Equação de Laplace. Pedro Henrique do Nascimento de Luzia.

Equação de Laplace

Pedro Henrique do Nascimento de Luzia phnl_vr@hotmail.com

Universidade Federal Fluminense (UFF) Instituto de Matemática (IM)

Departamento de Matemática Aplicada (GMA)

Rua Mário Santos Braga, S/N – Valonguinho 24020-14 - Niterói, Rio de Janeiro, Brasil

Introdução

No campo científico pode – se encontrar um desafio de problemas matemáticos. Esses problemas conhecidos como equações diferenciais, na qual relaciona uma função a si mesma e a suas derivadas. Equações diferenciais quando ocorre em múltiplas dimensões são chamadas de equações diferenciais, e será a discussão do trabalho. Na seção I é apresentada a dedução do operador laplaciano

em coordenadas esféricas, na seção II são apresentadas as Equações de Legendre e Legendre Associadas, com explicação de ortogonalidade e recorrência. Na seção III é apresentada a série de Fourier-Legendre, na seção IV começamos a demonstrar a solução das equações diferenciais, com a equação de Euler-Cauchy. Na seção V é apresentada a solução da equação de laplace em coordenadas esféricas, com diversas condições de contorno.

I. Dedução Laplaciano (Coordenadas Esféricas):

Caso Geral:

Para coordenadas esféricas temos as relações: . No caso geral , e podem ser pensadas como funções de e :

( ) ( ) ( )

Assumindo que em domínio no espaço, estas funções têm derivadas contínuas e podem ser resolvidas para e :

( ) ( ) ( )

Escolhemos um ponto com coordenadas ( ), também representado por ( ) em termos de e . Se

e n e variarmos , obtemos uma curva (lisa) passando por chamada . Igualmente obtemos a e a . Como mostrado na figura.

Podemos ainda introduzir os vetores junto com as tangentes dessas curvas (na direção de crescimento de e ). Isto

estabelece um sistema local de eixos. Por conveniência e são escolhidos de maneira que ( ) assumam a forma da mão direita.

Esse sistema local possui, em geral, as seguintes características que o distingue em relação aos cartesianos :

1) Eixos podem não ser ortogonais; e os ângulos entre eles podem variar de um ponto a outro.

2) A orientação de (com respeito a ) pode variar de um ponto a outro, mesmo se os ângulos entre os eixos se mantiverem.

3) Os significados físicos de e podem não ser comprimento, e e não precisam ser iguais aos elementos de arco na respectiva direção.

Podemos pensar em M definido pelo vetor posição . Se e são funções de e , temos:

Variando por é o mesmo que variar , e por , e , o que é causado por variar e por e . Temos as seguintes relações gerais:

Se movermos no sentido da , temos , e assume a forma: ( ) ( ) ( ) Isto define a derivada de com respeito ao parâmetro :

( )

Em seu significado, é vetor na direção . De maneira que pode ser representado como: | _| √( ₎ ( ₎ ( ₎

A quantidade √( ) ( ) ( ) tem uma interpretação geométrica simples: o comprimento do arco Elemental produzido quando apenas varia é dado por |( ) |

De maneira similar são deduzidos: | _| √( ₎ ( ₎ ( ₎ | _| √( ₎ ( ₎ ( ₎ √( ) ( ) ( ) √( ) ( ) ( )

Supondo agora que a tríplice é uma tríplice ortogonal, temos as relações:

Estas relações são satisfeitas pela maioria dos sistemas de coordenadas na física. Em particular, é válido para sistemas esférico e cilíndrico.

Esta análise verifica a característica (1) dos eixos locais, variando de ponto a ponto. Sendo essa principal característica de sistemas curvilíneos. A característica (3) também é representada, já que alguns parâmetros representam ângulos.

Como regra geral, o deslocamento elementar decomposto ao longo do sistema local de eixos:

Assumindo o sistema local como ortogonal, temos o elemento de arco dado por:

| | √

Por exemplo, no caso de coordenadas esféricas, hr= 1 , hθ= r, hφ= r senθ

√

Consideremos a análise de coordenadas curvilíneas, verificamos derivação das fórmulas pelos usuais operadores diferenciais. Para expressar em termos dos novos eixos e novas variáveis, podemos começar com:

E depois usar:

E ainda expressar em termos de . Uma maneira mais rápida é utilizar o enunciado: ( ) E reescrever na forma: ( ) ( ) ( ) ( ) Que segue imediatamente:

Lembrando que é arbitrário, e que ao estabelecer obtemos: ( ⁄ ) ( ⁄ ), etc.

O cálculo da divergência pode ser obtido da definição geral:

∯( )

Sem perda de generalidade, pode ser tirado como elemento de lados ao longo das (fig ??). Em geral o fluxo pela área Elemental orientada na direção é dada por:

ul . hmdm . hndn

Ao subtrair os fluxos através das áreas e , não esquecer que tanto quanto e são funções de . Deduzimos que fluxo externo através dessas duas faces é:

(ulhmhn)dl dm dn

Somando as contribuições análogas das outras quatro faces e dividindo pelo elemento de volume (que é ) obtemos:

{ ( ) ( ) ( ) }

Então , , . Finalmente, a expressão para o Laplaciano é obtida combinando as fórmulas para gradiente e divergente:

{ ( ) ( ) ( )} No sistema esférico, após simplificação trivial:

, ( ) ( ) ( )-

II. Equação de Legendre e Legendre Associada a. Equação de Legendre

Em matemática, ao resolvermos a fórmula de Rodrigues, as Funções de Legendre são as soluções às Equações Diferenciais de Legendre:

[( ) ( )] ( ) ( )

Esta equação é encontrada freqüentemente em Física e em outros campos técnicos. Em particular, aparece quando se resolve a equação de Laplace em coordenadas esféricas.

A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida usando-se o método de série de potências. Em general a série de potências obtida converge quando | | e no caso particular de que n seja um inteiro não negativo ( ) as soluções formam uma família de polinômios ortogonais, chamados Polinômios de Legendre. A cada polinômio de Legendre ( ) é um polinomio de grau n. Este pode ser expressar usando a Fórmula de Rodrigues:

( )

( )

Ao desenvolvermos a fórmula de Rodrigues obtemos a seguinte expressão para os Polinômios de Legendre:

( ) _{* ( )}

+ b. Ortogonalidade

Iremos mostrar que os polinômios de Legendre são funções de mutualidade ortogonais em ( ), isto é: ∫ ( ) ( ) { ( ) ( ) * ( ) + ( ) ( ) ( ) * ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Podemos escrever os dois primeiros termos como:

( )( ) ( )

Assim, integrando a equação (1) e usando a equação (2), temos:

( )( )| ( ) ( ) ∫

Como o termo integrado é zero porque ( ) em e . O colchete na frente da integral não é zero. Então, a integral deverá ser zero, para que seja completada a prova, assim:

∫

( ) ( )

Vamos agora observar uma importante aplicação das funções de Legendre associadas.

c. Equação de Legendre Associada

Tal como o polinômio de Legendre, sua função associada pertence a um espaço de . Estes polinômios formam uma base para o espaço vetorial , poderemos, onde não for complicado envolver processo de ortogonalização para prova a suposição acima.

A equação diferencial relacionada à equação de Legendre é a seguinte:

( ) _{* ( )}

+ ( )

com . Podemos, utilizando o método de Frobenius, resolver esta equação por séries. Contudo, é mais útil saber como as soluções são relacionadas aos polinômios de Legendre, então nós devemos simplesmente verificar a solução conhecida. Primeiro substituiremos:

Obtemos:

( ) _{( ) ( ) ( ) ( )}

Para , esta é a equação de Legendre com soluções ( ). Diferenciando (3) temos:

( )( ) _{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )}

Mas esta é justamente a (3) com no lugar de u, é ( ) no lugar de , em outras palavras, se ( ) é solução de (3) com ; (x) é a solução de (3) com ; ( ) é a solução com , e em geral para todo , no intervalo, , ( ⁄ ) ( ) é a solução da equação (3), então:

( )

( ) ( )

É a solução da equação (1). A função (5) é chamada de função de Legendre associada ou polinômio de Legendre associado e são denotados por:

( ) ( )

( ) ( )

Um valor negativo de em (1) não irá variar , então a solução de (1) para um valor positivo de é também válida para seu correspondente negativo. Assim, podemos definir ( ) para como igual a | |( ). Alternativamente, nós podemos usar a fórmula de Rodrigues.

( )

Para ( ) em (6) e assim obter:

( )

( )

( ) ( )

Para cada , as funções ( ) são na forma de funções ortogonais em ( ). A constante de normalização ser avaliada. Pela definição nós achamos:

∫ ( ) ( ) ( ) ( )

As funções de Legendre apresentam-se nos mesmos problemas em que os polinômios de Legendre aparecem, de fato, os polinômios de Legendre são exatamente um caso especial no qual as funções ( ) tem .

Iremos agora estudar algumas propriedades das funções de Legendre associadas. Antes, porém, devemos definir o produto interno:

Seja { ( ) , uma sequência ortogonal de polinômios em , indicada por um grau n; Então para cada n, é ortogonal em para todos os polinômios de grau menor que n.

Prova: Se indica o m-dimensional subespaço de [a,b] consistindo em todos polinômios de grau menos que m, junto com o polinômio zero. Então, é i,a base ortogonal para , e todo polinômio Q de grau , pode

ser escrito na forma:

Onde: . Por isso: ( ) ( ) Então: , se k , segue que , como afirmamos.

Todas as propriedades dos polinômios de Legendre valem para os polinômios de Legendre associados.

d. Recorrência

Derivando m vezes a equação da Legendre associada obtemos:

( ) ( ) ( )( ) Ou multiplicando por ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( )}( ) ( )

_{( ) ( )}( ) ( )

O que nos permite escrever:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) De onde: ( ) √( ) _{( )( )( ) ( )}

Dita primeira fórmula de recorrência das funções associadas de Legendre.

III. Série de Fourier-Legendre

Ao trabalharmos com as funções de Legendre e as funções de Legendre Associadas, é extrema utilidade expandirmos ambas as funções em séries de Fourier. A essa expansão é dado o nome de Série Fourier-Legendre.

Se ( ) e ( ) são seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de ( ) no intervalo , existirá um desenvolvimento em série de Legendre com a forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )

Para determinarmos , multipliquemos ambos os lados por ( ) e depois integremos:

( ) ∑ ( )

( ) ( ) ( ) ∑ ( )

∫ ( ) ( )

∑ ∫ ( ) ( )

Como o Polinômio de Legendre obedece à relação de ortogonalidade, temos:

∫ ( ) ( ) Logo: ∫ ( ) ( ) ∑ Então: ∫ ( ) ( )

IV. Equação de Euler-Cauchy

A equação de Cauchy-Euler é a EDO da forma

( ) onde a e b são constantes.

Vamos procurar uma solução da equação de Cauchy-Euler da forma . Substituindo na equação de Cauchy-Euler,

( ) ( )

Logo, é uma solução da equação de Cauchy-Euler, quando for uma raiz da equação algébrica.

No caso das equações de Cauchy-Euler, equação algébrica (2) desempenha o mesmo papel que a equação característica desempenhava para as EDO lineares homogêneas de coeficientes constantes. Temos agora que considerar 3 casos:

a. Caso 1: Se (2) tiver duas raízes reais distintas, podemos construir duas soluções linearmente independentes para (1).

Exemplo 1: Resolver a EDO .

Esta é uma equação de Cauchy-Euler. Procurando solução da forma , substituímos esta expressão na EDO (ou aplicamos diretamente (2)), encontrando:

( )

ou seja, , cujas raízes são e . Portanto, duas soluções linearmente independentes para a EDO são e . A solução geral é

b. Caso 2: Se (2) tiver raiz real dupla . Neste caso, conhecemos uma solução da equação de Cauchy-Euler. Aplicamos, então, o método de D'Alembert para descobrir uma segunda solução linearmente independente de . Procuramos da forma . Substituindo em (1), temos:

( ) ( ) Agrupando os termos, obtemos:

( ) ( ) = 0

Ou seja:

_{( )}

Simplificando, temos:

( ) ( )

Note que a equação (2) se reescreve como ( )

Portanto, se ela tem raiz dupla, é porque ( ) . Neste caso, a raiz dupla é:

Portanto, . Substituindo em (3), obtemos:

que é redutível à primeira ordem. Se fizermos , obteremos:

Separando as variáveis, temos:

Integrando e escolhendo a constante de integração como sendo 0, encontramos , de onde segue,

Integrando mais uma vez, segue que e, portanto,

Logo, se a equação algébrica (2) tem raiz real dupla , duas soluções linearmente independentes para a equação de Cauchy-Euler são e

.

Exemplo 2: Resolva a EDO A equação algébrica (2) toma a forma

( )

que tem raiz dupla . Portanto, duas soluções linearmente independentes são _{e e a solução geral é:}

c. Caso 3: Se (2) tiver raízes complexas. Neste caso, as raízes são números complexos conjugados e , , sendo, portanto, raízes distintas. Aplicando o primeiro caso, podemos construir duas soluções linearmente independentes:

Note que acima, temos duas exponenciais complexas de base . Até este ponto, só tínhamos trabalhado com exponenciais complexas de base . Para dar um significado às exponenciais complexas de base t > 0, usamos o fato que:

Obtemos

_{( )} ( )

Aplicando esta observação em (4), temos:

_{( ( ) ( ))}

( ) ( )

_{( ( ) ( ))}

( ) ( )

O inconveniente destas duas soluções é que não são reais. Para conseguir soluções reais, vamos tomar combinações lineares convenientes. Soluções reais linearmente independentes são dadas pelas combinações lineares

( )

( )

Exemplo 3: Encontre duas soluções reais linearmente independentes para a EDO:

A equação algébrica (2) toma a forma

Ou seja, cujas raízes são e . Portanto, duas soluções da EDO são e , dados por:

_{( ) ( ( ) ( ))}

Ou seja,

_{( ) ( )}

_{( ) ( )}

Duas soluções reais linearmente independentes são as combinações lineares

_{( )}

_{( )}

Vale ressaltar que a discussão acima sobre a equação de Cauchy-Euler foi resolvida na semi-reta ( ). As funções só estão definidas nesse domínio, pois

( ₎

e o domínio de é a semi-reta ( ). Não é de se estranhar que isto aconteça, pois a equação de Cauchy-Euler não está em forma normal (o termo de derivada mais alta não está isolado). A forma normal da equação de Cauchy-Euler (1) é

cujos coeficientes não estão definidos em t = 0. Portanto, a equação de Cauchy-Euler pode ser resolvida na semi-reta ( ) (como fizemos acima) ou na semi-reta ( ). Para resolvê-la na semi-reta ( ), substituímos as funções e

respectivamente por | | e | | | |. Excepcionalmente, quando a equação algébrica (2) tiver raízes inteiras não negativas, podemos encontrar soluções definidas em todo ( ). Isto aconteceu com uma das soluções da equação do Exemplo 1.

V. Solução da Equação de Laplace em coordenadas esféricas

( ) ( ) ( ) ( ) | | ( )

a. Solução geral

Em coordenadas esféricas temos que e a equação de Laplace corresponde:





2 2

 

2 2 u 1 u 1 u u = r,θ, = r + senθ + = 0 1 r r senθ θ θ sen θ                       Supondo que:





     

 

u r,θ, R r  2

Seja a solução do problema e para realizar a separação de variáveis, derivamos o quanto for necessário e substituímos em (1) e simplificamos. Temos então:

 

2 2 " ' " ' 1 " 2 cot 0 3 R R r r g R R sen         

Reorganizando a equação para podermos igualar a um autovalor temos:

 

2 1 2 " ' " ' 1 " 2 cot 4 R R r r g R R sen        _   _    

 

 

2 1 1 2 " ' 2 5 " ' 1 " cot 6 R R r r R R g sen    _{ }      _   _     

Resolvendo a equação (6) fazendo

2 1    :

 

2 " ' 2 2 7 R R r r R  R 

 

2 2 " 2 ' 0 8 r R  rR R

Resolvendo (8) pelo método Euller-Couchy e considerando ( ) chegamos ao resultado:

 

1

 

9 n n n n B R r A r r    Partindo da equação (6):

 

 

1 2 1 2 " ' 1 " cot 10 " ' 1 " cot 11 g sen g sen       _   _         _   _    

Multiplica-se (11) por sen2 e cada membro será igual a uma nova constante.

 

2 2 2

1 2

" ' "

cot 12

sen  sen g  sen  

 

_   _ 

  

 

 

2 2 2 2 1 2 " 0 13 " cot ' ( ) 0 14

sen sen g sen

              

Substituindo um autovalor ímpar temos:

 

 

2 2 2 2 2 " 0 15 " cot ' ( ( ( 1) ) 0 16 m

sen sen g sen n n m

   



       



Resolvendo a EDO (16) temos que:

 

 

 

cos 17

n n

A m B sen m

 

Resolvendo (14) Dividindo por :

 

2 2 " cotg ' ( (n n 1) m 0 18 sen      _   _   

Fazendo a mudança de variável :

 

 

 

 

2 2 2 2 2 2 cos 19 1 20 21 cos 22 S sen S d d sen d dS d d d sen d dS dS     _{ }       Substituindo (19), (20), (21) e (22) em (18) temos :



2



2





_

2

_

 

2 2 1 2 1 0 23 1 d d m S S n n dS dS S     _{ }            



cos





cos



 

24

m m

n n n n

A P B Q

  

Logo temos a solução geral do problema sendo:





1









 

 

u r,θ, n n m cos m cos cos

n n n n n n n n B A r A P B Q A m B sen m r   _{  } _  _  __  _  

b. Solução para o potencial externo e interno da esfera considerando ( ), qualquer que seja

A partir da interpretação inicial do problema, vemos que ele possui uma simetria azimutal. Por isso, a solução geral do problema de potencial em todo o espaço é dada pelo produto da função radial R(r) com o polinômio de Legendre:

 

1





 

0 , n n cos 1 n n n n B r A r P r      _  _  



V

Sendo que os coeficientes e podem ser determinados se as condições de contorno são conhecidas.

A partir da equação (1) calculamos o potencial no espaço de uma esfera. Inicialmente, queremos o potencial interno cuja na superfície seu valor é V independentemente dos ângulos.

Aplicando a condição de contorno vemos que no centro onde r = 0 o valor de Bn = 0. Aplicando a condição ( ) , temos:













 

0 , _n n _n cos 2 n a A a P V  



 V

Isso é uma série de Fourier-Legendre. Em vez de usarmos a variável x, podemos achar as fórmulas necessárias diretamente em função da variável θ.

Usando a substituição , achamos que a relação de ortogonalidade

   

n



1 n' nn' -1 2 P x P x dx = δ 2n +1 torna-se:



 



n



π n' nn' 0 2

P cosθ P cosθ senθdθ = δ

2n +1

.

Conseqüentemente, se multiplicarmos nossa série por ( ) e integrarmos em relação a θ de , obteremos os coeficiente desejado de Fourier-Legendre:





2 n n n a



π 0 2n +1 A = VP cosθ senθdθ.

Agora queremos calcular o valor do potencial externo a esfera com raio ( ) . Aplicando a condição de contorno vemos que no infinito o potencial tem que ser zero logo An = 0.

 

1





 

0 , n cos 3 n n n B r P r      _{ }  



V

Aplicando a condição ( ) e calculando de modo análoga ao calculado , vemos que vale:





1 2 n n n B a 



π 0 2n +1 = VP cosθ dθ.

Para temos:

 









0 , _n n _n cos n r A r P  



V





2 n n n a



π 0 2n +1 A = VP cosθ senθdθ. Para temos:

 

1





0 , n cos n n n B r P r      _{ }  



V





1 2 n n n B a 



π 0 2n +1 = VP cosθ dθ.

A partir da interpretação inicial do problema, vemos que ele possui uma simetria azimutal. Por isso, a solução geral do para o potencial em todo o espaço é dada pelo produto da função radial R(r) com o polinômio de Legendre:

 

l





 

l

 

 1 2 -(l+1)

φ r,θ = A r + A r P cosθ 1

Mas, como o potencial é finito em qualquer do espaço, esta equação deve ser separada em uma solução interna e noutra externa aos hemisférios:

 





 

 





 

l l l           1 -(l+1) 1 φ r,θ = A r P cosθ para r a 2 φ r,θ = A r P cosθ para r a 3

Inicialmente iremos resolver a equação (2) cujo raio é . A partir das condições de contorno temos:

 

  _



+ V (0 θ < π / 2) φ a,θ =

Formamos uma série infinita destas soluções:

 

_

l





1 l l

l=0

φ r ,θ = A r P cosθ

Tentamos assim determinar os coeficientes , de tal maneira que ( ) satisfaça a condição de contorno restante:

 

_

l





l l

l=0

φ a,θ = A aP cosθ .

Isso é uma série de Fourier-Legendre. Em vez de usarmos a variável x, podemos achar as fórmulas necessárias diretamente em função da variável θ.

Usando a substituição , achamos que a relação de ortogonalidade

   



1 l l' ll' -1 2 P x P x dx = δ 2l +1 torna-se:



 





π l l' ll' 0 2

P cosθ P cosθ senθdθ = δ

2l +1

.

Conseqüentemente, se multiplicarmos nossa série por ( ) e integrarmos em relação a θ de , obteremos os coeficientes desejados de Fourier-Legendre:

  





π l l l 0 1 2

A = φ a,θ P cosθ senθdθ.

a 2l +1

Para nossa solução particular

 

  _



+ V (0 θ < π / 2) φ a,θ =

Um raciocínio de simetria é útil: ( ) é anti-simétrica com relação à troca de posições ( )

Por outro lado, ( ) e ( ) , e como ( ) contém somente potências ímpares de , se for ímpar, e somente potências pares de , se for par, segue-se que

  





π

l 0

φ a,θ P cosθ senθdθ = 0 (paral = par)

de maneira que somente estarão presentes polinômios ímpares. Para valores ímpares de l ,

  











π π/2 l l 0 0

φ a,θ P cosθ senθdθ = 2V P cosθ senθdθ

Necessitamos agora da integral





 





π/2 1 l ₀ l 0 P cosθ senθdθ = P x dx.

Usando a função geradora

 







l l 2 l=0 1 = t P x t <1 1- 2xt + t

e integrando ambos os lados, obtemos:

 





1 _l



1 l 2 0 0 l=0 dx = t P x dx. 1- 2xt + t



1 2 2 0 dx 1 1+ t =1- + , t t 1- 2xt + t

Usando a fórmula do binômio:







 



     





2 2k 2k k=0 k=0 1/ 2 Γ 3 / 2 1+ t = t = t , k Γ k +1 Γ 3 / 2 -k E fazendo , obtemos:







 





2 l l=impar Γ 3 / 2 1 1+ t 1- + =1+ t , t t Γ l / 2+3 / 2 Γ 1-l / 2 De maneira que

 

_



_{ }



_







1 l 0 Γ 3 / 2 P x dx = l =1, 3, 5,... Γ l / 2+3 / 2 Γ 1-l / 2 e





_



_{ }



_

l l Γ 3 / 2 1 A = 2l +1 V (l =1,3,5...) a Γ l / 2+3 / 2 Γ 1-l / 2 A série resultante

 

  

_







_{ }



_{ }



 



l l l=1,3,5... 2l +1 π / 2 r φ r,θ = V P cosθ a Γ l / 2+3 / 2 Γ 1- l / 2

Assim foi calculado o potencial em uma esfera para um raio .

Agora, para um potencial cujo raio o procedimento é análogo ao descrito anteriormente para seguindo a equação (3). Assim o potencial será:

 



  _{ }

_







_{ }



_{ }

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-(l+1) l l=1,3,5... 2l +1 π / 2 r φ r,θ = V P cosθ a Γ l / 2+3 / 2 Γ 1- l / 2

Conclusão

Através desse estudo, pudemos entender um pouco mais sobre a Equação de Laplace, além de suas peculiaridades abordadas de forma específica nas diversas seções. Foi possível também notar a grande importância da mesma para a descrição de fenômenos naturais. Com isso, pode-se afirmar que tal ferramenta é essencial para as sociedades poderem interagir com a natureza de maneira cada vez mais eficaz.

Agradecimentos

Aos amigos Annelys M. Schetinger, Victor Rios Silva, Bruno César Gimenez, Camilla Pessanha, Danniel Sistons Nunes de Souza, Diego Trugilho Ferrari, Pedro Gall Fernande, Liziane Freitas Possmoser e Yuri Chagas Figueiró França pelo empenho, dedicação e auxílio na elaboração, desenvolvimento e conclusão deste estudo.

Ao professor Dr. Altair de Assis pelo material cedido para pesquisa e atenção assistida nos diversos itens enunciados.

Referências

[1] Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda,1976

[2] D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.

[3] Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.

[4] E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978

[5] A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010 [6] http://pt.wikilingue.com/es/Polinomio_de_Legendre