Capítulo 1:
Introdução – Conceito de Tensão
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
•
O principal objetivo do estudo da mecânica
dos materiais é proporcionar ao engenheiro os
meios que o habilitam para a análise e projeto
de várias estruturas de máquinas, sujeitas a
carregamentos.
•
A análise e o projeto de uma dada estrutura
implica a determinação das tensões e
deformações.
1.2. Forças e Tensões
• Esta estrutura pode suportar a carga de 30kN com segurança? A B C d = 20 mm 600 mm 500 mm 50 mm 30 kN
• Desenhando o diagrama de corpo livre do pino B, compondo as forças atuantes no polígono de forças, podemos escrever, da semelhança de triângulos:
• Entretanto, os resultados obtidos não permitem concluir que a carga pode ser suportada com segurança!
• A capacidade da barra suportar a carga não depende somente do valor do esforço interno da barra, mas também da área transversal da barra e do material com que foi construída.
• Na verdade, a força interna na barra BC representa a resultante de forças elementares que se encontram distribuídas em toda a seção transversal da barra!
• A força por unidade de área ou a intensidade das forças distribuídas numa seção transversal é
chamada de tensão, e é indicada pela letra sigma:
Sinal positivo: Barra tracionada. Sinal negativo: Barra comprimida
Força: N (newton)
Área: m2 (metro quadrado)
•
No uso prático, porém, o pascal é uma medida
muito pequena. Usa-se então múltiplos dessa
unidade:
1
=
1
• Suponha que a tensão admissível do material (sadm) da barra seja na ordem de 165 MPa:
• Conclusão: a barra BC pode ser usada para suportar a carga de 30kN.
• Para completar a análise, seria necessário estudar as tensões na barra AB, nos pinos e na estrutura de
A estrutura em treliça desta ponte é constituída por vigas que podem estar em tração ou em compressão.
•
As forças que atuam na barra BC tem a
direção do eixo da barra. Dizemos que a barra
está sob a ação de forças axiais.
1.3. Forças Axiais Tensões Normais
A B
• Quando as forças internas são perpendiculares
(Normais) ao plano da seção transversal, as
tensões correspondentes são as tensões normais.
• Para definir a tensão em um dado ponto Q da seção
transversal, devemos considerar uma pequena área A.
• Dividindo-se a intensidade F por A tem-se o valor médio da tensão em A.
• Fazendo A tender a zero, tem-se a tensão no ponto Q.
•
É importante
ressaltar que isto é
uma aproximação.
•
Nesta relação, s
representa o valor
médio das tensões na
seção transversal e
não o valor específico
da tensão em um
determinado ponto.
A variação é pequena nas seções distantes do
ponto de aplicação.
Entretanto, a variação pode ser apreciável em seções próximas ao ponto de aplicação da força.
• Cargas aplicadas no centroide da seção transversal de uma barra são chamadas de cargas centradas. • As tensões normais originadas de carregamentos
centrados serão aqui consideradas como uniformes. • Porém, não se deve esquecer que carregamentos
excêntricos levam à tensões não uniformes.
Carregamento centrado
Carregamento excêntrico
1.4. Tensões de Cisalhamento
• As forças internas e
correspondentes tensões, que foram discutidas até aqui eram normais à seção transversal.
• Entretanto, quando duas forças P e P’ são aplicadas a uma
barra AB na direção transversal a barra, ocorre um tipo de
tensão denominada de tensão de cisalhamento.
•
Se considerada uma seção transversal C,
pode-se depode-senhar o diagrama da parte AC.
•
Assim, conclui-se que existem forças internas
na seção transversal, e que sua resultante
deve ser igual a P, onde P é chamada de força
cortante na seção.
• Ao dividirmos a força constante P pela área da seção transversal A, obtemos a tensão de cisalhamento
média da seção.
• Mas atenção: a tensão de cisalhamento na seção transversal não pode ser assumida como uniforme. Trata-se de uma simplificação adequada para este momento do desenvolvimento da disciplina.
é
=
• A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as diversas partes das máquinas e estruturas.
é
=
=
Cisalhamento simples• No caso abaixo, os parafusos estão sujeitos a cisalhamento duplo.
é
=
2 =
1.5. Tensões de Esmagamento
• Os parafusos, pinos e rebites provocam tensões de esmagamento nas barras que estão ligando, ao longo da superfície de contato.
=
=
.
t: espessura da chapa d: diâmetro do parafuso
A = t.d
Área do retângulo que representa a projeção do parafuso sobre a seção da chapa
Exercícios
1. Uma força de 45 kN está aplicada a um bloco de
madeira que é suportado por uma base de concreto, e esta repouso sobre um solo considerado indeformável. Determine:
a) a máxima tensão de esmagamento sobre a base de concreto,
b) o tamanho da base de concreto para que a tensão de esmagamento média sobre o solo seja de 140 kPa.
P = 45kN
125 mm 100 mm
Exercícios
2. O dispositivo mostrado é empregado para determinar a resistência ao cisalhamento de uma junta colada. Se a
carga P, no instante da
ruptura é 12,5 kN, qual é a tensão media de
cisalhamento da junta, por ocasião da ruptura? Obs.: 1" = 25,4 mm Resposta: 12,9 MPa P 0,5” 1,5”
Exercícios
3. As peças de madeira A e B são ligadas por sobrejuntas de
madeira que são coladas nas superfícies de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades A e B. Determine o valor do
comprimento “L” para que a tensão de cisalhamento nas superfícies coladas não
ultrapasse 0,8 kN/cm2. Resposta: 308 mm 8 mm P = 240kN P = 240kN 100 mm
Exercícios
4. Sabendo-se que uma força de 800 N está aplicada no pedal indicado, determine: (a) o diâmetro do pino em C, tal que a tensão média no pino seja de 35 MPa; (b) a correspondente tensão de esmagamento em cada uma das chapas de apoio, em C.
P = 800 N
Exercícios
5. Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção
transversal uniforme, de área igual a 800 mm2, determine a
intensidade da carga P para que a tensão normal na haste BD seja 50 MPa.
Resposta: 62,7 kN
Exercícios
6. Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção
transversal uniforme, de área igual a 800 mm2, determine a
intensidade da carga P para que a tensão normal na haste BD seja 50 MPa.
Exercícios
7. Três pranchas de madeira são unidas por uma série de parafusos, formando uma coluna. O diâmetro de cada
parafuso é de 12 mm, e o diâmetro interno de cada arruela é de 15 mm, que é ligeiramente maior que os parafusos das pranchas. Sabe-se que o diâmetro externo de cada arruela é de 30 mm, e que a tensão de esmagamento média entre as arruelas e as pranchas não deve exceder a 5 MPa.
Determine a máxima tensão normal admissível em cada parafuso.
Resposta: 23,44 MPa
Exercícios
Resposta: a) 28,8 MPa b) -48,8 MPa 250 mm 400 mm 250 mm 300 mm 40 mm P
8. Cada uma das quatro hastes verticais, ligadas a duas barras horizontais, tem uma seção
transversal retangular uniforme de 10 x 40 mm e os pinos tem diâmetro de 14 mm. Determine o máximo valor da tensão normal média, causada pela carga de 24 kN, nas hastes conectadas
Capítulo 1:
Introdução – Conceito de Tensão
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Resistência dos Materiais
1.6. Tensões Admissíveis
• Nas seções anteriores aprendemos a calcular tensões em barras e pinos submetidos a condições simples de carregamento.
• Nos próximos capítulos, aprenderemos a calcular tensões em situações mais complexas.
• No entanto, dentro das aplicações de engenharia, a determinação das tensões não é o objetivo final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois
dos mais importantes estudos.
1. A análise de estruturas e máquinas
existentes, com o objetivo de prever seu
comportamento sob condições de carga
específicas;
2. O projeto de novas máquinas e estruturas,
que deverão cumprir determinadas funções
de maneira segura e econômica.
1.6. Tensões Admissíveis
•
Para encaminhar qualquer um dos dois
estudos, precisamos saber como o material a
ser utilizado vai atuar sob condições
conhecidas de carregamento. Para cada
material, isso pode ser determinado
realizando testes específicos em amostras
preparadas do material.
• Por exemplo, podemos preparar um corpo-de-prova de aço e levá-lo a uma máquina de testes em
laboratório, onde ele será submetido a uma carga axial de tração. Esq.: Corpo de prova típico Dir.: Máquina para ensaios de tensão
•
Enquanto fazemos a força aplicada aumentar
progressivamente de intensidade, podemos
medir várias modificações sofridas pelo
corpo-de-prova, como por exemplo, alterações no
comprimento e no diâmetro.
•
Em certo instante, a máxima força que pode
ser aplicada ao corpo de prova é atingida e a
amostra se quebra, ou começa a perder
resistência, suportando forças menores. Esta
força máxima é chamada de carregamento
último desta amostra, e é designada pelo
símbolo P
U.
Corpos de prova de
material dúctil após teste de tração.
Logo a tensão última de tração do material, tem valor:
T
Tensão Última de Cisalhamento
•
Muitos procedimentos para testes são usados
na determinação da tensão de cisalhamento
última de um material. Um procedimento
Tensão Última de Cisalhamento
•
Um método mais direto, porém não tão
preciso quanto o ensaio de tração, consiste
em levar uma chapa a uma ferramenta de
corte e aplicar um carregamento crescente,
até que a carga última P
Upara corte simples
seja atingida.
Ensaio para tensão última de cisalhamento para corte simples
•
Se a extremidade livre da chapa estiver
apoiada sobre as duas bordas cortantes da
ferramenta, obtêm-se a carga última P
Upara
corte duplo.
Ensaio para tensão última de cisalhamento para corte duplo
•
No caso de corte
simples, essa área é igual
à da seção transversal do
corpo de prova.
•
Nos dois casos, obtém-se a tensão última de
cisalhamento, dividindo-se a carga última pela
área cortada.
•
No caso de corte duplo,
vale o dobro da área da
seção transversal do corpo
de prova.
Coeficiente de Segurança
•
Uma peça estrutural ou componente de máquina
deve ser projetada de tal forma que a carga
última seja consideravelmente maior que o
carregamento que esta peça ou elemento irá
suportar em condições normais de utilização.
•
Este carregamento menor é chamado de
carregamento admissível.
•
A relação entre carregamento último e
carregamento admissível é chamada de
Coeficiente de Segurança
•
Portanto:
ç = = Ú í ç = = ã Ú ã íCoeficiente de Segurança
•
A determinação do valor a ser adotado para o
coeficiente de segurança é um dos mais
importantes problemas da engenharia.
•
Por um lado, a escolha de um coeficiente de
segurança baixo pode levar a uma
possibilidade muito alta de ruptura da
estrutura; por outro lado, um coeficiente de
segurança muito alto leva a projetos
Coeficiente de Segurança
•
A escolha do coeficiente de segurança
adequado para as diferentes aplicações
práticas requer uma análise cuidadosa, que
leve em consideração muitos fatores, tais
como:
a) Modificações que ocorrem nas propriedades
do material;
b) O número de vezes em que a carga é aplicada
durante a vida da estrutura ou máquina;
Coeficiente de Segurança
c) O tipo de carregamento para o qual se
projeta, ou que poderá atuar futuramente;
d) O modo de ruptura que pode ocorrer;
e) Métodos aproximados de análise;
f) Deterioração que poderá ocorrer no futuro
devido a falta de manutenção ou por causas
naturais imprevisíveis;
g) A importância de um certo membro para a
integridade de toda a estrutura.
1. Exercício
• A placa indicada na figura é presa a base por meio de 3 parafusos de aço. A tensão de cisalhamento última do aço é de 360 MPa.
• Utilizando um coeficiente de
segurança de 3,35, determine o diâmetro do parafuso a ser
utilizado.
2. Exercício
• A barra de ligação horizontal BC é de 6 mm de espessura e é feita de aço com tensão última de tração de 450 MPa.
• Qual deve ser a largura w desta barra de ligação, se a estrutura for projetada para suportar uma carga P = 32kN, com coeficiente de segurança igual a 3?
Ex. 1.39 4ª.ed
300 mm
150 mm
3. Exercício
• Duas forças são aplicadas ao suporte da figura abaixo.
a) Sabendo-se que a barra de controle AB é feita de aço com tensão última de 600 MPa, determinar o diâmetro da barra que o coeficiente de segurança ao seja de 3,3.
b) O Pino do ponto C é feito de aço com tensão última a
cisalhamento de 350 MPa. Determinar o diâmetro do pino C que leva a um coeficiente de segurança ao cisalhamento de valor 3,3.
c) Determinar a espessura necessária das chapas de apoio em C, sabendo-se que a tensão admissível para esmagamento do aço utilizado é de 300 MPa.
Vista Frontal
Vista Lateral
Vista Superior
4. Exercício
• Seja a estrutura de aço mostrada na figura abaixo.
• Na estrutura mostrada, um pino de diâmetro 6 mm é utilizado em C, enquanto que em B e D utilizam-se pinos de 10 mm de diâmetro. A tensão de cisalhamento última para todas as
ligações é 150 MPa, a tensão normal última é de 400 MPa na viga BD. Desejando-se um coeficiente de segurança igual a 3, determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. Notar que a viga BD não é reforçada em torno dos furos dos pinos. .
Capítulo 1:
Introdução – Conceito de Tensão
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Resistência dos Materiais
3ª Parte
Série de Exercícios1. Exercício
• Um balde de 150 kg é suspenso a
partir da extremidade E da armação. Os diâmetros dos pinos em A e D são de 6 mm e 10 mm, respectivamente. Determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nestes pinos.
Cada pino é submetido a cisalhamento duplo.
Ex. 1.44 9ª.ed
Resposta: tA= 58,7 MPa;
tD = 26,5 MPa
2. Exercício
• O parafuso de ancoragem foi
arrancado do concreto. Considere que a superfície de ruptura pode ser aproximada por um tronco de cone e cilindro, indicando que a falha por cisalhamento ocorreu ao longo do cilindro BC, e a falha por tensão normal, ao longo do tronco
AB. Se as tensões de cisalhamento e normais ao longo destas
superfícies têm as magnitudes mostradas, determinar a força P que deve ter sido aplicada ao parafuso.
Ex. 1.58 9ª.ed
3. Exercício
• A treliça abaixo é usada para suportar o carregamento mostrado. Determinar a área da seção transversal
necessária de membro BC para uma tensão normal admissível sadm = 24 kpsi.
Ex. 1.72 9ª.ed Resposta: 0,0356 pol2; 22,968 10-6 m2 1 lb = 4,448 N 1 pol = 0,0254 m 1 lb/pol2 (psi) = 6895 Pa 1 pé (ft) = 0,3048 m
4. Exercício
• Um vaso de 50 kg é suspenso pelos cabos AB e BC que têm diâmetros de 1,5 mm e 2 mm, respectivamente. Se os cabos têm uma tensão normal última de 350 MPa, determine o coeficiente de segurança de cada cabo.
Ex. 1.79 9ª.ed
Resposta: CSAB = 1,72; CSBC = 2,50 g = 9,81 m/s2
5. Exercício
• A estrutura ao lado é sujeita à carga de 4 kN que atua em D, no elemento ABD. Determinar o diâmetro exigido dos pinos em D e C, se a tensão admissível de cisalhamento para o
material é de 40 MPa. O pino C é submetido a cisalhamento duplo, enquanto que o pino em
D é submetido a cisalhamento simples.
Ex. 1.84 9ª.ed
6. Exercício
• As duas barras de alumínio em AB e AC têm diâmetros de 10 mm e 8 mm, respectivamente. Determinar a maior força P
vertical que pode ser suportada. Considere a tensão de tração admissível para o alumínio como sadm = 150 MPa.
Ex. 1.87 9ª.ed
7. Exercício
• As vigas de madeira estão ligadas por um parafuso em B. Assumindo que as ligações em A, B, C, e D apenas exercem forças verticais sobre o conjunto, determinar o diâmetro necessário do parafuso em B e o diâmetro externo
necessário de suas arruelas. Adote tensão de tração
admissível de 150 MPa para aço, e 25 MPa para madeira. Assume-se que o furo nas arruelas tem o mesmo diâmetro do parafuso.
Ex. 1.88 9ª.ed
8. Exercício
• Determinar a espessura t mínima exigida para o
membro AB e a distância da borda b do quadro se P = 9.000 lb e o coeficiente de segurança é 2. Assume-se que a madeira tenha uma tensão normal última
sU = 6 kpsi, e tensão de cisalhamento última tU = 1,5 kpsi .
Ex. 1.89 9ª.ed
Resposta: t = 1,0 pol. (25,4 mm) b = 3,46 pol. (87,88 mm)
3 pol. 3 pol.
1 lb = 4,448 N 1 pol = 0,0254 m
1 lb/pol2 (psi) = 6895 Pa
9. Exercício
• O suporte de alumínio A é utilizado para suportar a carga aplicada centralmente de 8 Klb. Se ele tem uma espessura
constante de 0,5 pol., Determinar a menor altura h, a fim de evitar uma ruptura por cisalhamento. A tensão de cisalhamento última é tU = 23 kpsi. Use um coeficiente de segurança para
cisalhamento de C.S. = 2,5. Ex. 1.94 9ª.ed Resposta: h = 1,74 pol. ou 44,2 mm 8.000 lb 1 lb = 4,448 N 1 pol = 0,0254 m 1 lb/pol2 (psi) = 6895 Pa 1 pé (ft) = 0,3048 m
10. Exercício
• Seja a cruzeta abaixo, submetida a um esforço de 5kN.
Determine a tensão normal média em cada barra circular, e a tensão média de cisalhamento no pino A.
Ex. 1.103 9ª.ed
