MARCELO CRIVELLA
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CÉSAR BENJAMIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS SUBSECRETARIA DE ENSINO
KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL SILVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO
CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL DALTON DO NASCIMENTO BORBA ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA NELSON GARCEZ LOURENÇO SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO
AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA) MOANA MARTINS E EQUIPE
ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA MULTIRIO CONTATOS E/SUBE nazareth@rioeduca.net mariamcunha@rioeduca.net cemp@rioeduca.net Telefones: 2976-2301 / 2976-2302 EDIGRÁFICA IMPRESSÃO FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO
1- (Prova da Rede– 2016) O cálculo da área de um retângulo é dado pela multiplicação do seu comprimento pela sua altura. Sendo assim, podemos dizer que a equação que melhor representa o cálculo da área da figura abaixo é:
(A) 2𝑥² + 32 = 0. (B) 2𝑥² – 32 = 0. (C) 𝑥² + 2𝑥 + 32 = 0. (D) 3𝑥 – 32 = 0.
3- (Prova da Rede – 2016) Qual a equação que será formada se as suas raízes são 2 e 7?
(A) 𝑥² – 9𝑥 + 14 = 0. (B) 𝑥² + 2𝑥 + 7 = 0. (C) 𝑥² + 9𝑥 + 14 = 0. (D) 2𝑥² + 7𝑥 = 0.
2- (Prova da Rede – 2016) Qual o comprimento mínimo de um cabo de aço que prenda uma antena de rádio de 16 m, se ele estiver fixado a 12 m da base da antena?
(A) 12 m. (B) 16 m. (C) 20 m. (D) 50 m.
4- (Prova da Rede – 2016) Uma piscina possui uma superfície (espelhod’água) de 120 m². Observe a imagem:
A equação que pode ser utilizada para determinar o comprimento e a largura da parte interna desta piscina é:
(A) 𝑥² + 2𝑥 – 120 = 0 (B) 𝑥² + 10𝑥 + 120 = 0 (C) 𝑥² – 120 = 0
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO
Para o triângulo retângulo ABC:
No triângulo retângulo, podemos definir:
!!!
FIQUE LIGADO
A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática. Possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Geografia, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.
No triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais (como
já vimos nas relações métricas), que são utilizados na formação
das razões trigonométricas.
seno
seno de um ângulo agudo = medida do cateto oposto medida da hipotenusa cosseno de um ângulo agudo = medida do cateto adjacente
medida da hipotenusa tangente de um ângulo agudo = medida do cateto oposto
medida do cateto adjacente
cateto oposto ao ângulo hipotenusa
cateto adjacente ao ângulo
c
a
teto
cateto RELEMBRANDO...
Hipotenusa – lado do triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto. Catetos – são os lados do triângulo retângulo que formam o ângulo reto.
1- Observe a figura e determine:
a) sen = _____
b) cos = _____
c) tg = _____
2- No triângulo retângulo, apresentado a seguir, calcule:
a) sen = _____ b) cos = _____ c) tg = _____ d) sen = _____ e) cos = _____ f) tg = _____ AGORA, É COM VOCÊ
!!!
Para facilitar, podemos simplificar a escrita das fórmulas!!!AGORA, É COM VOCÊ
!!!
Com o auxílio da tabela, determine:
a) sen 25o - ____________
b) cos 78o - ____________
c) tg 50o - ____________
d) o ângulo que tem o seno igual a 0,97437 - ___________
Tabela de razões trigonométricas
A tabela trigonométrica relaciona um ângulo aos seus respectivos valores de seno, cosseno e tangente. Ela foi criada para facilitar quaisquer cálculos envolvendo trigonometria. Fazendo uso da tabela, basta procurar os valores numéricos de seno, cosseno e tangente referentes a um angulo qualquer.
Como vimos anteriormente, seno, cosseno e tangente são resultados da divisão dos comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. Para definir essas divisões, é necessário saber que, em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo de 90° é chamado de hipotenusa (r) e que os outros dois lados são chamados de catetos (x e y).
Observe estas situações-problema:
1) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60o.
𝑥 sen 30o= 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝 ℎ𝑖𝑝
1
2
=
𝑥
6
2 = 6 =6 2 = 3 30o Al tu ra d a p a re d e 𝑥 𝑥 𝑥 Elaborado por Dalton BorbaÂNGULOS NOTÁVEIS
As razões trigonométricas dos ângulos 30o, 45o e 60o aparecem, com muita frequência, em situações-problema. Para facilitar, vamos organizá-las em uma tabela, com seus respectivos valores apresentados na forma fracionária:
30°
45°
60°
sen
cos
tg
1
Resposta:
A parede possui 3 m de altura.
Recordando... 30o Al tu ra d a p a re d e Elaborado por Dalton Borba sen 60°= 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝ℎ𝑖𝑝
3
2
=
𝑦
6
2𝑦 =6 3
𝑦 =6 3 2 𝑦 =3 3 cm
cos 60°= 𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑗ℎ𝑖𝑝1
2
=
𝑥
6
2 =6
= 6 2 = 3 cm𝑥
𝑥 𝑥 𝑥𝑦
2) Uma escada, encostada em uma parede, forma um ângulo de 30ocom o chão. Se a escada possui 6 m de comprimento, qual é a altura da parede? cateto adjacente ao ângulo de 60° cateto oposto ao ângulo de 60° hipotenusa
1- Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um edifício mede 18 m. Qual é a altura, aproximada, deste edifício?
2- Um paraquedista salta de um avião quando este se encontra a 1 500 m de altura. Devido à velocidade do avião e à ação da vento, o paraquedista cai no ponto P, conforme figura abaixo. Determine a distância percorrida pelo paraquedista, se ele descesse em linha reta:
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1 5 0 0 m E lab o ra d o p o r Sombra do edifício Elaborado por Dalton Borba Resposta:______________________________________________ Resposta:______________________________________________c)
d)
e) 3- Calcule o valor de𝑥 em cada um dos triângulos apresentados
abaixo: a) b) Consulte a tabela da página 5. 40o 45o 60o 12 20 10
𝑥
𝑥
𝑥
BATALHA NAVAL
REGRAS DO JOGO
1. Cada jogador distribui suas embarcações pelo tabuleiro.
Isso é feito marcando-se, no reticulado intitulado “DEFESA“,
os quadradinhos referentes às suas embarcações.
2. Não é permitido que 2 embarcações se toquem.
3. O jogador não deve revelar ao oponente as localizações de
suas embarcações.
Jogando...
Cada jogador, na sua vez de jogar, seguirá o seguinte procedimento:
1. Disparará 3 tiros, indicando as coordenadas do alvo através
do número da linha e da letra da coluna que definem a posição. Para que o jogador tenha o controle dos tiros disparados, deverá marcar cada um deles no reticulado
intitulado“ATAQUE".
2. Após cada um dos tiros, o oponente avisará se acertou e,
nesse caso, qual a embarcação foi atingida. Se ela for afundada, esse fato também deverá ser informado.
3. A cada tiro acertado em um alvo, o oponente deverá marcar
em seu tabuleiro para que possa informar quando a embarcação for afundada.
4. Uma embarcação é afundada quando todas as casas que
formam essa embarcação forem atingidas.
5. Após os 3 tiros e as respostas do opoente, a vez passa para
o outro jogador.
O jogo termina quando um dos jogadores afundar todas as embarcações do seu oponente.
DEFESA ATAQUE
Eu adoro esse jogo!!! Vamos brincar de
PAR ORDENADO
Observe a organização das carteiras de uma sala de aula:
Par ordenado: (3, 5) 2.º elemento 1.º elemento Par ordenado: (5, 3) 2.º elemento 1.º elemento A carteira da Jéssicaestá localizada na quinta linha e na terceira coluna. Vamos indicar por (5, 3).
A carteira do Gabrielestá localizada na terceira linha e na quinta coluna. Vamos indicar por (3, 5).
Como as carteiras da sala estão em lugares diferentes, podemos concluir que:
(5, 3) ≠ (3, 5)
Observe: El ab o rad o p o r D al ton Bor b aPar ordenado - par de números que determina a localização de
PRODUTO CARTESIANO
Sejam dois conjuntos não vazios. Chamaremos de produto cartesiano de A e B ao conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo pertence ao conjunto B.
Indicamos: A x B e lemos “A cartesiano B”. Exemplos: 1º) Através de conjunto Sendo A = {2, 3} e B = {4, 6, 8}, temos: A x B = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} B x A = {(4, 2) ,(4, 3), (6, 2), (6, 3), (8, 2), (8,3)} Observe que A x B ≠ B x A 2º) Através de diagrama Dados os conjuntos A = {1, 4} e B = {2, 3, 4} Então: A x B = {(1, 2) ,(1, 3), (1, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} 1- Dados os conjuntos, A = {3, 4, 5} B = {2, 6} C = {1, 5} determine: a) A x B = ____________________________________ b) B x A = ____________________________________ c) A x C = ____________________________________ d) B x C = ____________________________________ e) B x B = ____________________________________ AGORA, É COM VOCÊ
!!!
Lembre-se que o primeiro elemento do par ordenado pertence ao primeiro conjunto.
PLANO CARTESIANO
Considerando duas retas numéricas perpendiculares, denominadas eixos, que se interceptam no ponto que representa o zero de cada uma delas. Este ponto de intercessão é denominado origem do plano cartesiano.
eixo das ordenadas
eixo das abscissas
A representação de um ponto no plano é feita através de dois números reais:
● o primeiro número do par ordenado pertence ao eixo𝒙. ● o segundo número do par ordenado pertence ao eixo𝒚.
(𝑥, 𝑦)
Localizamos o ponto P no plano:
● 3 no eixo 𝒙. ● 2 no eixo𝒚.
Logo, a localização do ponto P é o par ordenado:
(3, 2)
Observe que o valor𝒙 𝑥sempre vem primeiro
no par ordenado.
● Eixo horizontal: é o eixo 𝒙 ou eixo das abscissas. ● Eixo vertical: é o eixo 𝒚 ou eixo das ordenadas.
y
Lembre-se de que o primeiro valor do par ordenado tem que ser sempre o valor do eixo 𝒙 .
LOCALIZAR PONTOS NO PLANO CARTESIANO
Exemplos:
Vamos localizar os seguintes pares ordenados:
A (1, 4) B (– 3, – 4) C (– 2, 3) D (3, – 3)
Quadrantes
– – – –As retas x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes. Os quadrantes são numerados conforme a figura abaixo.
Observe:
quatro – quadrante – quadrangular – quadrado
y
𝒙
QUADRANTE Os pontos localizados possuem: 1º abcissa e ordenada positivas
2º abcissa negativa e ordenada positiva
3º abcissa e ordenada negativas
2- Leia a planta da sala de aula. Nela, há carteiras arrumadas em colunas e linhas.
Agora, responda:
a) Qual é a posição (coluna; linha) da carteira A?_____________
b) Qual é a posição (coluna; linha) da carteira B?_____________
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1- Leia a imagem apresentada a seguir:
Em qual posição se encontra a cabeça do ciclista?
(A) B2. (B) C5. (C) D2. (D) A2. CLI P A RT
Casa: (____,____) Avião: (___,____) Bola: (___,____) Carro: (___,____) Piscina: (___,____) Árvore: (___,____) Bicicleta: (___,____) Barco: (___,____)
4- Agora, localize os pontos no plano cartesiano:
M(3, 2) N(– 2, 4) O(– 3, – 3) P(4, – 2) Q(– 2, 0) R(0, – 4) S(2, 0) T(0, 2) 3- Escreva as coordenadas inteiras ( 𝑥 , 𝑦 ) que melhor
representam a localização de cada figura que aparece no plano cartesiano abaixo:
y
5- Localize os pontos no plano cartesiano. Depois, ligue-os na sequência em que aparecem:
(7,6) (1,6) (4,3) (11,3) (14,6) (7,6) (7,13) (13,7) (7,7)
Que figura você encontrou? __________________________
6- Localize os pontos no plano cartesiano:
A(1, 3) C(–1, –4)
B(–1, 1) D(4, 1)
Agora, responda:
Ligando os pontos, em ordem alfabética, qual o polígono convexo formado?
(A) Triângulo. (C) Trapézio.
(B) Retângulo. (D) Quadrado.
Organizando essas informações em uma tabela... Horas excedentes Preço (em real) Total (𝑦) 0 7 7 1 7 + 1∙2 __________ 2 7 + 2∙2 __________ 3 7 + 3∙2 __________ 4 7 + 4∙2 __________ ⁞ ⁞ ⁞ 𝑥 7 + 𝑥∙2 7 + 2𝑥
NOÇÕES DE FUNÇÃO
Me ajude a completar a tabela!!! Leia, atentamente, as seguintes situações:9 11 13 15
1.ª situação:
Um estacionamento cobra, para a primeira hora, o valor de 7 reais. As demais horas excedentes R$ 2,00. Logo, o valor a ser pago, ao final, depende do número de horas em que o carro ficará estacionado.
Vamos indicar por𝑥 o número de horas excedentes e por 𝑦 o preço total a ser pago. Podemos, então, montar uma sentença, com essas duas grandezas, da seguinte maneira:
𝑦 = 7 + 2𝑥 →
lei de formação Lei de formação- constitui a sentença que define uma função.Observe que, a cada valor atribuído à letra 𝑥, obteremos um único valor para a letra 𝑦. Exemplo: ● para 𝑥 = 0, temos 𝑦 = 7 + 2𝑥 𝑦 = 7 + 2∙0 𝑦 = 7 + 0 𝑦 = 7
Isto significa que, se o proprietário do carro não passar de 1 hora, pagará R$ 7,00.
Também podemos dizer que 𝑦 é uma função de 𝑥 por 𝑦 = f(𝑥). Então, a função 𝑦 = 7 + 2𝑥 pode ser representada por f(𝑥) = 7 + 2𝑥.
● para 𝑥 = 1, temos 𝑦 = 7 + 2∙1 𝑦 = 7 + _____ 𝑦 = _______
Se o motorista ficar 1 hora excedente, pagará R$ 9,00.
● para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 7 + 2∙2 𝑦 = 7 + _____ 𝑦 = ____
Se o motorista ficar 2 horas excedentes, pagará R$ 11,00.
Com isso, poderemos dizer que o preço (𝑦) a pagar é obtido em função do número de horas extras (𝑥) que o carro permanecer no estacionamento.
Dizemos que a grandeza 𝑦 é função da grandeza 𝑥, se há entre elas uma correspondência. Vale dizer que: para cada valor de 𝑥, existe um único valor de 𝑦.
Vamos indicar por 𝑥 o número de horas
excedentes e por 𝑦 o preço total a ser pago. Podemos, então, montar uma sentença com essas duas grandezas:
𝑦 = 7 + 2𝑥 →
lei de formação W W W .GO OG L E .COM .B R/M A P S2.ª situação:
Em um parque de diversões, a entrada custa R$ 50,00 e cada brinquedo R$ 4,00. Leia o quadro e observe a relação entre a quantidade de brinquedos e o valor gasto:
H T T P: // W W W .PAR Q U ESPO R AI .C O M. BR / Quantidade de brinquedos
Preço pago Total (reais) 0 50 + 4∙0 50 1 50 + 4∙1 _____ 2 50 + 4∙2 _____ 3 50 + 4∙3 _____ 4 50 + 4∙4 _____ 5 50 + 4∙5 _____ ⁞ ⁞ ⁞ 𝑥 50 + 4∙𝑥 50 + 4𝑥
Agora, a partir da leitura atenta dessas informações, responda:
a) Se uma criança brincar em 7 atrações, quanto gastará ao todo? Nesse caso, substituímos 𝑥 por 7.
Logo, esta criança irá gastar R$ _________.
b) Se uma pessoa gastar com a entrada e os brinquedos R$ 90,00. Em quantos brinquedos ela poderá andar?
Nesse caso, substituímos f(𝑥) por 90:
Essa pessoa poderá andar em ____ brinquedos. f(7) = 50 + 4 ∙ 7 f(7) = 50 + ____ f(7) = ______ f(𝑥) = 90 → 50 + 4𝑥 = 90 4𝑥 = 90 – 50 4𝑥 = 40 𝑥 = 40 / 4 𝑥 = ______ Para esse exemplo, a lei
de formação da função é:
Não são funções de A em B, as relações representadas a seguir porque, na
1.ª relação:
o elemento de A está ligado a dois elementos de B.
2.ª relação:
está sobrando um elemento de A.
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DE DIAGRAMAS
Exemplos:
São funções de A em B, as relações representadas nos seguintes diagramas:
1 ● 2 ● ● 3 ● 4 1 ● 2 ● 3 ● ● 1 ● 3 ● 5 1 ● 2 ● ● 1 ● 3 ● 5 1 ● 2 ● 4 ● ● 1 ● 3 ● 5 A B A B A B A B 1 ● 2 ● ● 3 ● 4 A B 1 ● 2 ● 3 ● ● 1 ● 3 ● 5 A B Observe que:
→ em A, não sobra elemento; em B pode sobrar. → em A, de cada elemento parte uma única flecha;
NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
Considere a função f definida de IR em IR, tal que 𝑦 = 2𝑥 – 1: Para 𝑥 = 2, teremos 𝑦 = 2∙2 – 1 = _______.
Para 𝑥 = 3, teremos 𝑦 = 2∙3 – 1 = _______. Para 𝑥 = 4, teremos 𝑦 = 2∙4 – 1 = _______.
Dizemos que:
● 3 é a imagem de 2 pela função f. → f(2) = _____ ● 5 é a imagem de 3 pela função f. → f(3) = _____ ● 7 é a imagem de 4 pela função f. → f(4) = _____
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Seja f uma função de A em B.
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
O conjunto A é o domínio (D) da função. D = {1, 2, 3}
A imagem (Im) da função é formado por todos os elementos de B que ficam associados a elementos de A:
Im = {2, 3, 4} 1 • 2 • 3 • • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 A B 2 • 3 • 4 • • 3 • 5 • 7 IR IR O conjunto imagem é um subconjunto de B.
Domínio de uma função de A em B - é o próprio conjunto de
3- Dada a função definida por f(𝑥) = 2𝑥 – 3, calcule:
a) f(𝑥) = 3 b) f(𝑥) = – 7
Solução:
Igualando a função a 3 Igualando a função a – 7
4- Dada a função definida por f(𝑥) = 𝑥² – 5𝑥 + 6, calcule: a) f(𝑥) = 0
Solução: Igualando a função a 0 2𝑥 – 3 = 3
𝑥² – 5𝑥 + 6 = 0 a = 1
b = (– 5) c = 6 Observando os exemplos dados, complete:
1- Dada a função definida por f(𝑥) = 𝑥 + 2, calcule:
a) f (0) b) f (– 2)
Solução:
Substituindo 𝑥 por 0 Substituindo 𝑥 por – 2
2- Dada a função definida por f(𝑥) = 𝑥² – 3, calcule:
a) f (0) b) f (– 2)
Solução:
Substituindo 𝑥 por 0 Substituindo 𝑥 por – 2
2𝑥 – 3 = – 7 = (– 5)² – 416 = __________ = _______ f (0) = 0 + 2 f (0) = ___________ f (0) = ______ f (–2) = (– 2) + 2 f (–2) = ____________ f (–2) = _____ f(0) = 0² – 3 f(0) = _______ f(0) = _____ f(– 2) = (– 2)² – 3 f(– 2) = _______ f(– 2) = ______
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1- Dada a função definida por: f(𝑥) = 2𝑥 – 1, calcule:
a) f(0) b) f(2)
c) f(–2) d) f(5)
2- Dada a função definida por: f(𝑥) = 𝑥² – 6𝑥 + 9, calcule:
a) f(0) b) f(1) c) f(–2) d) f(3) Lembre-se de que, ao substituir o 𝑥 por um número negativo, deve-se colocá-lo entre parênteses!!!
3- Sendo f(𝑥) = 3𝑥 – 1, determinar o valor de 𝑥 de modo que
a) f(𝑥) = 14 b) f(𝑥) = – 10
c) f(𝑥) = 0 d) f(𝑥) = 10
4- Sendo f(𝑥) = 𝑥² – 6𝑥 + 8, determinar o valor de 𝑥 de modo que a) f(𝑥) = 0
3- Se A x B = {(2,3),(2,4),(2,5),(4,3),(4,4),(4,5)}, então,
(A) A = {2, 4} e B = {3, 4, 5}
(B) A = {3, 4, 5} e B = {2, 4}
(C) A = {2, 3} e B = {3, 4, 5}
(D) A = {2, 4} e B = {3, 5}
4- Qual dos diagramas representa uma função de F em G?
(A) (B)
(C) (D)
1- As coordenadas inteiras que melhor representam a localiza-ção da casa e da árvore são, respectivamente,
(A) (2, 3) e (1, –2) (B) (3, 2) e (1, –2) (C) (2, 3) e (–2, 1) (D) (3, 2) e (–2, 1) 2- Se A = {2} e B= {1, 3}, então, (A) A x B = {(1, 2), (3, 2)} (B) B x A = {(1, 2), (3, 2)} (C) A x B = {(2, 1), (3, 2)} (D) B x A = {(2, 1), (2, 3)}
5- Leia a função definida por f(𝑥) = 𝑥²+9𝑥+3. Agora, responda: o valor de f(0) é:
(A) 6. (B) 3.
(C) 1
3. (D) 0.
6- Sendo f(𝑥) = 7𝑥 – 4, então f(2) é igual a:
(A) 69. (B) 11. (C) 10. (D) 5. 7- Se f(𝑥) = 2𝑥³ + 1, então f(0) é igual a (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (A) f = 850 – 100𝒙 (B) f = 100𝒙 – 850 (C) f = 850𝒙 + 100 (D) f = 850 + 100𝒙
9- O quadrante que possui os pares ordenados negativos é:
(A) 1.º quadrante. (B) 2.º quadrante.
(C) 3.º quadrante. (D) 4.º quadrante.
10- Em que quadrante se encontra o par ordenado (–3, 5)? (A) 1.º quadrante. (B) 2.º quadrante.
(C) 3.º quadrante. (D) 4.º quadrante.
11- Seja f uma função de A em B. Veja:
Pode-se dizer que os elementos do domínio são:
(A) {8, 10} (B) {2, 4, 6} (C) {1, 5, 9} (D) {2, 4, 6, 8, 10} 1 ● 5 ● 9 ● ● 2 ● 4 ● 6 ● 8 ● 10 A B
8- Um garçom recebe um salário mensal de R$ 850,00. Para cada hora extra, ele recebe R$ 100,00.
Qual é a lei de formação f que melhor representa o valor recebido pelo garçom que trabalhou 𝒙 horas extras durante um mês?
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
Leia, atentamente, o exemplo a seguir:
O perímetro do hexágono, apresentado ao lado, depende dos valores que forem atribuídos a 𝑥. Indicando o perímetro por𝑦, temos:
A função definida pela lei de formação𝑦 = 4𝑥 + 30 é um exemplo de função polinomial de 1.ograu.
𝑦
= 4
𝑥
+ 30
Uma função polinomial de 1.ograu é toda função do tipo
com a e b sendo números reais e a ≠ 0, e é definida para todo 𝑥 que pertença ao Conjunto dos Números Reais.
𝑦
= a
𝑥
+ b
Uma função definida por f: IR→IR chama-se afim quando existem constantes
a e b que pertencem ao
conjunto dos números reais, tais que,
f(𝑥) = a𝑥 + b (a≠0) para
todo 𝑥 ∈ IR.
15
1- Identifique as leis de formação que representam funções polinomiais de 1.º grau: a) 𝑦 = 2𝑥 – 7 b) 𝑦 = 4 – 2𝑥 c) 𝑦 = 𝑥² – 3 d) 𝑦 = – 4𝑥 e) 𝑦 = 5
2) Determine os coeficientes a e b de cada função afim apresentada abaixo: a) 𝑦 = 𝑥 – 4 a = _____ e b = _____ b) 𝑦 = 5 – 2𝑥 a = _____ e b = _____ c) 𝑦 = 3𝑥 a = _____ e b = _____ d) 𝑦 = – 𝑥 + 3 2 a = _____ e b = _____ e) 𝑦 = 2𝑥 3 + 3 a = _____ e b = _____ AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
3- Dados os valores de a e b, escreva a lei de cada funçãopolinomial de 1.º grau: a) a = 3 e b = 5 𝑦 = _____________ b) a = 1 e b = – 3 𝑦 = _____________ c) a = – 1 e b = 0 𝑦 = _____________ d) a = – 2 e b = 1 𝑦 = _____________ e) a = 15 e b = 4 𝑦 = _____________
4- Considerando o retângulo apresentado a seguir, determine:
a) o perímetro em função de 𝑥:__________________________ b) o perímetro para 𝑥 = 15:_____________________________
35
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano. Unindo-os, obteremos a representação gráfica da função𝑦 = 𝑥 + 1, que é uma reta.
𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 (𝑥, 𝑦) Para 𝑥 = 2 𝑦 = 2 + 1 𝑦 = 3 (2, 3) Para 𝑥 = 1 𝑦 = 1 + 1 𝑦 = ______ (___, ___) Para 𝑥 = 0 𝑦 = 0 + 1 𝑦 = ______ (___, ___) Para 𝑥 = –1 𝑦 = (–1) + 1 𝑦 = ______ (___, ___) Para 𝑥 = –2 𝑦 = (–2) + 1 𝑦 = ______ (___, ___) O gráfico de uma função de 1.º grau é
sempre uma reta.
Vamos completar os pares ordenados que estão
faltando na tabela? Depois, confira com os
seus colegas.
𝑦
𝑥 𝑦 = 𝑥 + 1
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
1.º) Vamos construir o gráfico da função, com f: ℝ → ℝ:
Primeiro, vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥. Depois, obteremos os valores correspondentes de 𝑦, através da substituição. Observe:
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os, obteremos a representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥 – 3, que é uma reta: 𝑥 𝑦 = 2𝑥 – 3 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 3 𝑦 = 2∙3 – 3 𝑦 = 3 (3, 3) 𝑥 = 2 𝑦 = 2∙2 – 3 𝑦 = _______ (___, ___) 𝑥 = 1 𝑦 = 2∙1 – 3 𝑦 = _______ (___, ___) 𝑥 = 0 𝑦 = 2∙0 – 3 𝑦 = _______ (___, ___) 𝑥 = –1 𝑦 = 2∙(–1) – 3 𝑦 = _______ (___, ___) Nessa tabela, estão faltando somente os pares ordenados para completar!!! Depois trace a reta, unindo os pontos no plano cartesiano. 𝑦 𝑥 𝑦 = 2𝑥 – 3 𝑦 = 2𝑥 – 3
2.º) Vamos construir o gráfico da função, com f: ℝ → ℝ :
Agora, vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥 e obter os valores correspondentes de𝑦, através da substituição:
Lembre-se sempre de conferir todas as respostas com os seus colegas.
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os, obteremos a representação gráfica da função 𝑦 = – 2𝑥, que é uma reta: 𝑥 𝑦 = – 2𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 2 𝑦 = – 2∙2 𝑦 = – 4 (2, – 4) 𝑥 = 1 𝑦 = – 2∙1 𝑦 = _______ (___, ___) 𝑥 = 0 𝑦 = – 2∙0 𝑦 = _______ (___, ___) 𝑥 = – 1 𝑦 = – 2∙(– 1) 𝑦 = _______ (___, ___) 𝑥 = – 2 𝑦 = – 2∙(– 2) 𝑦 = _______ (___, ___)
Nesta tabela também estão faltando os pares ordenados.
Lembre-se que depois é importante traçar a reta, unindo os pontos
no plano cartesiano.
𝑦
𝑥 𝑦 = – 2𝑥
3º) Vamos construir o gráfico da função,com f:ℝ → ℝ :
Vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥 e obter os valores correspondentes de𝑦, através da substituição. Observe:
𝑦 = – 2𝑥 Lembre-se sempre de conferir todas as respostas com os seus colegas.
𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 2 𝑦 = –1 (___ , ___)
𝑥 = 0 𝑦 = 0 (___ , ___)
𝑥 = –2 𝑦 = 1 (___ , ___)
4º) Vamos construir o gráfico da função:
Vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥 e obter os valores correspondentes de𝑦, através da substituição. Observe:
Como a representação gráfica de uma função de 1.º grau é sempre uma reta, não precisamos determinar cinco pares ordenados. Somente dois seriam necessários. Mas, para evitar qualquer erro, o aconselhável é determinar três pares ordenados.
Nessa tabela, completaremos somente três pares ordenados!!! Depois, é importante traçar a reta, unindo os pontos no plano cartesiano. Mu ltiri o
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os, obteremos a representação gráfica da função𝑦 = –𝑥
2, que é uma reta:
Lembre-se sempre de conferir todas as
respostas com os seus colegas.
Observe que
nos gráficos 𝑦 = 𝑥 + 1 e 𝑦 = 2𝑥 – 3
chamamos de:
função crescente (a > 0)
● quando aumenta o valor de 𝑥, aumenta também o valor de𝑦.
nos gráficos 𝑦 = – 2𝑥 e 𝑦 = –𝑥
2
chamamos de:
função decrescente (a < 0)
● quando aumenta o valor de 𝑥, o valor de 𝑦 diminui.
a > o valor positivo
FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
Leia os gráficos:
Exemplos:
a) 𝑦 = 𝑥 + 7 → a > 0, então, função crescente b) 𝑦 = – 3𝑥 + 4 → a < 0, então, função decrescente c) 𝑦 = 5𝑥 – 3 → a > 0, então, função crescente Então, é só olhar o sinal do
coeficiente de 𝑥? Assim ficou fácil!!!
a < o valor negativo 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 = – 2𝑥 𝑦 = 2𝑥 – 3 1.º 4.º 2.º 3.º 𝑦 = – 𝑥 2
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1- Construa o gráfico das funções definidas por
a) 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 𝑦 = 2𝑥 – 1 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) b) 𝑦 = 2𝑥 – 1
𝑥 𝑦 = 𝑥 – 1 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) d) 𝑦 = 𝑥 – 1 𝑥 𝑦 = –𝑥 + 1 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) c) 𝑦 = – 𝑥 + 1
𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) f) 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 𝑦 = –𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) e) 𝑦 = – 𝑥 1/2 1/2
𝑥 𝑦 = –2𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) h) 𝑦 = – 2𝑥 𝑥 𝑦 = 2𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , ) g) 𝑦 = 2𝑥
COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR
Na função polinomial de 1.º grau:
O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta (é a tangente do seu ângulo de inclinação) em relação ao eixo das
abscissas (𝑥). O coeficiente linear (b) representa o valor numérico
por onde a reta passa no eixo das ordenadas (𝑦).
𝑦
= a
𝑥
+ b
Na função 𝑦 = 2𝑥 – 3, temos que:
Coeficiente angular: 2 Coeficiente linear: – 3
1- Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada função abaixo:
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
a) 𝑦 = 𝑥 – 3 Coeficiente angular: ____ Coeficiente linear: ____ c) 𝑦 = 3𝑥 + 12 Coeficiente angular: ____ Coeficiente linear: ____ b) 𝑦 = – 2𝑥 + 1 Coeficiente angular: ____ Coeficiente linear: ____ d) 𝑦 = – 𝑥 – 2 Coeficiente angular: ____ Coeficiente linear: ____ 𝑦 = 2𝑥 – 3 Coeficiente linear 𝑥 𝑦𝑦
𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 8 2𝑥 + 8 = 0 2𝑥 = – 8 𝑥 = –8 2 𝑥 = – 4
A reta 𝑦 = 2𝑥 + 8 corta o eixo 𝑥 no ponto (–4, 0).
ZEROS DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
Chama-se zero ou raiz de uma função polinomial de 1.º grau o valor de𝑥 para o qual𝑦 = 0.
Para calcular o zero da função, basta igualar a zero a função e resolver a equação de 1.º grau.
Exemplo:
Determinando o zero da função𝑦 = 2𝑥 + 8...
1- Calcule o zero de cada função apresentada a seguir: a)𝑦 = 𝑥 – 3 b)𝑦 = – 𝑥 + 7 c)𝑦 = 5𝑥 d)𝑦 = 3𝑥 + 12 AGORA, É COM VOCÊ
!!!
O zero da função é exatamente o ponto que a reta toca no eixo das
abscissas (eixo 𝑥).
1- Lídia comprou um terreno retangular cujo comprimento é de 80 m. Representando por 𝑦 o perímetro e por 𝑥 a largura do terreno, responda:
a) Como poderemos representar a função entre o perímetro e a largura do terreno?
____________________________________________________
b) Qual será o perímetro do terreno se a largura for 35 m?
c) Qual será a largura do terreno se o perímetro for de 300 m?
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
2- A fábrica de camisas de Camile possui uma despesa diária de 320 reais e mais 8 reais por camisa produzida.
a) Como podemos representar a função custo (C) em relação à quantidade (𝑥) de camisas produzidas ao final de um dia?
_____________________________________________________
b) Se ela produzir 15 camisas em um dia, qual será o seu custo diário?
_____________________________________________________
c) Se cada uma das 15 camisas for vendida a 25 reais, ela terá, ao final do dia, lucro ou prejuízo? De quanto?
_____________________________________________________
d) Se ela produzir 60 camisas por dia, qual será o seu custo diário?
_____________________________________________________
e) Se cada uma das 60 camisas for vendida a 25 reais, ela terá, ao final do dia, lucro ou prejuízo? De quanto?
_____________________________________________________ 𝑥
3- O gráfico que representa uma função polinomial de 1.º grau é:
(A) (B)
(C) (D)
4- A qual das funções apresentadas a seguir pertence o ponto (2,4)?
(A) 𝑦 = 2𝑥 + 2 (B) 𝑦 = 2𝑥 – 2 (C) 𝑦 = 1 – 𝑥 (D) 𝑦 = 𝑥 + 2 1- Qual das funções apresentadas a seguir é uma função
polinomial de 1.º grau? (A) 𝑦 = 21 (B) 𝑦 = 𝑥³ – 7 (C) 𝑦 = 2𝑥 + 3 (D) 𝑦 = 𝑥² – 3𝑥 + 1 2- Leia a tabela:
A relação que existe entre 𝑥 e 𝑦 é (A) 𝑦 = 𝑥 – 1 (B) 𝑦 = 𝑥 + 1 (C) 𝑦 = 1 – 𝑥 (D) 𝑦 = 2𝑥 – 1 𝑥 3 5 7 9 𝑦 4 6 8 10
5- Leia a função afim f(𝑥) = 2𝑥 – 3. Agora, responda: o valor de𝑥 em f(𝑥) = 0 é: (A) 𝑥 = 1 (B) 𝑥 = 3 (C) 𝑥 = 3 2 (D) 𝑥 = 2 3
6- Este gráfico representa a função definida por
(A) 𝑦 = 𝑥 + 1 (B) 𝑦 = 𝑥 – 1 (C) 𝑦 = 1 – 𝑥 (D) 𝑦 = 2𝑥 – 1
7- A confecção de bonés de Eduarda possui uma despesa diária de 750 reais e mais 12 reais por boné produzido.
Qual o custo de produção da sua confecção se ela produzir 60 bonés em um único dia?
(A) 720 reais. (B) 810 reais. (C) 822 reais. (D) 1 470 reais
8- O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa t é composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número k de quilômetros rodados. Supondo-se que a bandeirada esteja custando R$ 5,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,50, a função que melhor expressa a situação é:
(A) t = 5 – 1,5k (B) t = 6,5 (C) t = 5k + 1,5 (D) t = 5 + 1,5k 𝑥 y
9- (ENEM 2005 – adaptado) A escolaridade dos jogadores de futebol, nos grandes centros, é maior do que se imagina, como demonstra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. Leia o gráfico:
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos
quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de,
aproximadamente, (A) 34%. (B) 46%. (C) 54%. (D) 60%. (E) 62%.
10 - (Adaptado - ENEM – 2005) No gráfico apresentado a seguir, mostra-se de que forma o valor do dólar variou em relação ao real, entre o final de 2001 e o início de 2005. (Exemplo: em janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40.)
Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado, em relação ao dólar, foi no
(A) final de 2001. (B) final de 2002. (C) início de 2003. (D) final de 2004. (E) início de 2005. 4,00 3,60 3,20 2,80 2,40 2,00 1,60 1,20 R E A L PERÍODO VALOR DO DÓLAR EM RELAÇÃO AO REAL
13- O gráfico que representa uma função polinomial de 1.º grau é:
(A) (B)
(C) (D)
14- Sendo f uma função de A em B,
os elementos da imagem são:
(A) {32, 64} (B) {2, 4, 8}
(C) {4, 8, 16} (D) {4, 8, 16, 32, 10}
11- Seu José cobra, por um frete, uma taxa fixa de R$ 250,00, mais R$ 10,00 por quilômetro rodado. A função f, que melhor representa esta relação, é:
(A) f(𝑥) = 250𝑥 + 10 (B) f(𝑥) = 250 + 10𝑥 (C) f(𝑥) = 250 – 10𝑥 (D) f(𝑥) = 260𝑥
12- Leia o plano cartesiano apresentado a seguir:
Os vértices, da figura que se encontra neste plano cartesiano, estão localizados nos pontos
(A) (– 4, – 2), (– 3, 1), (1, 1), (0, – 2) (B) (– 4, – 2), (3, – 1), (1, 1), (0, – 2) (C) (– 4, – 2), (– 3, 1), (1, 1), (2, – 2) (D) (– 4, 2), (– 3, – 1), (1, 1), (2, – 2)
18- Dada a função definida por f(𝑥) = 5𝑥 – 30, podemos afirmar que o valor da imagem para𝑥 = 0 é:
(A) –30. (B) 0.
(C) 5. (D) 6.
19- Um foguete foi lançado de sua base em um ângulo de 60º. Após uma trajetória de 3 000 m, a altura atingida por este foguete foi de, aproximadamente,
(A) 4 000 m.
(B) 3 500 m.
(C) 2 550 m.
(D) 2 000 m. 15- Uma função definida por f(𝑥) = 3𝑥 – 6, tem, como zero da
função, o número
(A) 2. (B) 3.
(C) 6. (D) 9.
16- Observando o plano cartesiano, podemos afirmar que o ponto M está localizado na coordenada
(A) (–2, 2) (B) (2, 3)
(C) (–3, 2) (D) (2, –2)
17- Qual das funções apresentadas a seguir é polinomial de 1.º grau e decrescente? (A) 𝑦 = 2𝑥 – 3 (B) 𝑦 = –3𝑥² + 2 (C) 𝑦 = –𝑥 – 5 (D) 𝑦 = –3 + 4𝑥 𝑥 y Elaborado por Dalton Borba
20- Podemos afirmar que o único ponto que pertence à função representada no gráfico a seguir é
(A) (2, 3). (B) (0, –2). (C) (0, 2). (D) (–2, 2).
21- Um cabo de aço foi fixado no ponto mais alto de um prédio até um ponto distante 5 m de sua base. Sabendo-se que a medida deste cabo de aço é de 13 m, determine a altura do prédio:
(A) 12 m. (B) 13 m. (C) 25 m. (D) 30 m.
22- Lendo os diagramas abaixo, podemos afirmar que o único que representa uma função de A para B é:
(A) (B) (C) (D) 5 m C L IPAR T 𝑥 y
