Matemática 2
Pedro Paulo
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1 – ÁREA DO TRIÂNGULO
Neste capítulo, estamos encerrando o nosso estudo de Geometria Plana que, como o nome diz, é sobre figuras planas. E uma grandeza muito importante relacionada a uma figura plana é o seguinte problema: como calcular a sua área?
Basicamente, existem dois tipos de figuras planas: polígonos e não-polígonos. Primeiro, vamos ver como calcular as áreas dos polígonos. E como sempre fazemos em Geometria Plana, vamos começar pelos triângulos, pois eles são os polígonos mais simples, e sempre é possível dividir um polígono em triângulos.
1.1 – Fórmula clássica
A maneira mais famosa de calcular a área de um triângulo envolve a sua base e a sua altura, como está ilustrado na figura abaixo:
Figura 1 – fórmula clássica da área do triângulo Nesse caso, a área do triângulo é:
Essa fórmula pode ser bastante simples, mas a partir dela podemos deduzir outras fórmulas para os triângulos. Veja os casos a seguir:
1.2 – Triângulo retângulo
Nesse caso, podemos escolher um cateto como base, e o outro será a altura, como está ilustrado na figura abaixo:
Figura 2 –base e altura em um triângulo retângulo
1.3 – Fórmula trigonométrica
Usando a formula clássica e um pouco de trigonometria, também podemos calcular a área de um triângulo a partir de dois de seus lados e do ângulo entre eles. Veja a figura abaixo:
Figura 3 – fórmula trigonométrica da área do triângulo No triângulo retângulo , temos que:
Além disso, da fórmula clássica, temos que:
Vale ressaltar: o ângulo é o ângulo entre os
lados e !
1.4 – Triângulo equilátero
A partir da fórmula trigonométrica, podemos deduzir a fórmula da área de um triângulo equilátero, que está ilustrado na figura abaixo:
Figura 4 – fórmula da área do triângulo equilátero
Na figura, o ângulo entre dois lados iguais a sempre é . Então, tem-se:
1.5 – Fórmula em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita
A partir da fórmula trigonométrica e da Lei dos senos, é possível calcular a área de um triângulo em função dos seus lados , e e do raio da circunferência circunscrita, como está ilustrado na figura abaixo.
Figura 5 – fórmula da área do triângulo em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita
Da fórmula trigonométrica da área, tem-se: ̂
Da lei dos senos, tem-se que:
̂ ̂ Substituindo ̂ em , tem-se:
1.6 – Fórmula em função dos lados e do raio
da circunferência inscrita
A partir da fórmula clássica e da idéia de incentro, é possível calcular a área de um triângulo em função dos seus lados , e e do raio da circunferência inscrita. Lembre-se que a circunferência inscrita é tangente aos lados , e do triângulo, portanto o raio é perpendicular a cada um desses lados. Se é o incentro, o triângulo pode ser dividido nos triângulos , e , como está ilustrado na figura a seguir.
Figura 6 – fórmula da área do triângulo em função dos lados e do raio da circunferência inscrita
Da fórmula clássica da área, tem-se:
Em um triângulo, dizemos que o seu perímetro é a soma dos seus lados e o seu semiperímetro é a metade da soma dos lados. Então, tem-se:
Logo, pode-se escrever a área em função do semiperímetro e do raio da circunferência inscrita :
1.7 – Fórmula de Heron
Uma característica bem interesseante da fórmula de Heron é que ela permite calcular a área de um triângulo sabendo apenas os seus lados , e (não é necessário conhecer nenhum raio)
Figura 7 – fórmula clássica de Heron
Lembrando que é o semiperímetro do triângulo, a fórmula de Heron afirma que:
CASD Vestibulares Geometria 3
2 – ÁREA DO QUADRILÁTERO
Continuando a sequência de áreas de polígonos, vale a pena recordar as áreas dos quadriláteros notáveis (trapézio, paralelogramo, losango, retângulo, quadrado)
2.1 – Área do trapézio
Se um trapézio possui base maior , base menor e altura , como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será:
Figura 8 – área do trapézio
2.2 – Área do paralelogramo
Sejam e os lados de um paralelogramo, a sua altura e um dos seus ângulos, como está ilustrado na figura abaixo. Notando que o paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes, tem-se:
Figura 9 – área do paralelogramo ou
ou
2.3 – Área do losango
Sejam a diagonal maior e a diagonal menor de um losango, como está ilustrado na figura abaixo. Notando que o losango pode ser dividido em dois triângulos congruentes de base e altura , tem-se:
Figura 10 – área do losango
2.4 – Área do retângulo
Se um retângulo possui base e altura , como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será:
Figura 11 – área do retângulo
2.5 – Área do quadrado
Se um quadrado possui lado , como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será:
Figura 12 – área do quadrado
3 – ÁREA DO HEXÁGONO REGULAR
Para encerrar a sequência de áreas dos polígonos mais comuns, deve-se recordar a fórmula da área do hexágono regular de lado . Notando que o hexágono pode ser dividido em seis triângulos equláteros de lado , conforme está ilustrado na figura abaixo, tem-se:
Figura 13 – área do hexágono regular
√
Exercício Resolvido 1:
No triângulo da figura, a mediana , relativa ao lado , é perpendicular ao lado . Sabe-se também que e . Se é a medida do ângulo ̂ , determine:
Figura 14: figura do exercício resolvido 1 a) .
b) o comprimento .
c) a altura do triângulo relativa ao lado
d) a área do triângulo .
Resolução:
a) é mediana No triângulo retângulo , tem-se:
̂
Resposta: O valor de é
b)
No triângulo retângulo , tem-se: ̂
√
√ Aplicando a lei dos cossenos no triângulo :
√ √ √ √
Resposta: O valor de é √
c) A altura relativa ao lado deve passar por . Prolongando o lado , tem-se:
Figura 15: figura 14 com o lado prolongado No triângulo retângulo maior, tem-se:
d) O ângulo ̂ é externo ao triângulo :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Usando a fórmula trigonométrica da área:
̂
√
√
CASD Vestibulares Geometria 5
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UFMG - 13) Um quadrado tem área igual à área de quadrados de área unitária de , mais a área de um quadrado .
Considerando essas informações, responda às questões abaixo em seus contextos.
a) Suponha que e que a área do quadrado é de . CALCULE a medida do lado do quadrado .
b) Suponha que o lado do quadrado mede e que . CALCULE a medida do lado do quadrado .
2. (ENEM - 11) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 01: por Terreno 02: por Terreno 03: por Terreno 04: por Terreno 05: por
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
a) b) c) d) e) 3. (ENEM - 13) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com unidades e, na caixa, é especificada a área máxima que pode ser coberta pelas placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta não fosse alterada.
A quantidade , de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:
a) b) c) d) e)
4. (UFMG - 10) Nesta figura plana, há um triângulo equilátero, , cujo lado mede , e um quadrado, , cujo lado também mede :
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a área do triângulo é
a) b) c) √ d) √
5. (FUVEST - 10) Na figura, os pontos , , pertencem à circunferência de centro e . A reta ⃡ é perpendicular ao segmento ̅̅̅̅ e o ângulo mede radianos. Então, a área do triângulo vale:
a) b) c) d) e) 6. (ENEM - 12) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento no comprimento e na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é .
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
a) b) c) d) e)
7. (UFRGS - 13) Na figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e possuem catetos com medidas e
A área da região sombreada é
a) b) c) d) e)
8. (UFRGS - 13) Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo.
Se a medida do lado do quadrado é , então a área do triângulo mede
a) √ b) √ c) √ d) ( √ ) e) ( √ )
9. (UNIFESP - 08) Na figura, os triângulos e são isósceles. O triângulo é retângulo, com o ângulo reto, e , , estão alinhados.
a) Dê a medida do ângulo em graus.
b) Se , obtenha a área do triângulo em função de .
10. (FUVEST - 07) Na figura a seguir, os segmentos
̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ são paralelos, o ângulo mede , e . Sabendo ainda que a área do triângulo vale √ .
a) calcule a área do triângulo . b) determine e .
11. (UNESP - 07) A figura representa um triângulo retângulo de vértices , e , onde o segmento de reta é paralelo ao lado do triângulo.
Se , e , a área do trapézio , em , é
a) b) c) d) e) 12. (ENEM - 09) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular , com
, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice , para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual é lado do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
CASD Vestibulares Geometria 7 13. (FUVEST - 13) O mapa de uma região utiliza a
escala de A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ são segmentos de reta, o ponto está no segmento ̅̅̅̅ o ponto está no segmento ̅̅̅̅, é um retângulo e é um trapézio. Se , , , e √ indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é
a) b) c) d) e)
14. (ENEM - 12) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome (gramas por hora) de gás propano e cobre de área, ou modelo B, que consome de gás propano e cobre de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do
tipo B.
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do
tipo B.
15. (ENEM - 10) A loja Telas & Molduras cobra reais por metro quadrado de tela, reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para quadros retangulares ( ). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para quadros retangulares ( ).
O valor da segunda encomenda será
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
16. (ENEM - 09) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura . Neste caso, a vazão da água é de . O cálculo da vazão em , envolve o produto da área do setor transversal (por onde passa a água), em , pela velocidade da água no local, , em , ou seja, .
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura , para evitar a ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
a) b) c) d) e)
Nível II
17. (UERJ - 14) Considere uma placa retangular de acrílico, cuja diagonal mede . Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções e , de modo que e conforme ilustrado a seguir:
Após isso, o estudante descartou a parte triangular restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que √ a área, em do triângulo equivale a:
a) b) c) d) 18. (ENEM - 08) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
Se o lado do hexágono mostrado na figura 2 mede então a área da figura 3, que representa uma "casinha", é igual a
a) b) c) d) e)
19. (UNIFESP - 09) O hexágono cujo interior aparece destacado em cinza na figura é regular e origina-se da sobreposição de dois triângulos equiláteros.
Se é a área do hexágono, a soma das áreas desses dois triângulos é igual a:
a) b) c) d) e) 20. (FUVEST - 14) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) b) c) d) e)
CASD Vestibulares Geometria 9 21. (UNESP - 10) A figura representa uma chapa de
alumínio de formato triangular de massa gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta paralela ao lado ̅̅̅̅ e, que intercepta o lado ̅̅̅̅ em e o lado ̅̅̅̅ em , de modo que o trapézio tenha gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de ̅̅̅̅ por ̅̅̅̅. Dado: √
a) b) c) d) e) 22. (UFMG - 11) Considere esta figura:
Nessa figura,
• o triângulo é equilátero, de lado ; • o triângulo é equilátero, de lado ; • os pontos , e estão alinhados; e
• o segmento intersecta o segmento no ponto ; Com base nessas informações,
a) determine o comprimento do segmento ; b) determine o comprimento do segmento ; c) determine a área do triângulo sombreado 23. (UNICAMP - 13) Os lados do triângulo da figura abaixo têm as seguintes medidas:
̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ .
a) Sobre o lado marca-se um ponto tal que ̅̅̅̅ e traça-se o segmento paralelo ao lado . Ache a razão entre a altura do triângulo relativa ao lado e a altura do triângulo relativa ao lado , sem explicitar os valores de e .
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo em relação ao lado .
24. (FUVEST - 13)
Percorre-se o paralelogramo em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por , , e , de modo que os novos segmentos sejam, então, ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅ e ̅̅̅̅̅. Dado que e que a distância de à reta determinada por e é , calcule a área do
a) paralelogramo ; b) triângulo ’; c) quadrilátero .
25. (FUVEST - 12) O segmento ̅̅̅̅ é lado de um hexágono regular de área √ . O ponto pertence à mediatriz de ̅̅̅̅ de tal modo que a área do triângulo vale √ . Então, a distância de ao segmento ̅̅̅̅ é igual a
a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 26. (ENEM - 12) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo , conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos , , e são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos e medem da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa o , e outro para a parte mais clara (regiões e ), que custa o . De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) b) c) d) e)
27. (ENEM CANCELADO - 09) Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um grande número de pontos, denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera digital é especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os megapixels de que são constituídas as suas fotos. Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora é indicada pelo termo (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com , que corresponde a cerca de pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os pontos serão tão pequenos, que o olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um padrão contínuo.
Para se imprimir uma foto retangular de por , com resolução de pelo menos , qual é o valor aproximado de megapixels que a foto terá? a) megapixel. b) megapixels. c) megapixels. d) megapixels. e) megapixels.
28. (UNICAMP – 07 ADAPTADA) Analisamos, nesta questão, a colheita de uma plantação de cana-de-açúcar, cujo formato é fornecido na figura a seguir. Para colher a cana, pode-se recorrer a trabalhadores especializados ou a máquinas. Cada trabalhador é capaz de colher por dia, enquanto uma colhedeira mecânica colhe, por dia, uma área correspondente a .
a) Se a cana precisa ser colhida em dias, quantos trabalhadores são necessários para a colheita, supondo que não haja máquinas?
b) Suponha, agora, que a colheita da parte mais clara do desenho só possa ser feita manualmente, e que o resto da cana seja colhido por quatro colhedeiras mecânicas. Neste caso, quantos trabalhadores são necessários para que a colheita das duas partes tenha a mesma duração? Em seus cálculos, desconsidere os trabalhadores que operam as máquinas.
29. (ENEM CANCELADO - 09) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na figura como cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura.
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura da faixa é a) b) c) √ d) √ e) √
30. (UNIFESP - 07) Dois triângulos congruentes e , de ângulos , e , estão colocados como mostra a figura, com as hipotenusas coincidentes.
Se , a área comum aos dois triângulos, em centímetros quadrados, é igual a
CASD Vestibulares Geometria 11 31. (FUVEST - 09)
O triangulo da figura ao lado é equilátero de lado . Os pontos , e pertencem, respectivamente, aos lados , e do triângulo. Além disso, os ângulos ̂ e ̂ são retos e a medida do segmento é . Assim, determine:
a) A área do triangulo em função de .
b) O valor de para o qual o angulo também é reto.
32. (FUVEST - 08) No retângulo da figura tem-se ℓ e ℓ. Além disso, o ponto pertence à diagonal , o ponto pertence ao lado e é perpendicular a . Sabendo que a área do retângulo é cinco vezes a área do triângulo , então mede
a) ℓ√ b) ℓ√ c) ℓ√ d) ℓ√ e) ℓ√ 33. (UNIFESP - 08) Na figura, o ângulo é reto, é ponto médio de , é perpendicular a ,
e .
A área do quadrilátero , em centímetros quadrados, é
a) b) c) d) e)
34. (FUVEST - 07) A figura representa um retângulo , com e . O ponto está no segmento de maneira que , e é o ponto de interseção da diagonal com o segmento .
Então a área do triângulo vale
a) b) c) d) e)
35. (UNICAMP – 09 - Adaptada) A figura mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo de papel com arestas iguais a e . As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas correspondem à parte superior e à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a seguir.
Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do retângulo de papel usado para confeccionar um sapo cuja parte superior tem área igual a ?
36. (FUVEST - 08) No triângulo , tem-se que , e ̂ . Sabendo-se que o ponto pertence ao segmento ̅̅̅̅ e é tal que e , calcule
a) a altura do triângulo relativa ao lado ̅̅̅̅. b) a área do triângulo .
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Se é o lado do quadrado e é o lado do quadrado , note que
2. Se as dimensões do retângulo são e , a sua área é e o seu perímetro é . Então:
3. Inicialmente, a área de cada placa é . Assim, a área máxima que pode ser coberta pelas placas é . Após triplicar as medidas dos lados, a nova área de cada placa é . A área coberta pelas novas placas é . Como a área coberta pelas novas placas continua sendo , tem-se:
4. Note que ̂ e que ̂ , logo ̂ ̂ ̂ . Use a fórmula trigonométrica para calcular a área do triângulo 5. Como a reta ⃡ é perpendicular ao segmento ̅̅̅̅, o triângulo é isósceles, logo . E como o ângulo é um ângulo central, o arco ̂ também vale . Assim, como ̂ é um ângulo inscrito, ̂ ̂ . Use a fórmula trigonométrica para calcular a área do triângulo 6. A área original do forro é e a área final do forro é . Logo a área perdida do forro é
7. Note que a figura sombreada é um quadrado com lado
8. Seja o raio dos círculos. Note que a distância entre os centros dos círculos é , e também é a diagonal do quadrado. Aplicando Pitágoras, se o lado do quadrado é , a diagonal do quadrado é √ . Logo, como , a diagonal é √ . Logo:
√ √
√ A área do triângulo é:
( √ )( √ ) √ 9. No item a), como o triângulo é retângulo isósceles, tem-se que ̂ , logo tem-se que ̂ . E como o triângulo é isósceles, tem-se que ̂ ̂ . Além disso, ̂ ̂ ̂ . Então, tem-se:
̂ ̂ ̂ . No item b), note que (pois o triângulo é isósceles) e o ângulo ̂ vale Use a fórmula trigonométrica para calcular a área do triângulo
10. No item a), use a fórmula trigonométrica para calcular a área do triângulo . No item b), note que os triângulos e são semelhantes e lembre-se que a razão entre as áreas dos triângulos e é o quadrado da razão de semelhança.
11. Note que . Além disso, os triângulos e são semelhantes, logo
Use a fórmula de trapézio para calcular a área
12. Seja . Então e , logo a área do terreno é e a área do quadrado é , o que representa do terreno. A área limite da residência é
13. Note que . Use Pitágoras no triângulo e veja que √ . Portanto, √ √ √ . Por , trace uma perpendicular ao segmento , que corta em . Note que é a altura do trapézio. Além disso, como os triângulos e são semelhantes, tem-se: √ √ Note que , e
que , logo a área
total é . Como a escala é , equivale a , logo equivale a .
14. Note que a área da região é , a área da região é , a área da região é e a área da região é . Logo o modelo A deve ser instalado nas regiões e e o modelo B deve ser instalado nas regiões e
15. A primeira encomenda corresponde a de tela e de moldura, logo o valor dela é reais. A segunda encomenda corresponde a de tela e de mol-dura, logo o valor dela é reais. 16. A área inicial é e a área final é . A vazão inicial é e a vazão inicial é . Como a velocidade da água não se altera tem-se que
CASD Vestibulares Geometria 13 17. Usando trigonometria no triângulo retângulo :
̂ ̂ √ √ ̂ , logo o triângulo é isósceles. Assim, tem-se:
O triângulo tem base e altura . Logo:
18. Na figura 2, note que o lado do quadrado menor é . Na figura 1, note que o lado do quadrado menor é um quarto da diagonal do quadrado maior. Logo essa diagonal vale . E se é o lado do quadrado maior, tem-se que essa diagonal é √ , logo √ . Assim, a área total da figura 1 é ( √ ) . Note que a área da “casinha” na figura 3 é a mesma área do quadrado maior na figura 1, pois são usadas as mesmas peças.
19. Note que o hexágono regular destacado em cinza pode ser dividido em triângulos equiláteros menores. Além disso, note que cada triângulo equilátero maior pode ser dividido em triângulos equiláteros menores.. Assim, a soma das áreas desses dois triângulos é a área de triângulos equiláteros menores, o que equivale ao triplo da área do hexágono.
20. Seja um desses hexágonos, e seja o seu lado. Note que a distância entre os lados paralelos e é a medida da diagonal . Como o hexágono é regular, o seu ângulo interno vale , logo ̂ . Note que . Então, usando a lei dos cossenos no triângulo , tem-se que √ . Como , tem-se:
√ √ √
√ A área de cada hexágono é:
√ √
( √ ) √ Assim, a área da piscina é √ √ , o que é aproximadamente
21. Note que a massa do triângulo é
. Além
disso, como a espessura e a densidade do material da chapa são uniformes, a massa de uma região é diretamente proporcional à sua área. Logo:
( ) ( ) √
22. No item a), note que ̂ é ângulo externo ao triângulo , logo ̂ . Além disso, e . Use a lei dos cossenos no triângulo para calcular . No item b), note que é paralelo a , logo os triângulos e são semelhantes. E como : No item c), note que ̂ ̂ ̂ e que . Use a fórmula trigonométrica para calcular a área do triângulo 23. No item a), como é paralelo a , logo os triângulos e são semelhantes, logo:
No item b), trace por uma perpendicular a que corta a reta ⃡ em . Logo . Seja . Então . Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo :
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo :
Igualando em e em , tem-se: ( )
24. No item a), note que o paralelogramo tem base e altura . No item b), note que o triângulo tem base e altura igual ao dobro da altura do paralelogramo. No item c), note que os triângulos , e possuem base igual a um dos lados do paralelogramo e altura igual ao dobro da altura correspondente do paralelogramo. Assim, a área de cada um dos triângulos , e é igual à area do paralelogramo . Finalmente, note que o quadrilátero pode ser dividido no paralelogramo e nos quatro triângulos.
25. Como a área do hexágono é √ , tem-se que a medida do segmento ̅̅̅̅ é √ . Seja a distância de ao segmento ̅̅̅̅. Então, se a base do triângulo é ̅̅̅̅, a sua altura é . Logo, tem-se:
√ √
26. Note que cada um dos triângulos claros , , e possui base igual a e altura igual a , assim a área clara é
e a área sombreada é
27. Como a resolução é de , há pontos por centímetro. Como as dimensões da foto são por , a foto possui pontos em uma dimensão e pontos na outra dimensão, o que resulta em um total de pixels.
28. No item a), note que a plantação de cana pode ser dividida em um trapézio de área , um retângulo de área e um trapézio de área . Logo a área total da plantação é . Para olher a cana em dias, a área colhida em um dia deve ser No item b), note que a área que será ocupada pelos trabalhadores é , logo a área que será ocupada pelas colhedeiras mecânicas é . Em um dia, cada colhedeira colhe , logo as máquinas colhem . Assim, elas levam dias para fazer a colheita. Em um dia, um trabalhador colhe , logo ele levaria dias para colher a sua área. Assim, para fazer a colheita da área hachurada em dias, são necessários trabalhadores.
29. A área do filho é e a área total é . Como a área da reserva é da área total, a área do filho é da área total. Então:
√
√
30. Seja o ponto em que e se cortam. Então ̂ ̂ , logo o triângulo é isósceles e . Seja . Além disso, note que
̂ ̂ ̂ . Usando a lei dos cossenos no triângulo :
( ) A área comum aos dois triângulos é a área do triângulo , que é
√ √ √ 31. No item a), note que ̂ . Logo:
√
√ Note que a área do triângulo é No item b), note que ̂ ̂
̂ ̂ . Além disso, note que ̂ , assim tem-se que ̂ e o triângulo é equilátero. Além disso, ̂ ̂ ̂ .
Se também é reto, o triângulo é retângulo:
√ √
No triângulo retângulo , tem-se:
√ √
O triângulo é equilátero, logo :
CASD Vestibulares Geometria 15 32. No triângulo , sejam ̂ e ̂ . No
triângulo , note que ̂ ̂ . Então os triângulos e são semelhantes. Semelhança entre os triângulos e :
: é oposto aos lados (no ) e ℓ (no );
: é oposto aos lados (no ) e ℓ (no ). Então, tem-se:
A área do retângulo é
Como a área do retângulo é cinco vezes a área do triângulo , a área do triângulo é No entanto, a área do triângulo é
√ √ Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo :
33
.
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo :é ponto médio de , logo No triângulo , sejam ̂ e ̂ . No triângulo , note que ̂ ̂ . Logo os triângulos e são semelhantes.
Semelhança entre os triângulos e :
: é oposto aos lados (no ) e (no );
: é oposto aos lados (no ) e (no ). Então, tem-se: A área do triângulo é e a área do triângulo é . Logo, a área do quadrilátero é:
34. Trace por uma vertical que corta em e em . Note que ̂ ̂ e que ̂ ̂ (alternos internos), logo os triângulos e são semelhantes. Então, tem-se:
Trace por uma horizontal que corta em
é paralelo a , logo os triângulos e são semelhantes. Então, tem-se:
Note que a área do triângulo é
35. Note que a parte superior do sapo é formada por um retângulo de dimensões e (cuja área é e um triângulo de base e altura (cuja área é , logo a área da parte superior do sapo é :
Além disso, como a área da parte superior do sapo é , tem-se:
36. A figura do problema é a seguinte:
No item a), trace uma perpendicular a por que corta em . Então a altura relativa a é . Usando a relação fundamental da trigonometria, note que ̂ √ . Além disso, no triângulo retângulo , note que
̂
√
√
No item b), use a lei dos cossenos no triângulo e calcule . Como , . Calcule a partir de e a partir de . Note que o triângulo possui base e altura : use a fórmula clássica
