Capítulo 2. Funções complexas Introdução

Capítulo 2

Funções

complexas

2.1. Introdução

Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão geométrica dos seus efeitos e para a compreensão de como podem estender funções reais. O exemplo mais importante considerado nesta secção é a exponencial complexa, em associação natural com funções logaritmo que são inversas da exponencial em conjuntos onde esta é uma função injectiva.

Consideram-se também outras funções complexas definidas a partir da exponencial, como é o caso de funções trigonométricas, hiperbólicas, potências e exponenciais de base e expoente complexos.

Para o leitor que lidou com estas funções exclusivamente no âmbito dos números reais pode parecer surpreendente que as funções trigonométricas possam ser obtidas das funções exponenciais, dado o comportamento muito diferente destas funções no caso real e o facto de terem originado em contextos claramente distintos. L. Euler foi o primeiro a referir a relação entre funções trigonométricas e a função exponencial, numa carta a Johann Bernoulli1 _{em 1740 em que escreveu a fórmula . Na verdade,} a exponencial complexa, além do caracter de crescimento geométrico da exponencial real, contém o comportamento oscilatório exibido pelas funções trigonométricas reais seno e coseno. É mais um exemplo do poder unificador e simplificador da análise complexa que encontraremos em muitas outras situações.

θ θ θ _=ei _+e−i cos

2

O capítulo termina com as noções de limite e continuidade de funções complexas.

1 Johann Bernoulli (1667-1748).

2.2. Representação geométrica de funções complexas

As funções complexas são funções com valores complexos e definidas num conjunto de números complexos, f :S →ℂ, com S⊂ℂ. Para z =(x+iy)∈S, x,y∈

∈ ) , y

x

ℝ,

a função pode-se escrever na forma , com ℝ.

Chama-se às funções ) y u(x,y),v , ( ) u iv x y i = ( yx, )+ (x f + ( v

u , respectivamente, a parte real e a parte imaginária da função , e escreve-se . , ) , ( vu f f =

De forma análoga ao que se convencionou para funções reais, quando a função é dada por uma expressão sem indicação do domínio, considera-se que o domínio é o máximo subconjunto S ⊂ℂ para o qual a expressão dá valores complexos.

Para visualizar o efeito de funções complexas podem-se usar métodos semelhantes aos adoptados para funções reais de variáveis reais, nomeadamente: imagens de curvas no domínio, gráficos (das partes reais e imaginárias, ou das funções módulo e argumento), conjuntos de nível (das partes reais e imaginárias).

(2.1) Exemplo: A função complexa definida no semiplano superior complexo

ℂ: . 2 ) (z z f = ∈ ={( yx, ) S y>0}

Um método de visualizar geometricamente uma função complexa é baseado na

representação das imagens de curvas que preenchem o plano complexo, de forma a

obter uma ideia geométrica de como a função deforma regiões do plano quando se passa do domínio para o contradomínio.

Figura 2.1: Transformação definida pela função _{f(z)= z}2

Para a função considerada neste exemplo é prático analisar o efeito da função, , em termos de coordenadas polares, com

) (z f w= z =r(cosθ,sinθ) e ) sin , (cosϕ ϕ ρ =

w . A relação entre e w z pode ser expressa pelas igualdades: _{ρ =r}2 e θ ϕ =2 2 0) (r = ρ

. Cada semicircunferência centrada na origem e de raio no semiplano superior complexo transforma-se no subconjunto da circunferência centrada na origem de raio

obtido retirando-lhe apenas o ponto no semieixo real positivo (Figura 2.1).

0

2.2. Representação geométrica de funções complexas 11

Cada semirecta do semiplano superior complexo com origem no ponto zero e consistindo nos pontos de argumento transforma-se na semirecta com origem no ponto zero e com argumento (Figura 2.1). Assim, o semiplano superior complexo transforma-se no plano complexo menos o semieixo real positivo.

0 θ

)

) y y)+ 0 2θ ϕ =

(

u(x,y), = y

A função pode ser representada em coordenadas cartesianas, com e . Obtém-se ) , ( yx z= , ( ) (z v x f w= = x u ,( iv(x,y)₌(x₊iy)2 ₌(x2 ₋ y2)₊i2xy .

Cada recta horizontal do semiplano superior complexo, , é transformada na curva de equações paramétricas u , . Eliminando o parâmetro

0 y y = 2 0 2 _{( y )} x − = v=2xy0 x , obtém-se

a equação da parábola u (Figura 2.2). Cada semirecta vertical do semiplano superior complexo com origem no eixo real , , é transformada no arco de parábola de equações paramétricas , , . Eliminando o parâmetro , obtém-se a equação da parábola , a qual é simétrica da parábola anteriormente obtida com (Figura 2.2).

2 0) ( y 0 (x u= u 0 x = 2 0 2 _{/( y2 )} v − 0 y 0 > y y x₀ 2 2 0) 2x , 0 = x x 2 y v= 2 2 _/( ) −v 2 ) − 0 (x = 0 > y

Figura 2.2: Transformação definida pela função _f(z)=z2

Uma outra forma de representar geometricamente uma função complexa é pelos

gráficos das partes real e imaginária da função.

f

No caso presente, estas são as funções reais u e v , com (Figura 2.3). 2 2 ) , (x y =x −y (x,y)=2xy 0 > y

Figura 2.3: Gráficos das partes real e imaginária da função definida no semiplano complexo superior por _f(z)=z2

Também se pode representar geometricamente uma função complexa pelos

conjuntos de nível das partes real e imaginária de . Isto corresponde a determinar os

conjuntos de pontos do domínio que são transformados em rectas verticais u e em rectas horizontais . f o u f = o v v=

No exemplo presente estes conjuntos são, respectivamente, o arco de hipérbole de equação cartesiana , com , e o arco de hipérbole , com . Trata-se de hipérboles equilatras que têm por assímptotas, respectivamente, as bissectrizes dos quadrantes definidos pelos eixos dos

0 2 2 _{y u} x − = y >0 xy=v₀/2 0 > y

xx e dos yy, e os próprios eixos

dos xx e dos yy _{(Figura 2.4).}

Figura 2.4: Curvas de nível das partes real e imaginária da função definida no semiplano complexo superior por _f(z)=z2

Um outra representação geométrica útil, a que se chama o relevo de , é o gráfico da função f | ) ( | ) ,

(x y α f x+iy . Juntamente com gráficos de um argumento de f ,

) (x iy f + arg ) ,

( yx α , obtêm-se representações geométricas completas da função .(como o argumento de um número complexo é determinado a menos de um múltiplo inteiro de

f

π

2 , para facilitar a visualização pode ser útil assegurar a continuidade do gráfico nos pontos onde tal seja possível pela utilização de valores apropriados do argumento em regiões diferentes do domínio, em vez de se optar por uma escolha predeterminada como, por exemplo, o argumento principal).

No caso presente, | f(reiθ)|₌r2 e _{arg f(re}iθ_)=2θ (ver Figura 2.5).

|f| arg f

Figura 2.5: Relevo e gráfico de um argumento de _f(z)=z2

A função considerada é uma bijecção do semiplano superior complexo para o conjunto obtido retirando ao plano complexo o semieixo real positivo e a origem. Contudo, se a função fosse tomada com domínio em todo o plano complexo, o contradomínio seria todo o plano complexo, mas cada ponto não nulo deste plano seria

2.2. Representação geométrica de funções complexas 13

imagem de dois pontos distintos, um no semiplano superior complexo unido com o semieixo real positivo e outro igual ao simétrico desse ponto em relação à origem e, portanto, na união do semiplano inferior complexo com o semieixo real negativo. Ou seja, os valores da função ℂ ℂ, com recobrem o plano complexo (com excepção da origem) duas vezes. Neste caso, a função não é injectiva e diz-se que a relação inversa é plurívoca e tem dois ramos contínuos máximos, um com contradomínio igual ao semiplano superior complexo unido com o semieixo real positivo e outro com contradomínio igual ao semiplano inferior complexo unido com o semieixo real negativo. Na verdade, a relação inversa deve, neste caso, dar as raízes quadradas de cada número considerado no plano complexo. Sabemos que cada número tem duas raízes quadradas complexas, as quais são simétricas em relação à origem do plano complexo.

:

f → _f(z)=z2

(2.2) Exemplo: A função complexa f(z)=1/(z−1).

O domínio desta função é ℂ . Com e

, obtém-se = S \{1} z =(x,y) w= f(z)=

)

(

u(x,y),v(x,y) y i − 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) , ( ) , ( y x x y i x y x v i y x u + − − = + − = + _.

O conjunto de pontos que são transformados numa circunferência de centro na origem e raio , cuja equação é u , é a curva de equação cartesiana

, a qual é a circunferência de centro em ( e raio 1 . O conjunto de pontos que são transformados na união das semirectas de declive com extremidade na origem das coordenadas, cuja equação cartesiana é

0 0 > r 2 2 ) + y 2 0 2 2 _{+v =(r )} 2 0) / 1 ( 1 (x− = r 1,0) /r₀ m mu v= ) 0 , 1 ( u } , com , é a curva de equação cartesiana , com , a qual é a união das semirectas de declive com origem no ponto (Figura 2.6). O conjunto de pontos do domínio que são transformados no eixo imaginário, , é a recta vertical de equação (Figura 2.4). O contradomínio de é ℂ .

) 0 , 0 ( ≠ ) , ( vu y=−m(x−1) m − ) , ( yx ) 0 , 1 ( \ ≠ 0 { 0 = 1 = x f

Figura 2.6: Transformação definida pela função f(z)=1/(z−1)

O relevo de é, neste caso, o gráfico da função f (x,y)α | f(x+iy)| 2 2 ) 1 ( / 1 x− + y

pode ser obtido notando que Arg Arg 1 Arg , (ver Figura 2.7). = + ) (x iy f /

(

(x−1)+iy

)

=− (x−1,y) ) 1 − n |f| Arg f

Figura 2.7: Relevo e argumento principal da função f(z)=1/(z

2.3. Funções polinomiais e funções racionais complexas

Chama-se função polinomial complexa a uma função da forma

n n n k k kz a a z a z a z P =

∑

= + + + = Κ 1 0 0 ) ( ,

com , onde os coeficientes são números complexos. Diz-se que é o grau da função polinomial. Podem também ser consideradas funções polinomiais complexas com coeficientes reais. Chama-se função racional complexa a uma função que pode ser expressa como quociente de duas funções polinomiais complexas.

0 ≠

n

a a_k

2.4. Exponencial complexa

Define-se a função exponencial complexa por (Figuras 2.8 e 2.9) ) sin (cosy i y e e ez ₌ x+iy ₌ x _{+ , para z=( yx, )∈ℂ.}

Note-se que a expressão no lado direito só envolve funções reais de variável real que podem ser definidas pelas séries reais de potências

∑

∞ = = 0 ! n n x n x e ,

∑

∞ = − = 0 2 )! 2 ( ) 1 ( cos n n n n x x ,

∑

∞ = + + − = 0 1 2 )! 1 2 ( ) 1 ( sin n n n n x x .

É fácil verificar que a exponencial complexa assim definida é uma extensão da exponencial real, visto que , e satisfaz as propriedades usuais das exponenciais, nomeadamente, e , , . Além disso,

, , para todo x x i x _{e i e} e +0 = _(cos0+ _sin0)= 1 0 _{= e}z+w _=ez ∈ w e _e−z _=1/ez 0 ≠ z e |ez|=eRez z ℂ, , para todo |_eiy |=1 _y∈ℝ, e _z Im é um argumento de . Também é fácil ver que a função transforma a recta real sobre a circunferência do plano complexo de centro na origem e raio 1, e que o contradomínio da exponencial complexa é ℂ . É ainda útil observar que se e só se

z e yα eiy } 0 { \ _ez _=ew π k i 2 w z− = , com k∈ℤ , e que _ez _=ez_.

2.5. Funções trigonométricas e funções hiperbólicas complexas 15

Analogamente a funções reais, diz-se que uma função complexa é periódica de período ℂ\{0}, ou que ℂ\{0} é um período de , se para todos os pontos

f )=

∈

w w∈ f f(z f(z+w)

z do domínio . Neste caso, todos os múltiplos inteiros positivos de , com ℕ, também são períodos de . Diz-se que é um período mínimo de se é um período de e não existe um seu submúltiplo inteiro que seja um período de . Ao contrário do que acontece para funções reais, uma função complexa pode ter mais de um período mínimo. f w f f kw k∈ f w f

As observações anteriores sobre a função exponencial complexa mostram que é periódica de período i2π e que este é o seu único período mínimo.

u(z) v(z)

Figura 2.8: Gráficos das partes real e imaginária da exponencial complexa

|e |zz Arg(e )z

Figura 2.9: Relevo e argumento da exponencial complexa

2.5. Funções trigonométricas e funções hiperbólicas complexas

É claro da definição de exponencial complexa que, para ℝ, se verifica e sin . As funções complexas coseno e

seno definem-se estendendo as correspondentes funções reais por expressões análogas, e a função complexa tangente define-se por (Figuras 2.10 a 2.12):

∈ y 2 / ) ( cosy= eiy +e−iy y=(eiy −e−iy)/(2i) (sin tanz = z)/(cosz) 2 cosz= eiz +e−iz , i e e z iz iz 2 − − = sin , _{iz iz} z i z i e e e e i z ₋− + − − = tan .

Como a exponencial é uma função periódica de período i2π, as funções coseno e seno são periódicas de período 2π . Na verdade, este é o único período mínimo destas funções. A tangente complexa é periódica de período π e este é o seu único período mínimo.

|cos z| Arg(cos z)

Figura 2.10: Relevo e argumento do coseno complexo

u(z) v(z)

Figura 2.11: Gráficos das partes real e imaginária do seno complexo

|tan z| Arg(tan z)

/

/

/

/

Figura 2.12: Relevo e argumento da tangente complexa

Analogamente, definem-se as funções complexas seno hiperbólico, coseno

hiperbólico e tangente hiperbólica como extensões das correspondentes funções reais (Figuras 2.13 a 2.15): 2 coshz= ez +e−z , 2 sinhz= ez −e−z , z z z z e e e e z − − + − = tanh .

2.6. Logaritmos complexos 17

É claro que , e . Portanto, as funções

complexas coseno hiperbólico e seno hiperbólico são periódicas de período

iz z cos

cosh = sinhz=−i siniz tanhz=−i taniz

π

2

i , a

tangente hiperbólica é periódica de período i e estes são os seus únicos períodos π

mínimos. Além disso, o coseno hiperbólico pode ser obtido por uma rotação de π /2 em torno da origem seguida da aplicação do coseno trigonométrico; o seno e a tangente hiperbólicos podem ser obtidos por uma rotação de π/2 em torno da origem seguida da aplicação da correspondente função trigonométrica e, depois, uma rotação de −π/2 em torno da origem, sendo esta última equivalente a trocar a parte real com a imaginária e, no final, mudar o sinal da parte imaginária. Estas observações são facilmente identificadas nos gráficos dados nas figuras para as funções envolvidas.

|cosh z| Arg(cosh z)

/

/

/

/

Figura 2.13: Relevo e argumento do coseno hiperbólico complexo

u(z) _v(z)

Figura 2.14: Gráficos das partes real e imaginária do seno hiperbólico complexo

|tanh z| Arg(tanh z)

/

/

/

/

2.6. Logaritmos complexos

Dado um número complexo em representação polar , uma vez que , define-se o seu logaritmo por

0 ≠ =_reiθ z θ θ r i i r_{e e} e z= ln = ln + θ i r z =ln + ln ,

onde lnr designa o logaritmo real de r (Figuras 2.16 e 2.17). Em particular, os números reais negativos têm logaritmos complexos, apesar de não terem logaritmos reais.

0

>

Como o argumento θ de cada pode ser escolhido num conjunto infinito de valores que diferem de múltiplos inteiros de

0

≠

z

π

2 , conclui-se que o logaritmo complexo pode ser escolhido entre infinitos valores que diferem de múltiplos inteiros de i2π. Para assegurar a unicidade de valor e a continuidade de lnz, pode-se restringir θ a um intervalo semiaberto I ⊂ℝ de largura 2π (corresponde a separar diferentes “ramos” do logaritmo com “cortes” ao longo de uma semirecta com origem no ponto zero). Cada uma destas escolhas conduz a um ramo contínuo do logaritmo2_{, lnz}=_lnr+_iθ_{, com}

I

∈

θ . Chama-se valor principal do logaritmo de z a , onde

designa o argumento principal de 0

θ i ln r z= + ln

]

−π,π

]

θ0∈ z. Os logaritmos complexos assim

definidos são extensões do logaritmo real e têm propriedades básicas semelhantes, como

, , (a menos de w ln + z ln )= zw ln( ln(z/w)=lnz−lnw _lnzn =nlnz _{i2kπ, com}

ℤ)3_{. Por convenção, o logaritmo de um número real positivo é sempre considerado} como o seu logaritmo real e, portanto, é definido univocamente, a menos que se diga o contrário.

∈

k

|ln z| _{Arg(ln z)}

Figura 2.16: Gráficos das partes real e imaginária do logaritmo complexo

2 É ainda possível obter outros ramos, por exemplo considerando “cortes” ao longo de linhas curvas ilimitadas com origem no ponto zero e sem auto-intersecções.

3 Pode haver situações em que haja números da forma ln que não sejam da forma , embora deles difiram de um múltiplo inteiro de i2π . Porém, o contrário não pode acontecer. Aplicam-se z ln+ w ln(zw) observações análogas às outras fórmulas dadas.

2.6. Logaritmos complexos 19

|ln z| Arg(ln z)

Figura 2.17: Relevo e valor principal do argumento do logaritmo complexo

2.7. Potências e exponenciais complexas de base complexa

Dados z∈ℂ , ℂ ℚ, define-se a potência complexa de base complexa e

expoente complexo por (Figura 2.18)

} 0 { \ w ∈ w \ z w w _e z z_{α =} ln _.

Se z é um número real positivo, então lnz é real e _{z tem um único valor. Caso} w

contrário lnz é um logaritmo complexo e, portanto, _{z pode ser definido através de uma} w

escolha em valores que diferem de factores de , com ℤ. Chama-se valor

principal da potência complexa à função que se obtém pela expressão acima tomando w kπ 2 i e k∈ w z zα z

ln igual ao valor principal do logaritmo de z. Quando z não é um número real positivo _{z tem um único valor possível se e só se é um número inteiro. Neste} w

caso,

w

w

z pode ser interpretado como uma potência inteira de z e coincide com o

correspondente valor da potência inteira como definida no capítulo 1. Se é um número racional que pode ser reduzido à forma , com

w

q /

p p∈ℤ e ℕ sem factores primos

comuns, então

∈

q w

z pode ser definido através de uma escolha entre q valores que

coincidem com as raízes de ordem q q de _{z e, portanto,} p _zw _=zp /q ₌q _zp _{, que}

também está definida para z=0 quando w= p/q>0.

As potências complexas satisfazem as propriedades _z−w _=1/zw, zw1zw2 =zw1+w2, mas (zw1)w2 =zw1w2ei2kπw2 e lnzw =wlnz+i2kπ , com k∈ℤ .

|f| Arg(f)

Figura 2.18: Relevo e argumento do valor principal da potência complexa4

i z zα 4 i ilnz i(ln|z| i z) z iln|z|, pelo que | e . e e e e z = = +Arg = −Arg i z e z|= −Arg Argzi =ln z| |

Dados z,w∈ℂ, com z≠0, define-se exponencial complexa de base z por (Figuras 2.19) z w w _e z w_{α =} ln _.

Aplicam-se observações semelhantes às feitas para a potência complexa de base complexa e, analogamente, chama-se valor principal da exponencial complexa de base

z à função que se obtém pela expressão acima com lnz igual ao valor principal do logaritmo de z.

|f| Arg(f)

Figura 2.19: Relevo e argumento do valor principal da exponencial complexa5 _{wα i}w

2.8. Funções trigonométricas inversas

Para definir inversas da função complexa coseno, por w arccos= z, com =

= w

z cos (_eiw_+e−iw)/2_{, nota-se que esta relação se pode escrever ( ,}

pelo que 0 1= iw e )2 ₋2_z(_eiw)₊ 1 2₋ ± =z z iw

e e arccos_z=w=−iln(_{z± z}2₋1)_{, ou, atendendo a que z± z}2₋₁

são números recíprocos (Figura 2.20),

(

1

)

ln

arccos _{z =±i z+ z}2 _{− .}

Dado que o logaritmo de um número complexo diferente de zero pode ser definido através de uma escolha num número infinito de valores que diferem de múltiplos inteiros de i2π, também arccos z pode ser definido através de uma escolha em infinitos valores que diferem de múltiplos inteiros de 2π . Os valores possíveis de arccos z também incluem os simétricos dos valores do logaritmo considerado (devido ao coseno ser uma

função par, isto é, cos( ) que, em geral, formam um conjunto diferente de pontos que diferem entre si de múltiplos inteiros de

) cos( )= z z − π 2

i (os dois conjuntos coincidem se e só se _{z+ z}2 ₋1 _{é um número real positivo).}

5 iw _ewlni _ewiπ/2, pelo que = = _|iw_|2_=ewiπ/2_e−wiπ/2_=eiπ(w−w)/2_{, |i}w _ei( /2)Imw _e |= π _iw₌ (_iw/|_iw|)_{= e}i(π/2)(w−(w−w)/2) Arg Arg Arg w ei w w w Re Arg ( /2)( )/2 ( /2) ) 2 / ) π π = = =Arg ei(π/2)(w−(w− + .

2.8. Funções trigonométricas inversas 21 |arccos z| Arg(arccos z) / / / /

Figura 2.20: Relevo e argumento de um ramo do _{arccos complexo} z

A inversão da função complexa seno pode-se obter facilmente observando que

) 2 / cos(

sinw= π −w , pelo que arcsinz =w=π/2−arccosz e

(

1

)

ln 2

arcsin _{z =}π _{µ i z+ z}2 _{− ,}

que também pode ser definido através de uma escolha em infinitos valores que diferem de múltiplos inteiros de 2π .

2.9. Limites e continuidade de funções complexas

Observou-se no capítulo anterior que as estruturas topológicas de _{ℂ e ℝ} coincidem. Assim, dada uma função _{ℂ, com ℂ, e um ponto}

ℂ, diz-se que o limite de em existe e é Z , escrevendo-se

0

, se

0 0

no sentido dos limites de funções em _ℝ2_{. Também se consideram limites infinitos e no infinito: se}

, se , se . 2 ) ∞ → S f : , ( vu f = ) , )( ,v x y lim )|| , ||( yx →∞ S z ∈ ⊂ S , (X = (z f = ∈ =( ₀, ₀) 0 x y z → ||( , lim ) , ( ) , ( 0 0 v u y x y x ∞ → ||( , lim )|| , ||(xy u ) = ( 0 z ) , y x ) (z , (X Y = ∞ = ) (z f = ∞ → ( ) lim f z f Z z f z zlim→ ( )= ∞ = || ) , )( yx ∞ = || ) , )( yx v , ( ( lim ) , ( ) , (xy→ x y u X Y Z z f = ∞ ( ) u,v)( lim f → lim 0 z z ) | |z z→ lim | | ) Y ) Diz-se que f é contínua num ponto se

0

z

z→ . Diz-se que é

contínua num conjunto _{se é contínua em cada ponto de , e diz-se que é} contínua se é contínua em todo o domínio . É claro que, é contínua em

se e só se é contínua em , como função em ℝ2_. 0 S , (x₀ y₀ 0 C , ( vu f = S C⊂ ) ,v f ) ) , ( _{0 0} 0 x y z = (u )

Resulta imediatamente que o limite da soma, produto e quociente de funções complexas num ponto é, respectivamente, igual à soma, produto e quociente dos correspondentes limites das parcelas (no caso do quociente, desde que o limite do denominador seja diferente de zero).

Analogamente, as somas, produtos, quocientes, composições de funções contínuas são funções contínuas (no caso do quociente, nos pontos onde o valor do denominador é diferente de zero). Em particular, as funções polinomiais complexas são contínuas em ℂ. As funções racionais são contínuas em todos os pontos do seu domínio, isto é, em todos os pontos onde o denominador não se anula.

A função que a cada complexo faz corresponder o seu conjugado, zα z é obviamente contínua em ℂ, assim como as funções Rez, Imz, | z|. A função Argz é contínua em ℂ . As funções complexas exponencial, coseno, seno, coseno hiperbólico e seno hiperbólico são contínuas em ℂ. A tangente complexa é contínua no seu domínio, isto é, no conjunto de pontos onde o denominador na expressão que a define não se anula, ou seja, em ℂ\{ ℂ:

} 0 : ) 0 , {( \ x x≤ ∈

z z =π/2+πk,k∈ℤ}. O mesmo acontece com a

tangente hiperbólica, agora com domínio ℂ\{z∈ℂ:z =iπ/2+iπk,k∈ℤ}.

Exercícios

2.1. Determine os valores de , ₂i _ii na forma , com a ℝ. ,i i 2 ) 1 (− tan( , cos i b i a+ ,b∈

2.2. Determine os valores de sin 1 i+ ).

∈

z

2.3. Determine todos os valores de ℂ para os quais e é igual a 2z _{,−1,i,−i/2,−1−i,1+2i}.

w

2.4. Obtenha expressões para arctan em termos de logaritmos.

∈

z

2.5. Prove que z| i_|<eπ, para todo _ℂ\{0}.

z

2.6. Prove que |cos | é ilimitada.

a

2.7. Prove que para ∈ℝ e −π <θ≤π se verifica e mostre que a

restrição aos valores de θ i θ aθ i aθ

a _{cos sin}

) sin

(cos + = +

θ é necessária. Mostre que se a∈ℤ a fórmula verifica-se para todo θ∈ℝ. Neste caso é conhecida por fórmula de De Moivre6_.

2.8. Determine equações cartesianas para os conjuntos do plano complexo que são transformados em rectas paralelas aos eixos coordenados pela função complexa definida por z _{e represente-os}

graficamente. z+e

2.9. Mostre que lim n existe para todo

n→∞(1+z/n) z∈ℂ e é igual a ez.

z

2.10. Determine o contradomínio da restrição de à faixa vertical do plano complexo | Re e indique as imagens das rectas verticais e dos segmentos de rectas horizontais desta faixa. tan z|≤π/4

6 Abraham De Moivre (1667-1754). A fórmula de De Moivre apareceu publicada pela primeira vez em 1748 no livro de L. Euler Introductio.