Proposições condicionais
e bicondicionais
Proposições condicionais
Num debate sobre algum tema importante, é comum utilizarmos ideias que procuram sustentar nossos argumentos. Essa sustentação, muitas vezes, se dá por uma relação entre causa e consequência, asserção com razão ou hipótese com tese. As proposições que estudaremos a partir de agora intro-duzem os raciocínios mais sutis, presentes em diversas situações cotidianas, e nos auxiliam tanto na linguagem falada quanto na escrita.
Uma proposição condicional sempre pode ser escrita da forma “se p, então q”, e é denotada por p q.
Observe alguns exemplos:
Se amanhã é domingo, então hoje é sábado.
Se x = 3, então x
2 = 9.
Se eu estudo, então obtenho uma boa nota na prova.
Se 2 + 5 = 7, então 7 – 5 = 2.
Qualquer proposição da forma p → q pode ser interpretada (ou lida) de várias maneiras diferentes. Por exemplo, a proposição condicional:
Se está chovendo, então existem nuvens.
é composta pelas seguintes proposições simples:
p: está chovendo e q: existem nuvens.
se p, então q:
Se está chovendo, então existem nuvens.
p implica q:
Estar chovendo implica existir nuvens.
p
somente se q:
Está chovendo somente se existem nuvens.
p é condição suficiente para q:
Estar chovendo é suficiente para existir nuvens.
q é condição necessária para p:
Existir nuvens é necessário para estar chovendo.
Qual é o valor lógico de p q?
Para entender como pode ser obtido o valor lógico de uma proposição condicional, considere outro exemplo:
Se meu time ganha o jogo, então ele é campeão.
As proposições componentes são p: meu time ganha o jogo e q: meu time é campeão.
A proposição condicional garante que, sendo verdadeiro que “meu time ganha o jogo”, então será verdadeiro também que “meu time é campeão”. En-tretanto, essa proposição condicional nada afirma sobre o que poderá ocor-rer caso “meu time não ganhe o jogo”. Assim, se “meu time não ganha o jogo”, pode ocorrer que “meu time é campeão” ou que “meu time não é campeão”. Ambas as conclusões podem ser verdadeiras na hipótese de o meu time não ganhar o jogo. O único caso que realmente contradiz a proposição composta é: sendo verdadeiro que “meu time ganha o jogo”, então será falso que “meu time é campeão”.
Dessa forma, podemos dizer que uma proposição condicional p q será falsa apenas no caso de p ser verdadeira e q ser falsa. Nos demais casos, p q terá sempre o valor lógico V.
47 Uma proposição condicional p q tem valor F apenas quando p tem valor V e q tem valor F. Nos outros casos, p q tem valor lógico V.
A tabela-verdade a seguir apresenta um resumo de todos os valores ló-gicos possíveis de uma proposição condicional:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Observe alguns exemplos que procuram explicar as relações de uma pro-posição condicional:
Exemplo 1:
De acordo com a regra que permite aferir valor lógico a uma proposição condicional, observe algumas sentenças com os respectivos valores lógicos:
“Se Curitiba é capital do Paraná, então em 1958 a seleção brasileira
ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez.”
A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: Curitiba é capital do Paraná. (V)
q: Em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez. (V)
Ambas as proposições são verdadeiras. Dessa forma, a proposição “Se Curitiba é capital do Paraná, então em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez” também verdadeira.
“Se o Polo Norte está descongelando, então a China é o maior país em
extensão territorial.”
p: O Polo Norte está descongelando. (V)
q: A China é o maior país em extensão territorial. (F)
A primeira proposição (p) é verdadeira e a segunda proposição (q) é falsa. Assim, a proposição “Se o Polo Norte está descongelando, então a China é o maior país em extensão territorial” é falsa.
“Se o esporte mais praticado na Venezuela é o futebol, então São Paulo
é o estado de maior produção industrial do Brasil.”
A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: O esporte mais praticado na Venezuela é o futebol .(F)
q: São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil. (V)
A proposição “Se o esporte mais praticado na Venezuela é o futebol, então São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil” é ver-dadeira, pois a primeira proposição (p) é falsa e a segunda proposição (q) é verdadeira.
“Se uma semana possui 8 dias, então Ernesto Geisel não foi presidente
da República brasileira.”
A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: Uma semana possui 8 dias. (F)
q: Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira. (F)
A proposição “Se uma semana possui 8 dias, então Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira” é verdadeira, pois tanto a primeira propo-sição (p) quanto a segunda propopropo-sição (q) são falsas.
Exemplo 2:
A proposição “Se não sei meu nome, então não sei o seu” pode ser escrita de outras formas equivalentes:
1.ª forma: “Não saber meu nome implica não saber o seu.” 2.ª forma: “Não sei o meu nome somente se não sei o seu.”
49 3.ª forma: “Não saber o meu nome é condição suficiente para não saber o seu.”
4.ª forma: “Não saber o seu nome é condição necessária para não saber o meu.”
Exemplo 3:
Na proposição: “Se hoje é domingo, então vou à missa”, a proposição “hoje é domingo” é condição suficiente para a ocorrência da proposição “ir à missa”.
Por outro lado, a proposição “ir à missa” é condição necessária para a ocor-rência da proposição “hoje é domingo”. Assim, temos:
Se, hoje é domingo
condição suficiente
então vou à missa
condição necessária
Exemplo 4:
Considere como falsa a proposição: “Se tenho um bom currículo, então consigo um bom emprego”.
Se a proposição simples p: “Tenho um bom currículo” é verdadeira, o que pode concluir em relação ao valor lógico da proposição simples q:“Consigo um bom emprego”?
Para que uma proposição condicional da forma p q seja falsa, a pro-posição p deve ser verdadeira e a propro-posição q deve ser falsa. Desta forma, conclui-se que a proposição q: “Consigo um bom emprego” deve ser falsa.
Exemplo 5:
Considere como verdadeira a proposição: “Se tenho dinheiro, então viajo ao exterior”.
Se a proposição simples p: “Tenho dinheiro” é falsa, o que é possível con-cluir sobre o valor lógico da proposição simples q:“Viajo ao exterior”?
Uma proposição condicional da forma p → q é verdadeira em qualquer caso, exceto quando a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa. Logo, como já se conhece o valor lógico falso da proposição p, conclui-se que a proposição q pode ser ou verdadeira ou falsa. Em qualquer um dos
valores de q, a proposição composta p → q será verdadeira. Assim, conclui-se que a proposição q: “Viajo ao exterior” pode ser ou verdadeira ou falsa.
Exemplo 6:
Outra maneira de definir o valor lógico de uma proposição condicional é a seguinte:
Uma proposição condicional da forma p q é verdadeira se p for falsa ou q for verdadeira.
Em qualquer um dos casos expostos, ou em ambos, o valor lógico de
p q é sempre verdadeiro.
Relações entre proposições condicionais
Qualquer que seja a proposição condicional, sempre podemos associá-la a outras proposições condicionais. A seguir, estudaremos alguns tipos especiais de proposições que são importantes no estudo da Lógica e da Matemática.
Proposição recíproca
A proposição recíproca de p q é a proposição da forma q p.
Proposição: Se
está chovendo
p
, então existem nuvens
q
.
Recíproca: Se
existem nuvens
q
, então está chovendo
p
.
A proposição original garante que, se for verdadeiro que “está chovendo”, então será também verdadeiro que “existem nuvens”. Já a proposição recí-proca correspondente garante que, se “existem nuvens”, então “está choven-do”. Ou seja, a proposição recíproca não garante o mesmo que a proposição original. Assim, p q pode ser verdadeira, e sua recíproca, q p, falsa.
Observe inclusive que na recíproca, se for verdadeiro que “existem nuvens”, então poderá ser verdadeiro ou falso que “está chovendo”. A pre-sença de nuvens não garante a chuva.
Portanto, as duas proposições podem ter valores lógicos diferentes, não sendo, portanto, logicamente equivalentes.
51 Exemplo 1:
A proposição “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo” tem como recíproca a proposição “Se amanhã é domingo, então hoje é sábado”.
Exemplo 2:
A proposição “Se me esforço, então venço” tem como recíproca a proposi-ção “Se venci, então me esforcei”.
Exemplo 3:
A proposição “Se sou carioca, então sou brasileiro” tem como recíproca a proposição “Se sou brasileiro, então sou carioca”.
Observe, nesse último exemplo, que uma proposição condicional e sua correspondente recíproca não são necessariamente equivalentes. Uma pessoa que é brasileira pode ser ou não carioca. Já no caso de uma pessoa ser carioca, ela será necessariamente brasileira.
Proposição inversa
A proposição inversa de p q é a proposição da forma ~p ~q.
Proposição: Se
está chovendo
p
, então existem nuvens
q
.
Inversa: Se
não está chovendo
~p
, então não existem nuvens
~q
.
A proposição original garante apenas que, no caso de chuva, existem nuvens, mas nada é dito sobre o que acontecerá caso não chova. Analisando a proposição inversa correspondente, vemos que se for verdadeiro que “não está chovendo” então pode ser verdadeiro ou falso a conclusão de que “não existem nuvens”. Não é difícil perceber que p q pode ser verdadeira, e sua inversa, ~p ~q, falsa.
Portanto, ambas podem ter valores lógicos diferentes, não sendo, assim, logicamente equivalentes.
Exemplo 1:
A proposição “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo” tem como inversa a proposição “Se hoje não é sábado, então amanhã não é domingo”.
Exemplo 2:
A proposição “Se me esforço, então venço” tem como inversa a proposi-ção “Se não me esforço, então não venço”.
Exemplo 3:
A proposição “Se sou carioca, então sou brasileiro” tem como inversa a proposição “Se não sou carioca, então não sou brasileiro”.
Observe, nesse último exemplo, que uma proposição condicional e sua correspondente inversa não são necessariamente equivalentes. Se uma pessoa não é carioca, ela pode ser ou não brasileira. No caso de uma pessoa ser carioca, ela será necessariamente brasileira.
Proposição contrapositiva
A proposição contrapositiva de p q é a proposição da forma ~q ~p.
Proposição: Se
está chovendo
p
, então existem nuvens
q
.
Contrapositiva: Se
não existem nuvens
~q
, então não está chovendo
~p
.
A proposição original afirma que se “está chovendo”, então “existem nuvens”. Assim, se for verdadeiro que “não existem nuvens”, também será verdadeiro que “não está chovendo”, pois a chuva somente ocorre com a presença de nuvens.
Podemos, portanto, observar que se p q for verdadeira, a contraposi-tiva correspondente, ~q ~p, será verdadeira e, se p q for falsa, ~q ~p também será falsa.
Em outras palavras, podemos dizer que “estar chovendo” é condição sufi-ciente para “existir nuvens”, e “não existir nuvens” também é condição suficien-te para “não estar chovendo”.
A conclusão é a de que ambas as proposições são sempre logicamente equivalentes. Portanto, uma proposição condicional e sua correspondente contrapositiva são logicamente equivalentes.
53 A tabela-verdade a seguir relaciona todos os valores lógicos possíveis de cada uma delas.
proposição recíproca inversa contrapositiva
p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p V V F F V V V V V F F V F V V F F V V F V F F V F F V V V V V V Logicamente Equivalentes
Resumindo, dada uma proposição condicional qualquer, sua recípro-ca não é logirecípro-camente equivalente; sua inversa também não é logirecípro-camente equivalente, mas sua contrapositiva é sempre logicamente equivalente:
(p q) ≡ (~q ~p) Exemplo 1:
A proposição “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo” é equivalente à sua correspondente proposição condicional “Se amanhã não é domingo, então hoje não é sábado”.
Exemplo 2:
A proposição “Se me esforço, então venço” é equivalente à sua correspon-dente proposição condicional “Se não venci, então não me esforcei”.
Exemplo 3:
A proposição “Se sou carioca, então sou brasileiro” é equivalente à sua correspondente proposição condicional “Se não sou brasileiro, então não sou carioca”.
Implicação material
Além da proposição contrapositiva, ~q ~p, a proposição condicional
p q possui outra proposição equivalente, porém, não condicional. A
pro-posição ~p q, chamada de implicação material, é equivalente à propro-posição condicional p q. Para comprovar essa equivalência, vamos construir as cor-respondentes tabelas-verdade.
Equivalentes p q ~p p q ~p q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V
As duas últimas colunas são idênticas. Dessa forma, as proposições ~p q e p q são logicamente equivalentes, ou seja:
p q ≡ ~p q Exemplo:
Sejam as proposições p: Ana é arquiteta e q: Bruno é barbeiro, e as propo-sições compostas:
Proposição condicional:
p q: Se Ana é arquiteta, então Bruno é barbeiro.
Contrapositiva:
~q ~p: Se Bruno não é barbeiro, então Ana não é arquiteta. Implicação material:
~p q: Ana não é arquiteta ou Bruno é barbeiro.
Observação:
A negação da proposição ~p q é dada por ~(~p q) ≡ p ~q.
Como a proposição condicional p q é equivalente a ~p q, temos que a negação de ~p q também é a negação de p q .
Observe a tabela-verdade: p q ~p ~q p q ~p ∨ q p ~q V V F F V V F V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V F
55 Dessa forma, a negação da proposição p q é a proposição p ~q, ou seja:
~(p q) ≡ p ~q
Exemplo:
Proposição condicional:
p q: Se Ana é arquiteta, então Bruno é barbeiro.
Negação:
p ~q: Ana é arquiteta e Bruno não é barbeiro.
Proposições bicondicionais
As proposições bicondicionais são formadas a partir de proposições con-dicionais. Assim, quando ocorrer simultaneamente as proposições “se p, então q” e “se q, então p”, dizemos que também ocorre a proposição bicondi-cional “p se, e somente se, q” e a representamos por p q .
Para exemplificar, considere as seguintes proposições:
Condicional:
p q: Se Carla é curitibana
p
, então Carla nasceu em Curitiba
q
. Recíproca:
q p: Se Carla nasceu em Curitiba q
, então Carla é curitibana
p
.
Fazendo a conjunção das proposições anteriores, obtemos a proposição bicondicional:
Carla é curitibana
p
se, e somente se, Carla nasceu em Curitiba
q
.
A expressão “se, e somente se” nos dá a garantia de que se for verdadeiro que “Carla é curitibana”, então será verdadeiro que “Carla nasceu em Curiti-ba”. Da mesma forma, se for falso que “Carla é curitibana”, então será também falso que “Carla nasceu em Curitiba”.
Podemos, portanto, definir uma proposição bicondicional (p q) como sendo uma conjunção ( ) entre a proposição condicional associada (p q) e sua correspondente recíproca (q p).
Em símbolos, a relação é a seguinte:
conjunção
Condicional recíproca bicondicional(p q) (q p) ≡ (p q)
Existem outras maneiras equivalentes para utilizar uma proposição bi-condicional. Observe:
p se, e somente se, q
:
Carla é curitibana se, e somente se, nasceu em Curitiba.
p equivale a q:
Carla ser curitibana equivale a nascer em Curitiba.
p é condição necessária e suficiente para q:
Carla ser curitibana é necessário e suficiente para nascer em Curitiba.
Como podemos obter o valor lógico de uma proposição bicondicional
p q?
Para compreendermos o valor lógico de uma proposição bicondicional, vamos, inicialmente, recordar o valor lógico de uma condicional.
A proposição p q tem valor F apenas quando p tem valor V e q tem valor F. Da mesma forma, q p tem valor F apenas quando q tem valor V e p tem valor F.
Portanto, p q terá valor lógico V, se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. Caso p e q tenham valores diferentes – uma V e outra F – o valor lógico de p q será F.
Resumindo, podemos construir a seguinte tabela-verdade da proposição bicondicional: p q p → q q → p p ↔ q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Condicionais Bicondicional
57 Os valores lógicos da última coluna da tabela foram obtidos fazendo uma conjunção ( ) entre os valores da terceira e da quarta colunas, pois (p q) (q p) ≡ (p q).
Observe ainda que esses valores da última coluna podem também ser obtidos através dos valores lógicos da primeira e segunda colunas. Nesse caso, quando p e q têm valores iguais, a bicondicional tem valor V, e quando
p e q têm valores diferentes, a bicondicional tem valor F.
Exemplo 1:
Considere as seguintes proposições: p: x é divisível por 3
q: y é múltiplo de 5
Vamos representar cada uma das proposições abaixo utilizando as propo-sições p ou q, e os símbolos: ~, ou .
Se x é divisível por 3, então y é múltiplo de 5.
p q
Se y é múltiplo de 5, então x é divisível por 3.
q p
Se x não é divisível por 3, então y não é múltiplo de 5.
~p ~q
Se y não é múltiplo de 5, então x não é divisível por 3.
~q ~p
x é divisível por 3 se, e somente se, y é múltiplo de 5.
p q
x não é divisível por 3 se, e somente se, y não é múltiplo de 5. ~p ~q Exemplo 2: Sejam as proposições: p: 10 é múltiplo de 4. q: 10 é par.
Observe que a proposição p é falsa e a proposição q é verdadeira. Vamos escrever as seguintes proposições em linguagem usual e determinar o cor-respondente valor lógico resultante.
p
q:
Se 10 é múltiplo de 4, então 10 é par. q
p:
Se 10 é par, então 10 é múltiplo de 4. ~p
~q:
Se 10 não é múltiplo de 4, então 10 não é par. ~q
~p:
Se 10 não é par, então 10 não é múltiplo de 4. p
q:
10 é múltiplo de 4 se, e somente se, 10 é par.
p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p p q
F V V F V F F V F
Exemplo 3:
Nesse exemplo, mostraremos que as proposições ~(p q) e (p ~q) são logicamente equivalentes por meio da tabela-verdade:
p q ~q p ~ q p q ~(p q)
V V F F V F
V F V V F V
F V F F V F
F F V F V F
Observe na tabela-verdade que as colunas referentes às proposições ~(p q) e (p ~q) são idênticas. Isso mostra que são logicamente equi-valentes.
Esse exemplo ilustra o fato de que a negação de uma proposição condicio-nal da forma p → q é obtida fazendo uma conjunção entre a proposição p e a negação da proposição q. Em outras palavras, a negação de p q é p ~q.
59 Assim, a negação da proposição “Se trabalho, então venço” é “Trabalho e não venço”.
Exemplo 4:
Considere as proposições: p: João é casado q: João dança tango
Utilizando as proposições p ou q, e os símbolos , ou ~, represente sim-bolicamente as proposições que a seguir estão escritas em linguagem natural.
Se João é casado, então dança tango.
p q
Se João não dança tango, então é casado.
~q p
João é casado se, e somente se, dança tango.
p q
Se João dança tango, então João é casado.
q p
Se João não dança tango, então não é casado.
~q ~p
João dançar tango é condição necessária para ser casado.
p → q
João ser casado é condição suficiente para dançar tango.
p → q
João não dançar tango equivale a João não ser casado.
~p ↔ ~q Exemplo 5:
p: O Brasil é um país sul-americano. q: O Japão fica na Oceania.
r: A cidade do Rio de Janeiro nunca foi capital do país.
Os valores lógicos das proposições anteriores são V, F e F, respectivamen-te. Vamos determinar o valor lógico de cada uma das proposições compos-tas a seguir:
p
q
A proposição p q tem valor F, pois p tem valor V e q tem valor F. ~q
r
A proposição ~q r tem valor F, pois ~q tem valor V e r tem valor F. p
r
A proposição p r tem valor F, pois p tem valor V e r tem valor F. ~q
~r
A proposição ~q ~r tem valor V, pois ~q tem valor V e ~r tem valor V. ~p
(~r q)
Observe que ~r tem valor V, q tem valor F e, portanto, a condicional (~r q) tem valor F. Como ~p tem valor F, conclui–se que a proposição ~p (~r q) tem valor F.
(p
~r) q
Observe que p tem valor V, ~r tem valor V e, assim, a conjunção (p ~r) tem valor V. Como q tem valor F, conclui-se que a proposição (p ~r) q tem valor F.
Conjuntos
É possível relacionar as proposições condicionais e conjuntos. Isso pode ser feito naturalmente pela associação de conceitos matemáticos com concei-tos lógicos. Para uma melhor compreensão, atente para alguns conceiconcei-tos.
61
Elementos de conjuntos
Os deputados federais são eleitos para representar os interesses da socie-dade brasileira no Congresso Nacional, em Brasília.
Univ ersidade F eder al de M inas G er ais .
Os deputados federais são elementos do conjunto de políticos do Congresso Nacional.
Se considerássemos o conjunto de todos os políticos que trabalham no Congresso Nacional, cada deputado federal e cada senador seria um elemen-to desse conjunelemen-to. Esse conjunelemen-to poderia ser representado de várias manei-ras. Sendo C o conjunto dos políticos que trabalham no Congresso Nacional, observe algumas dessas maneiras:
C = {x / x é político do Congresso Nacional} C = {políticos do Congresso Nacional}
Deputado Federal 1 Deputado Federal 2 Deputado Federal n Senador 1 Senador 2 Senador m
A associação entre um elemento e um conjunto é chamada de relação de pertinência:
Dizemos que um elemento x pertence a um conjunto A, e representamos por
x ∈ A, quando x é um dos elementos que constituem o conjunto A. Caso
contrá-rio, quando não constitui, dizemos que x não pertence a A, ou seja, x A.
Exemplo 1:
Para o conjunto A = {2; 5; 7}, podemos escrever: 2 A, 5 A, 7 A e 3 A. Exemplo 2:
Para o conjunto B = { ; ; }, temos: B, ♦ B, B, mas B. Exemplo 3:
O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação é formado pelos valores da variável que tornam a igualdade verdadeira. Por exemplo, qual é o conjunto solução da equação x2 – 5x + 6 = 0?
O conjunto solução S pode ser assim definido: S = {x/ x2 – 5x + 6 = 0}
A resolução pode ser efetuada pela fórmula de Bháskara (1114-1185):
x
2– 5x + 6 = 0 ⇒ x =
– (– 5) ± (–5)2 – 4 . 1 . 62.1
⇒ x =
5 ± 1
2
⇒ x = 2 ou x = 3
Logo, o conjunto solução S da equação é S = {2, 3}:S
2 3
Diagrama
Os números 2 e 3, chamados de raízes, são os únicos números que tornam verdadeira a equação ao se substituir a variável x por 2 ou por 3, separadamente:
x =
2 22 – 5 . 2 + 6 = 0 0 = 0 (igualdade verdadeira)
x =
63 Observação:
Apesar de existir várias maneiras de se representar um conjunto, o mais importante, entretanto, não é a representação utilizada, mas, sim, que não haja dúvida sobre quais são os elementos componentes.
Subconjuntos
Assim como elementos podem estar associados a conjuntos utilizando os símbolos correspondentes a pertence ( ) e não pertence ( ), dois conjuntos podem estar também relacionados por meio dos símbolos (está contido) ou (não está contido). Como exemplo, considere:
C: políticos do Congresso Nacional B: políticos brasileiros
Então, podemos escrever: C B
Nesse caso, o conjunto C é subconjunto do conjunto B:
Nesta representação C está contido no B C
B
Dizer que o conjunto dos políticos do Congresso Nacional está contido no conjunto dos políticos do Brasil é o mesmo que afirmar:
Todo político do Congresso Nacional é um político do Brasil.
Podemos também dizer que o conjunto B contém o conjunto C, ou seja,
B C.
Pode ocorrer que nem todos os elementos de um conjunto (ou nenhum) pertençam ao outro conjunto. Para ilustrar, considere os seguintes conjuntos:
A: pessoas que trabalham no Congresso Nacional B: políticos do Brasil
Existem pessoas que trabalham no Congresso Nacional e não são políti-cos. Nesse caso, dizemos que A não está contido em B ou que o conjunto B não contém o conjunto A. Em símbolos, a representação é A B.
Nesta representação o conjunto A não está contido em B A B Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 5} e C = {0; 1; 2; 3}, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A, mas nem todos os elementos de
C pertencem ao conjunto A. A ilustração indica que o conjunto B é
subcon-junto de A e o consubcon-junto C não é subconsubcon-junto de A.
B A 0 1 3 2 4 5 C
Logo, podemos escrever: B A e C A.
Conjunto vazio
Um conjunto qualquer pode ter muitos elementos, até infinitos elemen-tos podem ocorrer. Por outro lado, um conjunto pode também não ter ele-mentos. Quando um conjunto não possui elemento algum é chamado de conjunto vazio.
Um conjunto vazio não possui elemento algum. Para representá-lo, existem duas maneiras: { } ou .
65 Observações:
Não é possível apresentar um elemento sequer do conjunto vazio que não pertença a um conjunto qualquer A. Por isso, admitimos sempre que:
A, qualquer que seja A.
Todos os elementos de um conjunto
A pertencem ao próprio conjunto
A, ou seja:
A A, para todo conjunto A.
Exemplo 1:
Dadas as afirmações a seguir, vamos classificá–las em verdadeiras (V) ou falsas (F):
( V ) Se A = {m, n, p, q}, então m ∈ A. ( V ) {2, 3} {2, 3, 4}
( V ) {0, 2, 4, 6, ...} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ( V ) Se A B e B C, então A C. ( V ) A, qualquer que seja A. ( V ) Se A B e B A, então A = B.
( V ) Se A = {x/ x > 0 e x é par}, então A = {2, 4, 6, 8, ...} Exemplo 2:
Quais possíveis conjuntos X satisfazem a relação {3, 4} X {2, 3, 4, 5}? Para satisfazer tal relação, X deve conter {3, 4} e, ao mesmo tempo, estar contido em {2, 3, 4, 5}. Assim, existem quatro conjuntos possíveis para X:
X = {2, 3} X = {2, 3, 4} X = {2, 3, 5} X = {2, 3, 4, 5}
Proposições condicionais e conjuntos
A Inglaterra é um dos países da Europa.
0 405 Km
Escala gráfica aproximada
IESDE Br
asil S.A. A
daptado
.
Fonte: Temática Cartografia.
Legenda:
Territórios pertencentes ao continente europeu Territórios pertencentes à outros continentes Reino Unido
Por esse motivo, podemos escrever: Todo inglês é europeu. E representar: Pessoa
inglesa → Pessoa europeia, ou seja: Se uma pessoa é inglesa, então é europeia.
Observação:
Em Lógica, quando utilizamos a proposição “p → q” (se p, então q), estamos relacionando dois conjuntos: P (formado pelos elementos que satisfazem a pro-priedade p) e Q (formado pelos elementos que satisfazem a propro-priedade q), de forma que todos os elementos de P sejam elementos de Q, ou seja, P ⊂ Q.
67 Exemplo 1: Considere as definições: p: Ana é inglesa q: Ana é europeia e as designações
P: conjunto dos ingleses Q: conjunto dos europeus
Relacionando as ideias, podemos escrever:
Se Ana é inglesa, então Ana é europeia (p q).
Logo, de forma equivalente, todo inglês é europeu (P Q). Para explorar mais detalhes relacionados à lógica, considere:
~p: Ana não é inglesa ~q: Ana não é europeia
O que você diria quanto às afirmações:
Se Ana é europeia, então Ana é inglesa (q p). Se Ana não é inglesa, ela não é europeia (~p ~q).
Quem é da Alemanha, por exemplo, não é da Inglaterra, mas é da Europa. Assim, uma pessoa europeia não é necessariamente inglesa. Do mesmo modo, uma pessoa não inglesa não é necessariamente não europeia.
Organizando as informações, podemos dizer que a proposição:
Pessoa inglesa Pessoa europeia
não é equivalente a qualquer uma das seguintes proposições:
Pessoa europeia Pessoa inglesa
Pessoa não inglesa Pessoa não europeia
Entretanto, a proposição:
é equivalente a:
Se Ana não é europeia, então Ana não é inglesa (~q ~p). Europeus
Ingleses
Ana Ana
Se Ana é inglesa, então é europeia.
Se Ana não é europeia, então não é inglesa.
Observe que essa relação é validada pelo seguinte fato: Proposição condicional:
Se Ana é inglesa, então é europeia. Proposição contrapositiva equivalente:
Se Ana não é europeia, então não é inglesa.
Exemplo 2:
Considere as definições:
p: Bruno é carioca
q: Bruno é brasileiro
e as designações:
P: conjunto dos cariocas
Q: conjunto dos brasileiros
Associando as proposições e os conjuntos, temos:
Se Bruno é carioca, então Bruno é brasileiro (p q).
De forma equivalente, todo carioca é brasileiro (P Q).
Observe no próximo exemplo que as relações entre as proposições e os conjuntos não precisam ser geográficas.
69 Exemplo 3: Considere as ações: p: Estudar q: Aprovação no concurso e as designações:
P: conjunto dos que estudam
Q: conjunto dos aprovados em concursos
Se a relação entre as proposições p e q se dá por uma proposição condi-cional, podemos escrever:
Se alguém estuda, então é aprovado no concurso (p q).
Da mesma forma:
Todos os que estudam são aprovados no concurso (P Q).
Exemplo 4:
Qual ilustração poderia ser construída se considerássemos como verda-deira a proposição:
Se dirige rápido, então está apressado (p q).
O conjunto das pessoas que dirigem rápido é subconjunto das pessoas apressadas:
Pessoas apressadas Pessoas que dirigem rápido
Todas as pessoas que dirigem rápido são apressadas.
Vale ainda ressaltar que, de acordo com a ilustração anterior, as pessoas que não dirigem rápido podem ou não ser apressadas.
Exemplo 5:
Considerando verdadeira a proposição:
Todas as plantas são verdes.
Por meio de diagramas, a ilustração adequada para relacionar os conjun-tos “plantas” e “verdes” é a seguinte:
Verdes
Plantas
Observe que as proposições a seguir não são necessariamente verdadeiras:
Todos os verdes são plantas.
Todas as não plantas são não verdes.
A proposição abaixo é necessariamente verdadeira, pois se “todas as plan-tas são verdes”, obrigatoriamente “algumas planplan-tas são verdes”.
Algumas plantas são verdes.
Também é necessariamente verdadeira a proposição abaixo:
Todos os não verdes são não plantas.
Para verificar, basta utilizar a proposição contrapositiva correspondente. Proposição condicional:
Plantas → Verdes
Proposição contrapositiva equivalente:
Não Verdes → Não Plantas
Isso pode ser verificado no diagrama anterior: os elementos que não per-tencem ao conjunto dos “Verdes” necessariamente não perper-tencem ao con-junto das ”Plantas”.
71 Exemplo 6:
Considere verdadeira a proposição:
Todos os advogados são honestos.
Uma ilustração que representa corretamente a relação entre os conjuntos ‘Advogados” e “Honestos” é a seguinte:
Honestos
Advogados
Se “Todos os advogados são honestos”, então:
Todos os honestos são advogados.
Todos os não advogados são não honestos.
as proposições não são necessariamente verdadeiras. A proposição:
Alguns advogados são honestos.
é necessariamente verdadeira, pois se “todas os advogados são hones-tos”, é verdade que “alguns advogados são honestos”.
A proposição abaixo também é necessariamente verdadeira.
Todos os não honestos são não advogados.
Observe:
Proposição condicional:
Advogados → Honestos
Proposição contrapositiva equivalente:
Ampliando seus conhecimentos
O próximo texto foi extraído do livro Lógica? É Lógico!
(MACHADO, 2000, p. 9) O filme O Enigma de Kaspar Hauser relata a história de um homem (Kaspar Hauser) que viveu isolado de outras pessoas desde criança até a idade adulta, quando aprendeu a falar.
Nesse filme, há uma cena em que um professor de Lógica, para investigar a inteligência de Kaspar Hauser, propõe o seguinte problema:
“Caminhando por certa estrada, você chega a um ponto em que há uma bifurcação: uma das vias conduz à aldeia A e a outra conduz à aldeia B.
No ponto de bifurcação, você encontra dois homens, cada um vindo de uma das aldeias onde vivem. Não se sabe qual deles vem da aldeia A ou da B. Sabe-se apenas que todos os habitantes da aldeia A mentem o tempo todo, enquanto todos os habitantes da B falam somente a verdade. Você deve iden-tificar a procedência de cada um dos homens, sendo-lhe permitido, para isso, fazer uma única pergunta a um só deles. Qual deve ser a pergunta?”
Kaspar Hauser respondeu:
“Eu perguntaria a qualquer um dos dois: ‘Você é uma pedra?’”
Explique como essa única pergunta feita a qualquer um dos homens possi-bilitou a identificação da origem de cada um deles.
Comentário do autor:
Cada um dos homens tem uma procedência diferente e, portanto, naturezas distintas em relação à falar ou não a verdade. A pergunta “você é uma pedra?” deve ser respondida com um “sim” por quem mente e “não”por quem fala a ver-dade. Logo, independentemente a quem é feita a pergunta, de acordo com a resposta, sempre será possível identificar se o homem fala a verdade ou mente. Além disso, o homem a quem não é feita a pergunta terá, necessariamente, na-tureza oposta do primeiro – a quem é feita a pergunta. Isso possibilitará identifi-car a origem de cada um deles.
73
Atividades de aplicação
1. Considere as proposições simples: p: 7 é um número ímpar.
q: Existem infinitos números inteiros. r: Todo europeu é francês.
De acordo com os valores lógicos de p, q e r, determine os valores lógi-cos das proposições compostas:
a) ( ) p → q b) ( ) ~q → r c) ( ) p → r d) ( ) q → ~r e) ( ) ~r → ~q f) ( ) p ↔ q g) ( ) ~q ↔ r h) ( ) (~p → r) ↔ (~q)
2. Considerando verdadeira a proposição “Se sou carioca, então sou bra-sileiro”, marque V ou F, conforme se possa concluir que cada uma das seguintes proposições é verdadeira ou falsa, respectivamente.
a) ( ) Ser carioca é suficiente para ser brasileiro. b) ( ) Ser brasileiro é necessário para ser carioca. c) ( ) Ser brasileiro é suficiente para ser carioca. d) ( ) Ser carioca é necessário para ser brasileiro. e) ( ) Sou carioca somente se sou brasileiro. f) ( ) Sou brasileiro somente se sou carioca.
3. Considerando como verdadeira a proposição “Se Almir é almirante, en-tão Bruno é biruta”, marque com um X as proposições que são necessa-riamente verdadeiras.
a) ( ) Se Bruno é biruta, então Almir é almirante.
b) ( ) Se Bruno não é biruta, então Almir não é almirante. c) ( ) Se Almir não é almirante, então Bruno não é biruta.
d) ( ) Almir ser almirante é condição suficiente para Bruno ser biruta. e) ( ) Almir ser almirante é condição necessária para Bruno ser biruta. f) ( ) Almir não ser almirante é condição suficiente para Bruno não ser
biruta.
g) ( ) Almir não ser almirante é condição necessária para Bruno não ser biruta.
h) ( ) Bruno ser biruta é condição suficiente para Almir ser almirante. i) ( ) Bruno ser biruta é condição necessária para Almir ser almirante. j) ( ) Bruno não ser biruta é condição suficiente para Almir não ser
almirante.
k) ( ) Bruno não ser biruta é condição necessária para Almir não ser almirante.
4. Dada a proposição condicional ”Se estudo, então passo”: a) Escreva uma proposição condicional equivalente. b) Escreva uma proposição não condicional equivalente. c) Escreva a negação da proposição dada.
5. Qual é a negação da proposição “Se você estudou Lógica então você acertará essa questão”?
6. Marque V ou F conforme a proposição seja verdadeira ou falsa, respecti-vamente.
a) ( ) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 3 é que ele seja positivo.
75 b) ( ) Uma condição suficiente para que um número seja maior do
que 1 é que ele seja positivo.
c) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo.
d) ( ) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente para que ele seja maior do que 2.
7. Num balneário é rigorosamente obedecida a seguinte ordem:
Se não chover, então todos os bares deverão ser abertos.
Nas proposições a seguir, marque V conforme se possa concluir corre-tamente que a proposição é verdadeira. Caso contrário, marque F. a) ( ) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu. b) ( ) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não
cho-veu.
c) ( ) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão aber-tos.
d) ( ) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos. e) ( ) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.
8. Por meio da tabela-verdade, mostre que a proposição “Se tenho di-nheiro, então viajo” é a negação da proposição “Tive dinheiro e não viajei”.
9. Cada um dos cartões abaixo têm de um lado um número e do outro uma letra.
U
Z
4
5
Considerando como verdadeira a afirmação “Todos os cartões que têm vogal numa face, têm número par na outra”, marque V ou F em cada uma das proposições a seguir, conforme a proposição seja verdadeira ou falsa, respectivamente. Para verificar se tal afirmação é verdadeira, a) ( ) é necessário virar todos os cartões.
b) ( ) é suficiente virar os dois primeiros cartões. c) ( ) é suficiente virar os dois últimos cartões. d) ( ) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) ( ) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.
10. A sentença “Estou feliz se, e somente se, meu time ganha” é verdadeira. Marque V caso se possa concluir que a sentença apresentada é neces-sariamente verdadeira. Caso contrário, marque F.
a) ( ) Estou feliz.
b) ( ) Meu time ganhou. c) ( ) Não estou feliz.
d) ( ) Meu time não ganhou.
e) ( ) Se estou feliz, então meu time ganhou. f) ( ) Se meu time ganhou, então estou feliz.
g) ( ) Se meu time não ganhou, então não estou feliz. h) ( ) Se não estou feliz, então meu time não ganhou. i) ( ) Se não estou feliz, então meu time ganhou. j) ( ) Se estou feliz, então meu time não ganhou. k) ( ) Se meu time ganhou, então não estou feliz. l) ( ) Se meu não time ganhou, então estou feliz.
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Referências
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ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2003. 203 p.
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CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1986. 158 p.
DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003. 102 p.
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_____. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a
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MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.
NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes, 1997. 174 p.
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TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p.
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Gabarito
1. a) ( V ) b) ( V ) c) ( F ) d) ( V ) e) ( F ) f) ( V ) g) ( V ) h) ( F ) 2. a) ( V ) b) ( V ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) f) ( F ) 3. a) ( ) b) ( X ) c) ( ) d) ( X ) e) ( ) f) ( ) g) ( X ) h) ( ) i) ( X ) j) ( X ) k) ( ) 4.a) Se não passei, então não estudei. b) Não estudo ou passo.
c) Estudei e não passei.
5. Você estudou lógica e não acertará essa questão. 6. a) ( V ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) 7. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F )
e) ( V )
8. Sejam as proposições p: tenho dinheiro e q: viajo. A proposição “Se tenho dinheiro, então viajo” tem a forma p q e a proposição “Tive dinheiro e não viajei” tem a forma p ~q. Assim, temos:
p q ~q p q p ~q
V V F V F
V F V F V
F V F V F
F F V V F
A tabela comprova que as proposições são contraditórias, ou seja, ~(p q) p ~q.
9. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V )
10. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F )
e) ( V ) f) ( V ) g) ( V ) h) ( V ) i) ( F ) j) ( F ) k) ( F ) l) ( F )
