AI-34D Instrumentação Industrial Física Mecânica dos Fluidos

AI-34D Instrumentação Industrial

Física

Mecânica dos Fluidos

Prof

_{Daniele Toniolo Dias F. Rosa}

danieletdias@utfpr.edu.br

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Sumário

• Dinâmica dos Fluidos

• Característica do Escoamento

• Linhas de corrente e equação da continuidade

dos fluidos

• Princípio de Bernoulli

• Aplicações

• Até agora, nosso estudo dos fluidos foi restrito a

fluidos em repouso (estática dos fluidos).

• Agora voltaremos a atenção para a dinâmica dos

fluidos, isto é, o estudo dos fluidos em movimento.

• Em vez de tentar estudar o movimento de cada

partícula do fluido em função do tempo,

descrevemos as propriedades do fluido como um

todo.

Característica do Escoamento

• O escoamento é dito constante ou laminar se cada

partícula do fluido seguir uma trajetória suave, de

modo que as trajetórias diferentes das partículas

nunca se cruzem.

• Assim no escoamento laminar, a velocidade do

fluido em qualquer ponto permanece constante no

tempo

• Acima de uma determinada velocidade crítica o escoamento do fluido torna-se turbulento.

• O escoamento turbulento é um escoamento irregular caracterizado por regiões de pequenos redemoinhos. • Por exemplo, o escoamento da água em um rio

torna-se turbulento nas regiões onde torna-se encontram rochas e outras obstruções, frequentemente formando

• O termo viscosidade geralmente é utilizado no

escoamento de fluidos para caracterizar o grau de atrito interno do fluido.

• Este atrito interno, ou força viscosa, está associado à resistência que duas camadas adjacentes do fluido opõem ao movimento relativo entre elas.

• Como a viscosidade representa uma força não

conservativa, parte da energia cinética de um fluido é convertida em energia interna quando camadas do fluido deslizam umas sobre as outras.

• Isso é similar ao mecanismo pelo qual um corpo que desliza em uma superfície horizontal áspera

experimenta uma transformação da energia cinética em energia interna.

• Devido a complexidade de um fluido real, consideraremos o comportamento de um fluido ideal e as seguintes

suposições:

• 1. Fluido não viscoso. O atrito interno é negligenciado. Um objeto que se move através do fluido não sofre força

viscosa.

• 2. Fluido incompressível. A densidade do fluido é considerada constante independente da pressão.

• 3. Escoamento laminar. Supomos que a velocidade do fluido em cada ponto permanece constante.

• 4. Escoamento irrotacional. No fluxo irrotacional, o fluido não tem momento angular em nenhum ponto. Se uma

pequena roda de pá colocada em qualquer lugar do fluido não girar sobre seu centro de massa da roda, então o fluxo é irrotacional.

• A trajetória percorrida por uma partícula de fluido em escoamento laminar é

chamada de linha de corrente.

• A velocidade da partícula é

sempre tangente à linha de corrente.

Linhas de corrente e a equação da

continuidade para fluidos

• Duas linhas de corrente não podem cruzar-se porque, se isso acontecesse, uma partícula poderia seguir uma ou outra trajetória no ponto de cruzamento e o

escoamento não seria laminar.

• Um conjunto de linhas de corrente, forma o que se chama tubo de corrente.

• As partículas não podem fluir para dentro ou para fora dos lados deste tubo, porque se isso acontecesse, as linhas de corrente se cruzariam.

• Considere um fluido ideal escoando através de um tubo de tamanho não uniforme como na Figura abaixo.

• As partículas no fluido movimentam-se ao longo das linhas de corrente no

escoamento laminar. Vamos

analisar a situação usando o modelo de sistema não

isolado em estado estacionário.

• Selecionamos em nosso sistema a região no tubo entre o ponto 1 e o ponto 2.

• Vamos supor que esta região está preenchida com fluido em todos os momentos.

• Imagine que o fluido se desloca uma distância x₁ no ponto 1 e uma distância no x₂ ponto 2, onde sai do sistema.

• O volume de fluido que entra no sistema no ponto 1 é A₁x₁ e o volume que sai no ponto 2 é A₂x₂.

• Como o volume de um fluido incompressível é uma grandeza conservada, esses dois volumes devem ser iguais para que o sistema esteja em estado laminar. • Se isso não fosse verdade, o volume de fluido no

• Vamos dividir a equação anterior pelo intervalo de tempo durante o qual o fluido se move:

• No limite em que o intervalo de tempo diminui para zero, a razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo é a velocidade instantânea do fluido, que podemos escrever como:

• Esta expressão, chamada equação da continuidade para fluidos, diz que o produto da área de secção reta pela velocidade do fluido em todos os pontos ao longo do tubo é uma constante.

• Consequentemente, a velocidade é elevada onde o tubo é estreito e baixa onde o tubo é largo.

• O produto Av, que tem as dimensões do volume

pelo tempo, é chamado de vazão volumétrica ou fluxo volumar

• É por isso que um bico ou seu polegar sobre a

mangueira de jardim permitem que você projete a água mais

longe. Reduzindo a área através

da qual a água flui, você aumenta sua velocidade. Assim você

projeta a água da mangueira com uma velocidade inicial elevada e um maior alcance.

• Multiplicando a equação da continuidade pela

densidade, temos a taxa de escoamento de massa ou vazão mássica:

• Quando um fluido se move através de uma região na qual muda sua velocidade ou elevação acima da

superfície da Terra, sua pressão varia em função dessas mudanças.

• Em 1738, o físico suíço Daniel Bernoulli derivou pela primeira vez uma expressão que relaciona a pressão à velocidade e à altura do fluido.

• Vamos desenvolver uma representação matemática do princípio de Bernoulli, que mostra explicitamente a

dependência da pressão em relação à velocidade e à altura.

• Considere o escoamento de um fluido ideal através de um tubo não uniforme em um tempo t, como na

Figura abaixo.

• O sistema escolhido é a secção do fluido que

inicialmente está entre os pontos 1 e 2 e a Terra.

• Está sendo realizado um trabalho sobre o nosso

sistema pelo fluido externo que está em contato com as duas extremidades do fluido no sistema e,

consequentemente, estão mudando a energia cinética e gravitacional do sistema.

• Assim a equação da continuidade para a energia para o sistema nesta situação é

• Vamos calcular cada um dos termos desta equação. (2)

• Observe que os elementos do fluido com

comprimentos x1 e x2 da Figura representam a única mudança entre a situação inicial e a final.

• O fluido contido entre esses elementos não sofre nenhuma mudança em sua energia cinética ou potencial gravitacional.

• A diferença na energia cinética é aquela entre o elemento no ponto 2 e do ponto 1:

(3)

Em que m é a massa que entra numa extremidade e deixa a outra em um tempo t

• A mudança na energia potencial do sistema fluido-Terra é aquela associada com o movimento do elemento do fluido situado no ponto 1 até o local no ponto 2:

• Finalmente calculamos o trabalho realizado na seção do fluido. O fluido à esquerda do ponto 1 realiza trabalho positivo sobre nossa seção porque aplica uma força no mesmo sentido que o deslocamento.

• O fluido à direita do elemento no ponto 2 realiza trabalho negativo porque os vetores da força e do

deslocamento estão em sentidos opostos. O trabalho resultante sobre o sistema é:

• Substituímos a força pelo produto da pressão e da área de seção transversal do tubo:

• Finalmente reconhecemos o produto da área de seção transversal e do deslocamento como o volume dos

elementos do fluido:

• Usamos agora as equações 3, 4 e 5, substituindo em 2: (5)

• Dividindo cada termo pelo volume V, lembrando que

=m/V:

• Rearranjando os termos:

• Esta é a equação de Bernoulli aplicada a um fluido ideal.

• A equação de Bernoulli é frequentemente é expressa como:

• A eq. de Bernoulli diz que a soma da pressão P, da energia cinética por unidade de volume e da energia potencial gravitacional por unidade de volume tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo de uma linha de corrente.

• Quando o fluido está em repouso, v₁=v₂=0 e a eq. (6) torna-se:

(7)

que concorda com a Eq. 5 da aula anterior

• ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL Como parte de um sistema de lubrificação para máquinas

pesadas, um óleo de densidade igual a 850 kg/m3 _é

bombeado através de um tubo cilíndrico de 8,0 cm de

diâmetro a uma taxa de 9,5 litros por segundo. (a) Qual é a velocidade do óleo? Qual é a vazão mássica? (b) Se o

diâmetro do tubo for reduzido a 4,0 cm, quais serão os novos valores para a velocidade e vazão volumétrica? Considere o óleo incompressível.

Aplicações

3 3

• SOLUÇÃO

• IDENTIFICAR: o dado fundamental é que o fluido é incompressível, então podemos usar a ideia da

equação da continuidade para relacionar a vazão mássica, a vazão volumétrica, a área do tubo de escoamento e a velocidade do escoamento.

• PREPARAR: usamos a definição da vazão volumétrica (Av=dV/dt), para encontrar a velocidade v₁ na seção de 8,0 cm de diâmetro. A vazão mássica é o produto da densidade e da vazão volumétrica. A equação da

continuidade para escoamento incompressível,

Equação (1), permite-nos encontrar a velocidade v₂ na

• EXECUTAR: (a) a vazão volumétrica dV/dt é igual ao

produto A₁v₁, onde A₁ é a área da seção reta do tubo de diâmetro de 8,0 cm e raio 4,0 cm. Assim,

• A vazão mássica é  dV/dt = (850 kg/m3_{)(9,5 x 10}-3 _m3_/s)

=8,1 kg/s.

• (b) Como o óleo é incompressível, a vazão volumétrica apresenta o mesmo valor em ambas as seções do tubo. Pela Equação (1),

• AVALIAR: a segunda seção do tubo tem a metade do

diâmetro e um quarto da área de seção reta da primeira. Logo, a velocidade deve ser quatro vezes maior na segunda seção, o que é exatamente o que o nosso resultado mostra (v₂ = 4v₁).

• PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA A água entra em uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 2,0 cm, com uma pressão absoluta igual a 4,0 x 105 _Pa

(cerca de 4 atm). Um tubo com diâmetro interno de 1,0 cm conduz ao banheiro do segundo andar a 5,0 m de altura. Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 1,5 m/s, ache a velocidade do escoamento, a

pressão e a vazão volumétrica no banheiro. • SOLUÇÃO

• IDENTIFICAR: estamos supondo que a água escoe a uma taxa constante. O tubo tem um diâmetro relativamente

grande, então é razoável desprezar o atrito interno. A água é bastante incompressível, portanto a equação de Bernoulli pode ser aplicada com uma boa aproximação.

• PREPARAR: os pontos 1 e 2 devem ser colocados no tubo de entrada e no banheiro, respectivamente. O problema fornece a velocidade v₁ e a pressão P₁ no tubo de entrada,

e os diâmetros do tubo nos pontos 1 e 2 (por

meio dos quais calculamos as áreas A₁ e A₂). Fazemos

Y₁ = 0 (na entrada) e

Y₂= 5,0 m (no banheiro). As duas primeiras

variáveis que precisamos encontrar são a

velocidade v₂ e a pressão P₂.

• Como temos mais de uma incógnita, usamos tanto a equação de Bernoulli quanto a equação da

continuidade para um fluido incompressível. Assim que encontrarmos v₂, podemos calcular a vazão volumétrica v₂A₂ no ponto 2.

• EXECUTAR: encontramos a velocidade v₂ no banheiro usando a equação da continuidade, Equação (1):

• Conhecemos P₁ e v₁ e podemos achar P₂ pela equação de Bemoulli:

• A vazão volumétrica é

• AVALIAR: esta é uma vazão volumétrica razoável para uma torneira de banheiro ou chuveiro. Note que,

quando a torneira está fechada, tanto v₁ quanto v₂ são zero, o termo 1/2(v₂2_-v

12) se anula e a pressão P2 sobe

• VELOCIDADE DE EFLUXO A Figura mostra um tanque de

armazenamento de gasolina com uma seção reta de área A₁ cheio até uma altura h. O espaço entre a gasolina e a parte superior do recipiente

está a uma pressão P_o, e a

gasolina flui para fora através de um pequeno tubo de

área A₂. Deduza expressões

para a velocidade de

escoamento no tubo e para a vazão volumétrica.

• SOLUÇÃO

• IDENTIFICAR: podemos considerar o volume inteiro do líquido que flui como um único tubo de escoamento com atrito interno desprezível. Podemos, portanto, aplicar o princípio de Bemoulli.

• PREPARAR: os pontos 1 e 2 na Figura estão na superfície da gasolina e no tubo de saída,

respectivamente. No ponto 1, a pressão é P_o, e no

ponto 2 é a pressão atmosférica, P_atm. _{Fazemos Y = 0 no}

tubo de saída, de modo que Y₁= h e Y₂= 0. Como A₁ é

muito maior do que A₂, a superfície superior da

gasolina escoará muito lentamente, e podemos encarar

v₁ praticamente igual a zero. Encontramos a variável

• EXECUTAR: aplicamos a equação de Bemoulli aos pontos 1 e 2:

• Usando v1=0 obtemos:

• AVALIAR: a velocidade v₂, algumas vezes chamada de

velocidade de efluxo, depende da altura do nível h do líquido

no tanque e da diferença de pressão (P_o - P_atm). Se o tanque

estivesse aberto para a atmosfera em sua parte superior, não existiria excesso de pressão: P_o= P_atm e P_o - P_atm = 0. Nesse

caso,

• ou seja, a velocidade de efluxo de uma abertura situada a uma distância h abaixo da superfície superior do líquido é a

mesma velocidade que teria um corpo caindo livremente de

uma altura h.

• Esse resultado é conhecido como teorema de Torricelli. Ele vale também para uma abertura lateral na parede do

recipiente situada uma distância h abaixo da superfície superior do líquido. Nesse caso, a vazão volumétrica é

• o MEDIDOR DE VENTURI A Figura mostra um medidor

de Venturi, usado para medir a velocidade de

escoamento em um tubo. A parte estreita do tubo

denomina-se garganta. Deduza uma expressão para a velocidade de escoamento v₁ em termos das áreas das

seções retas A₁ e A₂ e da diferença de altura h entre os

níveis dos líquidos nos dois tubos

• SOLUÇÃO

• IDENTIFICAR: o escoamento é estacionário, e supomos que o fluido seja incompressível e que seu atrito

interno seja desprezível. Podemos, portanto, aplicar a equação de Bernoulli.

• PREPARAR: aplicamos a equação de Bernoulli à parte larga do tubo (ponto 1) e à parte estreita (ponto 2). A diferença de altura entre os dois tubos verticais nos dá a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.

• EXECUTAR: os dois pontos estão na mesma coordenada vertical y₁ = y₂), então aplicamos a Equação (6):

• Pela equação da continuidade, v₂ = (A₁/A₂)v₁,

Substituindo esse valor na equação e reagrupando, obtemos

• Conforme o que vimos na aula anterior, a diferença de

pressão P₁ - P₂ é também igual a gh, onde h é a diferença de altura entre os níveis dos líquidos nos dois tubos.

Combinando esse resultado com a equação anterior e explicitando v₁ obtemos

• AVALIAR: como A

é maior do que A

, v

é maior do

que v

e a pressão P

na garganta é menor do que

P

. Uma força resultante orientada da esquerda

para a direita acelera o fluido quando ele entra na

garganta, e uma força resultante orientada da

direita para a esquerda freia o fluido depois que ele

sai.

• Bibliografia:

1. TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para

cientistas e engenheiros. Rio de Janerio: LTC, vol 1.

2. SERWAY, Raymond A., JR JEWETT John W.

Princípios de física. São Paulo: Thomson, vol 2.

4. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl.

Fundamentos de física. Rio de Janeiro, RJ: LTC, vol 2.

5. CHAVES, Alaor. Física Básica: Gravitação, Fluidos,

Ondas, Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC.