox0+w1x1+w2x2= Z b

a

x dx

f(x) =x2⇒wox20+w1x21+w2x22= Z b

a

(72)

Numérico -UFJF Introdu¸cão Fórmulas Fechadas Formulas de Newton-Cotes Análise do Erro de Integra¸cão

Coeficientes Indeterminados

Calculando as integrais

Z b

a

dx= (b₋a)

Z b

a

x dx= (b

2₋_a2₎

2

Z b

a

x2 dx= (b

3₋_a3₎

3

assim considerando quex0 =a,x1 = (a+b)/2e x2 =b,

podemos escrever as equa¸c˜oes de forma matricial como





1 1 1

a a+b

2 b

a2 a+b

2 2 b2     w0 w1 w2  =   

b₋a

b2₋_a2

2

b3−a3

3



 

(73)

Num´erico -UFJF

Coeficientes Indeterminados

• Resolvendo esse sistema de equa¸cões lineares, chegamos a solu¸cão (coeficientes da fórmula de integra¸cão):

w0 = b₋a

6 , w1 =

2(b₋a)

3 , w2 =

b₋a

6

que reconhecemos como a regra de Simpson 1/3

Is=

h

3[f(x0) + 4f(x1) +f(x2)]

⇒ b−₆af(x0) +4(b−a)

6 f(x1) +

(b₋a) 6 f(x2)

(74)

Num´erico -UFJF

Exemplo

Exemplo - M´etodo dos Coeficientes Indeterminados Encontre a f´ormula

Z 1

0

f(x) dx_≈w0f(x0) +w1f(x1)

que ´e exata para fun¸c˜oes da forma

f(x) =aex+bcos (πx₂ )

Solu¸c˜ao do Exemplo Paraf(x) = cos (πx₂ ) temos

Z 1

0

f(x) dx=

Z 1

0

cos (πx

2 )dx=

2sen(πx₂ )

π

1

0

= 2

π

(75)

Num´erico -UFJF

Solu¸c˜ao do Exemplo E assim temos a equa¸c˜ao

w0f(0) +w1f(1) =

Z 1

0

cosπx

2 dx=

2

π comof(0) = cos (0) = 1 e f(1) = cos (π/2) = 0temos

w0 =

2

(76)

Num´erico -UFJF

Solu¸c˜ao do Exemplo Paraf(x) =ex _temos

Z 1

0

ex dx=ex

1

0

=e₋1

e assim

w0f(0) +w1f(1) =e−1⇒w0+w1e=e−1

de onde obtemos

w1= 1−

1

e−

2

πe

(77)

Num´erico -UFJF

Solu¸c˜ao do Exemplo E assim para

I =w0f(x0) +w1f(x1)

obtemos a f´ormula

I = 2

πf(x0) +

1₋1

e−

2

πe

f(x1)

que integra

Z x1

x0

[aex+bcos (πx/2)] dx

(78)

Num´erico -UFJF

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

(79)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Como vimos, as regras de integra¸c˜ao de Newton-Cotes s˜ao simples e efetivas, mas possuem algumas desvantagens:

• Uso de muitos pontos para interpola¸c˜ao de alta ordem pode gerar alguns problemas

• As regras de Newton-Cotes fechadas requerem a avalia¸c˜ao def(x) nos pontos do extremo do intervalo, onde

geralmente ocorrem singularidades

• As regras do tipo Newton-Cotes, não possuem um grau de precisão tão alto quanto poderiam

(80)

Num´erico -UFJF

Quadratura Gaussiana

• Estamos interessados em obter uma f´ormula de integra¸c˜ao na forma

I =

Z b

a

f(x) dx=w0f(x0) +w1f(x1) +. . .+wnf(xn)

onde agora os coeficienteswi assim como os pontosxi para i= 0, . . . , ndevem ser determinados de forma a obter a melhor precis˜ao poss´ıvel.

• Temos as seguintes inc´ognitas:

• x0, x1, . . . , xn

• w0, w1, . . . , wn

isto ´e, um total de 2n+ 2inc´ognitas a serem determinadas.

(81)

Num´erico -UFJF

Quadratura Gaussiana

• Sendo assim, podemos esperar que as regras que iremos obter sejam capazes de integrar exatamente polinˆomios de grau _≤2n+ 1uma vez que estes s˜ao definidos por 2n+ 2

parˆametros.

• Vamos apresentar a ideia do m´etodo para o caso com 2 pontos

I =

Z b

a

f(x) dx=w0f(x0) +w1f(x1) • Vamos considerar o intervalo [₋1,1]para as regras de

Quadratura Gaussiana, sem perda de generalidade, já que sempre podemos fazer uma mudan¸ca de variável para mudar do intervalo [a, b]para [₋1,1]para realizar a integra¸cão.

(82)

Num´erico -UFJF

Quadratura Gaussiana

Mudan¸ca de Vari´avel

• Sejax_∈[a, b]. Podemos fazer a seguinte mudan¸ca de vari´avel

x(t) = (b−a)t

2 +

b+a

2 , t∈[−1,1]

• Qualquer que seja x_∈[a, b], existe t_∈[₋1,1]tal que x=x(t). Sendo assim

dx dt =x

′₍_t_{) =} b−a

2 ⇒dx=

b₋a

2 dt

• logo usandox=x(t) e dx=x′₍_t₎ _dt _temos

I =

Z b

a

f(x)dx=

Z 1

−1

f(x(t)) x′(t)dt=

Z 1

−1

F(t)dt

onde F(t) =f(x(t))x′₍_t_{) =}_f_t(b−a)

2 +

b+a

2

b₋a

2

(83)

Num´erico -UFJF

Quadratura Gaussiana

Utilizando 2 pontos

• Assim vamos trabalhar com

I =

Z 1

−1

F(t)dt_≈w0F(t0) +w1F(t1)

onde t0, t1, w0 e w1 devem ser determinados de modo que

a regra seja exata para polinˆomios de grau _≤3, pois

• 2 pontos→determinart0,t1,w0 ew1

• Uma f´ormula de Quadratura Gaussiana com os pontos t0, t1, . . . , tn, tem grau de precis˜ao polinomial dado por:

2n+ 1

• Por exemplo, se tivermos 2 pontos, isto ´e,t0 e t1, a

(84)

Num´erico -UFJF

Quadratura Gaussiana

Utilizando 2 pontos

• Vamos deduzir o caso

I =

Z 1

−1

F(t) dt=w0F(t0) +w1F(t1)

usando o m´etodo dos coeficientes indeterminados.

Queremos encontrarw0,w1,t0 e t1, isto ´e, 4 parˆametros,

logo, a regra de integra¸c˜ao que vamos deduzir deve integrar exatamente um polinˆomio de grau _≤3.

• Sendo assim, podemos escrever

F(t) =c0φ0(t) +c1φ1(t) +c2φ2(t) +c3φ3(t)

onde as fun¸c˜oes base s˜ao: φj(t) =tj.

• Agora basta exigir que a regra que queremos encontrar, i.e., w0F(t0) +w1F(t1) integre exatamente cada uma das

fun¸c˜oes base.

(85)

Num´erico -UFJF

Quadratura Gaussiana

Utilizando 2 pontos

• Considerando que a regra ´e

w0F(t0) +w1F(t1) =

Z 1

−1

F(t) dt

• Temos que exigir que a regra integre φ0(t) exatamente.

Neste caso como F(t) =φ0(t), e assim

w0φ0(t0) +w1φ1(t1) =

Z 1

−1

φ0(t) dt

comoφ0(t) = 1 temos

w01 +w11 =

Z 1

−1

1 dt

(86)

Num´erico -UFJF

Quadratura Gaussiana

Utilizando 2 pontos

• Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos

φ0(t) = 1⇒w0 1 +w1 1 =

Z 1

−1 dt

φ1(t) =t⇒w0t0+w1t1=

Z 1

−1 t dt

φ2(t) =t2⇒w0t20+w1t21=

Z 1

−1 t2 dt

φ3(t) =t3⇒w0t30+w1t31=

Z 1

−1 t3 dt

(87)

Numérico -UFJF Introdu¸cão Fórmulas Fechadas Formulas de Newton-Cotes Análise do Erro de Integra¸cão

Quadratura Gaussiana

Utilizando 2 pontos

• Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos

φ0(t) = 1⇒w0 1 +w1 1 =

Z 1

−1

dt=t1

−1 = 2

φ1(t) =t⇒w0t0+w1t1=

Z 1

−1

t dt= t

2 2 1 −1 = 0

φ2(t) =t2⇒w0t20+w1t21=

Z 1

−1

t2 dt= t

3 3 1 −1

= 2₃

φ3(t) =t3⇒w0t30+w1t31=

Z 1

−1

t3 dt= t