EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL Primeiro Semestre de de novembro de 2018 (UFF)

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EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA

DO RIO DE JANEIRO

EDITAL 2019.1

Primeiro Semestre de 2019 – 07 de novembro de 2018 (UFF)

Esse documento contém o caderno de questões em Português seguido do caderno de respostas, também em Português, e então as versões em Inglês dos mesmos. Basta imprimir a versão mais adequada para os candidatos que realizarão a prova em sua localidade. Por favor, envie a versão escaneada do caderno de respostas, assim que possível, para o endereço de e-mail: unipos-uff@if.uff.br

This document consists of the exam and the answer sheet in Portuguese, followed by a version in English of the same documents. It is enough to print the sheets corresponding to the adequate language for the candidates in your location. Please send the scanned version of the answer sheet, as soon as possible, to the email address: unipos-uff@if.uff.br

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EXAME UNIFICADO DAS P ÓS-GRADUAÇ ÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2019-1

Primeiro Semestre de 2019 - 7 de Novembro de 2018 (UFF)

LEIA COM ATENC

¸ ˜

AO.

(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA É COMPOSTA DE 5 BLOCOS: Bloco 1: Mecânica Clássica

Bloco 2: Ondas, Fluidos e Termodinˆamica Bloco 3: Eletromagnetismo

Bloco 4: Ondas Eletromagnéticas, Ótica e F´ısica Moderna Bloco 5: Mecânica Quântica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutorado devem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecˆanica Quˆantica).

• A escolha do bloco que N ˜AO ser´a corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto do caderno de respostas.

• Cada bloco contém 3 questões de múltipla escolha (45% da nota) e uma questão discursiva (55% da nota).

• Quatro respostas erradas a questões de múltipla escolha cancelam uma resposta correta a outra questão de múltipla escolha, dentro do universo de 12 questões de múltipla escolha dos 4 blocos escolhidos. • Respostas em branco não têm nenhum efeito sobre a correção das outras questões.

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BLOCO 1: Mecˆanica Cl´assica

M ´ultipla escolha

Problema 1: Uma part´ıcula é lançada de três formas diferentes, mas nos três lançamentos a sua velocidade inicial tem o mesmo módulo v0. No primeiro, a part´ıcula é lançada de modo que a sua velocidade inicial faça com a horizontal um ângulo θ0, como indica a figura 1. No segundo, a part´ıcula é lançada sobre uma rampa inclinada de mesmo ângulo θ0 com a horizontal, como indica a figura 2. Suponha que a rampa seja extensa o suficiente para que a part´ıcula se mova sempre sobre ela e despreze o atrito entre a part´ıcula e a rampa. No terceiro, a part´ıcula é lançada verticalmente para cima, como indica a figura 3. Despreze a resistência do ar em todos os lançamentos, e considere 0◦ < θ0 < 90◦.

Denotando por h1, h2 e h3 as alturas máximas atingidas pela part´ıcula nos três lançamentos, respectivamente, podemos afirmar que

a) h1 = h2 = h3 b) h1 = h2 < h3 c) h1 > h2 = h3 d) h1 < h2 = h3

Problema 2: O gráfico mostra como variam as velocidades escalares de dois pilotos de prova de fórmula um, Renata e Pedro, numa das várias marcações de seus tempos. Renata arranca e mantém uma aceleração constante até atingir uma velocidade máxima vM e, a partir desse instante, passa a frear com aceleração de módulo constante até atingir o repouso no instante tF. Pedro também arranca, mantém uma aceleração constante e atinge a mesma velocidade máxima de Renata, mas demora mais tempo para fazê-lo. Mas, ainda assim, Pedro consegue frear a tempo de atingir o repouso no mesmo instante que Renata.

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Denotando por vRe vP as respectivas velocidades escalares médias de Renata e Pedro entre os instantes 0 e tF, marque a única opção correta.

a) vR> vP b) vR= vP c) vR< vP

d) Como não foi dado o instante em que cada piloto atingiu a sua velocidade máxima, não há como saber se vR é maior, menor ou igual a vP.

Problema 3: Uma haste r´ıgida não-homogênea de comprimento ` é mantida em repouso na horizontal, suspensa por dois fios ideais verticais presos aos dois extremos da haste, como indica a figura. Verifica-se que no fio da esquerda o valor da tensão é o triplo do valor da tensão no fio da direita.

A distância da extremidade esquerda da haste até o seu centro de massa é

a) `/4 b) `/3 c) 3`/4 d) 2`/3

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Discursiva

Problema 4: Um bloco de massa M está apoiado sobre a superf´ıcie horizontal de uma mesa. Sobre ele há um outro bloco, de massa m, que está preso à esquerda por um fio ideal que passa por uma roldana ideal fixa a uma parede vertical e tem sua outra extremidade ligada ao bloco de massa M , como indica a figura. Uma força F, horizontal e para a direita, age sobre o bloco de massa M . Suponha que haja atrito entre as superf´ıcies dos blocos que estão em contato, mas que não haja atrito entre o bloco de baixo e a superf´ıcie horizontal da mesa. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre as superf´ıcies dos blocos em contato são dados, respectivamente, por µee µc.

a) Suponha, inicialmente, que os blocos estejam em repouso. Indique, por meio de setas, as forças horizontais que atuam em cada bloco. Dentre elas, quais formam par ação e reação?

b) Ainda supondo que o sistema esteja em repouso, determine o maior valor de |F| para o qual o sistema permanece em repouso.

c) Suponha, agora, que o valor de |F| seja capaz de colocar os blocos em movimento e fazer com que cada um deles tenha uma aceleração constante. Considere, apenas, o intervalo de tempo no qual o bloco de massa m permanece sobre o bloco de massa M . Determine, nesse caso, a aceleração de cada bloco em função de |F|, µc, m, M e do módulo da aceleração da gravidade g.

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BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinˆamica

M ´ultipla escolha

Problema 5: O efeito Magnus descreve a força sentida por um cilindro ou esfera em rotação em um fluido em escoamento, onde um empuxo perpendicular ao eixo do giro é gerado devido à diferença de velocidade de um lado e de outro do cilindro ou bola. Este efeito pode explicar a trajetória curvada observada em alguns esportes quando um atleta coloca uma bola para girar. Tendo isto em conta, considere as quatro afirmativas a seguir e assinale V se for verdadeira ou F se for falsa:

direção da bola v0 + v v0 - v v = ωr velocidade do escoamento Topspin v0 direção da bola v0 v0 + v v0 - v v = ωr velocidade do escoamento

Backspin

[ ] Uma tenista bate na bola com topspin (vide figura), para que a bola tenha um maior alcance horizontal. [ ] Um jogador de golfe usa um taco com formato de p´e para imprimir backspin (vide figura) e a bola chegar em um buraco muito afastado.

[ ] Em geral, quanto menos lisa for a bola, maior ser´a o efeito gerado.

Qual ´e a ordem correta das respostas?

a) V - F - V b) V - F - F c) F - V - V d) F - F - V

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Problema 6: O gr´afico abaixo mostra o comportamento de dois osciladores harmˆonicos simples A e B.

Qual das afirmativas a seguir ´e falsa:

a) A amplitude do oscilador A é menor que a de B. b) O per´ıodo de oscilação de A é maior que o de B. c) A frequência de oscilação de A é menor que a de B. d) Não há diferença de fase entre os osciladores.

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Problema 7: O cilindro da figura ao lado contém n moles de um gás ideal e está fechado por um pistão de massa M e área A . O calor especifico molar CV (a volume constante) do gás é uma constante independente da temperatura. As capacidades térmicas do pistão e do cilindro são muito pequenas, e o atrito entre o pistão e as paredes do cilindro pode ser desprezado. O sistema está completamente isolado termicamente. Inicialmente, o pistão está fixo numa posição de forma que o gás tem um volume V0e uma temperatura T0. O pistão depois de liberado assume uma posição final de equil´ıbrio que corresponde a um maior volume do gás.

Assinale a alternativa correta, com relação ao estado final do gás ideal:

a) A temperatura do g´as diminui e a entropia aumenta.

b) A temperatura do gás diminui e a entropia do gás permanece a mesma. c) A temperatura do gás aumenta e a entropia diminui.

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Discursiva

Problema 8: Jo˜ao e Maria est˜ao andando de bicicleta numa ciclovia num trecho reto e estreito, com veloci-dades vJ e vM respectivamente, segundo a figura a seguir.

v

J

v

M

a) Derive a relação entre a frequência do som emitido por Maria νM, a frequência percebida por João νJ, e as velocidades vJ e vM, considerando Vsom conhecido. Nota: Considere a relação do efeito Doppler entre a frequência emitida e observada para o caso de uma fonte em repouso e um observador com velocidade v :

νobs = νe 1 ∓ v Vsom

b) Como seria a frequência percebida por João se os ciclistas estivessem pedalando no mesmo sentido? Con-sidere João e Maria indo para a esquerda.

c) Voltando à situação descrita na figura, suponha que haja um vento soprando na direção e sentido do movi-mento de Maria com velocidade vvento. Como mudaria a frequência percebida por João?

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BLOCO 3: Eletromagnetismo

M ´ultipla escolha

Problema 9: A figura abaixo mostra duas (2) cascas cil´ındricas condutoras concêntricas de comprimento infinito, carregadas uniformemente com carga negativa. Considere os trajetos 1, 2, e 3 entre pares de pontos a e b, indicados na figura. Ordene por ordem crescente os trabalhos realizados pelo campo elétrico quando uma part´ıcula de carga positiva é deslocada do ponto a até o ponto b em cada um dos trajetos 1, 2 e 3 (W1, W2e W3, respectivamente).

a) W3, W1, W2 b) W2, W1, W3 c) W1, W3, W2 d) W3, W2, W1

Problema 10: No circuito elétrico da figura a diferença de potencial V (a) − V (b) vale (em regime esta-cionário):

a) V (a) − V (b) > 0 b) V (a) − V (b) < 0 c) V (a) − V (b) = 0

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Problema 11: Algumas part´ıculas massivas carregadas entram através de um orif´ıcio numa região do espaço delimitada por duas placas paralelas entre si. Nesta região, existem um campo magnético B (apontando para dentro do papel) e um campo elétrico E paralelo às paredes e orientado como na figura, ambos uniformes e constantes. As part´ıculas têm cargas q e velocidades v não nulas e diferentes entre si. A velocidade de cada part´ıcula ao passar pelo orif´ıcio de entrada é sempre perpendicular aos dois campos, B e E. Os orif´ıcios de entrada e de sa´ıda têm as mesmas dimensões das part´ıculas. Neste caso, as part´ıculas que conseguem passar pelo orif´ıcio de sa´ıda (veja a figura) são:

a) todas as part´ıculas.

b) somente as part´ıculas com uma velocidade particular, mas carga qualquer. c) somente as part´ıculas com uma carga particular, mas velocidade qualquer. d) nenhuma part´ıcula, independentemente da velocidade e da carga.

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Discursiva

Problema 12: Uma barra condutora desloca-se sobre trilhos condutores, separados por uma distância d (mantendo-se perpendicular a eles) com uma velocidade ~v(t) que obedece à equação: ~v(t) = VF[1−exp (−t/TC)]ˆx, onde VF e TC são constantes positivas. O campo magnético (conforme a figura abaixo) aponta para fora do papel e vale: ~B = B0z (onde Bˆ 0 é uma constante positiva).

a) Qual será o sentido (horário ou anti-horário) da corrente induzida no circuito, devido ao movimento da barra? Justifique as suas afirmativas.

b) Calcule o fluxo magnético (em função do tempo) através da superf´ıcie formada pelos trilhos, a barra e a resistência R, supondo que no instante t = 0 a sua área seja nula.

c) Calcule a corrente induzida na resistência R, supondo que tanto os trilhos quanto a barra tenham resistência elétrica desprez´ıvel.

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BLOCO 4: Ondas Eletromagn´eticas, ´

Otica e F´ısica Moderna

M ´ultipla escolha

Problema 13: Um observador mede 10 máximos e 11 m´ınimos de potência de uma onda estacionária em uma cavidade eletromagnética de comprimento L, conforme ilustrado na figura abaixo.

L

A frequˆencia desta onda ´e

a) ν = 9c/L. b) ν = 10c/L. c) ν = 11c/L. d) ν = 5c/L.

Problema 14: O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana e circularmente polarizada, que se propaga no vácuo na direção e sentido de ˆz, é dado por: E(r, t) = E0[sen(kz − ωt)ˆx + cos(kz − ωt)ˆy]. Considerando c como a velocidade da luz no vácuo, o campo magnético B associado a esta onda é

a) B(r, t) = E0 c [sen(kz − ωt)ˆy − cos(kz − ωt)ˆx]. b) B(r, t) = E0c[sen(kz − ωt)ˆy − cos(kz − ωt)ˆx]. c) B(r, t) = E0 c [sen(kz − ωt)ˆy + cos(kz − ωt)ˆx]. d) B(r, t) = E0c[sen(kz − ωt)ˆy + cos(kz − ωt)ˆx].

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Problema 15: Difração de raios-X é uma técnica experimental usada para determinar a estrutura atômica de um cristal. Este é um fenômeno no qual os átomos de um cristal, em virtude de seu espaçamento uniforme, causam um padrão de interferência das ondas presentes em um feixe monocromático de comprimento de onda λ, na faixa dos raios-X. Nesta técnica, os planos atômicos cristalinos separados por uma distância espec´ıfica, d, fazem com que o feixe que incide sobre os planos, com um ângulo θ, difrate em direções espec´ıficas (como ilustrado na figura abaixo). Cosiderando n um número inteiro positivo, podemos dizer que a condição para interferência construtiva, e o maior comprimento de onda poss´ıvel, λmax, para que ocorra o fenômeno de difração, são respectivamente

d θ θ θ a) dsenθ = nλ e λmax = d/2. b) 2dcosθ = nλ e λmax = 2d. c) 2dsenθ = nλ e λmax = 2d. d) 2dsenθ = nλ e λmax = d/2.

Discursiva

Problema 16: Dois ve´ıculos espaciais, pilotados por Amélia (voando da esquerda para a direita) e Bruno (voando da direita para a esquerda), sobrevoando uma estrada reta, se cruzam sobre o ponto O, onde encontra-se Caetano em repouso, conforme ilustrado na figura abaixo. Considere este momento como o instante inicial em todos os referenciais. O módulo da velocidade dos ve´ıculos medido por Caetano é constante e igual a 0.8c. A distância d entre Caetano e o marco M é medida no referencial O, de Caetano. Considere as transformações de Lorentz entre dois referenciais O e O0cuja velocidade relativa é v ao longo da direção ˆx:

x0 = γ (x − vt) t0 = γt − v c2x u0 = u − v 1 − uv/c2 γ = 1 p1 − (v/c)2

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onde u ´e a velocidade de um objeto medido pelo referencial O e u0 ´e a velocidade do mesmo objeto medida pelo referencial O0.

M

C d O

a) Calcule o instante de tempo medido por Am´elia em que ela atinge o marco M da estrada. b) Determine a velocidade do ve´ıculo de Bruno medida por Am´elia.

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BLOCO 5: Mecˆanica Quˆantica

(OBRIGAT ´ORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)

M ´ultipla escolha

Problema 17: Considere uma part´ıcula em 3 dimensões. Existe um estado para o qual medições da posição na direção y e do momento na direção z podem ser realizadas simultaneamente com precisão absoluta (dadas as limitações experimentais)?

a) N˜ao, isso ´e imposs´ıvel para todos estados f´ısicos.

b) Sim, isso é poss´ıvel para qualquer estado desde que a part´ıcula seja livre. c) Sim, isso é poss´ıvel para um único estado.

d) Sim, isso ´e poss´ıvel para qualquer estado.

Problema 18: Duas part´ıculas, A e B, com energias respectivas de EA= 3,0 eV e EB = 5,0 eV incidem sobre o poc¸o de potencial descrito na figura abaixo, vindas da esquerda (se movendo no sentido positivo do eixo x).

Um experimento mede as probabilidades de reflex˜ao para ambas as part´ıculas A e B, respectivamente RAe RB. Qual deve ser o resultado deste experimento?

a) 0 < RA < 1, 0 < RB < 1 b) RA= 1, RB = 0

c) 0 < RA < 1, RB = 0 d) RA= 1, 0 < RB < 1

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Problema 19: Considere o operador de “levantamento”, ˆS+, que atua da seguinte maneira nos estados de spin |↑i e |↓i,

ˆ

S+|↓i = ~ |↑i , ˆS+|↑i = 0.

Qual das opc¸˜oes abaixo pode representar a forma matricial deste operador na base formada por |↓i e |↑i?

a) ~ 0 1_{1 0} . b) ~ 0 1_{0 1} . c) ~ 0 0_{1 0} . d) ~ 0 1 1 1 .

Discursiva

Problema 20: Um oscilador harmônico de massa m e frequência angular ω é descrito pela Hamiltoniana H = 1

2m(P

2_{+ m}2_ω2_X2_{). O n-´esimo auto-estado de energia |ni, onde n = 0, 1, 2 . . ., tem energia E}

n= n + 1₂

~ω. Definimos os operadores-escada a±tais que:

a+|ni = √ n + 1 |n + 1i , a−|ni = √ n |n − 1i , onde: a± = 1 √ 2~mω(∓iP + mωX).

a) Se o estado inicial do sistema ´e

|ψ(t = 0)i = r 2 3|0i + r 1 3|1i ,

encontre o estado para o tempo t > 0. Ache o valor esperado da energia no tempo t.

b) Mostre que todos os auto-estados de energia |ni tˆem valores esperados nulos para x: hn| X |ni = 0.

c) Sabendo que o estado fundamental é ψ0(x) = A0exp(−mω_2~x2) (onde A0 é uma constante de normalização), ache ψ1(x). Não é necessário calcular a nova constante de normalização.

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Primeiro Semestre de 2019 - 7 de novembro de 2018 (UFF)

CADERNO DE RESPOSTAS

Nome Completo:

Assinatura:

Indique qual é o bloco que N ÃO será corrigido:

Indique o número de páginas utilizadas (incluindo essa folha de rosto): Nota Final (para ser preenchido pela comissão da UNIPOSRIO):

M´ultipla escolha Discursiva

Nota Final Questões Questões Questões

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20 corretas incorretas p/ pontua¸c˜ao

M´

ultipla escolha

Marque com um X as suas respostas das quest˜oes de m´ultipla escolha para cada bloco na seguinte tabela de acordo com os blocos escolhidos para resolver.

a) b) c) d) Bloco 1 Prob. 1 Prob. 2 Prob. 3 Bloco 2 Prob. 5 Prob. 6 Prob. 7 Bloco 3 Prob. 9 Prob. 10 Prob. 11 Bloco 4 Prob. 13 Prob. 14 Prob. 15 Bloco 5 Prob. 17 Prob. 18 Prob. 19

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CADERNO DE RESPOSTAS

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First Semester 2019 - November 7, 2018 (UFF)

READ CAREFULLY.

THE EXAM CONSISTS OF 5 BLOCKS: Block 1: Classical Mechanics

Block 2: Waves, Fluids and Thermodynamics Block 3: Electromagnetism

Block 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern Physics Block 5: Quantum Mechanics

• All applicants must choose only 4 of the 5 blocks to solve. PhD candidates MUST choose the block 5 (Quantum Mechanics).

• The block that will NOT be corrected should be clearly registered in the cover sheet of the answer book. • Each block consists of 3 multiple-choice questions (45% of grade) and a discursive question (55% of the

grade).

• Four wrong answers to multiple-choice questions cancel one correct answer to another multiple-choice, within the universe of 12 multiple-choice questions of the 4 selected blocks.

• Blank answers will have no effect on the correction of other questions.

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BLOCK 1: Classical Mechanics

Multiple choice

Problem 1: A small sphere is launched three different ways, such that the initial velocity has the same magnitude v0 in all three cases. In the first, the sphere is launched at an angle θ0 from the horizontal, as indicated in Figure 1. In the second case, the sphere is launched over an inclined ramp, making an angle θ0 with the horizontal, as shown in Figure 2. Assume that the ramp is long enough so that the sphere always moves upon it, and ignore the friction between the ramp and the sphere. In the third case, the sphere is launched in the vertical direction, as indicated in Figure 3. Ignore the air resistance in all three cases and consider 0◦ < θ0 < 90◦.

Denoting h1, h2 and h3 as the maximum altitudes reached by the sphere in the three launches, respectively, we can affirm that

a) h1 = h2 = h3 b) h1 = h2 < h3 c) h1 > h2 = h3 d) h1 < h2 = h3

Problem 2: The graphic below shows how the scalar velocities of two Formula One test pilots, Renata and Pedro, vary in one of the various measurements of their times. Renata starts moving with a constant acceleration until she achieves a maximum velocity vM and, from this instant on, she starts braking with an acceleration of constant modulus until she stops at instant tF. Pedro also starts moving with a constant acceleration and achieves the same maximum velocity as Renata, but he spends more time to do so. However, Pedro is still able to brake and stop at the same instant as Renata.

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Denoting by vRand vP the average scalar velocities between the instants 0 and tF of Renata and Pedro, respec-tively, choose the only correct option:

a) vR> vP b) vR= vP c) vR< vP

d) Since the instants at which the pilots achieved their maximum velocities were not given, there is no way to determine if vRis greater, smaller or equal to vP.

Problem 3: A non-homogeneous rigid rod of length ` is maintained horizontally at rest suspended by two ideal vertical ropes fixed at the two extremities of the rod, as shown in the figure. The tension on the left rope is three times the tension on the right rope.

The distance from the left extremity of the rod to its center of mass is

a) `/4 b) `/3 c) 3`/4 d) 2`/3

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Essay Question

Problem 4: A block of mass M sits upon the horizontal surface of a table. On top of it sits a second block, of mass m, that is attached on the left by an ideal wire that passes through an ideal pulley that is fixed to a vertical wall. The other end of the wire is attached to the block of mass M , as shown in the figure below. A force F (horizontal and to the right) acts upon the block of mass M . Assume that there is friction between the surfaces of the blocks that are in contact, but that there is no friction between the bottom block and the horizontal surface of the table. The coefficients of static and kinetic friction between the surfaces of the blocks are given by µsand µk, respectively.

a) Suppose that the blocks are initially at rest. Indicate, by drawing arrows, the horizontal forces that act on each block. Which of these form an action and reaction pair?

b) Still assuming that the blocks are at rest, determine the largest value of |F| such that the system remains at rest.

c) Suppose now that the value of |F| is capable of putting the blocks in motion, such that each one has a constant acceleration. Consider only the time interval during which the block of mass m remains on top of the block of mass M . Determine in this case the acceleration of each block as a function of |F|, µk, m, M , and the magnitude of the acceleration due to gravity, g.

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BLOCK 2: Waves, Fluids and Thermodynamics

Multiple choice

Problem 5: The Magnus effect describes a force on a cylinder or sphere in rotation on a flowing fluid, where a lift is generated perpendicular to the rotation axis, due to the speed difference of the flow at either side of the cylinder or ball. This effect explains the bent trajectory observed in some sports when the athletes give spin to the ball. With this in mind, consider the following statements and put a T for true or F for false.

ball’s direc/on of flight v0 + v v0 - v v = ωr air flow Topspin v0 v0 v0 + v v0 - v v = ωr air flow

Backspin

ball’s direc/on of ﬂight

[ ] A tennis player hits a ball with topspin, as shown in the figure, so the ball reaches a longer distance. [ ] A golf player uses a club shaped like a foot to give the ball backspin, as shown in the figure, so the ball gets to a hole that is very far away.

[ ] In general, the less smooth the ball surface is, the larger is the generated effect.

What is the correct order for the veracity of the statements? (T = True; F = False)

a) T - F - T b) T - F - F c) F - T - T d) F - F - T

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Problem 6: The graph below shows the behaviour of two simple harmonic oscillators A and B.

Choose the false alternative:

a) The amplitude of oscillator A is smaller than that of B. b) The oscillation period of A is greater than that of B. c) The oscillation frequency of A is smaller than that of B. d) There is no phase difference between the two oscillators.

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Problem 7: The cylinder on the figure contains n moles of an ideal gas and is closed by a piston of mass M and area A. The molar specific heat at constant volume of the gas CV is a constant independent of the tempera-ture. The thermal capacities of the piston and cylinder are very small and the friction between the piston and the cylinder walls can be neglected. The sys-tem is thermally isolated. Initially the piston is fixed in a position where the gas volume is V0 and temperature is T0. After releasing the piston, the final equilibrium position corresponds to a greater gas volume.

Choose the correct alternative below relative to the final state of the ideal gas:

a) The temperature of the gas decreases and the entropy increases.

b) The temperature of the gas decreases and the entropy remains equal to the initial value. c) The temperature of the gas increases and the entropy decreases.

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Essay question

Problem 8: Jo˜ao and Maria are biking on a cycle path on a straight and narrow stretch of the road, with respective speeds vJ and vM, as shown on the figure below.

v

J

v

M

a) Derive the relation of the frequency of the sound emitted by Maria νM, the frequency perceived by Jo˜ao νJ and the speeds of the bikers vJ and vM, considering that the speed of sound Vsound is known. Hint: Consider the equation of the Doppler effect for the perceived frequency, for a source at rest and the observer with speed v: νobs = νe 1 ∓ v Vsound

b) What would be the frequency perceived by Jo˜ao if the bikers where cycling on the same direction? Consider them going from right to left.

c) Consider again the situation described on the figure and suppose there is a wind blowing on the same direction as Maria with speed vwind. How would the frequency perceived by Jo˜ao change?

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BLOCK 3: Electromagnetism

Multiple choice

Problem 9: The figure at the bottom of the text shows two (2) cylindrical and concentric conductive shells with infinite length, uniformly charged with negative charge. Consider the paths 1, 2, and 3 between the cou-ples of points a and b, as shown in the figure. Sort in ascending order the work done by the electric field when a positively charged particle is displaced from point a to point b along the paths 1, 2 and 3 (W1, W2 and W3, respectively).

a) W3, W1, W2 b) W2, W1, W3 c) W1, W3, W2 d) W3, W2, W1

Problem 10: In the electric circuit of the figure the difference of potential V (a) − V (b) is (in the steady state):

a) V (a) − V (b) > 0 b) V (a) − V (b) < 0 c) V (a) − V (b) = 0

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Problem 11: Some charged massive particles enter through an orifice in a region of the space delimited by two plates parallel to each other. In this region, there is a magnetic field B (pointing into the paper) and an electric field E parallel to the walls and oriented as in the figure, both uniform and constant. The particles have a charge q and not null velocities v different from each other. The velocity of each particle passing through the inlet orifice is always perpendicular to the two fields, B and E. The inlet and outlet holes have the same size of the particles. In this case, the particles that can pass through the exit orifice (see figure) are

a) all the particles.

b) only the particles with a particular velocity, but any charge. c) only the particles with a particular charge, but any velocity. d) none of the particles, regardless of velocity and charge.

(38)

Essay question

Problem 12: A conducting bar travels on conductor rails, separated by a distance d (remaining perpendicular to them) with a velocity ~v(t) that obeys the equation: ~v(t) = VF[1 − exp (−t/TC)]ˆx, where VF and TC are positive constants. The magnetic field (according to the figure below) points out from the paper and can be written as: ~B = B0z (where Bˆ 0is a positive constant).

a) What will be the direction (clockwise or anti-clockwise) of the induced current in the circuit, due to the movement of the bar? Justify your conclusions.

b) Calculate the magnetic flux (as a function of time) across the surface formed by the rails, the rod and the resistance R, assuming that at time t = 0 its area is zero.

c) Calculate the current induced in resistor R, assuming that both the rails and the bar have negligible electrical resistance.

(39)

BLOCK 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern Physics

Multiple choice

Problem 13: An observer measures 10 power maxima and 11 power minima of a stationary electromagnetic wave inside a cavity of length L, as illustrated in the figure below.

L

The frequency of this wave is

a) ν = 9c/L. b) ν = 10c/L. c) ν = 11c/L. d) ν = 5c/L.

Problem 14: The electric field of a plane electromagnetic wave, circularly polarized, that propagates along the ˆz direction, is given by: E(r, t) = E0[sen(kz − ωt)ˆx + cos(kz − ωt)ˆy]. Considering c as the speed of light in vacuum, the magnetic field B associated with this wave is

a) B(r, t) = E0 c [sen(kz − ωt)ˆy − cos(kz − ωt)ˆx]. b) B(r, t) = E0c[sen(kz − ωt)ˆy − cos(kz − ωt)ˆx]. c) B(r, t) = E0 c [sen(kz − ωt)ˆy + cos(kz − ωt)ˆx]. d) B(r, t) = E0c[sen(kz − ωt)ˆy + cos(kz − ωt)ˆx].

(40)

Problem 15: X-ray diffraction is an experimental technique used for determining the atomic crystal struc-tures. This is a phenomenon in which the atomic crystal planes, due to their regular spacing, induce interference patterns in the waves present in a monochromatic beam, of a wave-length λ in the x-ray range. In this tech-nique, the crystalline atomic planes spaced by a specific distance, d, diffracts the beam that focuses on the planes, with an angle θ, in specific directions (as illustrated in the figure below). Considering n a positive integer, we can say that the condition for constructive interference and the largest possible wavelength, λmax, so that the diffraction phenomenon is observed, are respectively

d

θ θ

θ

a) dsenθ = nλ and λmax = d/2. b) 2dcosθ = nλ and λmax = 2d. c) 2dsenθ = nλ and λmax = 2d. d) 2dsenθ = nλ and λmax = d/2.

Essay question

Problem 16: Two space vehicles, flown by Amelia (going from left to right) and Bruno (going from right to left), flying over a straight road, cross over the point O, where Charlie is at rest, as shown in the figure below. Consider this moment as the initial instant in all referencial frames. The vehicles speeds moduli measured by Charlie are constant and equal to 0.8c. The distance d between Charlie and the road mark M is measured in Charlie’s O referential frame. Consider the Lorentz transformations between two referential frames O and O0 whose relative velocity is v along the ˆx direction :

x0 = γ (x − vt) t0 = γt − v c2x u0 = u − v 1 − uv/c2 γ = 1 p1 − (v/c)2

(41)

being u the speed of an object measured in the referential frame O and u0 is the speed of the same object measured in the referential frame O0.

M

C

d

O

a) Calculate the time measured by Amelia that she reaches the road mark M . b) Determine the speed of Bruno’s vehicle measured by Amelia.

(42)

BLOCK 5: Quantum Mechanics

(MANDATORY FOR PhD CANDIDATES)

Multiple choice

Problem 17: Consider a particle in 3 dimensions. Is there a state where the result of position in the y-direction and momentum in the z-direction can both be predicted with unlimited accuracy (if there are no experimental limitations)?

a) No, there is no such state. b) Yes, but only for free particles. c) Yes, but there is only one such state. d) Yes, every state.

Problem 18: Two particles, A and B, with respective energies of EA= 3,0 eV and EB = 5,0 eV approach the potential well depicted on the figure below coming from the left (moving towards the positive direction of the x axis).

An experiment measures the reflection probabilities for both particles A and B - RAand RB, respectively. What must be the result of this experiment?

a) 0 < RA < 1, 0 < RB < 1 b) RA= 1, RB = 0

c) 0 < RA < 1, RB = 0 d) RA= 1, 0 < RB < 1

(43)

Problem 19: The “raising ”operator, ˆS+, acts in the following way on the up, |↑i, and down, |↓i, spin states,

ˆ

S+|↓i = ~ |↑i , ˆS+|↑i = 0.

Which of the following options can represent the matrix form of this operator in the basis formed by |↓i and |↑i?

a) ~ 0 1_{1 0} . b) ~ 0 1_{0 1} . c) ~ 0 0_{1 0} . d) ~ 0 1 1 1 .

Essay question

Problem 20: A harmonic oscillator of mass m and angular frequency ω is described by the Hamiltonian H = _2m1 (p2+ m2ω2x2). The nth energy eingenstate |ni has energy En = n + 1₂

~ω. We define the ladder operators a±such that:

x = r ~ 2mω(a++ a−), p = i r ~mω 2 (a+− a−). (1) Equivalently: a±= 1 √ 2~mω(∓ip + mωx). (2) We know that a+|ni = √ n + 1 |n + 1i , (3) a−|ni = √ n |n − 1i . (4)

a) If the initial state of the system is:

|ψ(t = 0)i = r 2 3|0i + r 1 3|1i , (5)

find the state for all times t > 0. Find the expected value for the energy in time t.

b) Show that the energy eigenstates |ni have an expected value of zero for x: hn| x |ni = 0.

(44)

First Semester 2019 - November 7

th

, 2018 (UFF)

ANSWERS

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Indicate the total number of pages filled in (including this first one): Final grade (to be filled by the UNIPOSRIO committee):

Multiple choice Discursive

Final grade Correct Wrong Grading

Prob. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20 answers answers answers

Multiple choice

Mark with an X your answers to the multiple-choice questions in the table below, according to the blocks you have chosen to answer.

ANSWERS