Rotura por Punçoamento em Estruturas de Betão Armado
João Maria
Sobreira
1Jorge Nunes da
Silva
1Jorge Ribeirinho
Soares
2 RESUMOEste estudo desenvolve um modelo estrutural de cálculo baseado no resultado dos ensaios de Kinnunen e Nylander. O esquema estrutural em estado limite de rotura é um esquema em treliça com bielas comprimidas em anel cónico e tirantes verticais em anel cilíndrico, armados ou não armados. Analisa-se a importância das armaduras horizontais na laje, quer a superior quer a inferior, bem como da fendilhação do betão, das assimetrias dos vãos contíguos ao pilar, da localização do pilar (interior, bordo ou canto),etc. No final faz-se a comparação dos resultados obtidos por este método com o EC2, o MC10 e o REBAP. Por evidente falta de espaço este artigo é um resumo do original que pode ser visto em www.gop.pt.
Palavras-chave: Betão Armado; Corte; Punçoamento.
1. INTRODUÇÃO
Ao analisar o comportamento á rotura de lajes apoiadas em pilares vemos que os mecanismos de rotura por flexão podem apresentar diversas configurações e são condicionados pela armadura horizontal inferior e pela armadura horizontal superior. A flexão para além das linhas de rotura no vão, pode originar em torno das cargas concentradas fissuras radiais, criadas por momentos negativos m’r e limitadas exteriormente por fissuras curvas, devida a momentos positivos mt (ver Fig. 1) [1].
Figura 1 – Linhas de rotura sobre um pilar. Figura 2 – Esquema de vigas que ligam os pilares.
1
Sócio-Gerente, GOP- Gabinete de Organização e Projectos, Lda., Porto, Portugal. geral@gop.pt
2
Assim, na zona em volta dos pilares existem, em estado de pré-rotura, momentos radiais e tangenciais, que são máximos junto ao pilar e se reduzem rapidamente à medida que se afastam deste. Enquanto as fissuras no vão acabam sempre por se formar (se outros mecanismos não originarem previamente a rotura local da laje), as fissuras de continuidade e sobretudo o valor e a variação dos momentos negativos nelas instalados, dependem da quantidade e extensão quer da armadura horizontal inferior, quer da armadura horizontal superior e ainda da forma como a continuidade sobre o pilar pode ser garantida pela restante parte da estrutura, o que está fundamentalmente relacionado com a localização daquele (interior à laje ou no bordo desta), com a rigidez relativa entre pilar e laje e outros factores de assimetria. Para termos em conta estas assimetrias adoptamos neste estudo um modelo que se baseia na simulação da existência de vigas que ligam os pilares entre si, com a espessura da laje e secção variável, conforme Fig. 2. O comportamento destas vigas pode ser considerado idêntico ao de vigas vulgares, isto é sujeitas aos diversos tipos de esforços. Estas vigas são portanto submetidas a um esforço transverso, que neste caso é crítico junto do apoio nos pilares, pois além de aí ter o seu valor máximo, também é exercido sobre a secção mínima da viga. Se considerarmos todas as vigas que concorrem num pilar obtemos um perímetro crítico de resistência ao esforço transverso que agora iremos designar de resistência ao punçoamento. É com base neste esquema estrutural que as questões relacionadas com lajes apoiadas em malhas não simétricas de pilares (incluindo os pilares de bordo e de canto) são resolvidas pela teoria de rotura exposta neste estudo. A teoria que vai ser exposta considera de forma explícita todas as situações de apoio da laje e também todas as solicitações habituais da prática.
2. RESISTÊNCIA AO PUNÇOAMENTO DE LAJES SIMETRICAMENTE APOIADAS 2.1 Resistência VRd do Cone de Punçoamento
Por lajes simetricamente solicitadas entendem-se as lajes que transmitem ao cone de Punçoamento, por quadrantes simétricos, uma carga linear e uniforme r (ver Fig. 3). Em tal situação o anel cónico de Punçoamento, vulgarmente designado por cone de Punçoamento, possui a sua resistência máxima.
Figura 3 – Definição geométrica do cone de Punçoamento.
As expressões que definem a forma geométrica do cone de punçoamento dependem, além dos valores iniciais d e d’ (altura útil da laje e diâmetro do pilar) de cada problema, das seguintes grandezas: y: Altura do diagrama simplificado rectangular de tensões-extensões do betão [2].
: Inclinação da fissura de punçoamento, que os ensaios mostram ser cerca de 30° nas lajes correntes e 45° nas lajes de fundação (sapatas e ensoleiramentos gerais).
a: Largura de apoio do anel cónico de punçoamento sobre o pilar.
: Inclinação do cone de punçoamento (36º em lajes e 51º em ensoleiramentos e sapatas).
Refira-se que os valores do ângulo acima fixados, e ,estão relacionados com os valores da percentagem das armaduras horizontais, ρL, habitualmente utilizadas nestes dois tipos de lajes. Estas
percentagens são para as lajes cerca de 0.8% e nas fundações cerca de 0.2%. Para a definição do anel cónico e determinação dos valores da distância entre o eixo do pilar e a secção crítica do anel, e, a largura da secção crítica do anel, c, e o raio do tirante suspenso do cone de punçoamento, f, temos:
2 θ α α
cot d cotα d a b (1) a b d a aux (2)
aux a aux y c (3) 2 c cot y 2 ' d e (4) 2 b cot y 2 ' d f (5)Sobre o topo de um pilar, a zona inferior da laje é triaxialmente comprimida sendo a resistência do cone definida a partir da resistência fcd do betão e da secção do cone ao nível da zona inferior da laje, de altura y. O valor de fcd
C20/25
será majorado de
20 fck
, em que fck corresponde ao betão utilizado [4]. De facto é nesta secção que a resistência do cone é menor, quer pelo valor da tensão da rotura admissível, quer pela sua área resistente, visto que abaixo de y existe um estado de compressão triaxial e acima de y uma compressão axial. A secção de resistência mínima do cone é dada assim por:
c e 2
Ac (6)
à qual corresponde uma resistência máxima ao Punçoamento dada por: Ed 2 ck cd máx , cone sin V 20 f f c e 2 V (7)
Note-se que, nos casos em que os bordos da laje estejam a uma distância igual ou inferior a (f+b), deve-se descontar o perímetro correspondente ao ângulo w definido por intersecção do bordo com o perímetro critico de punçoamento [4]. Nas fórmulas apresentadas, deve-se fazer (2-w).
2.2 Armadura horizontal do cone de punçoamento em lajes simetricamente solicitadas
A armadura horizontal de equilíbrio do cone de Punçoamento é habitualmente formada por uma malha quadrada de varões, formando uma armadura isotrópica ou anisotrópica, conforme as percentagens ρLx e ρLy são iguais ou não em ambas as direcções de referência, x e y (ver Fig. 4). Se px e py forem as resistências lineares unitárias das armaduras segundo x e y e p for a respectiva resultante horizontal (uniforme por hipótese ao longo de todo o perímetro deste, pois se considera que a laje está simetricamente solicitada) pode-se escrever:
dy sin f p dy cos f p sin dx p cos dy p ds p y 2 2 x y x (8)
Tendo-se presente que quando x e y variam de 0 a f, varia respectivamente de π/2 a 0 e de 0 a π/2, considerando , 0/2pdsFh tem-se: F tan 4 V h Ed (9) Fh é a força desenvolvida pela malha da armadura horizontal num quarto de círculo do anel cónico de punçoamento. Sendo Ax e Ay a área de armadura horizontal superior segundo x e segundo y, e A a sua resultante:
Sd h A
F (10)
Se ρL for igual á percentagem de armadura existente no quarto de círculo considerado temos:
d f A 2 l (11) f d tan 2 4 V Sd l Ed (12) % 8 . 0 tan d f 28 . 6 V Sd Ed l (13)
A limitação imposta pela Eq. (13) confere ao betão do cone de Punçoamento a indispensável capacidade de deformação plástica compatível com a formação do mecanismo de rotura local.
Quanto à tensão Sd a adoptar, ela não pode ser fSyd, pois um alongamento excessivo da armadura de estabilidade do cone de Punçoamento poderia aumentar o risco de encurvadura da zona triaxialmente comprimida da base do anel cónico. Sem elementos experimentais disponíveis que possam servir de verificação opta-se por limitar aquele alongamento através de um valor reduzido da abertura característica, wk, da fissuração do betão. Assim Sd deve corresponder a um wk menor ou igual a 0.15 mm, o que para varões ø16 impõe uma tensão Sd inferior a 230 MPa.
2.3 Resistência de Lajes sem armadura transversal
Nas zonas contíguas ao pilar de apoio, o esquema estrutural da laje em estado limite de rotura é um esquema em treliça com bielas comprimidas em anel cónico e tirantes verticais em anel cilíndrico, elementos estes cujas secções resistentes crescem rapidamente à medida que a distância ao pilar aumenta. A resistência ao Punçoamento é, por isso, uma questão que interessa apenas à zona restrita em torno do pilar. Para além desta zona a resistência da laje depende da capacidade resistente aos esforços de flexão, passando o esquema estrutural da laje em estado limite de rotura, a corresponder a um mecanismo em equilíbrio estático definido pelo esquema de linhas de rotura que origina um trabalho interno máximo de deformação. No punçoamento a resistência da laje, além de depender da resistência do cone (Vcone max), depende da resistência do tirante vertical de betão, Fig. 5, esta resistência é dada pelo produto da secção do tirante pela respectiva tensão de cálculo.
Como secção deste tirante considera-se a do anel cilíndrico directamente suspenso do cone do Punçoamento e a sua área é dada por:
b f 2
Act (14)
A tensão de cálculo tem expressão idêntica à que foi deduzida para o esforço transverso no esquema da viga em treliça devendo ser afectado do mesmo modo de um coeficiente , com a diferença de que agora a largura do tirante não depende de z (no esforço transverso tem-se z=0,85d), nem de ηIV visto que no Punçoamento a biela mais solicitada é a que arranca do apoio [3].
III II I (15) 84 . 0 I (16) 0 . 1 2 . 2 d 4 . 2 65 . 0 3 II (17) 80 . 0 III (18)
Sumariamente, pode dizer-se que a resistência ao punçoamento de lajes sem armadura transversal é dada por: Ed ctd c , Rd max , cone V (2 w) f b f V V (19)
2.4 Resistência de Lajes com armadura transversal
Para cargas VEd superiores a VRd,c é necessário reforçar o tirante circular de betão. Em lajes armadas transversalmente, o valor de cálculo da resistência ao Punçoamento é dado por:
Ed s , Rd c , Rd Rd max , cone V V V V V (20) Sd sw s , Rd A V (21)
cr
ctd c , Rd (2 w) f b A f V (22) Em que:Asw - área total dos estribos verticais que formam a armadura transversal, colocados de forma simétrica em torno do pilar e segundo o perímetro 2f do cone de Punçoamento.
sd - tensão nos estribos correspondente a um wk menor ou igual a 0.15 mm, ver Quadro 1. Quadro 1. Valores de Sd máximos para cada diâmetro de varão.
Varão Sd 6 375 8 315 10 280 12 255 16 230 20 210 mm MPa
Acr - área total de betão fissurada envolvente dos estribos [4].
ctm Sd sw cr f A A (23)
A existência de estribos origina a fissuração do betão na envolvente do varão tal como foi enunciado no estudo sobre o esforço transverso daí ser descontada essa área à área do tirante. Para o Punçoamento também são fixadas regras relativas ao afastamento entre os estribos, colocados segundo um círculo de raio f, assim fixa-se s < d < 0.30 m (ver Fig. 5). Respeitando estas limitações pode desprezar-se a influência do ondulado do diagrama das tensões de tracção instaladas no tirante circular de betão, ou seja, os coeficientes ηI e ηII podem ser considerados iguais à unidade. Portanto quando se utiliza armadura transversal de punçoamento e se respeitam as disposições construtivas acima referidas, o valor de η que afecta a tensão admissível fctd é igual a η
III .
3. RESISTÊNCIA AO PUNÇOAMENTO DE LAJES ASSIMETRICAMENTE APOIADAS 3.1 Influência de um momento aplicado no cone Punçoamento
A existência de um momento MEd reduz a resistência do cone de Punçoamento, na medida em que localmente a compressão sobre este passa a ser maior do que a originada por uma carga NEd concêntrica com o eixo do pilar (ver Fig. 6).
Figura 6 - A desigualdade dos vãos originam momentos MEd sobre o apoio C.
Podemos obter o equilíbrio de MEd sobre o bordo do cone de Punçoamento a partir de uma reacção média, estendida a um comprimento 2d, e calcular a tensão linear instalada nos pontos A e A' da Fig. 7, localizados por fcos.
A variação média da reacção linear sobre o cone de Punçoamento, na extensão 2d, é dada por: 2 Ed 3 Ed f cos M f cos f M r (24) em que f3
é o momento de inércia da linha circular.
Figura 7 – MEd aplicado ao cone de Punçoamento.
A variação r, embora se refira apenas à extensão 2d, tem efeitos que devem ser estendidos a todo o perímetro e a nova carga admissível de punçoamento Vcone,máx,red é dada por:
f 2 cos e f V f 2 V V M 2 red , máx , cone red , máx , cone máx , cone (25) Ed Ed M V M e (26)
cos e 2 f f M M (27)Para efeitos de cálculo tudo se passa como se o esforço VEd fosse substituído por um esforço equivalente dado por:
máx , cone M Ed Ed V V ' V (28) red , máx , cone M máx , cone Ed V V V (29)
Deverá ser o valor V’Ed que se deve comparar com Vcone,max determinado nas secções 2.3 e 2.4 deste artigo.
Pela observação da Figura 7 pode-se concluir que a armadura total exigida pelo esforço de cálculo V´Ed deve ser dividida pelas duas faces da laje e isto em consequência da acção dos momentos MEd,AA’ e MEd,BB’ situados nos planos de referência AA' e BB´. A percentagem de armadura, l,sup, a aplicar na face superior da laje, será a necessária para resistir ao esforço
rr
cot.A acção dos momentos MEd,AA’ e MEd,BB’ origina as seguintes excentricidades:
Ed ' AA , Ed ' AA , M V M e (30) 2 ' BB . M 2 ' AA . M M e e e (31)
Só é feita referência nas equações a AA’ uma vez que na direcção BB’ é feito de forma idêntica. Para calcularmos l,sup teremos de determinar a parcela V’Ed(1) que está relacionada com o equilíbrio da biela menos solicitada.
cos e 2 f f ) 1 ( ' AA , M ' AA , M (32) ' AA , M Ed ' AA , Ed ) 1 ( V ) 1 ( ' V (33) 2 ) 1 ( ' V ) 1 ( ' V ) 1 ( ' VEd Ed,AA' Ed,BB' (34) tan d f 28 . 6 ) 1 ( ' V Sd Ed sup , l (35)Esta armadura deve ser distribuída segundo uma malha quadrada sobre o pilar. Quanto à armadura a aplicar na face inferior da laje ela é dada por:
sup , l l inf , l (36)
A percentagem total de armadura l, a aplicar, será como vimos em 2.2, a necessária para resistir à força Fh afectada pela excentricidade devida aos momentos MEd,AA’ e MEd,BB’.
cos
e
2
f
f
' AA , M ' AA , M (37) ' AA , M Ed ' AA , Ed V ' V (38) 2 ' V ' V ' VEd Ed,AA' Ed,BB' (39) tan d f 28 . 6 ' V Sd Ed l (40)
A armadura inferior destina-se a garantir o equilíbrio da biela mais solicitada na parcela de esforço não equilibrada pela biela menos solicitada. Em relação à armadura transversal, o critério será o de considerar o maior dos valores V’Ed,AA’ ou V’Ed,BB’.
3.2 Determinação das solicitações de cálculo VEd, MEd,AA’ e MEd,BB’
As lajes assimetricamente apoiadas e solicitadas por uma carga uniforme q originam uma reacção r não uniforme, o que reduz a resistência máxima Vcone,max do cone de Punçoamento em cada pilar considerado. Se se quiser adaptar os resultados experimentais de Kinnunen e Nylander, é necessário quantificar a redução da resistência ao Punçoamento resultante do desequilíbrio dos momentos de continuidade existentes sobre a cabeça do pilar, antes da formação dos mecanismos primários de rotura da laje, pois está-se a admitir que a laje rompe por Punçoamento. Em relação à carga de Kinnunen e Nylander definida a partir, como se disse, de um modelo equivalente a um pilar interior solicitado de forma simétrica, a questão que se põe é a de quantificar a redução imposta pelos desequilíbrios dos vãos contíguos, desequilíbrios estes que se traduzem em momentos inicialmente não equilibrados. A aplicação de um dispositivo de restrição à rotação sobre o pilar em análise, permite a formação do modelo estrutural ensaiado por Kinnunen e Nylander, constituído por uma placa circular apoiada num pilar, formando-se a fenda de Punçoamento no quadrante circular contíguo ao vão maior, enquanto na zona oposta esta fenda não se chega a formar pois a laje está aí submetida a uma carga mais reduzida. Se libertarmos a restrição no sentido AA', ela rodará sob a acção do momento de desequilíbrio de forma que os ângulos a um e outro lado deixem de ser nulos. Em relação aos quadrantes A' e B', como eles ficam submetidos a um sobre-encastramento a sua resistência ao Punçoamento mantem-se igual a Vcone,max/4; porém nos quadrantes A e B existem acréscimos ∆r da reacção de apoio da laje originados pelos momentos distribuídos, idênticos para efeitos de cálculo aos dos momentos MEd considerados na secção 3.1 deste artigo.
Figura 8 - Esquema auxiliares para a definição das expressões dos momentos MSd,AA’ e MSd,BB’ nos casos de se
tratar de pilar interior (à esq.), de bordo (ao centro) ou de canto (à dir.)..
Os momentos não equilibrados que actuam sobre a sujeição C da Fig. 8 podem, num pilar interior e em comportamento elástico, ser dados por (só se faz referência à direcção AA’ sendo segundo BB’ idêntico)[4]: 4 2 ,' CA , Ed 3 1 , CA , Ed ' AA , Ed M M M (41)
Quando se liberta a sujeição, os momentos não equilibrados segundo as linhas AA' e BB', distribuem-se pelos vãos contíguos e pelo pilar C, proporcionalmente às respectivas rigidezes. Se distribuem-se obdistribuem-servar que as rigidezes relativas entre os vãos contíguos dependem apenas dos coeficientes K1, K2 e K3 (ver Figura 8) que caracterizam a malha a que o pilar em causa pertence, pois a largura da faixa da laje que a rigidez do pilar mobiliza não depende dos vãos, pode facilmente concluir-se que os momentos a considerar para a determinação da excentricidade da carga VEd sobre o pilar são dados por:
- Pilar interior: 3 1 3 ' AA , Ed dist ,' AA , Ed K K ' K M M (42)
Quanto aos pilares de bordo e de canto iremos introduzir a rigidez Kp do pilar (superior e inferior) para se poder determinar o momento no pilar originado pelo desequilíbrio da laje.
- Pilar de bordo: 1 p p ' AA , Ed dist ,' AA , Ed K n K i K i M M (43) - Pilar de canto: 1 p p ' AA , Ed dist ,' AA , Ed K n K i K i M M (44) em que p l I I
i ; ’ é um coeficiente que depende do grau de encastramento, λ, nos apoios A e B, sendo ’=1 para λ= 1 e ’=0.75 para λ= 0, n corresponde ao nº de pilares no nó (Superior/Inferior). O valor da solicitação de cálculo, VSd, é expresso em função dos coeficientes K pela Eq. (45).
Ed 2 3 1 2 Ed 0.25 1 K K K l q V (45)em que qEd corresponde à carga distribuída em estado limite último. Os pilares de bordo e de canto têm expressões idênticas.
Os efeitos máximos da assimetria expressos pelo coeficiente M são num apoio interior limitados a um valor próximo de 0.60, isto é uma redução de resistência de cerca de 40%.
4. COMPARAÇÃO DE RESULTADOS
De forma a comparar os resultados com os diferentes códigos, estudou-se uma laje com 0.29 m de espessura sujeita a diversas distribuições de pilares, considerando um betão de classe C30/37 e uma classe de aço S500. O coeficiente indicado nas tabelas corresponde ao inverso de usualmente considerado nos códigos. No cálculo pelo MC10 considerou-se um diâmetro máximo do agregado de 25 mm. A distribuição de pilares indicada corresponde à distância AA’ e BB’ conforme a Fig. 8.
Quadro 2. Laje simétrica apoiada em pilar interior (6x6x6x6; espessura 0,29 m; pilar 300; carga
distribuída de 12,5 kN/m2)
Esf. Actuante Cone Tirante estribos: 24 E 8
VEd/ Vc,máx VRd não arm. VRd,c' VRd,s VRd arm. % Cobertura
SOBR 1,00 675 1116 545 404 760 1163 1,65
MC10 1,00 675 1103 551 551 776 1327 1,63
EC2 1,00 675 1244 575 432 942 1374 1,84
REBAP 1,00 675 793 496 - - 1126 1,17
%Cobertura= MIN [Vc,máx/(VEd/); VRd não arm./(VEd/)]
Quadro 3. Laje assimétrica apoiada em pilar interior (6x6x3x3; espessura 0,29 m; pilar 300; carga
distribuída de 12,5 kN/m2)
Esf. Actuante Cone Tirante estribos: 12 E 8
VEd/ Vc,máx VRd não arm. VRd,c' VRd,s VRd arm. % Cobertura
SOBR 0,71 535 1116 545 549 380 929 1,74
MC10 1,00 519 829 415 415 525 939 1,60
EC2 0,98 531 1244 517 388 471 859 1,62
Quadro 4. Laje assimétrica apoiada em pilar de bordo com consola de 1.5 m (6x6x3x1.5; espessura 0,29 m; pilar 300; carga distribuída de 12,5 kN/m2)
Esf. Actuante Cone Tirante estribos: 12 E 8
VEd/ Vc,máx VRd não arm. VRd,c' VRd,s VRd arm. % Cobertura
SOBR 0,55 694 1116 545 549 380 929 1,34
MC10 1,00 458 516 258 258 525 783 1,13
EC2 0,97 470 1244 548 411 471 882 1,88
REBAP 0,42 895 793 496 - - 563 0,63
Quadro 5. Laje assimétrica apoiada em pilar de bordo e alinhada pelo mesmo (6x6x3x0.15; espessura 0,29 m; pilar 300; carga distribuída de 12,5 kN/m2)
Esf. Actuante Cone Tirante estribos: 12 E 8
VEd/ Vc,máx VRd não arm. VRd,c' VRd,s VRd arm. % Cobertura
SOBR 0,49 537 636 310 250 380 630 1,17
MC10 1,00 284 593 296 296 312 608 2,09
EC2 0,89 319 1244 283 212 471 684 2,14
REBAP 0,37 710 542 339 - - 563 0,76
CONCLUSÕES
Neste estudo o mecanismo de rotura proposto através do qual a laje desenvolve a sua resistência ao punçoamento é idêntico ao do esforço transverso. De facto, o punçoamento é um caso particular deste esforço e como tal a sua resistência baseia-se na existência de bielas e tirantes (em anéis cónicos e cilíndricos), exigindo respectivamente armadura horizontal e estribos, estes quando a tracção efectiva nos tirantes ultrapassa a resistência do betão, tal como sucede na resistência ao esforço transverso. A formação do cone de punçoamento corresponde ao alargamento da zona de apoio da laje no pilar. Deste modo pode admitir-se que o aparecimento das linhas de rotura, características dos mecanismos de rotura primários, é precedido pela formação de vigas de secção variável em largura e diferentes vãos (apoiando-se nos cones de punçoamento dos pilares) que originam momentos de desequilíbrio no apoio da laje no pilar.
REFERÊNCIAS
[1] Jones, L.L., Wood, R.H. (1967). Yield Line Analysis of Slabs, Clarck Irwin & Co Ltd, Londres. [2] Kinnunen S., Nylander H. (1960). Punching of Concrete Slabs Without Shear Reinforcement,
Transactions of the Royal Institute of Technology, N.158, Stockholm, Suécia.
[3] Sobreira, J.M., Silva J. N., Ribeirinho Soares J. (2011). Resistência ao Esforço transverso do
Betão Armado, Relatório Técnico, G.O.P. (www.gop.pt), Porto, Portugal, 2011.
[4] Sobreira, J.M., Silva J. N., Ribeirinho Soares J. (2011). Resistência ao Punçoamento do Betão
Armado, Relatório Técnico, G.O.P. (www.gop.pt), Porto, Portugal, 2011.
[5] Araújo Sobreira J., (1983). Betão armado- Punçoamento Teoria do estado limite de rotura, Engenharia, nº3.
[6] Leonhardt F., Mönnig E.,(1977). Construções de Concreto- Volume 2, Livraria Interciência, Rio de Janeiro.
[7] Muttoni, A., Ruiz, M. (2010). MC2010: The Critical Shear Crack Theory as a mechanical model for punching shear design and its application to code provisions, Shear and punching shear in RC and FRC elements, Outubro, Itália, pp.1-13, FIB, Salò.
