AULA 4 DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO QUESTÕES 1, 2, 3 e 4. Veja questões 22 e 23 da página 97 - Tudo vai se esclarecer quando chegarmos lá.

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÕES 1, 2, 3 e 4

Veja questões 22 e 23 da página 97 - Tudo vai se esclarecer quando chegarmos lá. ☺ AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 10

Actp =

R V2

= e da figura, vemos que Actp = a . cos60°

Actp = R V2 = a . cos60°, com R = 1 m 1 V2 = 32 x 0,5 ⇒ v = 4 m/s V 60o a tg ctp

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 11

S = 2 – 8.t + 3.t2 _{(SI). Determine, no instante t = 2 s:} a) a velocidade do móvel

Comparando com a função geral S = So + Vo .t + (a/2).t2 , temos que: So = 2m, Vo = –8 m/s, a/2 = 3 ⇒ a = 6 m/s2

Assim, V = Vo + a.t ⇒ V = –8 + 6.t

Para t = 2s, temos que V = –8 + 6.t = –8 + 6x2 ⇒ V = 4 m/s b) a intensidade da componente tangencial da força resultante

a aceleração escalar é o módulo da aceleração tangencial a cada instante:

a TG = a = 6 m/s2 , conforme determinamos inicialmente, a partir da função horária. Aplicando a 2ª lei de Newton na direção tangencial, vem:

FR - TG = m. a TG ⇒ FR - TG = 10 x 6 ⇒ FR - TG = 60 N c) a intensidade da componente centrípeta da força resultante

aCTP = V2 / R , com V = 4 m/s (em t = 2 s) e R = 2m, assim : aCTP = V2 / R = 42 / 2 ⇒ aCTP = 8 m/s2

Aplicando a 2ª lei de Newton na direção tangencial, vem:

(FR )2 = (FR–TG)2 + (F CTP)2

(FR )2 = ( 60)2 + ( 80)2 ⇒ FR = 100 N

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 12

Conforme vimos em sala e nas questões de casa, no ponto mais alto da parábola a aceleração resultante, causada pela força resultante (peso), é exclusivamente centrípeta, portanto aR = actp = g.

Adicionalmente, no ponto mais alto da parábola, a velocidade vertical da bola é nula VY = 0, portanto, a

bola só apresenta velocidade horizontal VX = Vo .cos60° = 20 x 0,5 = 10 m/s. Assim, podemos

escrever: ctp tg

a

_a

Esse é o raio de curvatura da parábola descrita pela bola, no ponto mais alto dessa parábola (vértice).

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 16

ω

N

Fat P

Como a moeda não apresenta aceleração vertical, ela está em equilíbrio na vertical, podemos escrever:

N = P = M.g [eq-1]

Na direção radial ou centrípeta, a dinâmica do movimento curvilíneo nos permite escrever a 2a Lei de Newton: FR ctp = Fin – Fout = M. (ω2 . R)

Lembrando que a força de atrito estática “não é a mulher-maravilha”, ela trabalha dentro de um limite, podemos escrever: Fat ≤ Fat max ⇒ Fat ≤ µ . N [eq-3]

A condição para que as equações 1 e 2 sejam satisfeitas, dentro dos limites impostos pela equação 3, é encontrada, substituindo-se 1 e 2 em 3:

Fat ≤ µ . N ⇒ M. (ω2 . R) ≤ µ . M.g ⇒ ω2 . R ≤ µ . g_{, como todos os números são} positivos, podemos simplesmente isolar ω:

R g . µ ≤ ω ⇒ 25 , 0 10 1 , 0 × ≥

ω ⇒ ω ≥ 2 rad/s ⇒ ωmin = 2 rad/s

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 17

a resposta da apostila não estava correta ☺ - resposta correta: Fat = 0,1 N

ω

N

Fat P

Como a moeda não apresenta aceleração vertical, ela está em equilíbrio na vertical, podemos escrever: N = P = M.g [eq-1]

Na direção radial ou centrípeta, a dinâmica do movimento curvilíneo nos permite escrever a 2a Lei de Newton: FR ctp = Fin – Fout = M. (ω2 _{. R)}

Fat – 0 = M. (ω2 . R) ⇒ Fat = M. (ω2 _{. R) [eq-2]}

A moeda estava na iminência de escorregar quando ω = 2 rad/s. Reduzindo ω à metade

(ω = 1 rad/s) , a moeda, certamente, não está mais na iminência de escorregar. Assim, podemos

acrescentar uma informação extra (porém inútil): Fat < µE . N [eq-3] Para determinarmos Fat, fazemos uso da equação [eq-2]:

Fat = M. (ω2 _{. R) [eq-2]}

Fat = (0,2 kg ) x ( 1 rad/s)2 x (0,5 m) = 0,1 N ⇒ Fat = 0,1 N a resposta da apostila não estava correta ☺

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 23 FR ctp = Fin – Fout = M.V2 _{/ R}

Sendo N a normal que age no piloto e P, o peso do piloto, podemos escrever: FR ctp = Fin – Fout = M.V2 _{/ R} N – P = M.V2 _{/ R} N = M.V2 _{/ R + M.g , com V = 144 km/h = 40 m/s} N = 70 x 402 _{/ 40 + 70 x 10 = 3500} N = 3500 newtons P N

Para calcular a gravidade aparente, fazemos uso de:

N = P apar = M . gapar ⇒ 3500 = 70 . gapar ⇒ gapar = 50 m/s2 _{= 5g !!!!!} AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 24

Sendo N a normal que age no piloto e P, o peso do piloto, percebemos que apenas a normal N está sobre o eixo centrípeto, naquela posição do avião, portanto, apenas a normal N será a responsável pela aceleração centrípeta do avião, naquele ponto:

FR ctp = Fin – Fout = M.V2 _{/ R} N – 0 = M.V2 _{/ R} N = M.V2 _{/ R + M.g , com V = 216 km/h = 60 m/s} N = 80 x 602 _{/ 90 = 3200} N = 3200 newtons

P

N

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 30 Inicialmente, temos um problema de equilíbrio estático, onde qualquer par de eixos pode ser usado para resolver a questão. Escolhemos, portanto, o par de eixos que simplifique nossos cálculos. Devido à simetria do triângulo equilátero, a tração nos dois fios tem o mesmo valor TA dada por:

TA .cos30° + TA .cos30° = P

2.TA .cos30° = P ⇒ TA = P / (2.cos30°)

Em seguida, o fio 1 será cortado. O sistema se comportará como um pêndulo simples momentaneamente em repouso (v = 0) na sua posição extrema, onde ele pára afim de inverter o sentido do movimento.

Logo após o corte do fio, portanto, o pêndulo já estará acelerado, visto que ele terá aceleração tangencial, causada pela componente tangencial do pêndulo, P.sen30°. Haverá equilíbrio momentâneo apenas na direção radial (centrípeta), visto que, momentaneamente, ainda não há velocidade (v=0), portanto, momentaneamente ainda não haverá aceleração centrípeta.

A 2ª lei de Newton na direção centrípeta, logo após o corte do fio, permite escrever:

No posição A, podemos escrever: FR ctp = Fin – Fout = M.V2 _{/ R}

FR ctp = TB – P.cos(30°) = M.V2 / R, com V = 0. Assim: FR ctp = TB – P.cos(30°) = 0 ⇒ TB = P.cos(30°) fio 1 fio 2 T_A T_A P 30o ₃₀o T_B P 30o 30o P.cos30o P.sen30o eixo tan gen_cia l eix o r adia l V = 0

Assim, temos que:

3 2 6 4 3 2 1 3 . 2 1 30 cos . 2 1 30 cos . P 30 cos . 2 P T T 2 o 2 o o B A _{= =} × = ⎞ ⎛ = = =

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 40

Apenas duas forças agem num pêndulo: a tração T e o peso P. No caso do pêndulo cônico, a resultante centrípeta é dada por: FR ctp = Fin – Fout = ( T.senα – 0) = T.senα = m.(ω2_{.R) [eq-1]}

Na direção vertical, podemos escrever: T.cosα = m.g [eq-2] Dividindo [eq-1] por [eq-2], vem:

tanα = ω2 _{. R / g [eq-3]} T.cosα P α T.senα eixo ctp

O triângulo retângulo permite determinar a tanα:

Tanα = R / H [eq-4]

Das relações 3 e 4, podemos escrever:

tanα = ω2 _{. R / g = R / H , cancelando R , vem:}

ω2 _{. H = g = constante (g não muda, concorda?)}

Assim, podemos dizer que:

ωantes2 . Hantes = ωdepois2 . Hdepois = g = constante

(6)2 _{. 1 = (3)}2 _{. Hdepois} ⇒ H_{depois = 4 m}

R

α

_L

H

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 41

α α M T m.g α T M.g N Fat α α M T. c o sα m.g α M.g N Fat T.senα T.cosα T.senα ctp

Apenas duas forças agem num pêndulo: a tração T e o peso P. No caso do pêndulo cônico, a resultante centrípeta é dada por:

FR ctp = Fin – Fout = ( T.senα – 0) = T.senα = m.(ω2_{.R) [eq-1]}

Na direção vertical, podemos escrever: T.cosα = m.g [eq-2]

A caixa sobre a mesa está em equilíbrio e na iminência de escorregar. Assim, podemos escrever: Condição de equilíbrio da caixa: Vertical: T.senα + N = M.g [eq-3]

Condição de equilíbrio da caixa: Horizontal: T.cosα = Fat [eq-4]

Condição de iminência: Fat = Fatmax: Fat = µ.N [eq-5]

Note que a tração T que age na caixa é a mesma tração T que age no pêndulo, visto que se trata do mesmo fio ideal.

Substituindo 1 em 3, vem: T.senα + N = M.g ⇒ m.(ω2_{.R) + N = M.g} ⇒ N = M.g –m.(ω2_.R)

[eq-6]

Substituindo 6, 2 e 4 na relação 5, vem:

Fat = µ.N T.cosα = µ.N T.cosα = µ. ( M.g – m.ω2_{.R )} m.g = µ.( M.g – m.ω2.R) ⇒ µ = R . . m g . M g . m 2 ω − = 20 20 5 , 0 . 2 2 10 4 , 2 10 2 2 _× = × − × × _{= 1}

µ = 1 ☺ Resposta Correta – Letra E

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 42

ω α L R T P α L.senα

trajetória circular do pêndulo

ei

xo de rot

aç

ão

r

Apenas duas forças agem num pêndulo: a tração T e o peso P. No caso do pêndulo cônico, a resultante centrípeta é dada por:

FR ctp = Fin – Fout = ( T.senα – 0) = T.senα = m.(ω2_{. r) [eq-1]}

Na direção vertical, podemos escrever: T.cosα = m.g [eq-2]

A esfera do pêndulo descreve um movimento circular de raio r em torno do eixo de rotação, tal que:

r = R + L.senα = 1,5 + 10x 0,6 = 7,5 m ⇒ r = 7,5 m

AULA 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO– QUESTÃO 43

α N

P α

Apenas duas forças agem no carro: a normal N e o peso P, visto que o enunciado afirma que a curva está sendo traçada sem a ajuda da força de atrito, graças à inclinação da pista.

A a resultante centrípeta é dada por:

FR ctp = Fin – Fout = ( Nx – 0) = N.senα = m.(V2 _{/ R) [eq-1]}

Na direção vertical, podemos escrever: Ny = N.cosα = m.g [eq-2] Com V = 180 km/h = 50 m/s e R = 820m

Dividindo [eq-1] por [eq-2], vem:

g . R V tanα= 2 = 10 820 502 × = 8200 2500 = 0,304

Consultando a tabela trigonométrica fornecida na questão, vemos que tan17° = 0,306 e, portanto, α = 17°.