Determinantes
Juliana Pimentel
juliana.pimentel@ufabc.edu.br
http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel
Para uma matriz quadrada A o determinante de A ´e um n´umero real.
Esse n´umero sempre existe! Nota¸c˜ao: det(A)
Casos:
1) Se A = [a], definimos o determinante de A como sendo o n´umero real a.
Para uma matriz quadrada A o determinante de A ´e um n´umero real.
Esse n´umero sempre existe!
Nota¸c˜ao: det(A) Casos:
1) Se A = [a], definimos o determinante de A como sendo o n´umero real a.
Para uma matriz quadrada A o determinante de A ´e um n´umero real.
Esse n´umero sempre existe! Nota¸c˜ao: det(A)
Casos:
1) Se A = [a], definimos o determinante de A como sendo o n´umero real a.
Para uma matriz quadrada A o determinante de A ´e um n´umero real.
Esse n´umero sempre existe! Nota¸c˜ao: det(A)
Casos:
1) Se A = [a], definimos o determinante de A como sendo o n´umero real a.
2) Se A ´e uma matriz de ordem 2: A = a11 a12 a21 a22 det(A) = a11.a22− a21.a12 Exemplo: A = 2 −1 4 3 det(A) = 2.3 − (4.(−1)) = 6 − (−4) = 10.
2) Se A ´e uma matriz de ordem 2: A = a11 a12 a21 a22 det(A) = a11.a22− a21.a12 Exemplo: A = 2 −1 4 3 det(A) = 2.3 − (4.(−1)) = 6 − (−4) = 10.
2) Se A ´e uma matriz de ordem 2: A = a11 a12 a21 a22 det(A) = a11.a22− a21.a12 Exemplo: A = 2 −1 4 3 det(A) = 2.3 − (4.(−1)) = 6 − (−4) = 10.
2) Se A ´e uma matriz de ordem 2: A = a11 a12 a21 a22 det(A) = a11.a22− a21.a12 Exemplo: A = 2 −1 4 3 det(A) = 2.3 − (4.(−1)) = 6 − (−4) = 10.
3) Se A ´e uma matriz de ordem 3: A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Ent˜ao podemos calcular o det(A) atrav´es de uma regra pr´atica:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13+ a31a12a23−
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3?
Qual a defini¸c˜ao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expans˜ao em co-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz
2 × 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linha e a j-´esima coluna de A.
Esta ´e a expans˜ao em co-fatores atrav´es da 1a. linha, e estas matrizes s˜ao chamadas menores. Vamos escrever os menores M11, M12, M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3? Qual a defini¸c˜ao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expans˜ao em co-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz
2 × 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linha e a j-´esima coluna de A.
Esta ´e a expans˜ao em co-fatores atrav´es da 1a. linha, e estas matrizes s˜ao chamadas menores. Vamos escrever os menores M11, M12, M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3? Qual a defini¸c˜ao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expans˜ao em co-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz
2 × 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linha e a j-´esima coluna de A.
Esta ´e a expans˜ao em co-fatores atrav´es da 1a. linha, e estas matrizes s˜ao chamadas menores. Vamos escrever os menores M11, M12, M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3? Qual a defini¸c˜ao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expans˜ao em co-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz
2 × 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linha e a j-´esima coluna de A.
Esta ´e a expans˜ao em co-fatores atrav´es da 1a. linha, e estas matrizes s˜ao chamadas menores. Vamos escrever os menores M11, M12, M13.
Mas se a matriz tem ordem n onde n ≥ 3? Qual a defini¸c˜ao de determinante?
Vamos proceder no caso de n = 3, a expans˜ao em co-fatores
Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a matriz
2 × 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linha e a j-´esima coluna de A.
Esta ´e a expans˜ao em co-fatores atrav´es da 1a. linha, e estas matrizes s˜ao chamadas menores. Vamos escrever os menores M11, M12, M13.
O determinante de A ´e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fator
de aij ´e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferen¸ca entre co-fator e menor de um elemento aij ´e somente um sinal
O determinante de A ´e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fator
de aij ´e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferen¸ca entre co-fator e menor de um elemento aij ´e somente um sinal
O determinante de A ´e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fator
de aij ´e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferen¸ca entre co-fator e menor de um elemento aij ´e somente um sinal
O determinante de A ´e dado por:
det(A) = a11M11 − a12M12 + a13M13
Para cada elemento aij da matriz A, o co-fator
de aij ´e denotado por Aij e dado por:
Aij = (−1)i+jdet(Mij)
Importante: A diferen¸ca entre co-fator e menor de um elemento aij ´e somente um sinal
O determinante da matriz A de ordem 3 ´e tamb´em pode ser definido por:
det(A) = a11A11+ a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A = 1 0 −1 2 −1 0 3 5 −4
O determinante da matriz A de ordem 3 ´e tamb´em pode ser definido por:
det(A) = a11A11+ a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A = 1 0 −1 2 −1 0 3 5 −4
O determinante da matriz A de ordem 3 ´e tamb´em pode ser definido por:
det(A) = a11A11+ a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A = 1 0 −1 2 −1 0 3 5 −4
O determinante da matriz A de ordem 3 ´e tamb´em pode ser definido por:
det(A) = a11A11+ a12A12 + a13A13
Vamos calcular o determinante da matriz:
A = 1 0 −1 2 −1 0 3 5 −4
Caso geral
Seja A = (aij) de ordem n. O determinante de A
´e definido por:
det(A) = a11A11+ a12A12 + ... + a1nA1n (∗)
onde A1j ´e o cofator do elemento a1j.
A express˜ao dada por (∗) ´e chamada
desenvolvimento em cofatores do determinante de A em termos da 1a. linha.
Caso geral
Seja A = (aij) de ordem n. O determinante de A
´e definido por:
det(A) = a11A11+ a12A12 + ... + a1nA1n (∗)
onde A1j ´e o cofator do elemento a1j.
A express˜ao dada por (∗) ´e chamada
desenvolvimento em cofatores do determinante de A em termos da 1a. linha.
Exemplo
Podemos calcular o determinante de uma matriz A fazendo desenvolvimento em cofatores em termos da qualquer linha ou coluna.
0 2 3 0 0 4 5 0 0 1 0 3 2 0 1 3
Exemplo
Podemos calcular o determinante de uma matriz A fazendo desenvolvimento em cofatores em termos da qualquer linha ou coluna.
0 2 3 0 0 4 5 0 0 1 0 3 2 0 1 3
Exemplo
Encontre os valores de λ para os quais o determinante da matriz abaixo ´e 0.
2 − λ 4
3 3 − λ
Exemplo
Encontre os valores de λ para os quais o determinante da matriz abaixo ´e 0.
2 − λ 4
3 3 − λ
Exerc´ıcio
Calcule o determinante de A utilizando expans˜ao em co-fatores ao longo da primeira linha:
A = 3 1 0 −2 −4 3 5 4 −2 Resposta. det(A)=-1.
Exerc´ıcio
Calcule o determinante de A utilizando expans˜ao em co-fatores ao longo da primeira linha:
A = 3 1 0 −2 −4 3 5 4 −2 Resposta. det(A)=-1.
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Ent˜ao:
1) det(AB) = det(A)det(B) 2) det(AT) = det(A)
3) det(A−1) = det(A)1
Decorre destas propriedades que:
A ´e uma matriz invers´ıvel se e somente se det(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Ent˜ao: 1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT) = det(A) 3) det(A−1) = det(A)1
Decorre destas propriedades que:
A ´e uma matriz invers´ıvel se e somente se det(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Ent˜ao: 1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT) = det(A)
3) det(A−1) = det(A)1
Decorre destas propriedades que:
A ´e uma matriz invers´ıvel se e somente se det(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Ent˜ao: 1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT) = det(A) 3) det(A−1) = det(A)1
Decorre destas propriedades que:
A ´e uma matriz invers´ıvel se e somente se det(A) 6= 0
Propriedades
Sejam A e B matrizes de ordem n. Ent˜ao: 1) det(AB) = det(A)det(B)
2) det(AT) = det(A) 3) det(A−1) = det(A)1
Decorre destas propriedades que:
A ´e uma matriz invers´ıvel se e somente se det(A) 6= 0
Encontre matrizes A e B tais que: i) det(A + B) = det(A) + det(B) ii) det(A + B) 6= det(A) + det(B)
iii) det(kA) = kndet(A); onde n ´e a ordem da matriz e k ∈ R
