1. Crie uma pasta com o seu número e nome (ex.: 99999_nnnnnn).

(1)

Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Exame de 21 de Julho de 2009

1

N.º Nome completo: Curso: Foto:

Classificação e comentários do professor:

Instruções:

1. Crie uma pasta com o seu número e nome (ex.: 99999_nnnnnn). 2. Guarde os ficheiros nessa pasta.

3. Utilize o n.º da questão seguido do seu nome para identificar cada ficheiro. Não utilize acentos ou caracteres do tipo “ç”.

4. Faça “Copy & Paste” do que for necessário para este documento. 5. Entregue o seu exame na pasta com todos os ficheiros:

• este documento, devidamente respondido e identificado (nnnnn_nome); • os ficheiros Excel, Mathcad e Modellus das suas respostas;

• o documento PDF que tem os seus registos de preparação para o exame e que lhe foi entregue em “branco” há algumas semanas.

21526

Ricardo Lima Pereira MIEQB

10, aprovado, com muita água benta...

Os ecrãs não estavam numa resolução adequada! Copiei todos dos ficheiros de resposta... devia descontar pelo menos 25%!

(2)

2

Questão 1

Considere o sistema de equações seguinte, bem como os parâmetros e valores iniciais indicados: d d dB d A t v v t v v v k A v k B = - + = -= = 1 2 1 2 1 1 2 2 k₁ = 0.2 k₂ = 0.4 A(0) = 1 B(0) = 0

Questão 1a [Excel]

[cotação: 4]

Resolva o sistema de equações, construindo uma tabela para o intervalo de tempo [0, 20] unidades, utilizando o método de Euler, com um passo de 0.1.

Copie o ecrã do Excel, incluindo um gráfico e uma tabela em que seja possível observar os valores no final do intervalo de tempo.

(3)

3

Questão 1b [Excel]

[cotação: 4]

Obtenha a solução numérica para as funções A(t) e B(t), utilizando o método de Runge-Kutta de 4.ª ordem, com um passo 0.1, e construa o gráfico dessa função no

intervalo [0, 20].

Copie o ecrã do Excel para o espaço ao lado, incluindo a tabela e o gráfico.

(4)

4

Questão 1c [Mathcad]

[cotação: 4]

Obtenha a solução numérica para as funções A(t) e B(t), utilizando o método de Runge-Kutta de 4.ª ordem, com um passo 0.1, e construa o gráfico dessa função no

intervalo [0, 20].

Copie o ecrã do Mathcad para o espaço ao lado, incluindo a tabela e o gráfico.

(5)

5

Questão 1d [Modellus]

[cotação: 2]

Confirme os resultados obtidos em 1b e 1c.

Copie o ecrã do Modellus para o espaço ao lado, incluindo a tabela e o gráfico.

1

O domínio não está correcto. Onde estão os valores de B?

(6)

6

Questão 1e

[cotação: 4]

Explique como procederia para determinar o erro verdadeiro (“true error”) das soluções numéricas obtidas em 1a, 1b, 1c e 1d quando t = 20.

Em qual dos casos é que o erro é maior? Fundamente a resposta.

Escreva a sua resposta no espaço ao lado. Pode utilizar esquemas se necessário.

1

EULER:

Utilizando este método obtém-se um novo valor de Y que é obtido através do declive ( primeira derivada no

ponto x) para extrapolar linearmente com o tamanho do passo.

O erro é calculado da seguinte forma:

Et=verdadeiro - aproximado

RK4:

Este método é semelhante ao Simpson 1/3 e à aproximação de Heun no que toca ao desenvolvimento de

várias estimativas utilizadas para a obtenção do declive; sendo posteriormente desenvilvida uma média que

origina um valor fiável.

(7)

7

Questão 2

Considere a equação K c x c x c x = +

-(

)

(

-

)

c,0 a,0 2 2 b,0 sendo K = 0.015 c_a,0 = 42 c_b,0 = 30 c_c,0 = 4

Questão 2a [Excel]

[cotação: 2]

Faça um gráfico em Excel que lhe permita estimar o valor de x. (Nota: o valor de x é inferior a 40 e superior a 0...).

Estime o valor de x.

Copie o ecrã do Excel e assinale o valor que estimou para x.

(8)

8

Questão 2b [Mathcad]

[cotação: 2]

Obtenha o valor de x e verifique a solução (Nota: modifique o parâmetro TOL, menu Math / Options, para 1E-006).

Copie o ecrã do Mathcad e assinale o valor de x. Inclua um ou vários gráficos que auxiliem a verificação da solução.

2

(9)

9

Questão 2c [Excel]

[cotação: 4]

Calcule o valor de x utilizando o método de Newton-Raphson (pode recorrer ao Mathcad para calcular derivadas...)

Copie o ecrã do Excel e assinale o valor que obteve para x.

(10)

10

Questão 3

Considere a tabela seguinte:

x 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.3

y 750 1000 1400 2000 2700 3750

Questão 3a [Excel]

[cotação: 4]

Ajuste um modelo exponencial considerando x como variável independente e y como variável dependente, y = a eb x_{, utilizando as funções slope e intercept.}

Copie o ecrã do Excel, incluindo um gráfico adequado e assinalando os valores dos parâmetros do modelo.

0

(11)

11

Questão 3b [Mathcad]

[cotação: 4]

Ajuste um modelo exponencial considerando x como variável independente e y como variável dependente, y = a eb x_.

Copie o ecrã do Mathcad, incluindo um gráfico adequado que inclua os pontos da tabela e a curva obtida com o modelo.

1

Não sabe linearizar...

Não acha estranho o modelo ser tão diferente dos dados????