FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Campus de Lhanguene, Av. de Moçambique, km 1, Tel: +258 21401078, Fax: +258 21401082, Maputo
Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade
AULA I: Análise Combinatória: Diagrama de Árvore, Princípio fundamental de contagem, noção de factorial de um número, Arranjos simples e completos de n elementos p a p, permutações simples, permutações circulares.
RESUMO TEÓRICO
______________________________________________________________________ Diagrama de Árvore
O DIAGRAMA DE ÁRVORE é um modo simples de fazer a contagem do número de resultados possíveis de uma experiência. É um método de contagem com enumeração, e por isso, trabalhoso caso a experiência seja complexa.
Considere-se uma experiência que pode ser vista como sendo uma sucessão de experiências mais simples. Então, elabora-se um diagrama de árvore do seguinte modo: na primeira coluna registam-se os resultados possíveis da primeira experiência, depois, para cada um destes resultados possíveis, registam-se numa segunda coluna, os possíveis resultados da segunda experiência e, assim, sucessivamente, até terem sido considerados todas experiências que, no seu conjunto formam a experiência original. O número de ramos terminais existentes na árvore é o número de resultados possíveis da experiência; percorrendo a árvore, sabe-se quais são esses resultados possíveis. Princípio Fundamental de contagem
Considere uma experiência complexa, da qual se pretende determinar o número de resultados possíveis. Suponha que essa experiência possa ser vista como uma sucessão ordenada de k experiências mais simples,
1, 2,..., k
E E E . Seja ni o número de resultados possíveis da experiência Ei, 1, 2,...,
i k. Então, o número total de resultados possíveis da experiência original é 1 2 1 ... k k i i n n n n
.Factorial de um número (n!)
Dado um número natural n, define-se o seu factorial (n!) como o produto dos primeiros n números naturais.
! ( 1) ( 2) ... 2 1 n n n n Por convenção, tem-se 0!=1.
Arranjos simples de n elementos p a p ( n p
A )
Considere-se um conjunto com n elementos e suponha-se que se pretende formar-se uma sequência com p elementos (uma sequência é um subconjunto que difere de um outro quer pela natureza dos elementos que o formam, quer pela ordem em que os elementos são colocados). Supõe-se, ainda, que não é permitida a repetição de elementos na sequência. Nestas condições, o número de formas distintas de criar tais sequências é dado pelos arranjos simples de n elementos p a p, usualmente representados por n
p
A . ( 1) ( 2) ... ( ( 1))
n p
A n n n n p . (Produto de p elementos a partir de n) ! ; , , ( )! n p n A n p N n p n p
Arranjos Completos de n elementos p a p (arranjos com reposição ou repetição ( n
p
A .)
Suponha que de um conjunto com n elementos pretende-se formar uma sequência com p desses elementos, sendo possível a repetição de elementos na sequência. Nestas condições, o número de formas possíveis de criar tal sequência é dado pelos arranjos completos de n elementos p a p. ( n p
p
A n ).
Permutações simples de n elementos (Pn)
As permutações simples de n elementos são arranjos simples de n elementos, n a n.
!
n n n
P A n
Permutações completas de n elementos (n)
As permutações completas de n elementos, não são mais que os arranjos completos de n elementos n a n.
n n n An n
Permutações circulares de n elementos (Cn)
As permutações circulares de n elementos contam o número de formas de ordenar n elementos em círculo. Neste caso, o número de maneiras diferentes de fazer a ordenação é dado pelas permutações circulares de n elementos Cn (n1)!
CONTACTO
______________________________________________________________________ 1. Considere a experiência de lançar uma moeda três vezes.
a) Construa um diagrama de árvore para esta experiência. b) Liste todos os possíveis resultados.
2. Para pintar a bandeira abaixo, há 4 cores disponíveis. De quantos modos ela pode ser pintada de modo que faixas adjacentes tenham cores distintas? (sol:36)
3. Um supermercado utiliza códigos para todos os seus produtos. Os códigos são construídos do seguinte modo: uma letra do alfabeto, seguida de três algarismos, sendo o primeiro diferente de zero, seguidos por duas letras distintas e diferentes da primeira; no fim do código é ainda utilizado um dos algarismos 1, 2 ou 3, consoante o escalão do imposto a que o produto está sujeito. Quantos códigos diferentes pode o supermercado criar para os seus produtos. (42120000)
4. Quantas palavras com ou sem significado podem formar-se com todas as letras da palavra VIDA? (24)
5. Cinco estradas conduzem ao cimo de uma montanha. De quantas maneiras diferentes pode um turista subir e descer a montanha? Qual a resposta se o turista não quiser passar duas vezes pelo mesmo caminho? (24,20)
6. Quantos são os números de três algarismos distintos? (sol:648) 7. Num casamento, de quantas formas pode o fotógrafo colocar seis
pessoas numa linha, sabendo que estão quarenta pessoas no casamento, incluindo os noivos, se:
a) Escolhem-se seis pessoas ao acaso; (2763633600) b) a noiva deve ficar na fotografia; (414545040)
c) os noivos devem ficar na fotografia; (53146800)
d) apenas um dos noivos deve ficar na fotografia. (722796480) 8. De quantas formas diferentes 4 crianças podem ocupar os 4
ESTUDO
______________________________________________________________________ 1. Um grupo de 4 alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) tem que
escolher um líder e um vice-líder para um debate.
a) Faça uma lista de todas as possíveis escolhas (use a inicial de cada nome, para facilitar). Organize a sua lista do seguinte modo: primeiro, escreva todas as possibilidades em que Alice é a presidente, depois aquelas em que Bernardo é presidente, e assim por diante.
b) Conte o número de possíveis escolhas e verifique que o Princípio Multiplicativo fornece a mesma resposta.
2. Um restaurante possui um cardápio que apresenta escolhas de saladas (salada verde, salada russa ou salpicão), sopas (caldo verde, canja ou de legumes) e pratos principais (bife com fritas, peixe com puré, frango com legumes ou lasanha).
a) De quantos modos se pode escolher um prato deste cardápio? (sol:10)
b) De quantos modos se pode escolher uma refeição completa, formada por uma salada, uma sopa e um prato principal? (sol:36)
3. Cada dígito de uma calculadora é mostrado no visor acendendo filamentos dispostos como mostra a figura a seguir. Quantos símbolos diferentes podem ser representados? (Não inclua o caso em que nenhum filamento é aceso.) (127)
4. Quantas são as respostas possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha, com 5 alternativas por questão? Em quantas destas a letra A aparece exactamente uma vez? Em quantos a letra A não aparece? (sol:9765625, 2621440,1048576)
5. Liste todos os subconjuntos de {1, 2, 3}. Quantos são eles? De modo geral, quantos são os subconjuntos de um conjunto que tem n elementos?
6. Quantos são os inteiros positivos de 4 algarismos nos quais o algarismo 5 figura? (sol: 3168)
7. Tendo 4 cores disponíveis, de quantos modos se pode pintar uma bandeira com 3 listras, tendo listras adjacentes de cores distintas? Um aluno deu a seguinte solução: “Primeiro, eu vou pintar as listras extremas; para cada uma, eu tenho 4 possibilidades de escolha. Depois, eu pinto a listra central; como ela tem que ter cor diferente das duas vizinhas, eu posso escolher sua cor de apenas 2 modos. Logo, o número total de modos de pintar a bandeira ´e 4×4×2 = 32”. A solução está certa ou errada? Se estiver errada, onde está o erro?
8. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? Este problema foi resolvido por um aluno do modo a seguir: “A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve ser de sexo diferente do da primeira pessoa. Há portanto 10×5 = 50 modos de formar um casal.” A solução está certa ou errada? Se estiver errada, onde está o erro?
9. O cadeado de um cofre usa um mostrador numérico com 20 Números. Este mostrador deve ser girado para esquerda até um certo número, depois para a direita e depois para a esquerda novamente. A chave numérica deste cadeado é formada, portanto, por 3 números. Quantas combinações existem no total? (8000, permitindo repetições do mesmo número; 6840 caso não se permita repetições)
10. A final de um campeonato de futebol termina empatada e deve ir para disputa de penalidades. Um técnico deve seleccionar 5 jogadores, dentro do conjunto de 10 jogadores em campo, para marcar as penalidades. O técnico deve também decidir a ordem em que as penalidades serão cobradas. De quantas maneiras ele pode fazer a escolha? (30240)
11. De quantas formas diferentes se podem sentar 12 pessoas numa mesa redonda? (39916800)
DESAFIO
______________________________________________________________________ 1. Uma experiência de laboratório consiste em colocar um rato no
quadrado A do pequeno labirinto da figura a seguir e ver os caminhos que ele escolhe para chegar ao quadrado B, onde há comida. Os quadrados têm pequenas portas que permitem ao rato andar para cima ou para a direita somente. Quantos caminhos possíveis existem? (20)
2. Delegados de 10 países devem sentar em 10 cadeiras dispostas numa fila. De quantos modos isso pode ser feito se delegados do Brasil e de Portugal devem sentar lado a lado e delegados de Estados Unidos e Iraque não se podem sentar lado a lado? (564480)
3. No jogo de totobola, uma cartela é constituída por 13 jogos de futebol. Em cada cartela, o apostador deve escolher o resultado de cada um dos 13 jogos (3 resultados possíveis para cada jogo), podendo marcar 2 resultados em um único jogo. Em um jogo deste, de quantas maneiras podemos preencher uma cartela? (Sugestão: a primeira tarefa é escolher, dentre os 13 jogos, aquele em que serão marcados 2 resultados). (20726199)
4. Suponha que n carros estão em fila para entrar num parque de estacionamento que possui n lugares, lado a lado. Se o 1º carro pode escolher qualquer lugar e cada um dos outros carros ao estacionar deve justapor-se a um carro já estacionado. De quantas maneiras diferentes os carros podem ocupar os n lugares? ( 1
2n )
