Física do Calor - 23ª Aula. Prof. Alvaro Vannucci

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Física do Calor - 23ª Aula

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• Na última aula vimos exemplos de como efetuar a

Permutação de um conjunto de n elementos envolvendo p

situações (p estados) possíveis.

• Por exemplo, como saber de quantas maneiras se pode

permutar 5 pessoas P1, P2, P3, P4, P5 (n = 5 elementos

indistinguíveis) em uma fila indiana com 5 lugares (p = 5)? • Obtivemos: P_5,5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = n! = 120 maneiras

• E no exemplo em que se determinou o número de anagramas que poderia ser formado com a palavra MADEIRA (possui

5 elementos distinguíveis e 2 indistinguíveis)?

• Se fosse desconsiderado o fato que há 2 elementos indistin-guíveis, o número total de anagramas seria: 7 · 6 · 5! = 5040 ;

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• Isto porque, para se levar em conta a existência das duas letras A, indistinguiveis, temos 7 posições disponíveis para a primeira e 6 posições disponíveis para a segunda: 7 · 6

• Porém, o total de possibilidades não pode ser dado por

7 · 6 · 5! por conta das 2 letras A que, sendo indistinguíveis,

foram contadas duas vezes nas posições que acabam formando o mesmo anagrama (2ª - 5ª e 5ª - 2ª posições, por ex.)

• Então, uma divisão por 2 (2!) se fez necessária, resultando: • As outras 5 letras distintas (elementos distinguíveis) são permutadas entre as 5 posições restantes: 5!

anagramas da palavra MADEIRA;

onde 7 · 6 · 5! = 7!

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• Supor agora 6 bolas de bilhar - numeradas de 1 a 6 - que queremos colocar nas 6 caçapas de uma mesa de bilhar. De quantas maneiras podemos fazer isto?

• Pelo que já vimos, teremos 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6!

• Agora, o que mudaria se tirássemos a bola de número 6 da mesa e a substituíssemos por uma outra bola número 5?

• Como as 2 bolas (no 5) são agora indistinguíveis, caimos no exemplo já discutido, e uma divisão por 2! se faz necessária!

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• E se tirássemos também a bola de número 4 da mesa e a

substituíssemos por uma outra bola número 5? Teríamos agora

3 elementos distinguíveis e 3 elementos indistinguíveis.

• Observe que as 3 bolas indistinguíveis (todas de número 5) resulta em 3! = 3 · 2 · 1 situações idênticas, que devem ser diminuídas do número total, supondo todas distinguíveis.

• Ou seja, teríamos 6!/3! possibilidades (resultados finais distintos). De forma mais geral, podemos escrever:

• Ou seja, teremos possibilidades

! 2 ! 6 2 ! 6 ! 4 2 5 6 _ _ _ ! ! , p n

C_n _p  ; onde n é o número total de elementos e

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• Finalmente, supor que na mesa de bilhar se tenha 6 bolas número 5, e 4 bolas número 2.

• Neste caso, a combinação resulta:

• Este tipo de aplicação, que envolve a combinação de objetos indistinguíveis separados em dois grupos (p e n-p), nos será particularmente útil no campo da Mecânica Estatística.

• Isto porque será aplicado nas situações em que temos um certo número n de objetos indistinguíveis (partículas) que desejaremos alocar de uma certa maneira (em p estados disponíveis).

• De forma que a expressão geral

das possíveis Combinações será:

!

(

)!

!

,

p

n

p

n

C

_pn _n _p





 ! 4 ! 6 ! 10  6!(10 6)! ! 10  

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Ex.: Dez acidentados de um ônibus chegam em um hospital e é preciso escolher 5 para ocupar os leitos (os outros ficariam em macas, no corredor do hospital). De quantas formas

poderíamos escolher 5 pessoas para ficarem nos leitos?

• Veja que o problema trata-se de escolher as combinações onde n = 10 (número de ‘elementos disponíveis’) e p = 5

(número de ‘elementos a serem escolhidos’). • Aplicando a expressão anterior:

)!

5

10 (

!

5 !

10

10 5





C

)

!

5 (

2

3

4

5 !

5

6

7

8

9

10 





120 30240



252

)! ( ! ! p n p n C_pn  

• Há, então, 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão ocupar os 5 leitos.

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Outro ex.: Supor que em uma empresa 15 funcionários se inscreveram para o time de futebol da casa, dizendo que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é possível escolher os 11 jogadores do time?

• Sendo n = 15 e p =11:

• Notação: muitas vezes encontramos

)!

11

15 (

!

11 !

15

15 11





C

2

3

4 !

11 !

11

12

13

14

15 





24 32760



1365

































p

n

p

n

p

n

p

n

)!

(

!

)! ( ! ! p n p n Cn_p  

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Cálculo de PROBABILIDADE

• Sabemos que lançando uma moeda para o alto, a probabi-lidade de dar ‘cara’ ou ‘coroa’ é de 50% (ou

½

= 0,5).

• Tendo lançado a moeda 3 vêzes consecutivamente, e nas três vezes saiu “cara”, qual é a probabilidade de, no lançamento

seguinte, sair novamente cara?

• São questões diferentes! Resps:

_½

e

½

· ½

= 1/16

• “Reformulando” a pergunta: vou lançar uma moeda 4 vêzes, consecutivamente. Qual é a probabilidade de sair ‘cara’ em todos os lançamentos?

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• Ou seja, quando dizemos que a probabilidade é

½

(50%)

isso não significa que, a cada 2 lançamentos, um vai ser ‘cara’

e o outro vai ser ‘coroa’. O fato da probabilidade ser

½

(ou

50%) quer dizer apenas que as chances são iguais e que, se fizermos muitos lançamentos, é provável que, aproximada-mente, metade deles dê ‘cara’, e a outra metade ‘coroa’.

• De forma geral, o cálculo da probabilidade de ocorrer um resultado (ou um conjunto de resultados) que satisfaça uma

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Ex.: No lançamento de um dado, qual a probabilidade do resultado ser um número par?

• Para que o resultado seja par devemos ter uma das possibi-lidades:

• Ou seja, 3 resultados favoráveis (2, 4, 6) de um total de 6

resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). As chances de dar um

resultado par são 3 num total de 6. Então, podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer é 3/6 = 1/2 .

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• Utilizando a expressão anterior:

1ª) Se p indicar a probabilidade de um dado evento

ocorrer

, entao q = 1- p indicará a probabilidade dele

não ocorrer

, de forma que p + q = 1 (normalização).

2ª) O cálculo de probabilidade que evento A

ou

evento B

(independentes) ocorram, é dado por: P = P(A)

+

P(B)

• Considerações importantes:

3ª) O cálculo de probabilidade que evento A

e

evento B

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Ex. Uma empresa tem 30 funcionários, sendo que 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Qual a

probabilidade de um desses empregados, escolhido ao acaso,

ser canhoto e vá de ônibus para o trabalho?

Ex. Uma caixa contém 10 bolas sendo que 3 são azuis e 3 são vermelhas. Qual é a probabilidade de se tirar uma bola azul ou

vermelha em uma tentativa?

• As bolas com estas cores são 3+3 (=6) em 10. Desta forma, a probabilidade de se tirar uma delas será 6/10 = 3/5 , ou 60%

• Calculando: P = P(A)

_·

P(B) = 10/30

·

25/30 = 5/18 = 27,8%

• Ou então: P(A) = 3/10 e P(B) = 3/10. Portanto, para tirar uma OU outra: P = 3/10

+

3/10 = 60%.

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Probabilidade Binomial

• Um Experimento Estatístico possui 3 aspectos em comum:

• Uma distribuição binomial descreve adequadamente

Experimentos Estatísticos que possuem as seguintes

características:

• Possui mais de um resultado (‘cara’ ou ‘coroa’, por ex.).

• Cada resultado possível pode ser especificado com antecedência (‘cara’ ou ‘coroa’).

• Cada resultado possui uma probabilidade específica dele

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• Pergunta: qual é a diferença entre lançarmos uma moeda ao ar 10 vezes repetidamente e lançarmos 10 moedas idênticas (indistinguíveis) simultaneamente?

• O experimento é realizado em n repetidas tentativas. • Cada tentativa realizada fornece um de apenas dois

resultados possíveis - que estaremos designando por sucesso (p) ou fracasso (q = 1- p).

• A probabilidade de sucesso (p) mantém-se a mesma durante todo o experimento.

• Cada nova tentativa é independente das tentativas realizadas anteriormente.

• Discutiremos posteriormente o conceito de ensemble, mas quanto a esta questão:

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Supor uma moeda sendo lançada 5 vezes seguidas, de forma independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O

X O X O

X O

1

(17)

Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma

independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?

X O X O

X O

1 1

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X O X O

X O

1 1 1

(19)

X O X O

X O

1 1 1 1

(20)

X O X O

X O

1 1 1 1 1

(21)

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1

(22)

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1

(23)

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1 1

(24)

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1 1 1

(25)

X O X O

X O

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 possiveis sucessos P 32 10 

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Em termos de uma tabela:

• A expressão usualmente utilizada para cálculos de

probabilidade como este é a da Probabilidade Binomial , ou

Distribuição Binomial, dada por:

XXXOO XXOXO XXOOX XOXXO XOXOX

• Que corresponde à probabilidade (P) de se obter sucesso (p)

k

vezes em

n

tentativas.

XOOXX OXXXO OXXOX OXOXX OOXXX

k n k k n

p

q

k

n

k

n

P





)!

(

!

,

(27)

• No ex. da moeda cair ‘cara’ 3 vêzes em 5 lançamentos,

tem-se:

n = 5

;

k = 3

;

p =

½

e

q = 1 -

½

=

½

; e portanto:

• Ex. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 jogos (g,p,e) .

3 5 3 3 , 5 2 1 2 1 )! 3 5 ( ! 3 ! 5                P                 4 1 8 1 ! 2 ! 3 ! 3 4 5

16

5 

• Agora temos:

n = 6

;

k = 4

;

p = 1/3

e

q = 1 -

1/3

= 2/3 :

4 6 4 4 , 6 3 2 3 1 )! 4 6 ( ! 4 ! 6                P





























9

4

81

1

2 !

4 !

4

5

6

243

20 

%

3 ,

31 ; ou

%

2 ,

8 ou

k n k k n p q k n k n P    )! ( ! ! ,

(28)

• Note que neste problema temos n=5 ; k=(0,1,2,3,4,5) ; p=0,3

Utilizando Tabelas e Gráficos

• Calculando para k = 0 :

• Um lote de peças automotivas foi produzido pela fábrica com

30% delas defeituosas. Escolhendo aleatoriamente 5 peças para teste: a) quais as probabilidades de se retirar(em) 0, 1, 2,

3, 4 e 5 peça(s) defeituosa(s)? b) construa um gráfico da

distribuição de probabilidade correspondente.

   

0 5 0 0 , 5 0,3 0,7 )! 0 5 ( ! 0 ! 5    P

 

₁ ₀_,₁₆₈



! 5 ! 5 



₀

_,

₁₆₈

• Igualmente: P_5,1= 0,360, P_5,2 = 0,309, P_5,3 = 0,132, P_5,4 = 0,028, e P_5,5= 0,002 k n k k n p q k n k n P    )! ( ! ! ,

(29)

b) Construindo o gráfico correspondente:

0 1 2 3 4 5

Peças Defeituosas (em 5 tentativas)

• Você esperava esta assimetria no formato? E se a probabilidade fosse

½

= 0,5

?