O método dos elementos de contorno aplicado à propagação transiente tridimensional de ondas

Adolfo Ricardo Castro Bustamante

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTEN ÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

• ~ J o a o Mansur Presidente

Prof. Edison Castro'Prãtêi de Lima

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JULHO DE 1986

CASTRO B. ADOLFO RICARDO

O Método dos Elementos de Contorno Aplicado a Propagação Transiente Tridimensional de Ondas

(Rio de Janeiro), 1986.

1x, 122 P• 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc. Eng~ nharia Civil, 1986).

Tese - Universidade Federal do Rio de Janei-ro, COPPE.

1. Elementos de Contorno 2. Propagação de Ondas. I. COPPE/UFRJ. II. Título (Serie).

À Myriam, minha esposa e a meus filhos Marcela Paz, Gabriela Andrea e Adolfo Alejandro.

AGRADECIMENTOS

Ao professor Webe Joao Mansur pela amizade, cons

tante orientação e estímulo.

Aos colegas, professores e funcionãrios da COPPE, Programa de Engenharia Civil, e em especial aos companheiros de sala de estudos pela sua amizade e apoio.

Ao Instituto Profesional de Valdivia, Chile. À CAPES pelo auxilio financeiro concedido.

Resumo da Tese Apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M. Se.)

O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO Ã

PROPAGAÇÃO TRANSIENTE TRIDIMENSIONAL DE ONDAS

Adolfo Ricardo Castro Bustamante

Julho de 1986

Orientador: Webe João Mansur Programa Engenharia Civil

O método dos elementos de contorno e aplicado aos fenômenos de propagaçao de onda governados pela equação de on-da que possam ser representados por uma função escalar ou pote~ cial. A representação integral da equação de onda, (equação i~ tegral de Kirchhoff) é implementada para problemas tridimensio-nais e transientes através de um programa computacional em lin guagem FORTRAN.

Estudou-se a influência nas soluções numéricas

das diferentes aproximaçoes ou funções de interpolação no tempo para as variáveis, e do valor do intervalo de tempo em relação a discretização ou malha de elementos de contorno.

Utilizou-se a formulação de elementos constantes e foram analisados quatro exemplos através do programa desenvol vide.

Abstract of Th.esis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfillment of the requírements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

APPLICATION OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD TO TRIDIMENSIONAL TRANSIENT WAVE PROPAGATION

Adolfo Ricardo Castro Bustamante

Ju ly, 1986

Chairman Webe João Mansur Department: Civil Engineering

The boundary element method was applied to study wave propagation fenomena represented by

(potential),

A FORTRAN computer code was

scalar functions

developed to solve numerically the integral equation for three-dímensional scalar wave equation (Kírchhoff integral representation).

The i nf lue nce i n the numerical solution of employing different time interpolation functions for boundary variables, and analisis of the best choice of time intervals concerning a boundary discretization was studied.

Constant elements in space were employed and four numerical applications were carried out using the computer code developed.

CAPÍTULO I INTRODUÇÃO CAPÍTULO II

...

1

FENÔMENO DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS , . , , , . , . , . , , , , . , , , , , , , , , 4 II. l II. 2 II. 3 II. 4 - INTRODUÇÃO

...

- PROPAGAÇÃO DE ONDAS • . . . • • • • • . . . - TIPOS DE ONDAS. CARACTERÍSTICAS GERAIS . . . . - ONDAS ELÁSTICAS

...

4 4 5 8 II.5 - OUTROS TIPOS DE ONDAS . . . 17

CAPÍTULO III EQUAÇÃO INTEGRAL DO CONTORNO PARA PROBLEMAS TRANSIENTES GOVERNADOS PELA EQUAÇÃO ESCALAR DE ONDA . • • . . . 20

III.1 - INTRODUÇÃO

...

20

III.2 - EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR TRANSIENTE . • . . . 21

III.3 - FUNÇÃO DELTA DE DIRAC . . . 21

III.4 - SOLUÇÃO FUNDAMENTAL TRIDIMENSIONAL . . . 22

III.5 - EQUAÇÃO INTEGRAL DE KIRCHHOFF • . . . • . • . 24

CAPÍTULO IV MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO Ã PROBLEMAS TRIDIMENSIONAIS TRANSIENTES GOVERNADOS PELA DE ONDA ESCALAR EQUAÇÃO 34 IV .1 - INTRODUÇÃO . . . , .. , . . . , . . . 34

IV.2 - DISCRETIZAÇÃO 35 IV.3 - DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA DE u . . • • . . • • • . • • . . • . . . 40

IV.4 - EQUAÇÃO INTEGRAL DISCRETIZADA . . . 41

IV.5 - FORMAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES . . . 44

CAPÍTULO V

IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMAS TRANSIENTES

TRI-DIMENSIONAIS . . . • . . , . . . , . . . 4 7 V, l - INTRODUÇÃO , , , , . . . . , , , , .. , . . . , , , , . . . 4 7 V,2 - ELEMENTOS PARA DISCRETIZAR O CONTORNO . . . .. 47 V .3 - DISCRETIZAÇÃO E AVANÇO NO TEMPO . . . , , . 48

v.4

- DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA 51

V,5 - EQUAÇÃO INTEGRAL DISCRETIZADA. COEFICIENTES ... 51 V.6 - COMBINAÇÃO DE APROXIMAÇÕES. COEFICIENTES . . . 55 V.7 - VALORES ANALÍTICOS DE Gl e G, . . . 58 V.8 - CONSIDERAÇÃO DAS CONDIÇÕES INICIAIS . . . 62 CAPÍTULO VI

DESCRIÇÃO GERAL DO PROGRAMA COMPUTACIONAL . . . 64 VI. 1 - INTRODUÇÃO . . . , . . . , . . . , , .. , . . . . 64

VI. 2 - DESCRIÇÃO GERAL 64

VI,3 - DESCRIÇÃO GERAL DAS ROTINAS . . . • . 64 VI.4 - FLUXOGRAMA

CAPÍTULO VII

EXEMPLOS NUMÉRICOS. ANÁLISE VII.l - INTRODUÇÃO

VII.2 - EXEMPLO I. FONTE CONCENTRADA EM UM ESPAÇO

68

72 72

SEMI-INFINITO . . . , , , , .. , . . . 7 2 VII.3 - EXEMPLO II. SCATTERING DE ONDAS PLANAS POR

UM CILINDRO CIRCULAR 75

VII.4 - EXEMPLO III. PRESSÃO EM UM PONTO DENTRO DE

UMA CAIXA RETANGULAR

...

82 VII.5 - EXEMPLO IV. CORPO SUBMETIDO A UMA FORÇA T!

PO HEAVISIDE . . . , . . . .. . . . .. .. . . 86 CAPÍTULO VIII

VIII.l - CONCLUSÕES

...

BIBLIOGRAFIA

...

ANEXO A

...

ANEXO B

...

ANEXO C

...

95 99 103 114 117

CAPÍTULO I - INTRODUÇAO

Para a explicação da verdadeira natureza da luz, foram desenvolvidas diferentes teorias, Na primeira metade do século XIX a luz era interpretada como a propagação de uma per-turbação em um meio elástico ou éter, Assim foi possível expli car alguns fenômenos da reflexão e refração da luz, no entanto o fenômeno de difração, nome dado por Francisco Maria Grimaldi era inexplicado ate que em 1818 Fresnel apresentou uma compree~ siva teoria da difração na qual combinou as ideias de Huygens das ondas secundarias e as ideias das interferências de Young.

Para Fresnel, assim como para todos os cientistas do século XIX, a ideia de propagação implicava na existência de

um meio transmissor ou ~ter (tio caso da luz se denominou éter

luminoso). Fresnel sugeriu que as ondas de luz eram ondas trans

versais neste éter sem ondas longitudinais, nesse tempo

das transversais elásticas nos sólidos não eram ainda das.

as on

conheci

Teorias posteriores como a eletromagnética e qua~ tica da luz substituiram a teoria da propagaçao em um éter, nao obstante esta teoria estabelecida por Grimaldi, Young, Huygens.

Fresnel, Kirchhoff e muitos outros serviu para explicar tambem diversos fenômenos que acontecem no campo da física e engenh~ ria, assim por exemplo a concentraçao dinâmica de tensões em so

lidos pode ser estudada como o resultado da difração de ondas

elásticas quando passam através de discontinuidades geométricas ( 10

J,

pois Poisson em 1829 reconheceu que uma perturbação elás-tica em geral estâ composta de ondas longitudinais e ondas trans

A equaçao integral estudada e implementada nume-ricamente nesta tese é a equação integral de Kirchhoff, a qual foi utilizada e ainda serve na ótica para explicar alguns fenô-menos de difração de ondas luminosas

(3, 2s).

Em problemas de propagaçao de ondas existe uma grande variedade de aplicações em engenharia, como propagaçao de tensões e deformações em sólidos, scattering de ondas acústicas, distribuição de corrente em linhas de transmissão, ondas de su-perfície em líquidos, etc., os quais estão matematicamente go-vernados por equaçoes diferenciais parciais ou equações de on da, cuja variâvel pode ser uma grandeza escalar ou vetorial.

Nesta tese aplica-se o método do elemento de con torno a equação de onda para problemas transientes com variâvel escalar, podendo entao representar fenômenos por uma função de ponto ou potencial.

Demonstra-se como o método pode ser aplicado ne~ te tipo de problema e com certas vantagens em relação a outros

métodos de anâlise numérica, especialmente no que se refere a consideração de domínios infinitos, pois como sabemos neste

ca-so o método das diferenças finitas ou o método dos elementos fi nitos requerem que se termine a malha do domínio, estabelecendo

assim um contorno artificial o qual pode refletir ondas que in-terferirão nos resultados numéricos, podendo até invalidar a ana

lise.

É estudado com a formulação de elementos cons

tantes o comportamento das soluções numéricas quando são utili-zadas diferentes funções de interpolação para aproximar as va riãveis no contorno, e também ê analisada a influência do valor

do intervalo de tempo no comportamento das soluções em relação a uma determinada malha.

No desenvolvimento da tese o capítulo II aprese~ ta uma breve introdução da teoria básica de propagação de ondas, são vistas as ondas elásticas da elastodinâmica e são descritas as ondas acústicas e eletromagnéticas em forma concisa.

O capítulo III estâ dedicado a representaçao in-tegral da equaçao de onda deduzida a partir da equação de onda escalar usando a solução fundamental

dos resíduos ponderados.

tridimensional e o método

No capítulo IV o método dos elementos de contor-no é aplicado

à

equação integral de onda para no capítulo V se fazer a implementação numérica dela. No capítulo VI

descreve-se brevemente o fluxograma da implementação computacional do pr~ grama do qual e listada a rotina mais relevante no Anexo A no final da tese. O capítulo VII contém quatro aplicações numéri-cas que servem para a análise dos diferentes resulta dos pelo uso das distintas funções de interpolação para as va-riáveis envolvidas, assim como da influência do intervalo de tem po para a marcha no tempo. Finalmente no capítulo VIII temos

CAPÍTULO II - FENÔMENO DE PROPAGAÇAO DE ONDAS

2.1 -

INTRODUÇÃO

Apresenta-se no presente capítulo algumas defi-niçoes e conceitos associados aos problemas de propagaçao de ondas. Maior ênfase é dada ao caso de propagação de ondas em um meio elástico governadas pelas equações de elastodinâmica, descrevem-se também resumidamente o caso das ondas acústicas e

eletromagnéticas.

2.2 - PROPAGAÇÃO DE ONDAS

O processo pelo qual uma perturbação em um pon-to do espaço se propaga até outro ponpon-to sem nenhum transporte neto da matéria ou de material é o fenômeno físico de propaga-ção de ondas.

Este fato acontece em um meio no qual a energia pode ser armazenada na forma de energia cinética e potencial.

Quando temos uma onda livre viajando, uma regiao do meio perturba a região vizinha, fornecendo-lhe energia. Es

ta região do meio por sua vez perturba outra zona vizinha

cau-sando um fluxo de energia em uma direção determinada. Esta ener gia vai sendo transformada de energia cinética em potencial e vice-versa de um ponto para outro na direção de propagaçao.

A velocidade de propagaçao da perturbação, ou simplemente denominada velocidade de propagação estã determina da pela constante do meio.

Movimentos ondulatOrios ocorrem no vacuo (ondas

(on-das hidrodinâmicas) e em solides (on(on-das elásticas); as ondas eletromagnéticas podem atravessar gases, líquidos e sólidos.

2.3 - TIPOS DE ONDAS. CARACTERÍSTICAS GERAIS

As características ou parâmetros que definem uma

onda sao seu comprimento onda À, sua velocidade de propagaçao

c,

sua freqüência f e sua amplitude A (figura 2.3.1).

T

amplitude

T

mpUtud

pcriodo, T

Figura 2.3.1 - Parâmetros Físicos de uma Onda

Os parâmetros cumprem as relações seguintes

c

f À

(2.3.1)

T 1/f

Sob o ponto de vista da forma de avanço da pr~ pagaçao temos o caso das ondas planas, onde todo ponto situado

em um plano tem a mesma perturbação ou fase do movimento,

sen-do este plano perpendicular ã direção do movimento. No caso das ondas denominadas esféricas, todos os pontos situados a

igual distância de uma origem o ponto tem a mesma perturbação

ou fase do movimento, estas ondas avançam radialmente no

e

(a) ondas Planas

e

(b) Ondas Esfericas

Figura 2.3.2 - Ondas Planas e Esféricas no Espaço

Com respeito ao movimento das partículas em

re-lação a direção de propagaçao temos as denominadas ondas longi

tudinais cujo movimento das partículas coincide ou tem a mesma

direção do sentido de propagação e as ondas transversais em que as partículas movimentam-se em uma direção perpendicular ao sen tido da propagação, neste caso transferindo energia através de planos ortogonais ao avanço da onda.

Algumas ondas nao sao exclusivamente transversais

ou longitudinais como e o caso das ondas que propagam-se na agua, cujas particulas descrevem trajetõrias elipticas enquanto a on-da propaga-se, também e ocaso em um sÕlido semi-infinito com as ondas de Rayleigh propagando na superfície.

As ondas luminosas no entanto sao transversais,

o campo elétrico e o magnético sao perpendiculares

ã

direção de propagaçao; as ondas acústicas ou de som sao do tipo longitudi-nal.

As ondas podem ainda classificar-se como uni, bi e tridimensionais conforme o número de dimensões do meio em que elas propagam-se.

Segundo o comportamento de uma particula do meio pela passagem de uma onda durante o tempo em que esta se propa-ga pode-se produzir um pulso ou onda única, assim cada particu-la do meio material permanece em repouso ate ser alcançada peparticu-la onda e move-se por um curto periodo de tempo voltando a

ao repouso.

seguir

Se uma serie de pulsos e propagado produz-se en-tao um trem de ondas e se e periÕdico o trem de ondas sera pe-riÕdico.

Com respeito ao tipo de problemas de propagaçao,

podemos ter aqueles de comportamento transiente ou não

estacio-nários e de comportamento harmônico no tempo, ambos de grande i~

portância em muitas areas da física e engenharia e requerem

di-ferentes métodos de formulação e solução. Se cons ider armas o ter

mo não homogêneo na equação de onda, ou função de fonte, podemos falar de problemas de radiação de ondas quando a

entao

é nula e temos condições iniciais prescritas para o problema. O caso de obstãculos com certas condições de contorno prescritos i~ teragindo com algum campo de ondas incidentes (caso de fonte nao nula e frequentemente considerada como ondas planas que vem do infinito) são denominados problemas de ''scattering''.

2.4 - ONDAS ELÁSTICAS

As diferentes classes de onda que podem ser

pro-pagadas por um sólido elâstico sob certas condições podem ser de

<luzidas das equações da elastodinâmica.

Equa.ç.Õ

e.6

da. E.ta..1,todinâmic.a.

Um corpo linearmente elástico, isôtropo e homog~ neo íl +

r

(onde íl

é

o domínio do corpo e

r

seu contorno) fica definido por duas constantes elásticas independentes (Fig~ ra 2.4.1).

Estas constantes elásticas podem ser as constan-tes de Lamé À e G, onde

G E

2(1 + V)

(2.4.1)

À E V

(1 - 2v) (1 + v)

Sendo E e o módulo de Young e \) _{o coeficiente de Poisson.}

Para escrever as equaçoes usaremos nataçao

indi-cia! onde os Índices (1, 2, 3) representaram os eixos coordena-dos (x, y, z). Para a diferenciação usaremos a vírgula com no

tação indicia!, por exemplo u. J

=

3u . / 3xJ.

•

l2 l1 l3

SL (

G,A)

x,

<

_v >

n

r

Figura 2.4.1 - Corpo Tridimensional com domínio íl

e Contorno

r

A seguir se apresentam as equaçoes bâsicas da elas ticidade linear e a obtenção da equação do movimento de Navier.

a)

Equaçõe~ do Mov~mento

(J • • • + pb.

1.J,J 1. pu. i (2.4.2)

onde (J • • ' b.

i J i e u. i (i, J 1, 2, 3) sao as componentes de

tensão (Figura 2.4.2) forças de corpo de volume e vetor de

deslocamentos respectivamente; p é a densidade de massa. Os pontos superiores nas variáveis indicam diferenciação parcial em relação ao tempo _{t '} isto é

Figura 2.4.2 - Componentes de Tensão E •• lJ 1 -2 (u . . 1,J + u, .) J,1 (2 .4 .3)

onde E •• são as componentes de deformações específicas.

lJ

c) Le...i. de. Hook.e.

o ..

lJ

onde

ºij

e o delta de Kronecker definido como

o ..

lJ = se se i 'f j

i

= j (2.4.4)

d)

CondiçÕeh de Con~o~no

u .. (x, t) = ~. (x, t) X E

r1

-1 -1

-(2.4.5) t. (X, t)

a.

n. = t. (X, t) X E

r2

1 - 1 j J 1 -

-onde t., n.

1 J sao os deslocamentos prescri

tos, forças de superfícies prescritas e cosenos diretores da normal no ponto onde são consideradas as forças de superfí-cie (Figura 2.4.3).

Figura 2.4.3 - Componentes das Forças de Superfície

e)

CondiçÕeh Inic.iaih

u.(x, o) 1 - u. (x) 10 -t . ( x , o ) = -t . (x) 1 - 10 -X E íl +

f

(2.4.6)

(2.4.5) podem ser escritos em função dos deslocamentos, con-forme mostrado abaixo.

o.

=

À _{uk k}

o ..

+ G (u. . + u. . ) _(2.4.7) 1J

,

1] 1 , J J , 1 t.

=

G(u. + u. n. + 2v _{uj .} n,) (2.4.8) 1 i,n _{J 'i} J 1

-

2v _'J 1 au. onde u.

₌

_ao

1 u. n. i,n i, J J

-Substituindo (2.4.7) em (2.4.2) obtemos a equaçao do movimen to de Navier em termos dos deslocamentos.

(À + G) u. _1,i + Gu. + pb.

₌

pü.

j

J,ii

J J (2.4.9)

Cc'

e')

e'

b.

..

ou

-

u. + u. + u.

1 2 _{1, ij} 2 _{J' ii J J} (2.4.10)

sao respectivamente as velocidades das das P e S respectivamente, descritas mais adiante.

on

P~opagação

de

Onda-0 Plana-0

em

VomZnio Innini~o

-Sem considerar forças de volume a equaçao (2.4.9)

pode ser escrita como

(2.4.11)

Sendo u o vetor de deslocamento, V e V2 sao o operador gr~ diente e laplaciana respectivamente definidos por:

V = i

a

_!2

a

+

_!3

a

ax.

+

dX

₂

ax 3

- 1 1

v2

=

_ox2

a2

+

_ax2

a

+

_ox2

a

onde i

- 1

ra 2.4.1. i

-2 e i -3 sao os vetores unitários mostrados na Fig~

Seja um deslocamento plano propagando com velocidade C em uma direção definida por um vetor unitário de propagaçao

n definido por

u = f (x n - Ct) e (2.4.12)

onde e e n são vetores unitários que definem as direções do movimento e da propagaçao respectivamente; X e O vetor po-sição do ponto onde u e considerado e x n - constante des

creve um plano normal a n. Assim, (2.4.12) representa uma on-da plana cuja velocion-dade de propagaçao e C.

Substituindo (2.4.12) em (2.4.11) e utilizando as relações seguintes

Y.

u = ₍

_':

_~)

f ' ( X n

-

Ct) 'í/ ( 'í/ u) (n e) f" ( X n

-

Ct) n 'í/2u _{= f" (} X n

-

Ct) e u c2 f" ( X

.

n

-

Ct) e

sendo f ' , f" derivadas de função f em relação a (x n - Ct)

obtemos

{ G e + (À+ G) ( n e)n - pc2 e} f" (x n - Ct) = O

ou (G - pC2) e+ (À + G) (n e) n

o

(2.4.13)

Como n e e são dois vetores diferentes a equaçao (2.4.13) so pode ser atendida de duas maneiras

(a) e + n

Com a condição (a) temos entao e n + 1 e de (2.4.13) obte mos

e

= ( ' +

p

o qual significa que o vetor dos deslocamentos associado com uma onda plana elástica propaga com velocidade

e

l na mesma

dire-ção da propagaçao. Isto ê, uma onda do tipo longitudinal.

Neste caso a rotaçao V x u = (n x e) f ' (x . n - ct) = O,

-

-

...

-razao pela qual a onda longitudinal ê definida como nal, tambêm ê denominada de onda primária ou onda P.

irrotacio-No caso da condição (b) temos que ambos termos da equaçao (2.4.13) devem anular-se, este ocorre para:

e

_c2

= (-) G

ih

p

cujo significado implica que o vetor dos deslocamentos associa-dos com uma onda plana elástica propagando com velocidade C

2 tem uma direção ortogonal ã direção de propagação. A divergência

.Y'.. • u =

o'

por esta razao esta onda ê denominada de onda

rota-cional. Onda secundária, distorsional ou onda

s

sao outras denominações tambêm encontradas na literatura. Geralmente o pl~ no formado pelas coordenadas X

l e X 2 são escolhidas para co~

ter o vetor ~, isto e, a direção do movimento vetorial da on-da P (Figura 2.4.4). O vetor do movimento da onda

s

pode ser

decomposto em duas componentes, uma no plano formado pelos eixos

coordenados X l

e X

2 e a outra na perpendicular ao plano. Es tas componentes sao denominadas "onda SV11 _{e "onda SR", ondas de}

corte polarizadas vertical e horizontal respectivamente. As on das p e

sv

formam as componentes do movimento plano

en-quanto a onda SH representa o movimento antiplano.

Quando estas ondas vão propagando e encontram uma descontinuidade, então fenômenos de reflexão, refração e difra-ção são produzidos. A resultante do movimento da onda e uma su perposição de todas as contribuições.

!,!<onda-U (onda-SHl

( b )

x,

_{< e l}

x,

Figura 2.4.4 - Propagaçao de Ondas Planas. (b) Ondas P e SV (c) Ondas

(a) No Espaço SH.

Onda<> de Rayte.lgh

e

Love

Em um corpo elástico ê possível ter outro tipo de ondas as quais propagam-se na superfície e penetram somente um pouco no interior do corpo. Estas ondas são denominadas ondas de superfície e a mais simples

ê

a onda de Rayleigh [6) que ocoE_ rena superfície livre de um sÕlido semi-infinito, isotrÕpico e homogêneo. É uma onda importante porque as grandes perturbações ou distorsÕes do horizonte produzidas nos terremotos sao devi-das às ondevi-das de Rayleigh. Sua amplitude diminui exponencialme~ te com o aumento da distincia em relação

ã

superfície livre (F! gu r a 2 . 4 . 5) •

Velocidade lnstantárrea da partícula

Direcção da propagaçao da onda

---

--~

, ,

---Deslocamentos

---

----

-

_..

---

---.

_-

_{- --}

_-

----Onda de superfície instantanea _:::::-TraJetór1a da partícula

--

' , ...

_____ _

-

--

--

---

--

--- ---

----·---Figura 2.4.5 - Ondas de Rayleigh

O movimento das partículas sao elÍplicas retrõgadas em contras-te ã Õrbita elÍplica direta para as ondas de superfície na agua. Também ê possível o tipo de onda denominada onda de Love

(6)

que e uma onda do tipo SH, onda polarizada de cor te horizontal devida à existência de diferentes camadas sob a

superfície livre com diferentes velocidades de propagaçao C₂•

2.5 - OUTROS TIPOS DE ONDAS 2.5.1 -

Onda6 Elet~omagnêt{ca6

O meio pelo qual as ondas eletromagnéticas se pr~ pagam nao possui nenhuma elasticidade e inércia, mas o transpo~ te de energia está na capacidade de armazenar energia nos

caro-pos elétrico e magnético. O campo elétrico é equivalente ao caro po de um movimento de um fluido irrotacional e as formulações ma temáticas do movimento de ondas acústicas e ondas eletromagnéti cas são similares ( 37

J.

Se E e H sao os campos elétricos e magnéti-cos ambos com magnitude e direção em cada ponto em um meio homo gineo e isotr;pico de constantes dielétrica k

de magnética

µ

sem condutividade elétrica

a,

çÕes de campo sao:

µ

aH

e

at

'v X H 'y x E 'v • H = O 'v • E 0 e permeabilida-entao as equa-(2.5.1.1) onde vacuo.

e

é a velocidade de propagaçao da onda eletromagnética no James Clerk Maxwell reconheceu em torno de 1863 que es-tas equações poderiam ser combinadas resultando em equaçoes de onda para o campo elétrico e o magnético. Assim ele predisse a existincia de ondas eletromagnéticas quando não haviam

Ao combinar as equaçoes (2.5,1) tem-se as çoes das ondas elétrica e magnética respectivamente.

equa-82E _{= c2 17 2E} 8t2 (2.5.1.2) 8 2H _{c2 17 2H} 8t2 =

com k µ 1 (vácuo) e sendo o Laplaciano.

As ondas de som ou acústicas sao ondas do longitudinal. As moléculas do ar movimentam-se na direção

tipo de propagaçao, não existem alternadamente picos e vales como nas on das na agua superficial, senão alternadas compressões e dilata-çoes. O ar tem massa, densidade e volume elástico. A elastici dade faz com que o fluido resista ao ser comprimido voltando p~ ra seu estado original, a inércia é dada pela densidade de mas-sa do fluido, tendo assim as duas propriedades para uma propag~ ção de uma perturbação através de ondas.

As equaçoes do movimento de ondas acústicas de pequena amplitude e em um processo adiabático

(39)

sao:

8p 1 a2p

8x 2 C2 3t 2

(2.5.2.1)

32ç 1 32ç

3x2 = C2 3t 2

A primeira equaçao governa a onda acústica ou de pressao e a segunda governa o deslocamento das partículas do ar.

e

e a velodiade de propagaçao de onda acústica

e

(2.5.2.2)

onde

y

=

C /C sendo C o calor específico e pressão constan

p V p

te e C o calor específico a volume constante;

V p e den

-CAPÍTULO III - EQUAÇAO INTEGRAL DO CONTORNO PARA PROBLEMAS TRAN

SIENTES GOVERNADOS PELA EQUAÇAO ESCALAR DE ONDA

3.1 - INTRODUÇÃO

A equação escalar da onda é encontrada governan-do diversos fenômenos físicos tais como, movimento transversal de cabos e membranas, movimento longitudinal de barras, determi nação de distribuição de voltagem e corrente em linhas de trans missões elétricas [ l), "scattering" de ondas acústicas por obstá culos de diversas geometrias

(14), (1s], (19), (2s],

etc. Pode mos acrescentar também que algumas equações diferenciais par-ciais podem ser reduzidas a um conjunto de equações de onda usan do os potenciais definidos por Lamé ( 12

J, (

6

J,

como no caso da equação de Navier para problemas 2-D, esta pode ser substituída por equações de ondas escalares e que sua representação na for-ma integral permite ufor-ma compreensão for-mais direta das variáveis fÍ sicas presentes em um determinado problema.

Neste capitulo abrangeremos a transformação de equação escalar da onda na forma de equação diferencial parcial

-numa equaçao integral. Usaremos a solução fundamental ou fun ção de Green para domínio infinito com o método dos resíduos po~ derados para tal fim, obtendo a denominada equaçao integral de

-Kirchhoff ou equaçao de potenciais retardados de -Kirchhoff a qual é encontrada em eletromagnetismo [30) em hidrodinâmica (31], nos fenômenos de difração da luz ( 3

J, [

2s J

explicados pela teoria escalar.

3.2 - EQUAÇÃO DE ONDA ESCALAR TRANSIENTE

A equação de onda escalar não homogênea e:

- y

onde u e o potencial ou variável física;

y

e a densidade de fonte com dependência do espaço e tempo, po e C a velocidade de propagação da onda.

(3.2.1)

denominada

t o tem

As condições de contorno associadas a um problema de domínio íl e contorno

r

sao:

-u

=

u em

(3.2.2)

N

atu..1tai.ó

p _dil dU = p em f ₂

onde p e a derivada de u em relação a direção n ou normal a

r,

u e p indicam valores conhecidos deu e

p no contorno. p pode também ser escrito como p

=

Vu -~, on de Vu e o gradiente de u e n o vetor unitário normal a

r.

Temos ainda condições iniciais:

u (:<C, o) u ( x)

o

-v(", o) _..

=

v (x) _{o -} em X E íl

u

o e sao os valores prescritos para domínio íl incluindo seu contorno

r.

3.3 - FUNÇÃO DELTA DE DIRAC

em t = o

u e

(3.2.2)

em t = o no

Quando trabalhamos em funções de Green é necessa-rio empregar funções delta de Dirac. Em uma dimensão a delta de Dirac tem as seguintes propriedades:

e o(x - a)

o

O ( X - a) = oo quando x

'f

a quando x = a

J-+oooo o(x - a) f(x)dx = f ( a) (3.3.1)

As derivadas do delta de Dirac são tais que:

o (

n) ( x - a)

_o

_{quando x ,f a e}

J

+oo -ooº(n)(x-(3.3.2) a) f(x) dx

onde o(n) (x - a) e f(n) (a) sao

-

e 3 n ~. _ox-n f (x) 1

res-x=a

pectivamente. O anterior pode ser ampliado para um domínio bi ou tridimensional considerando que o delta de Dirac pode ser de finido como:

o(q - s)

o

quando q

'f

s

e

f

_{íl 8(q - s) f(q) díl(q)} f(s)

onde s e q representam dois pontos no domínio íl.

3.4 - SOLUÇÃO FUNDAMENTAL TRIDIMENSIONAL

A solução fundamental ou função de Green para a equação de onda escalar

e

a solução da equação (3.2.1) para um

domínio infinito e uma fonte concentrada:

A equaçao (3.2.1), para este caso pode escrever-se:

- 4rr ó(q - s) ó(t - ,) (3.4.2)

*

onde u e o potencial devido a uma fonte representada por um impulso em t

=

T localizada em q = s; q e s são os deno-minados pontos campos e fonte respectivamente na teoria do

po-tencial, cuja notaçao sera mantida neste capítulo.

A solução fundamental u •

*

tem as seguintes pr~ priedades:

*

u ( q , t ; S , T)

o

quando C(t - T) <

lq -

si

(3.4.3)

sendo

lq -

si

a distância do ponto campo q ao ponto fonte s.

ii

Recipnocidade

*

*

u (q, t; s, T) = u (s, - T; q, - t) (3.4.4)

iii) T~anslaçio no Tempo

*

u (q, t + t

1; s, T +t1) u (

*

q, t; s, T) (3.4.5)

A solução fundamental u

*

em duas dimensões

( 5) .

*

u(q,t;s,T)

onde H e a função de Heaviside, dada por:

-- !

01

H ( x - a)

se X > a

se X < a

Em três dimensões a solução fundamental

(u),

(5),

*

u (q, t; s, T) (3.4.7)

onde r

=

li- ~I

(Figura 3.4.1).

Figura 3.4.1 - Definição do Vetor r

3.5 - EQUAÇÃO INTEGRAL DE KIRCHHOFF (PARA A REPRESENTAÇÃO DE

EQUAÇÃO ESCALAR DE ONDA TRANSIENTE)

Quando t

e

substituido por T , a equaçao

-

(3. 2 .1)

fica

í/2u(q, T) 1

o

2u(q, T) =

- C2

3,2 - y(q, T) (3.5.1)

e usando a propriedade da reciprocidade (equação 3.4.4), pode-mos escrever a equaçao 3.4.2 [11,

5),

como:

2 *

í/2 _u

* (

_{q , t ; S , T}

)

_-

_{C2 - - -}

1 d u ( q, t ; S , T)

0,'-

*

Considerando que u e u satisfazem as equa-çoes (3.4.2) e (3.5.1) respectivamente e além do mais u

*

e u

supoem-se distribuídos respectivamente nas regiões íl+

r

e íl +

* *

r

(Figura 3.5.1) as quais têm as mesmas propriedades físicas e tal que íl

*

contêm a íl +

r.

,.

r

x,

Figura 3.5.1 - Região íl* + f* contém a íl +

r

to u

*

A solução fundamental relativa ao espaço infini-deve obedecer as condições de radiação e regularidade com

*

r

colocado no infinito, isto assegura que não existem ondas vol tando do infinito ao interior do corpo. Se considerarmos uma grande esfera Er de raio _r' centrada num ponto a qual

contém o contorno

r

da região em consideração (Figura 3.5.2)

e com r aproximando ao infinito e impondo a condição que o

campo em nao recebe nenhuma contribuição de Er equação integral de Kirchhoff (3 .5 .17), a condição de de Sommerfeld: lim r+oo e a condição de regularidade lim u = O r+oo obtemos da radiação (3.5.3) (3 .5 .4)

Zr

r

Figura 3.5.2 - Simulação de um Domínio Infinito por uma Esfera Infinita

Seja a seguinte relação de resíduos ponderados p~ ra a equação diferencial (3.2.1). onde p

*

mente pequeno. 1

_a2

_u

_*

Jt+J

*

~ dT₂ + y) u díl dT = (p -

p)

u o

r

₂ e t +

*

Ü) p df dT representa t + E sendo df dT -(3.5.5) E

arbitraria-Usando o teorema da divergência duas vezes ao te~

mo que contêm o Laplaciano da equação (3.5.5) e integrando por parte duas vezes

rivada no tempo,

com relação a T d 2 u

obtêm-se

para o termo que contém a de

+

r

f

(u

*

o

r

+

Ci/

+

It I

(V2 u

*

*

*

1 32µ p - up ) df dT +

_{- C2}

_""ã-r"2)

_{u d íl dT +} o íl (3.5.6) t+ y díl dT +

~

f

[iu* u _ cÀl u*J díl

o

C2 dT 3T íl o

Levando em conta a condição de causalidade, temos:

=

o

(3.5.7)

-Portanto a equaçao (3 .5 .6) pode escrever-se como:

*

up) t+ df dT -

J

J

4rr 8(q - s)

8(t -

T) udíl dT + o íl

*

1

J

*

díl dT - -

_c2

(v _o U - V U ) díl o o o

o

íl

*

u o (3.5.8)

Usando as propriedades de função delta de Dirac no segundo termo da esquerda da equação (3.5.8) e adotando que

e u

*

o são nulos em íl temos:

u(s, t)

=

4~ ( + t u \q, t; s, T) p(q, T) df(q) dT -1

Jt+J ,,

- p (q, t; s, T) u(q, T) dr(q) dT 4rr o

r

*

u (q, t; s, T) y(q, T) díl(q) dT (3.5.9)

Colocando a solução fundamental dada pela equaçao (3.4.7) e usando suas propriedades a integração no tempo é eli-minada.

-O primeiro termo do lado direito da equaçao (3,5,9)

fica:

*

u pdf dT =

J:.._

J

J:.._

Jt+ó(r/C -4rr r (t - T)) p(q, T) dT df =

r

o =

J:.._

J

J:.._

Jt+Ó(T - tr) p(q, T) dT df

J:.._

J

J:.._

p(q tr) df 4rr

r

r O 4rr

r

r '

onde tr t - r / C , e o "tempo retardado".

Para o segundo termo do lado direito da

*

(3.5.9) devemos obter p :

p *cq,

t;

s,

T)

=

-fn [

u*cq,

t;

s,

T)

l

Logo: Ficando finalmente:

ar

3u* = 3n ~

*

p

_r2

1 o(T - tr) + C1,, ddT [o(T-tr))}

Assim podemos escrever:

(3.5.10)

-equaçao (3.5.11) (3.5.12) (3.5.13)

= J

~

Jt+[-

J__

o(T - tr) + c)n r2

r

o +

J__

.l._

(o(T - tr)) udT df cr clT (3.5.14)

Considerando a equaçao (3.5.14) pode ser escrita como: 1 + -Cr

(

~~

(q,

T))

}

dr

T=tr (3.5.15)

A Última integral do lado direito da equação (3.5.9) que contem a densidade de fontes pode ser transformada como in-dicada abaixo,

T) o(T - tr) df díl =

(3.5.16)

Jíl

+

y(q, tr) díl

Colocando os resultados finais da integrais indi cadas nas equações (3.5.10), (3,5,15) e (3.5.16), a equação in-tegral (3.5.9) fica: u(s, t) 1

J

1 = 41T

r

r(s, q) p(q, tr) 1 Jar(s, q) { 1 df(q) + 41T

r

cln(q) rz(s, q) u(q, tr) + + i

(ºº

< q' t) J }

dr

Cr(s, q) 3T T=tr + _{i1T Jílr(s~ q) y(q, tr) díl(q) (3.5.17)}

Na expressao anterior e colocada entre parênteses

a dependência das variáveis em relação

ã

coordenadas a fonte, para melhor clareza destas relações,

de campo

A equaçao (3.5.17) e conhecida como equaçao inte gral de Kirchhoff e ê considerada a representaçao matemática do princípio de Huygens.

Assim a equaçao integral (3.5.17) fisicamente es tabelece que o potencial em um ponto s no instante t pode ser calculado das contribuições de potenciais e fluxos no contorno produzidos em instantes anteriores, mais uma contribuição de uma

fonte potencial distribuída relativa também a tempos anteriores. Esta diferença de tempos deve-se ao tempo que demoram em viajar as contribuições com velocidade

e

atê o ponto s •

Para usar a equaçao integral de Kirchhoff para o calculo dos potenciais em pontos internos deve-se conhecer

clu

e

3T

do contorno, a função da fonte y e as condições ciais, mas, os valores relativos ao contorno devem ser

dU

u,

Tu

ini-previ~

mente conhecidos. Isto pode ser feito a partir de uma nova equ~ ção integral, que ê a equação (3.5.17) particularizada para o

contorno, neste caso existirão integrais de contorno singulares que devem ser calculadas no sentido principal de Cauchy.

Quando o contorno é uma superfície suave do tipo

Liapunov (

24)

("superfície que possui plano tangente e normal Úni

casem qualquer de seus pontos mas nao necessariamente

curvatu-ra em cada ponto11

) , o domínio

mi-esfera pequena de raio contorno (Figura 3.5.3).

E'

n

pode ser aumentado por uma se

/

/

/

r

Figura 3.5.3 - Domínio Aumentado por uma Semi-Esfera de raio E no ponto S do Contorno

Assim, a equaçao integral (3.5.17)

-

sem considerar

a integral de fonte fica:

u

Cs,

t) -1

J

-1 p(q tr) 411 r '

r-r

1 + -Cr E

l

au(q,

OT

1 1

r

p(q. tr) df + 411 df +

lrr

J

~~

{/

2 u(q, tr) +

r-r

E 3r 1

aii r2

u(q, tr) df + (3.5.18) 1 ~~(q, T) 1 df ,=tr

Quando E-+ o

r - r

-+

r

resultando nos

seguin-E

tes valores, para as integrais sobre

r

E indicados na equaçao

-(3.5.18), a deduçio de tais integrais pode-se encontrar na refe rência

(5).

1

12

=

frr

Jr ~: /

2 u(q, tr) df 1

2

u(s, t) (3.5.20) E: 13

=

4~

Jr

~~

clr 1

~i

(q, T) 1 df

=

o

T=tr (3.5.21) E:

-A equaçao integral de Kirchhoff usada no contor-no fica:

{ u(s, t) =

frr

Jr

i

p(q, tr) df + _4~

Jr

~

{r

1

2 u(q, tr) +

1 lâu(q,T)I

}+i..J

.:!:.y(q tr)díl (3.5.22)

+ Cr dT T=tr 4 Tf r •

íl

Se considerarmos uma fonte concentrada em q = q 5, podemos escrever

y(q, t) = f(t) 8(q - q 5)

e a integral da fonte sera:

J

,..,

f(rtr) ,, ~~~ 6(q - qs) díl onde trs t - r

/C

s e

J

f(t - r(s, q)/C) r(s, q) 8(q - qs) díl íl f(t - r(s, q 5) /C) r(s, q 5) = f(trs) r s (3.5.23) (3.5.24)

-Assim a equaçao (3.5.22) pode-se ser escrita na seguinte forma:

-} u(s, t) = ; 11

Jr

f

p(q, tr) df + 4~

Jr

~~

{r\ µ(q, tr) + 1 + -Cr _l~~(q, T) 1 } df + T=tr f(trs) 411 r s (3.5.25)

Se generalizarmos a equaçao (3.5.25) por uso do

coeficiente C(s), a equação ficará:

C(s) u(s, t) ₌ 4~

Jr}

p(q, tr) df +

.l.

₄₁₁

J

r

clr { 1 cln

r2°

u(q, 1 + -Cr _l~~(q, T) 1 } df + T=tr f(trs) 411 r s tr) + (3.5.26)

O

se o ponto S estâ fora do domínio íl

onde C(s) Se o ponto S estâ no contorno

r

1 Se o ponto S estâ no domínio íl

Podemos notar que (3.5.26) nao tem integração no tempo, mas existe a dependência através de todas as variáveis as

sumidas como campos em relação ao potencial assumido como fonte

pela função tempo retardado tr = t - r/C.

A derivada pode ser escrita na seguinte forma:

C(s) u(s, t)

ar

dn í/r • n r. • n. J J r r • n

=--=

_r

Assim podemos escrever:

1

L

1 f11

Jr

r .

411 - p(q, tr) df r + r2 1

l~~(q,

_{T)I } df +} f(trs) +

_e

411 rs T=tr (3.5.27) E

lr

(1 u(q, tr) + (3.5.28)

CAPÍTULO IV - MÉTODOS DE ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO

A

PRO-BLEMAS TRIDIMENSIONAIS TRANSIENTES GOVERNADOS

PE-LA EQUAÇAO DE ONDA ESCAPE-LAR

4.1 - INTRODUÇÃO

Usaremos funções de interpolação no tempo e no espaço as quais em geral podem aproximar de uma forma diferente o potencial u, sua derivada normal p, como também a de-rivada do potencial em relação ao tempo. Estas funções de in-terpolação são similares as usadas no método dos elementos fini tos. Este procedimento permite que a nossa equaçao integral

-

(3.5.26)

possa ser discretizada em relação ao tempo e espaço através de valores nodais para as incógnitas, resultando um sistema de equ~ çÕes algébricas lineares ficando assim ao alcance dos algoritmos

computacionais. Para o cálculo dos potenciais em pontos inter-nos

é

usado o mesmo procedimento colocando C(s) = 1 em (3.5.26)

como é usual no método dos elementos de contorno.

Para o avanço no tempo de forma discreta conside raremos que a cada intervalo de tempo ôt um novo problema

de-ve ser resolvido, assim ao final de cada ''time-step'' conhecem-se

os valores de u (q, t) e p(q, t) no contorno, que juntamente

com os valores obtidos em 11

time-steps11

anteriores vão permitir

o cálculo das incógnitas nodais para o intervalo de tempo segui~ te, portanto a equação integral é aplicada de O a 6t,

26t, etc, Nossa origem no tempo e o tempo igual a zero,

ôt a onde

conhecemos as condições iniciais no contorno do problema. Condi

çoes iniciais no domínio nao foram consideradas no trabalho. Como a equação integral não tem integração no

contraparti-da faz aumentar a complexicontraparti-dade dos algoritmos de solução numéri ca, por causa das relações entre as variáveis através de tempos retardados.

4.2 - DISCRETIZAÇÃO

Adotaremos nesta tese aproximaçoes constantes p~ ra as variáveis em relação ao espaço, enquanto em relação ao tem po, serao consideradas duas possibilidades: constante e linear. No capítulo V são apresentados os esquemas para os tipos de com binações que serão estudados.

Seja o contorno

r

dividido em N elementos que geram NN nos. O potencial u(q, t), a derivada ·normal do p~ tencial p(q, t) e a sua derivada em relação ao espaço ;,(q, t) de um elemento K qualquer serão constantes no próprio elemento. Ao adotarmos a formulação de elementos constantes,

ver entao para o domínio do elemento

u( q, t) p(q, t) Ü(q, t) = = uk (t) pk (t) ... k ( t)

A geometria do próprio elemento

podemos escre

(4.2.1.1)

sera apr~ ximada linearmente; se

s

e n definem as coordenadas natu rais do próprio elemento, as coordenadas globais dele podem

NS X = l: _{xkt 1/J t < i;;,}

n)

.Q,= 1 NS y l: _yk.Q, 1/J .Q, (

ç,

n)

(4.2.1.2) .Q,= l NS z = l: _{zk.Q, 1/J .Q, (}

_{ç '}

n)

9-= l

sio funç;es de interpolaç;es lineares iguais is empregados no

MEF (1)

em problemas bidimensionais. Nesta for-ma um vetor de posiçio E(x, y, z) de um ponto qualquer do ele mento K, fica definido pelas coordenadas naturais Ç e

n

atra ves da funçio r(Ç, n).

Assim a are a dS de um elemento diferencial df, sera dado por:

dr = 1

ªE

X

ºE

I dr dn ãç

ãn

~ dr

I

J

I

d ç d

n

sendo 1 J 1 (4.2.1.3) onde _Jl d X -ª2'._)

an ai;;

Agora, se escrevemos a equaçao integral para um determinado instante de tempo t = mllt (m, inteiro natural) p~ ra todo no J

.

do contorno, teremos a seguinte expressão ao subs

•

tituir os valores de _{u(q, t) '} p(q, t) e u(q, t)

-aproximaçoes N

t

pk (tr) 411C(s.) u .(t) = E _{IJlk dç dn} J J _{k=l Rjk} k N

t

(g .

_:1) Jk + E • uk(tr) IJlk dç dn k=l Rjk k N

Jr

(g.

~)Jk + E C R2jk • ~k(tr) IJlk dç dn k=l k f (trs) +

~~-'-Rs

com J = 1, 2, 3 ... N Sendo tr e tr s = t - R.

/e.

J s

A expressao (4.2.1.4) escreve-se como:

onde ri) ~(tr) dÇ <ln+ f(trs) RS pelas suas (4.2.1.4) (4.2.1.5)

C! jk(ç. n) JJJk = Rjk JJJk (R

.

n). k s jk(Ç. n) = - J (4.2.1.6) Rjk 1 JJ k (R •

!'.)

Jk yjk(Ç, n)

e

_Rjk

Rjk

ê

a distância entre o no J (fonte) e um ponto do domínio

(campo) do elemento K, isto e:

Devemos notar que os coeficientes e

yjk dependem da posição relativa entre o no J e o elemento

K, os quais sao função das coordenadas adimensionais e

n

do próprio elemento K, assim pode-se aplicar integração nume-rica para as integrais em (4.2.1.5) por quadratura gaussiana. E

possível para os termos que contém o coeficiente a j k integrar

analiticamente com singularidade do tipo especiais.

1/R em certos casos

Mais ainda temos que discretizar o tempo, o qual sera feito a seguir.

4.2.2 -

V~óe~et~za~ão do Tempo

Para proceder à discretização do tempo adotare-mos o intervalo 6t como unidade de avanço, seu valor vai de-pender de diversos fatores que influenciam a qualidade dosresul dos numéricos.

po retardado, função do tempo e espaço simultaneamente e levan-do em conta que em geral este tempo não serã um múltiplo exato do intervalo ll.t o qual ê considerado que não varia durante o

processo, teremos,

tr = t - R/C

onde R =

1~ - gl

e t = mll.t (m = 1, 2, 3, . . . )

O valor de tr pode ser decomposto em uma parte

inteira e uma parte fracionária, isto

ê:

t r = mll. t - (n + )J) ll. t

onde n

=

parte inteira de R/Cll.t e )J = R/Cll.t - n

'

(4.2.2.1)

cionãria de R/Cl1t - n; )J varia portanto entre O e

parte fr.'.: 1 (Figura 4.2.2.1).

u

I·

R/c

(m-::3)

1

Cm-:)

, , • ,

_{... _____ .,..---}

e m-n-1>

r-+

_{~··---....C..---1}

n·At (m-n-2) .

1Ati

..

-

___

...

______

...__

--2At 3At 51H 6ll.t--..

Figura 4.2.2.1 - Definição dos Valores de n e µ.

Esquema do Tempo Retardado e Posi-ções Nodais.

tervalo Llt,

Para aproximar linearmente u, p, u dentro do 1n usamos as funções de interpolações lineares

E

1( µ ) = 1 - µ

(4.2.2.2)

Então, adotando o superíndice para indicar a po-sição do Índice nodal no tempo, temos:

u/tl = U· m J (m-n) (m-n-1) 2 (m-n-r+1) u.k (tr) = El uk + E2 uk = ,: _{Er uk} r=1 (m-n) (m-n-1) 2 (m-n-r+1) pk (tr) _{El pk + E2 P.k} =

,:

_{E pk} (4.2.2.3) r=I r ~(tr) • (m-n) •(m-n-1) 2 _{• (m-n-r+1)} E _{~ + E2 ~} ,: _{E uk} 1 r r=1

Notemos ainda que o anterior pode generalizar-se para aproximações de ordem superior, quadráticas, etc, aumenta~ do por conseguinte o número de posições nodais ou nos no

dentro do intervalo de tempo Llt.

tempo

4.3 - DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA PARA u

Para obter numericamente

fÕrmula de diferenças atrasadas de Newton, (34)

• (T) u ficando assim u • ( T) F i: f=o Cf u (T-f) } _com em termos de valores de

o

u empregaremos a (4.3.1) em temos

ante-riores e do mesmo instante T. Exploraremos neste trabalho duas possibilidades:

).. _T Jt

ê..s

po nto.s

Neste caso tem-se

F 2

e

3/2 o (4.3.2) c1 =

-

2 c2 1/2 )..).. )

_{Vo)...1, pont:0.1,}

F 1

e

_o 1 (4.3.3)

Portanto podemos escrever agora ~k(tr), usando (4.3.1) e a ter ceira de (4,2,2.3) 2 _{• (m-n-r +1) 1} l: Er uk = 6.t r=1 2 i: r=l F (m-n-r+1-f) i: E r • cf • uk f=o (4.3.4)

4.4 - EQUAÇÃO INTEGRAL DISCRETIZADA

A equação (4.2.1.5) com a discretização do tempo e a formula de diferenciação numérica apresentada pode ser es-crita da forma seguinte:

411C(s.) J N R=2

J

ªjk(Ç, m i: i: n) E (µ) (m-n-r+1) dn ds + u. _pk J _{k=l r=l} r rk N R=2

L

(m-n-r+l) i: i: _{sjk<ç, n) E (µ) uk} dn dç + k=l r=l r k F 1

J

(m-n-r+ 1-f) l: -;;- YJ·k{ç, n) Er(µ) uk dn dç + f=o wt f(trs) RS rk (4.4.1)

com j = 1, 2, 3 . . . N

Ao compararmos a equaçao anterior com a equaçao integral de contorno para problemas de potencial governados pe-la equação de Lappe-lace ou Poisson, podemos notar que o primeiro somatório da equaçao

(4.4.1)

fornece a matriz G e o segundo somatório fornece a matriz denominação usual no M.E.C., as-sim o terceiro triplo somatório e a contribuição do termo

da equaçao de onda e o quarto termo é o termo inhomogêneo. Oco mentado anteriormente porém deve ser tornado unicamente num

sen-tido formal, porque a matriz H resultante final na

(4.4.1)

esta formada pelas contribuições do segundo e

equaçao

terceiro

somatórios da própria equaçao; H e G nesta formulação nao sao cheias em geral, podendo até serem matrizes diagonais.

Ao integrarmos numericamente por quadratura gau~ siana as integrais definidas na equaçao (4.4.1) e efetuar o de-senvolvimento dos somatórios em relação a

superiores resultantes nas variáveis ver na forma: (m - i) u f e p e r os Índices podem-se escre-(4.4.2)

onde m e o Índice que indica o atual "time-step" e o Índice i e a soma das contribuições dos Índices n, r e f. Notemos que

como li t ê constante os valores assumidos pelo Índice i resul tam ser independentes da marcha no tempo. Os coeficientes re-sultantes para u e p devido ao processo anterior podem ser associados a este Índice i e assim podemos escrever:

N 11 G(i) (m-i) 4rrC(s j) u. = m i: ,: _pk + J _{k=i i=I} jk o N 12 H(i) ~m-i) + f(trs) + l: l: (4.4.3) k=l i=I jk RS o J _{1 ' 2'} 3

...

N RS =

l~J

-

9sl

e trs = mllt

-

R₅/C

Observemos que a variável i tem um valor

mini-mo I devido ao valor de n mínimo, isto e, o que

correspon-o

de

ã

menor distância entre o no J e o ponto de integração mais perto de J; lembrando (4.2.2.1) temos.

n mã:n =

(R.k) ~

J min

e •

llt (parte inteira)

Logo = n min. ~ que acontece quando r = 1 e

f

= o, devendo-se observar que o valor menor possível de se en centrar para 1

0

é

igual a zero.

Da mesma forma a variável 1 tem dois mâximos,

para os coeficientes _pk (m-i) e outro 1

2 para os coefici-entes de _uk (m-i) ponto que existe um somatório a mais em

rela-ção ao Índice f no terceiro termo de (4.4.1)

Entao, sendo n max = (R.k) -J max

e

llt (parte inteira) temos: I = n max + R + F

-

1 2 (4.4.4) e I = n max + R

-

1 1

quando n

=

n max r = R = 2 e f F

4.5 - FORMAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Quando nós queremos achar as incógnitas no con-torno empregaremos a equação (4.4.3) com C(s.) = 1/2, neste ca

J

so temos:

N

r,

H(i) (m-i) N 11 G(i) (m-i) f(trs) 211 u. = m l: l: _uk + l: l:

jk pk +

J _{k=l i=I} jk _{k=I i=I} RS

(4.5.1)

o

o

J = 1 • 2 • 3

...

N

Em forma matricial e separando as incógnitas relativas ao Últi-mo intervalo de tempo m, (as var1.ave1.s

.

-

.

u e p para valores

anteriores ao ''time-step'' m sio conhecidos), temos:

11

8(i) u<m-i) + l:

i=l

(4.5.2)

Usando as condições de contorno tipo Di~ichlet, Newman ou Cauchy (mistas) para o problema, e deixando no

esquerdo as incÕgnitas do contorno obtemos

lado

I2

AX=C+ l: i=1 li 8(i) u(m-i) + l: i=1 (4.5.3) onde ~, tes

Hj~)

vetor de constantes dado pelo produto dos coefícien

no contorno.

do tipo

H

(o) _jk

por seus correspondentes valores prescritos

A matriz ~' matriz é composta de coeficientes

contorno,

X vetor da incógnitas do contorno

S vetor de constantes pela contribuição da fonte f(trs) /R 5

Se efetuarmos os produtos matriciais

(m-i) u e obtemos A X

e

+ H -O + G

-o

+

s

(4.5.4) I 1 G ( i) P(m-i) onde G = E

-o

_i=l 12 H ( i) ( m- i) H E u

-o

_i=l

Em G e H estarao contidos os valores

nume--o

-o

ricos devido às condições iniciais quando ( m-i) for

zero.

Somando os vetores de constantes tem-se

sendo A X = B B = C + H + G + S

-o

-o

igual a (4.5.5)

Equação (4.5.5) e um sistema de equaçoes algêbri casque fornecera portanto após ser resolvido o valor das incó~ nitas no contorno, para o valor do tempo final do intervalo de tempo considerado.

4.6 - SOLUÇÃO EM PONTOS INTERNOS

Quando os valores de u e p são conhecidos no contorno pela aplicação da equação matricial (4.5.5), valores de potencial dentro do domínio podem ser determinados usando (4.4.3) com C(s} = 1. Neste caso obtemos:

4TT u~ = J N 11 i:: i:: k=l i=I o G_{jk pk} (i) (m-i) ₊ N lz i:: i:: k=l i=I o H_jk (i) u _k (m-i) + J 1,2, . . . NPI f(trs) RS (4.6.1)

onde J e o Índice para enumerar os pontos internos. Portanto o potencial u no ponto interno

dado por: onde aos da equaçao m u. J 1 4TT N i:: k=l N i:: k=l Devemos (4.5.1) pontos internos. 11 G(i) i::

Io

jk 12 H ( i) i: _jk

Io

notar que posto que J e no instante t = m6t e (4.6.2) P(m-i) k (4.6.3)

(m-i)

uk H ( i) G ( i)

-

_diferentes jk e jk s ao

CAPÍTULO V -

IMPLEMENTAÇAO NUMÉRICA DE PROBLEMAS TRANSIENTES TRI

DIMENSIONAIS

5.1 - INTRODUÇÃO

Desenvolveremos neste capítulo expressões para os

coeficientes da equação (4.5.1), com aproximação linear no tem

po para u, p e u, mantendo a aproximação constante no

espa-ço para u e p. Para a diferenciação numérica empregaremos a

formula de Newton (4.3.1) de diferenças atrasadas em três pon-tos.

Obtém-se também o valor analítico dos coeficien-tes de p para certas situações especiais.

5.2 - ELEMENTOS PARA DISCRETIZAR O CONTORNO

Empregaremos elementos quadriláteros para mode-lar o contorno. Elementos triangulares (35) ou qualquer outro

elemento plano empregado no método dos elementos finitos podem ser usados para tal fim. Nossos elementos são constantes e a

geometria do corpo discretizado tem semelhança com aqueles mode lados com elementos tipo flat no método dos elementos finitos (Figura 5.2.1). O elemento fica representado por um no K por exemplo no centróide do quadrilátero.

De (4.2.1.1) temos que as variáveis u, p eu fi cam aproximadas no elemento K por:

u(q, t)

p(q, t) = pk(t) ~(q, t) = ~k(t)

• No funcional

x.K,

1

s

Figura 5.2.1 - Corpo Discretizado em Elementos Quadrilaterais

5.3 - DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO

Como jã dissemos na seção (4.2.2.2) aproximaremos a variaçao de u, p e u dentro do intervalo 6t de for-ma linear e usando (4.2.2.1), temos:

u(q, tr) = uk (tr) _{El uk} (m-n) + E2 u2 (m-n-1) p(q, tr) pk ( tr) E, pk (m-n) + E2 pk (m-n-1) (5.3.1) ~(q, tr) = ~k (tr) = _{El uk} •(m-n) + _{E2 uk} •(m-n-1) onde tr = t

-

R/C ou de forma discreta tr m6t - (n + µ)6t

e sao funções de interpolações lineares em µ con forme mostrado na Figura (5.3.1), dados por

(5.3.2) µ

1

1

tn

tn+1

_t

tn

tn+1

_t

1!

1 1 T T

Figura 5 . 3 . 1

-

Funções de Interpolação Lineares no Tempo

{{) Avanço no Tempo

A forma de avanço no tempo e através dos saltos

discretos de tempo li t • Por cada salto de tempo l'lt a

on-da avança uma distância igual ao produto on-da velocion-dade de propagaçao

e

por

t.t.

Devido ao princípio da causalidade e os tipos de aproximações no tempo empregadas existirá in-teração entre dois elementos quaisquer desde que pelo menos a distância de uma sub-região de um deles em relação ao no central do outro seja menor que ã distância percorrida pela onda até esse instante (Figura 5.3.2).

O comentário obviamente deve-se ã própria nature za do fenômeno de propagaçao assim numericamente fica re-fletido em que somente existirão coeficientes diferentes de zero na matriz A (4.5.4) das incógnitas (equação 4.5.4),