Aula-01_Sistemas lineares

Sistemas Lineares

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb • Equação linear

– É toda equação da forma:

– em que a₁, a₂, ..., a_n e b são números reais;

– x₁, x₂, ...x_n são variáveis.

– Uma solução dessa equação é uma sequência de n números

reais indicadas por (b₁, b₂, ..., b_n) que torne a equação

verdadeira.

• Exemplo

– Dada a equação 2x₁ - x₂ + x₃ = 1, uma solução é a terna ordenada (1, 1, 0), pois 2.1 - 1 + 0 = 1.

b

x

a

x

a

x

a





...





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b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

• Sistema de equações lineares

– _{É um conjunto de m equações com n incógnitas em que m  n}

que se representa do seguinte modo:

– Uma solução do sistema é uma n-upla (b₁, b₂, ..., b_n) de números

reais em que cada número, em particular, é solução de uma equação.

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b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb • Exemplo algébrico:

– Considere o sistema abaixo:

– Uma solução do sistema é (0, 3, 4), mas essa solução não é única. – A terna também é solução.

Sistemas Lineares

















6

2

1

2

y

x

z

y

x

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb • Soluções do sistema:

– Se tivermos b₁ = b₂ = ... = b_m = 0, dizemos que o sistema é homogêneo; – A n-upla (0, 0, ..., 0) é solução;

– Todo sistema homogêneo é compatível;

– A solução, neste caso, chama-se solução trivial.

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

• Dizemos que um sistema linear S é incompatível se S

não admite solução;

• Se um sistema linear admite solução única, ele é chamado de compatível e determinado;

• Se um sistema linear S admitir mais do que uma

solução então ele recebe o nome de compatível e

indeterminado.

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

•

_Exemplo

• Considere o sistema abaixo:

• é indeterminado, pois as ternas (0, 3, 4) e são soluções do sistema.

Sistemas Lineares

















6

2

1

2

y

x

z

y

x

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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– Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura abaixo. Como resultado do experimento, conclui-se que o nível da água é função do número de bolas que são colocadas dentro do copo.

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• O quadro abaixo mostra alguns resultados do experimento:

• Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

número de bolas (x) nível da água (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• A partir dos dados fornecidos pela tabela é possível montar o seguinte sistema de equações:

• Para resolver o sistema, podemos usar o método da substituição ou da subtração de uma equação por outra.

• Após a determinação de uma das incógnitas e de sua substituição nas equações, parte-se para a determinação da segunda incógnita.

• Classifique esse sistema.















70

,

6

.

10

35

,

6

.

5

b

a

b

a

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Dizemos que dois sistemas S₁ e S₂ são equivalentes quando toda solução de S₁ é também solução de S₂ e vice-versa.

• Podemos obter um sistema S₂ a partir de S₁ com as seguintes operações:

• (I) Permutar duas das equações de S₁;

• (II) Multiplicar uma das equações de S₁ por um número real k ≠

0;

• (III) Somar a uma das equações do sistema uma outra equação

desse sistema multiplicada por um número real.

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Se um sistema S₂ é obtido a partir de um número finito de operações elementares em S₁, dizemos que S₂ é

equivalente a S₁ e denotamos por S₂ ~ S₁.

• Propriedades:

• 1) S ~ S (reflexiva);

• 2) S₂ ~ S₁ → S₁ ~ S₂ (simétrica);

• 3) S₂ ~ S₁ e S₁ ~ S₃ → S₂ ~ S₃ (transitiva).

• As operações elementares constituem um artifício útil para a busca de

soluções de um sistema linear S. Se S é um sistema complexo, busca-se um sistema linear equivalente a S que seja “mais simples”.

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Se multiplicarmos por -2 a primeira equação e somarmos o resultado com a segunda equação, obtemos:

              0 2 2 4 2 1 : z y x z y x z y x S               1 2 1 : * ~ z y z y z y x

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Multiplicamos a primeira equação por -1 e somamos com a terceira:

• Se somarmos a segunda equação com a terceira, obtemos:               1 2 1 : * ~ z y z y z y x            1 0 2 1 : ** ~ y z z y x

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Como esse último sistema é incompatível, o mesmo acontece com o sistema S dado inicialmente.

• Observações:

1) Observe que a intenção das operações elementares é diminuir o número de coeficientes iniciais de cada equação a partir da precedente;

2) Observe que o sistema final apresenta a forma de escada, ao qual denotamos por sistema de escalonado.

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Dizemos que um sistema S é escalonado se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente

não-nulo, aumenta de equação para equação.

• Exemplos:              5 1 3 2 2 3 z z y z y x         1 2 3 3 5 4 z y z y x

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• De modo mais genérico, dado o Sistema S a seguir:

• É possível, a partir dele, obter o Sistema escalonado S':

                   m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11                m n mn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a ... ... ... ... ... ... 2 2 2 22 1 1 2 12 1 11

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalonado.

• Nota: as equações do tipo 0 = 0 devem ser suprimidas no processo de escalonamento.

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Discussão e resolução de um sistema linear

• Discutir um sistema linear S significa verificar se ele é

compatível e determinado, compatível e indeterminado ou incompatível;

• Resolver um sistema linear significa determinar todas as

suas soluções;

• O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto

solução do sistema.

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• Considere o sistema linear abaixo com 2 equações e 2 incógnitas x e y:

• O gráfico de cada uma dessas equações são linhas retas que descrevem 3 possibilidades.

• Se as retas se interceptam em um único ponto, o sistema tem uma

única solução;

• Se as retas não se interceptam, o sistema não tem solução;

• Se as retas forem coincidentes, o sistema possui infinitas soluções.















c

y

b

x

b

c

y

a

x

a

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

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• Resolver, por escalonamento os seguintes sistemas:

• a) • b)                  1 2 2 6 2 9 2 z y x z y x z y x                3 3 4 1 4 3 2 2 2 5 z y x z y x z y x

Referências bibliográficas

• BOLDRINI,J.L. Álgebra linear. 3.ed. S.Paulo: Harbra:1986.

• CALLIOLI, C.A.; DOMINGUES, H.H.; COSTA, R.C.F. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

• LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra Linear. 4.ed . Porto Alegre: Bookman, 2011. (Col. Schaum).

• SCHWARTZMAN, S. The Words of Mathematics: An Etymological dictionary of Mathematical Terms used in English. Washington: Mathematical Association of America, 1994.