Pontos notáveis de um triângulo
Os triângulos possuem pontos notáveis com diversas aplicações. Alguns desses elementos, como altura, mediana, mediatriz e bissetriz, que são dados por segmentos de reta no interior do triângulo, possuem importantes características e aplicações, não só na matemática.
Sabemos que a intersecção de duas ou mais retas é dada por um ponto, assim, o encontro desses segmentos formam pontos que possuem importantes características e propriedades, são eles:
• ortocentro • baricentro • circuncentro • incentro
O triângulo é uma das formas geométricas elementares. Compreender suas propriedades é muito importante. Altura do triângulo : A altura de um triângulo é o segmento formado pela união de um dos vértices com seu lado oposto ou seu prolongamento, no qual é formado um ângulo de 90° entre o segmento e o lado. Em todo triângulo, é possível desenhar três alturas relativas a cada um dos lados. Veja:
O segmento AG é a altura relativa ao lado BC, e o segmento DH é a altura relativa ao lado EF. Observe que, para determinar-se a altura relativa ao lado EF, foi necessário realizar-se um prolongamento do lado.
Ortocentro: O ortocentro é a intersecção das alturas relativas aos três vértices, ou seja, é ponto de encontro entre todas as alturas de um triângulo.
8º ANO - MATEMÁTICA
Colégio Estadual Maria Rosilda
Rodrigues
Professora: Maria Aparecida de Lima Figueredo
10ª Quinzena – 24/05/21 à 04/06/21
O ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
O ortocentro possui algumas importantes propriedades em alguns tipos de triângulo, veja: 1º) No triângulo acutângulo, as alturas e o ortocentro ficam no interior da figura.
2º) Em um triângulo retângulo, duas alturas são coincidentes com os dois catetos, uma outra altura fica no interior do triângulo, e o ortocentro é localizado no vértice do referido triângulo, que possui o ângulo de 90°.
3º) Em um triângulo obtusângulo, uma das alturas fica no interior do triângulo, e as outras duas ficam no seu exterior, o ortocentro é localizado também nessa parte externa.
Mediana: É o segmento formado pela união de um dos seus vértices com o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Note que, em um triângulo, é possível determinar três medianas relativas a cada um dos lados, veja:
O segmento de reta CD é a mediana relativa ao lado AB. Observe que esse segmento dividiu o lado AB em duas partes iguais, ou seja, ao meio.
Baricentro: O baricentro é dado pela intersecção das três medianas de um triângulo, isto é, pelo ponto de encontro das três medianas, veja:
O ponto G é o baricentro do triângulo ABC.
Assim como no ortocentro, o baricentro possui algumas importantes propriedades, veja:
1º) O baricentro determinará em cada uma das medianas segmentos que satisfazem cada uma das igualdades.
Exemplo 1 : Sabendo que o ponto G da imagem seguinte é o baricentro do triângulo ABC e que GD = 3 cm, determine o comprimento do segmento CG.
Das propriedades do baricentro, sabemos que a razão entre o segmento GD e CG é igual a meio. Assim, substituindo esses valores na relação, temos:
2º) Considerando a definição de mediana, veja que todas as medianas estão no interior do triângulo, assim, podemos concluir que o baricentro de qualquer triângulo também está sempre no interior da figura. Essa observação é válida para qualquer triângulo.
O baricentro também nos dá uma importante característica física dos triângulos, pois ele nos permite equilibrá-los, isto é, o baricentro é o centro de massa de um triângulo.
Mediatriz : É dada por uma reta perpendicular que passa no ponto médio em um dos lados desse triângulo.
Circuncentro : O circuncentro é definido pelo encontro das mediatrizes, ou seja, pela intersecção entre elas. Caso representemos um triângulo inscrito em uma circunferência, veremos que o circuncentro é o centro dessa circunferência, veja:
O ponto M é o circuncentro do triângulo ABC e o centro da circunferência. Os pontos H, I e J são, respectivamente, os pontos médios dos lados CB, CA e AB.
O circuncentro também possui algumas propriedades quando desenhados no triângulo retângulo, obtusângulo e acutângulo.
1º) O circuncentro no triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa.
2º) O circuncentro em um triângulo obtusângulo fica no seu exterior.
3º) O circuncentro em um triângulo acutângulo fica no seu interior.
Bissetriz : A bissetriz de um triângulo é dada pela semirreta que divide um ângulo interno do triângulo. Ao desenhar a bissetriz interna, veja que teremos três bissetrizes internas relativas aos três lados do triângulo:
Incentro : O incentro é dado pela intersecção das bissetrizes internas de um triângulo, ou seja, é dado pelo encontro dessas semirretas. Como as bissetrizes são internas, o incentro também sempre ficará no interior do triângulo.
O incentro possui algumas propriedades úteis para resolver alguns problemas, veja algumas delas: 1º) O centro de uma circunferência inscrita em um triângulo coincide com o incentro dessa figura.
2º) O incentro de um triângulo é equidistante de todos os seus lados, isto é, as distâncias entre o incentro e os três lados do triângulo são todas iguais.
Quadriláteros
Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Suas características e propriedades específicas dizem respeito aos seus lados, ângulos e diagonais.
Os quadriláteros herdam todas as características e propriedades dos polígonos, como o fato de possuírem apenas duas diagonais ou de a soma dos seus ângulos internos ser sempre igual a 360°. Elementos de um quadrilátero
• Lados: São os segmentos de reta que contornam o quadrilátero; • Vértices: São os pontos de encontro entre dois lados;
• Ângulos internos: São os ângulos determinados por dois lados consecutivos de um quadrilátero;
• Ângulos externos: são ângulos formados pelo prolongamento de um lado de um polígono. Um ângulo externo sempre é suplementar ao ângulo interno adjacente a ele;
• Diagonais: Segmentos de reta cujas extremidades são dois vértices não consecutivos de um polígono. Dessa maneira, são os segmentos de reta que ligam dois vértices e que, ao mesmo tempo, não são lados.
Classificação de quadriláteros: Os quadriláteros podem ser classificados de acordo com a posição relativa entre seus lados. Aqueles que possuem lados opostos paralelos são chamados de paralelogramos. Os quadriláteros que possuem um par de lados opostos paralelos e outro não são chamados de trapézios. A terceira classe dos quadriláteros contém aqueles que não possuem paralelismo algum entre seus lados.
Paralelogramos: Os paralelogramos possuem uma característica a mais que os quadriláteros, que é o fato de possuírem lados opostos paralelos. Isso acarreta uma série de propriedades pertencentes somente a eles.
• Possuem lados opostos congruentes; • Possuem ângulos opostos congruentes; • Possuem ângulos adjacentes suplementares;
• As diagonais de um paralelogramo cruzam-se em seus pontos médios.
Existe uma classificação para os paralelogramos em retângulos, losangos, quadrados ou nenhum deles.
Retângulo: Os retângulos são paralelogramos cujos ângulos internos são retos (daí o nome retângulo). Eles possuem todas as características dos paralelogramos e uma propriedade específica, a saber:
“As diagonais de um retângulo são congruentes.”
Retângulo: apresenta ângulos retos e diagonais congruentes
Losango: Os losangos são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes, isto é, são paralelogramos equiláteros. Sua propriedade específica é a seguinte:
“As diagonais de um losango são perpendiculares.”
Quadrado: Os quadrados são losangos e retângulos simultaneamente e, por isso, possuem todos os ângulos retos e todos os lados congruentes. Sua propriedade específica é a seguinte:
“As diagonais do quadrado são perpendiculares e congruentes.”
Trapézios : Diferentemente dos paralelogramos, os trapézios possuem apenas um par de lados paralelos. Esses lados são chamados de bases. Os trapézios que possuem os outros dois lados que não são bases congruentes são chamados de isósceles.
Exemplo de trapézio isósceles
As propriedades específicas do trapézio isósceles são:
“Os ângulos da base e as diagonais são congruentes”.
Os trapézios possuem as mesmas características e propriedades dos quadriláteros, uma vez que não são paralelogramos.
Retângulo, paralelogramo e trapézio
Existem dois critérios de polígono Primeiro critério:
•Convexos-uma reta qualquer só corta o polígono em dois pontos.
•Não convexos-uma reta qualquer pode cortar o polígono em mais de dois pontos.
Segundo critério:
•Regulares-os lados e os ângulos são iguais •Irregulares-os lados e os ângulos são diferentes
Ângulos
Ângulo interno é o ângulo formado por dois lados consecutivos.
Ângulo externo é o angulo formado pelo prolongamento de um lado e o lado consecutivo.
Soma dos ângulos internos
Num polígono de n lados podemos traçar de um vértice n -3 diagonais e assim obteremos n -2 triângulos. A soma dos ângulos internos do polígono será igual à soma dos ângulos interno dos triângulos obtidos ou seja: 180o. (n -2)
Número de Diagonais de um Polígono Convexo : Denominamos polígono uma figura formada por segmentos de reta que delimitam uma região. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. Observe:
Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos estudar o significado de diagonais e como calcular
o número de diagonais de um polígono qualquer. Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados.
Note que na figura A temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vértice. Mas observe que a diagonal PR é a mesma RP, e a diagonal SQ é a mesma QS, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:
A fórmula n indica o número de lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice e a divisão por dois elimina a duplicidade de diagonais ocorridas em um polígono. Exemplo : Determine o número de diagonais de um polígono com:
a) 8 lados (octógono)
Exercícios
01- Na figura abaixo determine os segmentos que representam mediana, bissetriz e altura, sabendo que BP = PC e BÂN = NÂC. (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
02- Na figura, med()ˆB= 40º, med()ˆC= 60º. Se Dé o incentro do triângulo ABC, então x vale: (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
a)40º b)120º c)130º d)150º e)100º
03- Na figura abaixo, AD é bissetriz. Calcule a e b. (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
04- Na figura abaixo, OB é bissetriz de AÔC e OD é bissetriz de CÔE. Calcule x: (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
05- O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é chamado: (Obs: não precisa “pular linha”😊)
a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediana
06- O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: (Obs: não precisa “pular linha”😊)
a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base.
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07- Sabendo que o segmento no interior é a bissetriz relativa ao lado AC e que as medidas assinaladas na figura representam o ângulo dividido pela bissetriz, determine o valor de x. (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
08- O segmento de reta perpendicular traçado de um vértice de um triângulo a um de seus lados é denominado:
a) altura b) bissetriz c) mediatriz d) mediana e) base
09- Se BD é a bissetriz do ângulo ABC, então calcule a medida dos ângulos x e y. (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
10- Qual o número de diagonais de um polígono com 15 lados.
11- Sobre a definição de quadriláteros, assinale a alternativa correta: (Obs: não precisa “pular linha”😊) a) Os quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados, e os lados opostos são paralelos. b) Todo quadrilátero é um quadrado.
c) Quadrilátero é uma figura geométrica plana, poligonal e possui quatro lados.
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d) Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados, e dois deles são paralelos. e) Quadriláteros são figuras que possuem quatro lados iguais.
12- Sobre a classificação de quadriláteros, assinale a alternativa correta. (Obs: não precisa “pular linha”😊)
a) Um paralelogramo é um quadrilátero que possui lados paralelos. b) Um paralelogramo é um quadrilátero que possui lados congruentes. c) Um paralelogramo não é um quadrilátero.
d) Um trapézio é um quadrilátero que possui lados paralelos.
e) Um trapézio é um quadrilátero que possui dois lados opostos paralelos
13- Sobre as propriedades dos paralelogramos, assinale a alternativa correta. (Obs: não precisa “pular linha”😊)
a) Um paralelogramo é um quadrilátero que possui lados opostos paralelos e congruentes. b) As diagonais de um paralelogramo cruzam-se e formam um ângulo reto.
c) A soma dos ângulos externos de um paralelogramo é diferente da soma dos ângulos externos de um triângulo.
d) Os ângulos adjacentes de um paralelogramo são congruentes. e) Os ângulos de um paralelogramo sempre são iguais.
14- Sobre retângulos, quadrados e losangos, assinale a alternativa correta. (Obs: não precisa “pular linha”😊)
a) Todo retângulo é também um quadrado.
b) Os quadrados são figuras geométricas planas, poligonais e que possuem os quatro lados congruentes.
c) Os losangos são figuras geométricas planas, poligonais e que possuem os quatro lados congruentes.
d) Os losangos são figuras geométricas planas, poligonais e que possuem os quatro lados congruentes e as medidas dos quatro ângulos iguais.
15- Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine: (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
16- No retângulo ABCD da figura a seguir, M é ponto médio do lado CD. O valor da medida x indicada na figura abaixo é: (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
a) 50º b) 45º c) 100º d) 75º e) 80º ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ______________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ______________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ______________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
17- Calcule o valor de x e de y nos trapézios abaixo: (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
18- Na figura, os ângulos a, b, c e d medem, respectivamente: 23,2,2x e x. O ângulo e é reto. Qual a medida do ângulo f ? (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
19 -Determine a medida dos ângulos indicados: (pode imprimir e colar a figura, ou desenhar)
a) b) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ______ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ ___________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ __________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
c)
d) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses ângulos.
e) No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
f) A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida da diagonal , da diagonal e o perímetro do triângulo BMC. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ __________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ __________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ __________
g) No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
h) Determine as medidas dos quatro ângulos do trapézio da figura abaixo:
i) A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a, b, c.
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