Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação. Método Dedutivo

U niv er sid ad e F ed er al do E sp íri to S an to – C C

Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias – CCA UFES Departamento de Computação

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Método Dedutivo

● Todas as implicações e equivalências foram demonstradas

até hoje pelo Método das Tabelas Verdade.

● Outra forma mais eficiente é denominada “Método

Dedutivo”

● Para apresentá-lo, serão expostos exemplos e será utilizada

a Álgebra das Proposições.

● Nos exemplos serão utilizadas

– As proposições simples:

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Exemplificação do Método Dedutivo

●

Demonstre as implicações:

(i) c Þ p

(ii) p Þ t

p é uma proposição qualquer,

c é uma proposição com valor de Falsidade e t é uma proposição com valor de Verdade.

●

Então sua demonstração é:

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Exemplificação do Método Dedutivo

●

Demonstre a implicação: p q

∧q

Þ

p (Simplificação)

– Demonstração: 1. p q → p∧q 2. ~(p q) p∧q ∨p 3. ~p ~q p∨p ∨p 4. (~p p) ~q∨p ∨p 5. T ~q∨p 6. T

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Exemplificação do Método Dedutivo

●

Demonstre a implicação: p Þ p q (Adição)

∨p

– Demonstração: 1. p → p q∨p 2. ? 3. ? 4. ? 5. ?

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Exemplificação do Método Dedutivo

●

Demonstre a implicação: (p → q) p

∧q Þ q

– Demonstração 1. (p → q) p∧q 2. (~p q) p∨p ∧q 3. (~p p) (q p)∧q ∨p ∨p 4. C (q p)∨p ∧q 5. q p∧q 6. q

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Exemplificação do Método Dedutivo

●

Demonstre as seguintes implicações:

a) (p → q) ~q ∧q

Þ

~p (Modus tollens) b) (p q) ~p ∨p ∧q Þ q (Silogismo Disjuntivo) c) p q ∧q Þ p q∨p d) p Þ q → q e) p Þ ~p → q f) p → q Þ p r → q∧q g) p → q Û p ~q → c ∧q (Redução a absurdo)

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Exemplificação do Método Dedutivo

●

Demonstre as seguintes implicações:

h) p → q Û p q → q∨p i) (p → q) (p → ~q) ∧q Û ~p j) p q → r ∧q Û p → (q → r) (Exportação-Importação) k) (p → r) (q → r) ∧q Û p q → r∨p l) (p → q) (p → r) ∧q Û p → q r∨p m) (p → r) (q → s) ∨p Û p q → r s∧q ∨p

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Redução do Número de Conectivos

●

∧q , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e :

∨p

* p ∧ q ⇔ ~~p ∧ ~~q ⇔ ~(~p ∨ ~q) * p → q ⇔ ~p ∨ q * p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) ⇔ ~(~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)) ●

∨p , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e :

∧q

* p ∨ q ⇔ ~~p ∨ ~~q ⇔ ~(~p ∧ ~q) * p → q ⇔ ~p ∨ q ⇔ ~(p ∧ ~q)

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Redução de Número de Conectivos

●

∧q , e ↔ exprimem-se em termos de ~ e →:

∨p

* p ∧ q ⇔ ~(~p ∨ ~q) ⇔ ~(p → ~q) * p ∨ q ⇔ ~~p ∨ q ⇔ ~p → q

* p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

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Forma Normal das Proposições

●

Uma proposição está na Forma Normal (FN) se e

somente se, quando muito, contém os conectivos ~,

e .

∧q ∨p

●

Exemplos:

~p ∧ ~q , ~(~p ∨ ~q) , (p ∧ q) ∨ r

●

Toda proposição pode ser levada para uma FN. Pra

tal, basta eliminar os conectivos → e ↔. Exemplos:

* p → q por ~p ∨ q

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Forma Normal das Proposições

●

Existem duas espécies de FN para uma proposição:

– Forma Normal Conjuntiva (FNC);

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Forma Normal Conjuntiva

●

Uma proposição está na Forma Normal Conjuntiva

(FNC) se e somente se atendem as seguintes condições:

1. Contém somente os conectivos ~, , e ;∧q ∨p

2. ~ não aparece repetido, sobre si mesmo, como ~~. Além disso, não tem alcance sobre e , só incidindo sobre letras ∧q ∨p proposicionais;

3. não tem alcance sobre , ou seja, não pode ocorrer algo ∨p ∧q do tipo: p (q r).∨p ∧q

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Exemplo

●

Determinar a FNC da proposição:

~( ( (p q) ~q ∨p ∧q ) (q r) )∨p ∧q Resolução: 1. ~( (p q) ~q ∨p ∧q ) ~(q r)∧q ∧q 2. ( ~(p q) ~~q ) (~q ~r)∨p ∨p ∧q ∨p 3. ( (~p ~q) q ) (~q ~r)∧q ∨p ∧q ∨p 4. (~p q) (~q q) (~q ~r)∨p ∧q ∨p ∧q ∨p

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Exercício

●

Determine a FNC da proposição:

(p → q) ↔ (~q → ~p) Resolução: 1. (~p q) ↔ (~~q ~p)∨p ∨p 2. (~p q) ↔ (q ~p)∨p ∨p 3. … 4. … _{* p → q por ~p ∨ q} * p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) * p → q por ~p ∨ q * p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

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Exercício

●

Determine a FNC da proposição:

(p → q) ↔ (~q → ~p) Resolução: 1. (~p q) ↔ (~~q ~p)∨p ∨p 2. (~p q) ↔ (q ~p)∨p ∨p 3. (~(~p q) (q ~p)) ((~p q) ~(q ~p))∨p ∨p ∨p ∧q ∨p ∨p ∨p 4. … _{* p → q por ~p ∨ q} * p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) * p → q por ~p ∨ q * p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

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Exercício

●

Determine a FNC da proposição:

p ↔ q ~r∨p Resolução: 1. … * p → q por ~p ∨ q * p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) * p → q por ~p ∨ q * p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

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Forma Normal Disjuntiva

●

Uma proposição está na Forma Normal Disjuntiva

(FND) se e somente se atendem as seguintes condições:

1. Contém somente os conectivos ~, , e ;∧q ∨p

2. ~ não aparece repetido, sobre si mesmo, como ~~. Além disso, não tem alcance sobre e , só incidindo sobre letras ∧q ∨p proposicionais;

3. não tem alcance sobre , ou seja, não pode ocorrer algo ∧q ∨p do tipo: p (q r).∧q ∨p

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Exemplo

●

Determinar a FND da proposição:

(p → q) (q → p)∧q Resolução: 1. (~p q) (~q p)∨p ∧q ∨p 2. ((~p q) ~q) ((~p q) p)∨p ∧q ∨p ∨p ∧q 3. (~p ~q) (q ~q) (~p p) (q p)∧q ∨p ∧q ∨p ∧q ∨p ∧q

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Exercício

●

Determine a FND da proposição

~(((p q) ~q) (q r))∨p ∧q ∨p ∧q Resolução:

1. comece resolvendo o De Morgan... 2.

3. 4. 5.

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Princípio da Dualidade

● Seja uma proposição somente com os conectivos: ~, e .∧q ∨p

Ex.: p ∧q (p ∨p q) p⇔ p

● A proposição que resulta trocando: – cada símbolo de por (E por OU) e∧q ∨p – cada símbolo de por (OU por E).∨p ∧q

Ex.: p ∨p (p ∧q q) p⇔ p

● Chama-se dual.

● O princípio da dualidade é:

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Exercícios

●

Obtenha a dual da expressão abaixo:

~p q r (q r) ~p

∨p ∨p ⇔ p

∨p

∨p

●

Agora, faça a tabela verdade da expressão original e