Mac5796. Aula 4
Walter MascarenhasResumo
1 Simulação
2 Teoria
A aula passada: Espaço amostral. Eventos.
σ -álgebras.
A aula de hoje:
Passeio Aleatório:
A cada segundo o preço de um ativo sobe um tick ε com probabilidade p ou desce ε com probabilidade q = 1 − p. Queremos analisar o que acontecerá nos primeiros N segundos deste processo.
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Simulação:
Cada realização do passeio aleatório é chamada de caminho. Cada um destes caminhos é um elemento do nosso espaço amostral.
Fazer uma simulação é como pensar que o espaço amostral é uma urna e dela escolhemos alguns elementos ao acaso.
Simulação:
Especificamos o número N de passos e a probabilidade p de subir.
A cada passo k escolhemos um bit ωk ∈ { 0, 1 } de modo que
{ ωk = 1 } tenha probabilidade p.
// A s s u m i n d o q u e N = numero d e p a s s o s e h m u l t i p l o d e 64 b y t e [ ] r a n d o m B y t e s = G e r e B y t e s (N ∗ BytesEmP ) ;
U I n t 6 4 c o r t e = ( U I n t 6 4 ) ( p ∗ Math . Pow ( 2 5 6 , BytesEmP ) ) ; U I n t 6 4 [ ] c a m i n h o = new U I n t 6 4 [ N / 64 ] ; i n t i b = 0 ; f o r ( i n t i = 0 ; i < N/ 6 4 ; i ++) { U I n t 6 4 u = 0 ; U I n t 6 4 b i t = 0 x 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U L ; do { U I n t 6 4 n = r a n d o m B y t e s [ i b ++]; f o r ( i n t k = 1 ; k < BytesEmP ; k++) { n = ( n << 8 ) + r a n d o m B y t e s [ i b ++]; } i f ( n < p ) { u |= s h i f t ; } } w h i l e ( ( b i t >>= 1 ) > 0 ) ; c a m i n h o [ i ] = u ; }
Implementando a função gere bytes
C# / J a v a
Random r = new Random ( s e m e n t e ) ;
b y t e [ ] r a n d o m B y t e s = new b y t e [ N ∗ BytesEmP ] ; r . N e x t B y t e s ( r a n d o m B y t e s ) ; C / C++ i n t nb = N ∗ bytesEmP ; u n s i g n e d c h a r ∗ r a n d o m B y t e s = ( u n s i g n e d c h a r ∗ ) m a l l o c ( nb ) ; s r a n d ( s e m e n t e ) f o r ( i n t i = 0 ; i < nb ; i ++) { r a n d o m B y t e s [ i ] = ( u n s i g n e d c h a r ) ( r a n d ( ) >> 4 ) ; } // A f u n c a o r a n d ( ) do v i s u a l s t u d i o ( M i c r o s o f t ) i n t __cdecl r a n d ( v o i d ) { _ p t i d d a t a p t d = _ g e t p t d ( ) ; r e t u r n ( ( ( p t d −>_ h o l d r a n d = p t d −>_ h o l d r a n d ∗ 2 1 4 0 1 3 L + 2 5 3 1 0 1 1 L ) >> 1 6 ) & 0 x 7 f f f ) ; }
Implementação da Intel (MKLib) i n t r [ 1 0 0 0 ] ; V S L S t r e a m S t a t e P t r s t r e a m ; v s l N e w S t r e a m ( &s t r e a m , VSL_BRNG_MT19937 , 777 ) ; v i R n g U n i f o r m B i t s (VSL_RNG_METHOD_UNIFORMBITS_STD, s t r e a m , 1 0 0 0 , r ) ; v s l D e l e t e S t r e a m ( &s t r e a m ) ;
Modelo probabilístico (Ω, 𝒜, P): Ω = espaço amostral . 𝒜 = σ -álgebra de eventos. P = medida de probabilidade.
Um espaço amostral natural é
Ω = { ω = (ω1, . . . , ωN) , com ωi= ±1 },
o conjunto das N-uplas de uns (sobe) ou menos uns (desce). Ω tem 2N elementos.
Como Ω é finito a σ -álgebra natural é o conjunto de todos os subconjuntos de Ω, que denotamos por 2Ω.
Medida de probabilidade = modo consistente de atribuir probabilidade a eventos P(Ω) = 1, A ∈ 𝒜 ⇒ P(A) ≥ 0, An∈ 𝒜, An∩ Am= /0 ⇒ P ( ∪ n∈N An ) =
∑
n∈N P(An) .Espaço amostral finito ou enumerável Ω ={ωi, i ∈ I}
onde o conjunto de índices I é igual a { 1, 2, ..., n } ou I = N. Neste caso podemos definir uma medida de probabilidade P através dos números pi = P({ωi}). Ou seja, podemos definir P
atribuindo probabilidades aos eventos unitários{ ωi}:
P(A) =
∑
ωi∈A
pi.
Dado viciado: podemos atribuir probabilidades p1, p2, . . . , p6 às
faces, desde que pi≥ 0 e ∑ pi = 1. A partir dai podemos calcular as
probabilidades de todos eventos:
P( face par ) = p2+ p4+ p6.
Experimento: Contar o lançamentos de uma moeda honesta até obter cara.
Ω = N = { 1, 2, ..., } onde ω = n representa obter cara pela primeira vez no n-ésimo lançamento.
Medida razoável P(n) = 2−n.
A = { primeira cara antes do quarto lancamento } P(A) = p1+ p2+ p3= 7/8.
A = { primeira cara em um lancamento par } P(A) = ∞
∑
n=1 1 2−2n = 1/4 1 − 1/4= 1 3.Alerta:
Isto NÃO funciona bem para espaços amostrais não enumeráveis.
As medidas de probabilidade que consideramos no problema de Bertrand não podem ser definidas deste modo.
Os processos de preços em tempo contínuo também não podem ser modelados deste modo.
De volta à Terra.
Evolução dos preços nos três primeiros segundos, ou seja, Ω é {
ω1= (−, −, −), ω2= (−, −, +), ω3= (−, +, −), ω4= (−, +, +), ω5= (+, −, −), ω6= (+, −, +), ω7= (+, +, −), ω8= (+, +, +)}
Queremos definir as probabilidades p1, . . . , p8 de modo que os preços
{
ω1= (−, −, −), ω2= (−, −, +), ω3= (−, +, −), ω4= (−, +, +), ω5= (+, −, −), ω6= (+, −, +), ω7= (+, +, −), ω8= (+, +, +)} Eventos:
Preço sobe no primeiro tick:
S1={ω5, ω6, ω7, ω8}. Preço sobe no segundo tick:
S2={
ω3, ω4, ω7, ω8}. Preço sobe no terceiro tick:
Condições para a nossa medida: pi ≥ 0, P(Ω) = p1+ p2+ p3+ p4+ p5+ p6+ p7+ p8 = 1, P(S1) = p 5+ p6+ p7+ p8 = p, P(S2) = p3+ p4+ p7+ p8 = p, P(S3) = p2+ p4+ p6+ p8 = p.
4 equações e 8 incógnitas: sistema indeterminado!!
A informação que dispomos não permite identificar o modelo. De volta à prancheta...
Necessitamos de mais hipóteses para definir o modelo probabilístico. A hipótese que leva ao modelo mais simples é a independência. Dado um espaço de probabilidade (Ω, 𝒜, P), dizemos que dois eventos A, B ∈ 𝒜 são independentes se
P(A ∩ B) = P(A) P(B) . Exemplos?
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
♥ A♥ 2♥ 3♥ Q♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 8♥ 10♥ J♥ Q♥ K ♥
♦ A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K ♦
♣ A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K ♣
♠ A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K ♠
Ao tirar um carta, o evento A é independente do evento ♣: P(A ∩ ♣) =521 = 1
13× 1
4 = P(A) P(♣) . Ao tirarmos duas cartas (sem reposição), o evento
P = { K na primeira carta } reduz a probabilidade do evento S = { K na segunda carta }: P(S ∩ P) P(P) = 4/52 × 3/51 4/52 = 3 51< 4 52 = P(S) . Portanto os eventos P e S são dependentes.
Corinthians Palmeiras
Evento A = bola no campo do Corinthians. Evento B = bola no círculo central.
P(A) = 1/2 P(B) = área do círculo / área do campo.
P(A ∩ B) = (área do círculo/2) / área do campo = (1/2) × (área do círculo / área do campo) = P(A) P(B).
Corinthians Palmeiras
Evento A = bola no campo do Corinthians. Evento B = bola no círculo central.
O conhecimento do lado no qual a bola se encontra (A) não afeta a probabilidade da bola estar no círculo central (B). A observação que a bola está no círculo central (B) não influi na determinação do lado no qual a bola se encontra (A). A e B são independentes.
Independência é um conceito fundamental em probabilidade (e Estatística).
Ela é a hipótese fundamental em muitos modelos.
A falta de independência no mundo real é o calcanhar de Aquiles de tudo que veremos neste curso. Os modelos falham porque é muito difícil modelar dependência.
Algumas propriedades da independência:
Se A é independente de B então B é independente de A. Se A é independente de B então A é independente de Bc.
Se A é independente de B e C e B ∩ C = /0 então A é independente de B ∪ C .
A independência de A e B e de A e C NÃO implica a independência de A e B ∩ C .
A B C Diagrama de Venn p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 P(A ∩ B) = p3+ p4= P(A) P(B) = (p1+ p2+ p3+ p4) (p3+ p4+ p5+ p6) P(A ∩ C ) = p2+ p4= P(A) P(C ) = (p1+ p2+ p3+ p4) (p2+ p4+ p6+ p7) é o mesmo que p5=p1+pp32+p+p43+p4− (p3+ p4+ p6) p7=p1+pp22+p+p43+p4− (p2+ p4+ p6) P(A ∩ (B ∩ C )) = p4∕= (p1+ p2+ p3+ p4) (p4+ p6) = P(A) P(B ∩ C ).
Por causa deste exemplo, em geral pedimos que A seja independente da σ -álgebra gerada por B e C .
Dada uma família ℱ de subconjuntos de Ω, chamamos de σ -álgebra gerada por ℱ a menor σ -álgebra que contém ℱ . Esta σ -álgebra é representada por σ (ℱ ).
σ (ℱ ) representa toda a informação que podemos obter combinando as informações dos elementos de ℱ .
Quando ℱ é enumerável esta σ -álgebra é formada recursivamente através de uniões e intersecções de elementos de ℱ .
Ω A B A ∩ B Ac∩ B Ac∩ Bc A ∪ Ac A ∩ B A ∩ Bc A Bc B (A ∩ Bc) ∪ (Ac∩ B) (A ∩ B) ∪ (Ac∩ Bc) Ac∪ (A ∩ Bc) B ∪ (Ac∩ Bc) Ac∩ Bc A ∪ (Ac∩ Bc) Ac A ∪ B Ac∩ B
A σ -álgebra gerada por A e B: se sei se ω ∈ A e se ω ∈ B então sei se ω ∈ C para todos C ’s acima.
