Um conceito importante em Probabilidades e Estatística é o de

Vari´

aveis Aleat´

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Um conceito importante em Probabilidades e Estat´ıstica ´e o de

Vari´avel Aleat´oria.

Vari´avel Aleat´oria

Seja (Ω,A) um espa¸co de acontecimentos. `A fun¸c˜ao X : Ω → IR chamamos vari´avel aleat´oria.

Nota

As vari´aveis aleat´orias (v.a.) podem ser discretas ou cont´ınuas, e s˜ao usualmente representadas por letras mai´usculas do fim do alfabeto (X , Y , Z , . . . ).

Exemplo (3.1)

Nos ´ultimos anos muitos novos medicamentos tˆem sido

introduzidos no mercado para controlar a hipertens˜ao. Suponha que um m´edico concorda em prescrever um novo medicamento para esta condi¸c˜ao aos primeiros quatro novos pacientes hipertensos que encontrar na sua pr´atica cl´ınica, durante um per´ıodo experimental, antes de se decidir definitivamente pelo seu uso.

Se X representar o n´umero de pacientes (de entre os quatro) que vˆeem a sua hipertens˜ao controlada com o novo medicamento, ent˜ao X ´e uma v.a. discreta que assume os valores 0, 1, 2, 3 e 4.

Vari´

aveis Aleat´

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Para o exemplo anterior admitamos que

k 0 1 2 3 4

P(X = k) 0.008 0.076 0.265 0.411 0.240

Ao conjunto dos valores P(X = k) para uma v.a. discreta X chamamosfun¸c˜ao massa de probabilidade.

Propriedades da fun¸c˜ao massa de probabilidade

, ou simplesmente fun¸c˜ao de probabilidade.

I P(X = k) ≥ 0;

I P

k

Exemplo (3.2)

O tempo de sobrevida, em meses, de um paciente que acaba de se submeter a um transplante de cora¸c˜ao ´e uma v.a. cont´ınua que assume valores no intervalo real [0, +∞[.

Vari´

aveis Aleat´

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A associada a uma v.a. cont´ınua temos umafun¸c˜ao densidade de probabilidade.

Propriedades da fun¸c˜ao densidade de probabilidade I f (x ) ≥ 0, x ∈ IR;

I A ´area delimitada pela fun¸c˜ao densidade f e pelo eixo das abcissas ´e 1.

Nota

Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao

Associada a qualquer vari´avel aleat´oria X (discreta ou cont´ınua) temos a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao (cumulativa) definida da forma

F (t) = P(X ≤ t), t ∈ IR.

Nota

A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao determina univocamente a distribui¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria.

Vari´

aveis Aleat´

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No caso cont´ınuo,P(a < X ≤ b)representa a ´area delimitada pela fun¸c˜ao densidade f , o eixo das abcissas e as rectas x = a e x = b.

Interpreta¸c˜ao geom´etrica da probabilidade no caso cont´ınuo

a b

Assim sendo,

Vari´

aveis Aleat´

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A otite m´edia, doen¸ca do ouvido m´edio, ´e uma das principais raz˜oes que

leva crian¸cas com menos de dois anos ao pediatra. Seja X o n´umero de

epis´odios de otite que uma crian¸ca com menos de dois anos tem e

suponha que

k 0 1 2 3 4 5 6

P(X = k) 0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.039 0.017

a) Qual a probabilidade de uma crian¸ca ter 3 otites no m´aximo?

b) Qual a probabilidade de uma crian¸ca ter mais de 4 epis´odios de otite?

c) Qual a probabilidade de uma crian¸ca ter mais de uma mas n˜ao mais

0 1 2 3 4 5 6 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Distribuição do número de otites

nº de otites

Vari´

aveis Aleat´

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A maioria das vari´aveis aleat´orias tem:

I um comportamento m´edio indicado pelo seuvalor m´edio(ou valor esperado) e usualmente representado porµ;

I uma dispers˜ao em torno do seu valor m´edio.

A medida de variabilidade mais largamente usada ´e a

variˆancia(desvio padr˜ao) usualmente representada porσ2

Valor M´edio

O valor m´edio de uma v.a. discreta X , caso exista, ´e dado por µ =X

k

kP(X = k).

Nota

O valor m´edio de uma v.a. cont´ınua X , caso exista, corresponde `a ´area delimitada pela fun¸c˜ao x .f e pelo eixo das abcissas.

Vari´

aveis Aleat´

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A variˆancia de uma v.a. discreta X com valor m´edio µ, caso exista, ´e dado por σ2=X k (k − µ)2P(X = k). Nota `

Nota

A variˆancia, σ2, tamb´em pode ser calculada da forma σ2= E (X2) − µ2.

Exerc´ıcio (3.2)

Determine o n´umero m´edio de otites que uma crian¸ca tem nos seus primeiros dois anos de vida, assim como o desvio padr˜ao.

Modelo Binomial

Um dos testes laboratoriais mais pedido num exame m´edico de rotina ´e a contagem de c´elulas sangu´ıneas. Os dois aspectos principais no que refere a contagem de c´elulas sangu´ıneas s˜ao: (i) a contagem do n´umero de gl´obulos brancos e (ii) a diferencia¸c˜ao dos gl´obulos brancos, nomeadamente em neutr´ofilos, linf´ocitos, mon´ocitos, eosin´ofilos e bas´ofilos. Quer a contagem de gl´obulos brancos quer a diferencia¸c˜ao s˜ao extensivamente usadas para fazer diagn´osticos m´edicos.

Seja X a v.a. que conta o n´umero de neutr´ofilos encontrados em 10 gl´obulos brancos. Qual a probabilidade de 7 destas c´elulas serem neutr´ofilos se a probabilidade de uma c´elula ser deste tipo ´e 0.6?

Pretende-se

P(X = 7) =10 7



× 0.67× 0.43 = 0.215. A experiˆencia aleat´oria anterior ´e uma experiˆencia binomial

porque:

I A experiˆencia consiste em n provas idˆenticas;

I O resultado de cada prova ou ´e sucessoouinsucesso;

I A probabilidade de sucesso p mant´em-se constante de prova para prova;

Modelo Binomial

Uma v.a. X tem distribui¸c˜ao Binominal com parˆametros n e p, e representa-se por X _ Binomial(n, p), se estiver fun¸c˜ao massa de probabilidade

P(X = k) =n k



Gr´aficos das fun¸c˜oes massa de probabilidade das vari´aveis binomiais com n = 8 e p = 0.2, 0.4, 0.5, 0.8 0 2 4 6 8 0.00 0.10 0.20 0.30 Binomial(8,0.2) 0 2 4 6 8 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Binomial(8,0.4)

Modelo Binomial

Valor M´edio e Variˆancia da Distribui¸c˜ao Binomial

Se X _ Binomial(n, p), ent˜ao

µ = np e σ2 = np(1 − p).

Por exemplo, o n´umero esperado de neutr´ofilos em 100 gl´obulos brancos ´e

µ = 100 × 0.6 = 60 com desvio padr˜ao de

Modelo Binomial

A probabilidade de recupera¸c˜ao de uma determinada doen¸ca ´e 0.4. Seleccionadas aleatoriamente 15 pessoas com a referida doen¸ca, qual a probabilidade de sobreviverem:

a) exactamente 5 pessoas;

b) pelo menos 10 pessoas;

Exerc´ıcio (3.4)

Um investigador repara que crian¸cas de 3 lares em 20 cujos pais tˆem bronquite cr´onica desenvolveram no seu primeiro ano de vida a condi¸c˜ao.

A diferen¸ca registada ´e “real”ou deve-se ao acaso, se admitirmos que a incidˆencia nacional ´e de 5% para o primeiro ano de vida de crian¸cas com ambos os pais afectados?

Modelo de Poisson

Quando o n´umero de provas numa experiˆencia binomial ´e elevado e a probabilidade de sucesso pequena, a distribui¸c˜ao binomial pode ser aproximada peladistribui¸c˜ao de Poisson.

Modelo de Poisson

Uma v.a. X tem distribui¸c˜ao de Poisson com parˆametro λ (λ > 0), e representa-se por X _ Poisson(λ), se tiver fun¸c˜ao massa de probabilidade

P(X = k) = λ

k_e−λ

Gr´aficos das fun¸c˜oes massa de probabilidade das vari´aveis de Poisson com λ = 3, 10 0 2 4 6 8 10 12 14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Poisson(3) 0 5 10 15 20 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Poisson(10)

Modelo de Poisson

O modelo de Poisson adapta-se a muitas situa¸c˜oes de contagem sob regularidade. Por exemplo, ´e usado para modelar:

I o no de plaquetas num determinado volume de sangue;

I o no de autom´oveis que param num posto de abastecimento num determinado per´ıodo de tempo;

I o no de astros vis´ıveis num determinado volume do c´eu;

Exerc´ıcio (3.5)

Suponha que X representa agora o n´umero de eosin´ofilos encontrados em 1000 gl´obulos brancos.

Qual a probabilidade de haver mais de 10 eosin´ofilos, se a probabilidade de um gl´obulo branco ser deste tipo ´e de 0.01?

Modelo de Poisson

Dado que X _ Binomial(1000, 0.01), P(X > 10) = 1 − P(X ≤ 10) = 1 − 10 X k=0 1000 k  0.01k0.991000−k(= 0.417).

Aproximando a distribui¸c˜ao de Poisson com valor m´edio µ = λ = np = 1000 × 0.01 = 10 vem

Valor M´edio e Variˆancia da Distribui¸c˜ao de Poisson

Se X _ Poisson(λ), ent˜ao

Modelo de Poisson

Muitos investigadores suspeitam que os trabalhadores da ind´ustria de fabrica¸c˜ao de pneus tˆem uma elevada incidˆencia de cancro. Suponha que o n´umero esperado de mortes por cancro da bexiga para a popula¸c˜ao dos trabalhadores de uma f´abrica durante o per´ıodo de 1 de Janeiro de 1964 a 31 de Dezembro de 1983, com base nas taxas de mortalidade nacional, ´e de 1.8.

Se se registaram nesse per´ıodo de 20 anos 6 mortes por cancro da bexiga, pode considerar que o fen´omeno ´e pouco comum?

Aditividade do Modelo de Poisson

A soma de vari´aveis aleat´orias independentes com distribui¸c˜ao de Poisson tem distribui¸c˜ao de Poisson; ou seja, se Xi _ Poisson(λi),

i = 1, 2, . . . , n, s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes, ent˜ao Y = X1+ X2+ · · · + Xn_ Poisson(λ1+ λ2+ · · · + λn) .

Modelo de Poisson

Suponha que o n´umero mensal de mortes por septicemia no hospital dos Anjinhos ´e bem modelado por uma distribui¸c˜ao de Poisson com valor m´edio 0.1. Qual a probabilidade de num ano se verificar mais de trˆes mortes por septicemia?

Existem distribui¸c˜oes que pela sua importˆancia merecem especial destaque. De entre as distribui¸c˜oes cont´ınuas destacamos a

distribui¸c˜ao Normal (ou gaussiana) pelo papel que desempenha na Inferˆencia Estat´ıstica Cl´assica.

Modelo Normal

Uma v.a. X tem distribui¸c˜ao Normal com parˆametros µ e σ, e representa-se por X _ N(µ, σ), se tiver fun¸c˜ao densidade

f (x ) = 1 σ√2πe − 1 2( x −µ σ ) 2 , x ∈ IR.

Modelo Normal

Gr´afico da fun¸c˜ao densidade de uma vari´avel N(µ, σ)

ΜΣ Μ ΜΣ

Nota

O gr´afico tem a forma em sino, ´e sim´etrica em torno x = µ e possui pontos de inflex˜ao em x = µ − σ e x = µ + σ.

Nota

Como consequˆencia da simetria da distribui¸c˜ao Normal em torno de µ, temos

P(X ≤ µ − x ) = P(X ≥ µ + x ).

Nota

Para µ = 0 e σ = 1 obtemos a chamada distribui¸c˜ao Normal padr˜ao cuja vari´avel ´e usualmente representada pela letra Z (Z _ N(0, 1)).

Modelo Normal

A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao da Normal padr˜ao ´e usualmente representada por Φ e est´a tabelada. Assim, se Z _ N(0, 1),

Φ(z) = P(Z ≤ z).

Estandartiza¸c˜ao da Normal

Exerc´ıcio (3.8)

Suponha que o QI de uma pessoa adulta segue uma distribui¸c˜ao normal com valor m´edio 100 e desvio padr˜ao 15. Um indiv´ıduo que tenha um QI superior a 115 possui um QI elevado.

Modelo Normal

Mostre que se X _ N(µ, σ), ent˜ao

a) P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.6826;

b) P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9545;

Quantil de Probabilidade da Normal

Seja Z _ N(0, 1). O valor zα (0 < α < 1) tal que

P(Z ≤ zα) = α

representa o quantil de probabilidade α da Normal padr˜ao.

Exemplo (3.4)

O quantil de probabilidade 0.975 da Normal padr˜ao ´e z0.975 = 1.96

Modelo Normal

Muitas distribui¸c˜oes podem ser aproximadas pelo modelo Normal (Teorema Limite Central).

Para o efeito, basta conhecermos o seuvalor m´edio edesvio padr˜ao. Assim, se uma v.a. X tem valor m´edio µe desvio padr˜ao

σ, ent˜ao Z = X −µ σ ◦ _ N(0, 1). Nota

A aproxima¸c˜ao ser´a tanto melhor quanto mais sim´etrica for a distribui¸c˜ao da vari´avel aleat´oria.

Exerc´ıcio (3.10)

Suponha que X _ Binomial(8, 0.4). Calcule o valor exacto de P(X ≤ 5) e o valor aproximado usando a distribui¸c˜ao Normal.