Capítulo 1: Princípio dos trabalhos virtuais

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Mecˆ

anica Anal´ıtica

Cap´ıtulo 1: Princ´ıpio dos trabalhos virtuais

H. Ter¸cas Instituto Superior T´ecnico

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1.1 Trabalho e energia

1.2 Liga¸c˜oes

1.3 Princ´ıpio de D’Alembert

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1.1 Trabalho e energia

Seja ~r(t) a posi¸c˜ao de uma determinada part´ıcula material de massa m. A sua velocidade ´e dada por ~v = d~r

dt ≡ ˙~r, e define-se o momento linear como

~ p = m~v. Pela segunda lei de Newton,

~ Fres= X i ~ Fi= d~p dt = m d~v dt = m~a ≡ m¨~r.

Esta igualdade é válida para qualquer referencial inercial (invariância de Galileu). Seja ~r 0= ~r + ~v0t uma transforma¸cão de Galileu. Então,

~ F_res0 = m¨~r0= md 2 dt2(~r + ~v0t) = m d2 dt2~r = ~Fres.

Para uma for¸ca resultante nula, existe conserva¸c˜ao do momento linear ~

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O momento angular de uma part´ıcula ´e definido como ~_{` = ~}_{r × ~}_p.

O momento da for¸ca é definido como ~N = ~r × ~Fres, que verifica ~ N = ~r × d dt(m~v) = d dt(~r × m~v) − ~v × (m~v) = d~` dt ≡ ˙ ~ `. Na ausência de torque, existe conserva¸cão do momento angular.

~

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Consideremos agora o trabalho de uma for¸ca realizado entre os pontos a ≡ ~ra e b ≡ ~rb Wab= Z b a ~ F · d~r,

onde d~r ´e um elemento infinitesimal tangente e orientado da traject´oria.

Wab= m Z b a d~v dt·d~r = m Z b a d~v dt·~vdt = 1 2m Z b a d dt(~v · ~v) dt = m 2 v 2 b− v 2 a . ∴ Wab= ∆Tab= Tb− Ta.

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Se a for¸ca (ou a sua resultante) for conservativa, ent˜ao ~

F = −∂U

∂~r ≡ −~∇V, onde V (~r) ´e um potencial. Nesse caso,

Wab= Z b a ~ F · d~r = − Z b a ~ ∇V · d~r = −(Vb− Va) = −∆Vab. Assim, do resultado que decorre sobre a rela¸cão trabalho-energia para for¸cas genéricas, temos que para for¸cas conservativas se obtém

∆Tab= −∆Vab=⇒ Ta+ Va= Tb+ Vb, ou seja, a conserva¸c˜ao da energia mecˆanica.

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Estes resultados podem ser facilmente generalizados para um sistema composto por v´arias part´ıculas. O momento total define-se como

~ P =X i ~ pi= X i mi~r˙i= M ˙ ~ R = ~PCM, onde M =X i

mi e ~R ´e a posi¸c˜ao do centro de massa ~ R = 1 M X i mi~r˙i.

De forma an´aloga, define-se o momento angular total

~ L =X i ~ `i= X i mi ˙~ri× ~pi = ~R × ~P +X i ~r0_i× ~p0_i= ~LCM+ X i ~ `i 0 ,

onde ~A0_i e designam quantidades relativas ao centro de massa, tal que ~ri= ~R + ~r0i

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Quanto ao torque (momento das for¸cas) ˙ ~ L =X i d dt(~ri× ~pi) = X i ~ ri× ˙~pi= X i ~ri× ~Fi .

Separando nas for¸cas externas ~F_i(e)e internas ~Fij , temos ˙ ~ L =X i ~ ri× ~F (e) i +X i6=j ~ri× ~Fij . O ´ultimo termo cont´em termos do tipo

~ri× ~Fij+ ~rj× ~Fji= (~ri− ~rj) × ~Fij.

As for¸cas internas entre duas part´ıculas i e j quaisquer tem a mesma direc¸c˜ao do vector ~rij = ~ri− ~rj. Assim,

˙ ~ L =X i ~ri× ~F (e) i = ~N(e).

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1.2 Liga¸c˜

oes

Um sistema de n part´ıculas ´e descrito pela segunda lei de Newton na forma mi~¨ri= ~F (e) i + X j ~ Fij, i, j = {1, ..., n}.

Pode haver necessidade de se restringir o número de graus de liberdade através da introdu¸cão de liga¸cões

f (~r1, ~r2, ..., ~rn; t) = 0, (1) que define uma variedade de dimensão n − 1. As liga¸cões que satisfazem a condi¸cão (1) dizem-se liga¸cões holónomas.1 Estas distinguem-se das liga¸cões não-holónomas do tipo

g(~r1, ~r2, ..., ~rn; t) ≥ 0.

1_{Podem ser ainda divididas em re´}_{onomas e n˜}_ao-re´_{onomas, caso dependam, ou}

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• Exemplo 1: O corpo r´ıgido.

Num corpo r´ıgido composto por n part´ıculas, as distâncias entre duas part´ıculas i e j é constante, |~ri(t) − ~rj(t)| = cij. Pode ser, então, descrito pela liga¸cão holónoma

f (~ri, ~rj) = (~ri− ~rj)2− c2ij = 0.

Neste caso, teremos n equa¸cões de liga¸cão deste tipo2, o que resulta em zero graus de liberdade. Se incluirmos o centro de massa, teremos n + 1 grau de liberdade, pelo que a dinâmica será univocamente descrita pela posi¸cão do centro de massa.

f (~ri, ~rj, ~R) = ~R2+ (~ri− ~rj)2− c2ij= 0. ,

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• Exemplo 2: O disco que n˜ao desliza

Consideremos um disco que rola a uma velocidade angular ω constante. A condi¸c˜ao de rolamento sem deslizamento ´e satisfeita desde que

v = ωR = ˙θR ⇐⇒ X − ˙˙ θR = 0.

Isto fornece uma equa¸cão de liga¸cão do tipo g( ˙X, ˙θ) = ˙X − R ˙θ = 0. Felizmente, podemos integrar imediatamente esta liga¸cão e escrever

dX dt − R dθ dt = 0 =⇒ X − Rθ = X0, e, portanto, f (X, θ) = X − Rθ − X0. ,,

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• Exemplo 3: G´as dentro de um contentor

Consideremos um contentor cil´ındrico de raio a contendo n part´ıculas de um gás ideal. Cada uma das part´ıculas está sujeita à condi¸cão ri≤ a, o que resulta na liga¸cão

g(~ri) = |~ri| − a ≤ 0, o que fornece uma liga¸cão não-holónoma. _/

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Duas dificuldades associadas às equa¸cões de liga¸cão: • As n coordenadas ~ri não são todas independentes;

• Existem for¸cas adicionais (de liga¸c˜ao) a promover as liga¸c˜oes. A primeira resolve-se introduzindo coordenadas generalizadas, qi, tais que

~ri= ~ri(q1, q2, . . . , qn). (2) A segunda, como veremos no §2, resolve-se recorrendo aos

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• Exemplo: Part´ıcula confinada na superf´ıcie de uma esfera

A coordenada da part´ıcula é ~r = (x, y, z) (3 graus de liberdade). Contudo, utilizando a equa¸cão de liga¸cão

f (x, y, z) = x2+ y2+ z2− R2_{= 0,}

podemos reduzir a dois graus de liberdade efectivos. Por exemplo, ~r =x, y,pR2_{− x}2_{− y}2_,

com coordenadas generalizadas (x, y) ou, ainda, ~r = R (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) , recorrendo `as coordenadas generalizadas (θ, ϕ).

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1.3 Princ´ıpio de D’Alembert

O princ´ıpio que passaremos a enunciar (princ´ıpio dos trabalhos virtuais de D’Alembert) permite-nos formular a mecânica clássica através das coordenadas generalizadas. Como veremos, em breve abandonaremos o conceito de for¸ca, passando a escrever as equa¸cões do movimento de uma forma mais natural.

Come¸camos por definir deslocamento virtual δ~rida coordenada (usual) ~ri, que representa um deslocamento infinitesimal e independente to tempo (“virtual” em oposi¸cão a “real”). Se um sistema está em equil´ıbrio, então os trabalhos virtuais são nulos (condi¸cão de estatia)

W =X i ~ Fi· δ~ri = X i ~ F_i(a)· δ~ri+ X i ~ fi· δ~ri= 0, (3)

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Na maioria dos casos de interesse (senão em todos, na verdade!), as for¸cas de liga¸cão não realizam trabalhos. Exemplos:

• A reaçcão normal ~R é sempre perpendicular a um deslocamento virtual horizontal, ~R · δx~ex= 0;

• A tensão da haste de um pêndulo não realiza trabalho sobre a massa, ~T · δθ~eθ= 0.

Um sistema diz-se estático se os trabalhos virtuais devido às for¸cas aplicadas se anularem Condi¸cão de estatia W =X i ~ F_i(a)· δ~ri= 0

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O resultado anterior seria útil caso pretendêssemos estudar processos estáticos (é, por exemplo, muito aplicado em engenharia civil para determinar o equil´ıbrio de edif´ıcios e pontes. Há uma disciplina inteira dedicada ao problema - A Estática). Mas será que podemos generalizar para o caso dinâmico?

Uma vez que as for¸cas aplicadas s˜ao aquelas que realizam trabalho, ~

F_i(a)= ˙~pi, D’Alembert postulou que no caso dinâmico os trabalhos virtuais devem ser nulos para uma nova condi¸cão (condi¸cão de dinâmica)

Princ´ıpio de D’Alembert W =X i ~_F(a) i − ˙~pi · δ~ri= 0 ´

E uma condi¸cão muito razoável e intuitiva, mas não deixa de ser um princ´ıpio (muito poderoso, contudo. _,)

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Recorremos, agora, `as coordenadas generalizadas ~ri= ~ri({qj}, t). Neste caso, ~vi= d~ri dt = ∂~ri ∂qj ˙ qj+ ∂~ri ∂t, δ~ri= ∂~ri ∂qj δqj.

Assim, o termo da for¸ca do princ´ıpio de D’Alembert vem (soma sobre os ´ındices repetidos!) 3 X i ~ Fi· δ~ri= X ij ~ Fi· ∂~ri ∂qj δqj= X j Qjδqj, onde introduzimos a for¸ca generalizada (que agora n˜ao tem necessariamente unidades f´ısicas de for¸ca, i.e. N≡kg.m.s−2)

Qj≡ ~Fi· ∂~ri ∂qj

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Quanto ao termo do momento linear, ˙ ~ pi·δ~ri= mi~r¨i·δ~ri= mi~r¨i· ∂~ri ∂qj δqj= d dt mi~r˙i· ∂~ri ∂qj δqj−mi~r˙i· d dt ∂~ri ∂qj δqj. Usando as identidades d dt ∂~ri ∂qj = ∂ ˙~ri ∂qj e ∂ ˙~ri ∂ ˙qj = ∂~ri ∂qj (prove!) podemos escrever ˙ ~ pi· δ~ri= d dt mi~vi· ∂~vi ∂ ˙qj δqj− mi~vi· ∂~vi ∂qj δqj, que ainda se pode escrever na forma

˙ ~ pi· δ~ri= d dt ∂ ∂ ˙qj 1 2miv 2 i − ∂ ∂qj 1 2miv 2 i δqj. (5)

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Combinando as Eqs. (4) e (5), o princ´ıpio de D’Alembert vem d dt _∂ ∂ ˙qj 1 2miv 2 i − ∂ ∂qj 1 2miv 2 i − Qj δqj= 0.

Uma vez que os δqj são independentes, a única forma da eq. anterior ser satisfeita é se os coeficientes se anularem, i.e. sse

d dt ∂T ∂ ˙qj − ∂T ∂qj − Qj = 0.

Se estivermos na presen¸ca de for¸cas conservativas, ~Fi= − ~∇iV = − ∂V ∂~ri , Qj= − ~∇iV · ∂~ri ∂qj = −∂V ∂qj ∂qj ∂~ri ·∂~ri ∂qj = −∂V ∂qj , e considerando que o potencial n˜ao depende das velocidades generalizadas, V = V (qj, t), ent˜ao d dt ∂(T − V ) ∂ ˙qj −∂(T − V ) ∂qj = 0.

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Definindo, finalmente, a fun¸c˜ao Lagrangeana ou simplesmente Lagrangeano

L(qi, ˙qi, t) ≡ T (qi, ˙qi, t) − V (qi, t),

tal que do princ´ıpio de D’Alembert resultam as celebradas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange,

Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (conservativas) d dt ∂L ∂ ˙qj − ∂L ∂qj = 0

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Verifiquemos, agora, que as equa¸cões de Euler-Lagrange correspondem, de facto, às equa¸cões do movimento.

• Exemplo 1: O oscilador harm´onico. Seja x a coordenada

generalizada que descreve o deslocamento do oscilador. A energia cin´etica vem

T =1 2m ˙x

2_.

J´a o potencial ´e aquele de uma mola,

V =1 2kx 2_, pelo que L(x, ˙x) = 1 2m ˙x 2₋1 2kx 2_. A eq. de Euler-Lagrange ´e4 d dt ∂L ∂ ˙x − ∂L ∂x = 0 ⇐⇒ ¨x + ω 2 0x = 0 , 4_{Nota: ω} 0= p k/m.

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• Exemplo 2: A m´aquina de Atwood. Sejam z1 e z2 as coordenadas generalizadas que descrevem os deslocamentos verticais das massas m1e m2. T = 1 2m1z˙ 2 1+ 1 2m2z˙ 2 2, V = m1gz1+ m2gz2.

A condi¸cão de fio inextens´ıvel (comprimento `) impõe a restri¸cão f (z1, z2) = z1+ z2− ` = 0. Eliminado z2e fazendo z1= z, temos5

L(z, ˙z) = 1

2(m1+ m2) ˙z 2_{+ (m}

1− m2) gz+m2g`. A eq. de Euler-Lagrange vem, finalmente

d dt ∂L ∂ ˙z − ∂L ∂z = 0 ⇐⇒ ¨z = m1− m2 m1+ m2 g _,,

Nem sequer precis´amos de preocupar-nos a assumir um sentido para o movimento e/ou a decompor for¸cas. Simples e elegante!

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Mas que escolha de Lagrangeano devemos fazer? Ser´a que temos alguma liberdade? A resposta ´e sim!

A) Invariˆancia para derivadas totais. O Lagrangeano fica definido a menos da adi¸c˜ao de derivadas totais. Seja F = F (qi, ˙qi, t) tal que

L0(qi, ˙qi, t) = L(qi, ˙qit) + dF

dt. Calculando termo a termo

∂L0 ∂qi = ∂L ∂qi + ∂ ∂qi dF dt = ∂L ∂qi + ∂ ∂qi ∂F ∂t + ∂F ∂qj ˙ qj+ ∂F ∂ ˙qj ¨ qj . Como as derivadas parciais podem trocar entre si, vemos que

∂ ∂qi ˙ F = d dt ∂F ∂qi , ou seja ∂L0 ∂qi = ∂L ∂qi + d dt ∂F ∂qi (A1)

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Quanto ao segundo termo da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, d dt ∂L0 ∂ ˙qi = d dt ∂L ∂ ˙qi + d dt ∂ ∂ ˙qi dF dt (A2).

Combinando (A1) e (A2), temos d dt ∂L0 ∂ ˙qi −∂L 0 ∂qi = d dt ∂L ∂ ˙qi −∂L ∂qi + d dt ∂ ˙F ∂ ˙qi − d dt ∂F ∂qi . Uma vez que

˙ F = ∂F ∂t + ∂F ∂qj ˙ qj+ ∂F ∂ ˙qj ¨ qj=⇒ ∂ ˙F ∂ ˙qi = ∂F ∂qj ∂ ˙qj ∂ ˙qi |{z} δij = ∂F ∂qi ,

o que anula o último termo da equa¸cão acima. Assim, verificamos que L0 obedece às mesmas equa¸cões do movimento que L.

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B) Invariˆancia de Galileu. Consideremos a seguinte transforma¸c˜ao de coordenadas

˙

Qi = ˙qi+ vi,

onde vi ´e um parˆametro. O novo Lagrangeano relaciona-se com o antigo da seguinte forma

L0(Qi, ˙Qi, t) = L(qi, ˙qi+ vi, t). As novas eqs. de Euler-Lagrange s˜ao

d dt ∂L0 ∂ ˙Qi −∂L 0 ∂Qi = d dt ∂L ∂ ˙qj ∂ ˙qj ∂ ˙Qi −∂L ∂qj ∂qj ∂Qi = d dt ∂L ∂ ˙qj − ∂L ∂qj δij = d dt ∂L ∂ ˙qi −∂L ∂qi . Daqui se obtém que as equa¸cões de Euler-Lagrange são invariantes para transforma¸cões entre referenciais inerciais (ainda bem!)

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C) Invariância para transforma¸cões locais. Consideremos a seguinte transforma¸cão de coordenadas

qi= qi(s1, s2, . . . , sn), que promove a transforma¸c˜ao

L(qi, ˙qi, t) → L(si, ˙si, t). Assim, 0 = d dt ∂L ∂ ˙si −∂L ∂si = d dt ∂L ∂ ˙qj ∂ ˙qj ∂ ˙si − ∂L ∂qj ∂qj ∂si = d dt ∂L ∂ ˙qj − ∂L ∂qj ∂qj ∂si . A última forma da igualdade se manter para uma transforma¸cão não-trivial, i.e. ∂qj

∂si

6= 0, é através da invariância da equa¸cão do movimento d dt ∂L ∂ ˙qj − ∂L ∂qj = 0 _,

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1.4 Potenciais de velocidades

O formalismo lagrangeano tamb´em acomoda potenciais conservativos que dependem das velocidades, V = V (qi, ˙qi).

Neste caso, visto que os termos em ˙qi entram no Lagrangeano atrav´es do termo d

dt ∂L ∂ ˙qi

, a forma de acomodar isto na forma de um potencial ´e por via de uma for¸ca generalizada do tipo

Qi= − ∂V ∂qi + d dt ∂V ∂ ˙qi . (6)

Um exemplo interessante ´e a for¸ca de Lorentz no electromagnetismo. ~

F (~r, ˙~r) = q ~E + ˙~r × ~B,

onde ~E = − ~∇φ − ∂ ~A

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Em componentes, temos Fα= q (Eα+ αβγ˙rβBγ) = q   −∂αφ − ∂tAα+ ˙rβ αβγγρσ | {z } δαρδβσ−δασδβρ ∂ρAσ   .

Definindo coordenadas generalizadas qα= rα(aqui usamos espa¸cos ortonormados, rα= (x, y, z) = rα), Fα= Qα, pelo que obtemos

Qα= q −∂φ ∂qα −∂Aα ∂t + ˙qβ ∂Aβ ∂qα −∂Aα ∂qβ .

O potencial que resulta por integra¸c˜ao da Eq. (6) ´e, finalmente6 V (qα, ˙qα) = q (φ + ˙qβAβ) = q

h

φ(qα) + ˙~q · ~A(qα) i

.

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Outra situa¸cão fisicamente relevante é o caso dos sistemas dissipativos, descritos por potenciais não-conservativos. Vejamos o caso da for¸ca de atrito

~

F = −µ ˙~r,

onde µ ´e o coeficiente de atrito. A for¸ca generalizada associada ´e

Qj= ~F · ∂~r ∂qj = ~F · ∂ ˙~r ∂ ˙qj = −∂F ∂ ˙~r · ∂ ˙~r ∂ ˙qj = −∂F ∂ ˙qj ,

onde introduzimos o potencial de Rayleigh F (qi, ˙qi) que, neste caso ´e F ( ˙~r) =1

2µ ˙r 2_.

´

E formalmente semelhante a um termo de energia cin´etica, mas entra nas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange de forma diferente (for¸ca generalizada)

d dt ∂L ∂ ˙qj − ∂L ∂qj +∂F ∂ ˙qj = 0