Sistemas de Tipos. Cristiano Damiani Vasconcellos.

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Sistemas de Tipos

Cristiano Damiani Vasconcellos

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade do Estado de Santa Catarina

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Tipos

Tipos: Cole¸c˜ao de valores ou objetos que possuem alguma proprie-dade em comum.

Na matemática, tipos impõe restri¸cões que evitam paradoxos. Uni-versos não tipados apresentam inconsistências lógicas tais como o paradoxo de Russell.

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Tipos

Linguagens que não definem um intervalo de valores que uma variável pode armazenar são classificadas como não tipadas. Essas lingua-gens suportam um único tipo que representa todos os valores. λ-cálculo é um exemplo extremo de linguagens não tipadas.

Uma linguagem de programa¸cão é considerada segura (safe) se to-dos os erros de tipos podem ser detectato-dos, ou seja, os tipos não podem ser violados. Linguagens não tipadas podem ser consideradas seguras efetuando a verifica¸cão em tempo de execu¸cão.

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Tipos

A defini¸cão de um sistema de tipos no projeto de linguagens de programa¸cão é útil para:

• Estrutura¸cão dos programas e documenta¸cão: os tipo representam abstra¸cões dos dados manipulados pelo programa e podem ajudar na compreensão do código.

• Deteçcão de erros: uma grande variedades de erros podem ser detectados automaticamente quando dados e fun¸cões são usados de forma inconsistente.

• Eficiência: informa¸cões sobre tipos permitem ao computador executar otimiza¸cões no código gerado.

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Sistemas de Tipos

Sistemas de tipos são conjuntos de regras de inferência que per-mitem atribuir tipos as variáveis e expressões de linguagens de pro-grama¸cão. O principal objetivo de um sistema de tipos é determinar, em tempo de compila¸cão, se um programa é bem comportado, ga-rantindo a ausência de erros de tipos em tempo de execu¸cão. Um sistema capaz de fornecer essa garantia é dito consistente (sound ).

Para que seja poss´ıvel provar a consistência do sistema de tipos é necessária a sua formaliza¸cão.

Prova Matemática: Verifica¸cão de uma proposi¸cão por encadeamento de dedu¸cões lógicas a partir de um conjunto de axiomas.

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Sistemas de Tipos

A defini¸cão formal de um sistema de tipos é feita por um conjunto de enunciados (regras) denominadas senten¸cas (judgments). Sen-ten¸cas são afirma¸cões sobre objetos sintáticos de um determinado tipo. Uma senten¸ca tem a forma:

Γ ` e : σ

Essa senten¸ca é lida como: no contexto Γ a expressão e tem tipo σ ou Γ implica (deriva) em e ter tipo σ. Sendo Γ um contexto, possivelmente vazio, onde estão definidos os tipos das variáveis que ocorrem livres em e (Γ = {x1 : σ1, x2 : σ2, . . . , xn : σn}).

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Sistemas de Tipos

A forma geral das regras de inferˆencia ´e:

Γ1` e1: σ1 Γ2` e2: σ2 . . . Γn` en: σn

Γ ` e : σ

As senten¸cas acima da linha horizontal são as premissas e a senten¸ca abaixo é a conclusão. Por exemplo:

Γ ` e1: Nat Γ ` e2: Nat

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λ-C´

alculo Simplesmente de Tipos

Variaveis de Tipos α, β Vari´aveis de Express˜oes x , y , z

Express˜oes e ::= x | λx . e | e e0 Tipo Simples α ::= τ | τ → τ0 Γ ` x : τ (VAR) {x : τ } ∈ Γ Γ ` e : τ → τ0 Γ ` e0 : τ Γ ` e e0 : τ0 (APP) Γ, x : τ0 ` e : τ Γ ` λx .e : τ0 → τ (ABS)

Γ, x : τ representada Γ ∪ {x : τ }, sendo que Γ n˜ao apresenta qualquer suposi¸c˜ao de tipo para x .

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Unifica¸c˜

ao

Unifica¸cão é a ideia central do processo de inferência de tipos, um unificador para dois tipos é uma substitui¸cão S que: S τ1= S τ2.

Uma substitui¸cão é uma fun¸cão que mapeia variáveis de tipos em expressões de tipos. Uma substitui¸cão pode ser representada como: S = {α1 7→ τ1, α2 7→ τ2, . . . , αn 7→ τn}. A aplica¸cão de uma

substitui¸c˜ao S em um tipo τ (S τ ) resulta na troca de todas as vari´aveis de tipo que ocorrem em τ e pertencem ao dom´ınio de S pelo tipo correspondente em S .

A composi¸cão de substitui¸cões é representada por S ◦ S0. Um uni-ficador Sg é chamado de unificador mais geral se, para qualquer

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Inferˆ

encia de Tipos

data SimpleType = TVar Id

|TArr SimpleType SimpleType deriving (Eq, Show)

data Expr = Var Id

|App Expr Expr |Lam Id Expr

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Inferˆ

encia de Tipos

tiExpr g (Var i) = return (tiContext g i, []) tiExpr g (App e e’)=

do (t, s1) <- tiExpr g e (t’, s2) <- tiExpr g e’ b <- freshVar

let s3 = unify (apply s2 t) (t’ --> b) return (apply s3 b, s3 @@ s2 @@ s1) tiExpr g (Lam i e) =

do b <- freshVar

(t, s) <- tiExpr (g /+/ [i:>:b]) e return (apply s (b --> t), s)

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Tipo Produto (Product Type, Record )

O produto de dois tipos consistem em um par ordenado de valores, sendo cada valor do tipo especificado. Podemos generalizar o tipo produto como o produto de um conjunto finito de n tipos, sendo n ≥ 0. O tipo unit (tipo unit´ario) ´e representado pelo produto nulo. Γ ` hi : unit Γ ` e : τ Γ ` e0 : τ0 Γ ` e × e0 : τ × τ0 (PAIR) Γ ` e × e : τ × τ0 Γ ` π1(e × e0) : τ (PROJ)Γ ` e × e 0_{: τ × τ}0 Γ ` π2(e × e0) : τ0

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Tipo Uni˜

ao Disjunta (Disjoint Union, Sum Type,

Tagged Union)

A união disjunta de dois tipos oferece uma escolha entre dois elemen-tos de tipos possivelmente distinelemen-tos. Cada um dos tipos é marcado com uma etiqueta (construtor do tipo) que permite a sele¸cão por casamento de padrões (pattern match).

Γ ` e : τ Γ ` e + e0 : τ + τ0 (SUM) Γ ` e0 : τ0 Γ ` e + e0: τ + τ0 Γ, x1: τ1` e1 : τ Γ, x2 : τ2 ` e2: τ Γ ` e : τ1+ τ2 Γ ` case e of {x1 ⇒ e1 | x2 ⇒ e2} : τ (CASE )

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Booleanos

Um exemplo simples do tipo uni˜ao disjunta ´e o tipo booleano:

Γ ` True : Bool Γ ` False : Bool

Γ ` e : Bool Γ ` e1: τ Γ ` e2 : τ

Γ ` if e then e1 else e2: τ

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Tipos Recursivos

Muitas linguagens permitem a defini¸cão de tipos recursivos, para podermos representar tipos recursivos em usamos um operador de ponto fixo de tipos. A expressão de tipo µα.τ denota o isomor-fismo dos tipos que satisfazem a equa¸cão µα.τ ∼= {α 7→ µα.τ }τ . Por exemplo, o tipo Lista de inteiros pode ser definido como:

µα.hi + (Int × α)

Que admite infinitas substitui¸c˜oes de α por hi + (Int × α):

hi + (Int × α)

hi + (Int × hi + (Int × α))

hi + (Int × hi + (Int × hi + (Int × α)))

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Tipos Recursivos

Esse isomorfismo ´e definido por regras de convers˜ao de um tipo µα.τ em [µα.τ /α]τ e vice-versa.

Γ ` e : {α 7→ µα.τ }τ

Γ ` fold e : µα.τ (FOLD)

Γ ` e : µα.τ

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Sistema Hindley-Milner

Em λ-cálculo simplesmente tipado os tipos são monomórficos as variáveis de tipos representam um único tipo em um contexto. No sistema Hindley-Milner são introduzidos tipos quantificados para o suporte ao polimorfismo paramétrico.

Variaveis de Tipos α, β, γ

Tipo Simples τ ::= α | τ → τ0 Tipo Polim´orfico σ ::= τ | ∀α.σ

Figura:Express˜oes de Tipos

ftv (α) = {α}

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Sistema Hindley-Milner

βi ∈ ftv (∀α.τ ) τ/ 0 = {α 7→ τ }τ

∀α.τ > ∀β.τ0

Informalmente podemos dizer que o tipo ∀α.τ ´e mais geral que ∀β.τ0_.

Vari´aveis x , y , z Express˜oes e ::= x

| λx. e | e e0

| let x = e in e0

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Sistema Hindley-Milner

Γ ` x : σ {x : σ} ∈ Γ (VAR) Γ ` e : σ Γ ` e0 _{: σ}0 (σ > σ 0₎ _(INST) Γ ` e : σ Γ ` e : ∀α.σ (α∈/ftv (Γ)) (GEN)

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Sistema Hindley-Milner

Γ ` e : τ0→ τ Γ ` e0 : τ0 Γ ` e e0 _{: τ} (APP) Γ, x : τ0 ` e : τ Γ ` λx .e : τ0_{→ τ} (ABS) Γ ` e : σ Γ, x : σ ` e0 : τ Γ ` let x = e in e0: τ (LET)

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Algoritmo W

W (Γ, x ) =

Se Γ(x ) = ∀α1...α2.τ ent~ao ({αi 7→ βi}τ, Id )

sen~ao Falha, sendo βi fresh

W (Γ, e e0) =

let (τ, S1) = W (Γ, e)

(τ0, S2) = W (S1Γ, e0)

S = unificar (S2τ, τ0→ β), sendo β fresh

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Algoritmo W

W (Γ, λx .e) = let (τ, S ) = W (Γ, x : β, e) in (S (β → τ ), S ) W (Γ, let x = e in e0) = let (τ, S1) = W (Γ, e) (τ0, S2) = W (S1Γ, x : fechamento (S1Γ, τ ), e0) in (τ0, S1◦ S2) Sendo fechamento(Γ, τ ) = ∀α.τ e α = ftv (τ ) − ftv (Γ).

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Sistema Hindley-Milner

Consistˆencia (Soundness): Se W (Γ, e) retorna (τ, S ) ent˜ao Γ ` e : τ .

Completude (Completeness): Se Γ ` e : τ0 ent˜ao W (Γ, e) = (τ, S ) tal que para qualquer substitui¸c˜ao S0: τ > S0τ0.