Parte 1: Teoria e Exemplos

(1)

Sistema de Equa¸

c˜

oes lineares

Parte 1: Teoria e Exemplos

Prof. Dr. David Alexander Chipana Mollinedo

UTFPR - Cˆ

ampus Ponta Grossa

(2)

1

Sistema de Equa¸c˜

oes Lineares

Equa¸

c˜

oes Lineares

Sistemas Lineares

Forma Matricial de um Sistema Linear Classifica¸cão de Sistema Lineares Classifica¸cão de Sistema Lineares Estudo e Solu¸cão dos Sistemas Lineares

Resolu¸

c˜

ao de Sistemas Lineares

(3)

Contenido

1

Sistema de Equa¸c˜

oes Lineares

Equa¸

c˜

oes Lineares

Sistemas Lineares

Resolu¸

c˜

ao de Sistemas Lineares

(4)

Contenido

1

Sistema de Equa¸c˜

oes Lineares

Equa¸

c˜

oes Lineares

Sistemas Lineares

Resolu¸

c˜

ao de Sistemas Lineares

(5)

Equa¸

c˜

oes Lineares

Defini¸

c˜

ao: Equa¸

c˜

ao Linear

Uma

equa¸

c˜

ao linear

´

e uma equa¸c˜

ao da forma

a

1

x

1

+ a

2

x

2

+ ... + a

n

x

n

= b

,

(1)

onde x

1

, ..., x

n

s˜

ao as vari´

aveis, a

1

, ..., a

n

s˜

ao os coeficientes e b ´

e o

termo independente .

Defini¸

c˜

ao: Solu¸

c˜

ao de uma Equa¸

c˜

ao Linear

Chama-se

solu¸

c˜

ao da equa¸

c˜

ao linear

(1) ao conjunto de n´

umeros

reais

α

1

, α

2

, ..., α

n

, tal que satisfa¸

cam a equa¸

c˜

ao linear, isto ´

e,

(6)

Exemplos: Equa¸

c˜

oes Lineares

Equa¸

c˜

oes lineares

i )x + y = 2 ,

ii ) − x + y + 4z = −1 ,

iii ) 2x + 4x − 5z + t = 0 .

Agora veja que

Por exemplo, o ponto (α

1

, α

2

) = (1, 1) ´

e uma solu¸

c˜

ao da

equa¸

c˜

ao linear (i ) pois satisfaz dita equa¸

c˜

ao:

α

1

+ α

2

= 1 + 1 = 2 .

A tripla (x

0

, y

0

, z

0

) = (0, 3, −1) ´

e uma solu¸

c˜

ao para a equa¸

c˜

ao

linear (ii ) pois satisfaz:

(7)

Exemplos

Equa¸

c˜

oes n˜

ao lineares

4 x

2

|{z}

+3y − 2z = 0,

3x + 2

xy

|{z}

+z = 1

Termos n˜

ao lineares

(8)

Contenido

1

Sistema de Equa¸c˜

oes Lineares

Equa¸

c˜

oes Lineares

Sistemas Lineares

Resolu¸

c˜

ao de Sistemas Lineares

(9)

Sistema de Equa¸

c˜

oes Lineares/Sistema Linear

Defini¸

c˜

ao: Sistema Linear

Um

sistema de m equa¸

c˜

oes lineares com n vari´

aveis

(inc´

ognitas) ´

e um conjunto de equa¸

c˜

oes lineares da forma

(S

mn

) :











a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ ... + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ ... + a

2n

x

n

= b

2

·

· = ·

·

· a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ ... + a

mn

x

n

= b

m

Defini¸

c˜

ao: Solu¸

c˜

ao de um sistema linear

Os valores das vari´

aveis que satisfazem simultaneamente as

m-equa¸

c˜

oes do sistema de equa¸

c˜

oes lineares “

S

mn

” constituem a

(10)

Exemplos: Sistema Linear

Sistema de equa¸

c˜

oes lineares

S

2×2

(

x + 2y = 1

2x + y = 0

e

S

2×3

:

(

x + y + 3z = 0

−x + 2y − z = −1

Daqui, vemos que

A solu¸c˜ao do sistema linear S2×2´e (α1, α2) = (−1/3, 2/3) pois:

S2×2 :      −1 3 + 2 2 3 = 1 2−1 3 +2 3 = 0

Também, a tripla (−2, −1, 1) é uma solu¸cão do sistema linear S2×3

pois:

S2×3:

(

−2 + (−1) + 3(1) = 0 −(−2) + 2(−1) − 1 = −1

(11)

Observa¸

c˜

oes

(a)

Um sistema linear “S

mn

” ´

e dito

homogˆ

eneo

se todos

os

termos independentes

s˜

ao iguais a zero, isto ´

e, se

b

1

= b

2

= ... = b

m

= 0

:

(S

mn

) :











a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ ... + a

1n

x

n

=

0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ ... + a

2n

x

n

=

0

·

· =

0

·

· a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ ... + a

mn

x

n

=

0 (b)

Todo sistema linear homogˆ

eneo “S

mn

” tem pelo uma solu¸

c˜

ao,

essa solu¸c˜

ao, chamada

solu¸

c˜

ao trivial

, ´

e o conjunto dos

valores

x

1

= x

2

= ... = x

n

= 0

.

(12)

Forma Matricial de um Sistema Linear (S

mn

)

Todo sistema linear S

mn

pode ser escrito na forma matricial:

A

X =

B

,

onde

A =







a

11

a

12

...

a

1n

a

21

a

22

...

a

2n

·

· a

m1

a

m2

...

a

mn







, X =







x

1

x

2

·

· x

n







e

B =







b1

b2

·

· b

m







Na nota¸

c˜

ao abreviada de matrizes temos que:

A = [a

ij

]

mn

´

e a

matriz de coeficientes

,

B = [b

j

]

m×1

´

e a matriz dos termos

independentes

e X = [x

i

]

n×1

´

e a matriz das vari´

aveis

(13)

Forma matricial de um Sistema Linear (S

mn

)

Portanto, podemos afirmar:

Solu¸

c˜

ao de S

mn

⇔ Solu¸

c˜

ao de AX = B

Resolver o sistema linear S

mn

´

e equivalente a resolver a equa¸

c˜

ao

matricial AX = B, isto ´

e, uma solu¸c˜

ao do sistema linear S

mn

´

e

uma matriz

X =







x

1

x

2

·

· x

n







(14)

Classifica¸

c˜

ao de Sistema Lineares

Classifica¸

c˜

ao

Sistema Linear











• Imcompat´ıvel (o sistema n˜

ao tem solu¸

c˜

ao)

ou Imposs´ıvel

• Compat´ıvel

(o sistema tem solu¸

c˜

ao)

ou poss´ıvel











I

Determinado

( ´

Unica Solu¸

c˜

ao)

I

Indeterminado

(15)

Sistemas Lineares Equivalentes

Defini¸

c˜

ao: Sistemas Equivalentes

Diz-se que dois sistemas de equa¸

c˜

oes lineares

s˜

ao equivalentes

quando admitem a mesma solu¸

c˜

ao.

• Observa¸

c˜

ao: Se no sistema linear S

mn

se efetuam opera¸

c˜

oes

elementares ent˜

ao obt´

em-se um novo sistema linear S

_mn0

(16)

Estudo e Solu¸

c˜

ao dos Sistemas Lineares

Defini¸

c˜

ao: Forma Escalonada Reduzida ou Canˆ

onica

Dizemos que uma matriz A = [a

ij

]

m×n

est´

a na forma escalonada

(escada) reduzida ou canˆ

onica se verifica:

(a)

Todas as linhas nulas (formada inteiramente por zeros)

ocorrem abaixo das linhas n˜

ao nulas.

(b)

O

pivˆ

o

(primeiro elemento n˜

ao nulo de uma linha) de cada

linha n˜

ao nula ´

e igual a 1.

(c)

O pivˆ

o da linha i + 1 ocorre `

a direita do pivˆ

o da linha i

(i = 1, 2, ..., n − 1) .

(d)

Toda coluna que tem um pivˆ

o, tem todos os outros elementos

nulos.

(17)

Estudo e Solu¸

c˜

ao dos Sistemas Lineares

Forma Escalonada

Dizemos que uma matriz A = [a

ij

]

m×n

est´

a na forma escalonada se

ela satisfaz as propriedades (a) e (c), mas n˜

ao necessariamente as

propriedades (b) e (d )

(18)

Exemplos: Forma Escalonada (reduzida)

1. Classifique as matrizes que est˜

ao na forma escalonada, na

forma escalonada reduzida e aquelas que n˜

ao se encontram

em nenhuma dessas duas formas :

A =





1

0

1

0

1 



, B =





1

0

1

0

1

0 



, C =

1 −1 2 0

0

0 ,

D =





4

0

3

0

3

0

1 



, E =





1

3

5

0

0 −2 1

0

0 



Solu¸

c˜

ao: Vemos claramente que as matrizes

A e C est˜

ao na forma escalonada reduzida.

D e E est˜

ao na forma escalonada.

B n˜

ao est´

a na forma escalonada reduzida nem na forma

escalonada.

(19)

Observa¸

c˜

oes

Considere a seguinte defini¸c˜

ao

Defini¸

c˜

ao: Matrizes Equivalentes

Dadas as matrizes A e B, da mesma ordem, diz-se que a matriz B

´

e equivalente `

a matriz A, e se representa por B ∼ A, se for poss´ıvel

transformar A em B por meio de uma sequˆ

encia finita de

opera¸

c˜

oes elementares (via linhas ou colunas)

Assim,

´

E claro que toda matriz na forma escalonada reduzida est´

a

tamb´

em na forma escalonada.

Toda matriz A = [a

ij

]

mn

´

e equivalente a uma matriz na forma

(20)

Posto de uma Matriz

Defini¸

c˜

ao: Posto de uma Matriz

Dada uma matriz A = [a

ij

]

mn

, e seja B = [b

ij

]

mn

a matriz na forma

escalonada (reduzida) equivalente a A = [a

ij

]

mn

. O posto de

A = [a

ij

]

mn

, denotado por p, ´

e o n´

umero de linhas n˜

ao nulas de

B = [b

ij

]

mn

.

Dito de outra maneira:

Posto de uma matriz A = [a

ij

]

mn

: ´

E o n´

umero de linhas

(21)

Exemplos: Posto de uma matriz

2. Encontre o posto da matriz A =





1

2

1

5

2

3 −5





.

Solu¸

c˜

ao: Fazendo escalonamento sobre a matriz A, temos

que:

A =





1

2

1

5

1

3 −5





−2L1+L2→L2 −−−−−−−−−→ −2L1+L3→L3





1

0 −1

3

0

2 −6





2L2+L3→L3

−− −→

B =





1

0 −1 3

0

0 



|

{z

}

Forma escalonada

← L

₁

:Linha n˜

ao nula

← L

2

:Linha n˜

ao nula

⇒

Posto[A] = 2

.

Portanto, o posto da matriz A (n´

umero de linhas n˜

ao nulas da

forma escalonada ou escalonada reduzida) ´

e igual a 2 .

(22)

N´

umero de Solu¸

c˜

oes de um Sistema Linear

Teorema

Seja o sistema de equa¸c˜oes lineares

Smn,

ondemé o número de equa¸cões eno número de variáveis (incógnitas), representado na forma matricial por:

AX = B, (2)

onde, A = [aij]mn, X = [xj]n×1 e B = [bj]m×1s˜ao as matrizes dos

coeficientes, das vari´aveis e dos termos independentes, respectivamente. Ent˜ao, se

Aa = [A|B]

(23)

N´

umero de Solu¸

c˜

oes de um Sistema Linear

Teorema

(1) Seposto(A) = posto(Aa) ⇔O sistema linear Smn tem solu¸c˜ao

Neste caso, temos duas situa¸c˜oes:

• Seposto(A) = posto(Aa) = n⇒ O sistema Smn possui uma . ´

unica solu¸c˜ao

• Seposto(A) = posto(Aa) < n⇒ O sistema Smn possui infinitas solu¸c˜oes

(2) Seposto(A) 6= posto(Aa) ⇒ O sistema linear Smn n˜ao tem solu¸c˜ao.

(24)

Observa¸

c˜

oes

No caso quando o sistema tem infinitas solu¸

c˜

oes, isto ´

e,

quando se cumpre

posto(A) = posto(A

a

) =

p

=< n .

ent˜

ao, dizemos que o

grau de liberdade

do sistema linear ´

e

n − p

. Este

grau de liberdade indica

, como veremos nos

exemplos,

o n´

umero de vari´

aveis independentes (livres)

do

sistema linear. Ou seja, a solu¸

c˜

ao do sistema linear estar´

a em

fun¸

c˜

ao de n − p vari´

aveis independentes (livres).

Na literatura, sobre sistemas lineares, tamb´

em podemos

encontrar: se A

mn

´

e uma matriz ent˜

ao

(25)

Contenido

1

Sistema de Equa¸c˜

oes Lineares

Equa¸

c˜

oes Lineares

Sistemas Lineares

Resolu¸

c˜

ao de Sistemas Lineares

(26)

Opera¸

c˜

oes Elementares

Opera¸c˜oes Elementares

Considere A = [aij]mnuma matriz e denotemos por Li a i -´esima linha da

matriz A, i = 1, 2, ..., n. Ent˜ao, chamam-se opera¸c˜oes elementares da matriz A as seguintes:

1 _Permuta¸_c˜_{ao de duas linhas}_{(ou duas colunas).}

Nota¸cão: “Lrs” significa “permuta¸cão da r -ésima linha com a

s-´esima linha”

2 Multiplica¸c˜ao de todos os elementos de uma linha (ou coluna)

por um escalar n˜ao nulo.

Nota¸c˜ao: “kLr”, k ∈ R, k 6= 0 significa “multiplica¸c˜ao da linha Lr

pelo escalar k”.

3 _Substitui¸_c˜_{ao dos elementos de uma linha (ou coluna) pela}

soma deles mais o múltiplo escalar de outra linha (ou coluna). Nota¸cão: “αLs+ Lr→ Lr”, α ∈ R, significa substitui¸cão da linha Lr

(27)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

“Forma Escalonada Reduzida”

3. Usando o m´etodo de Gauss-Jordan resolver o sistema linear

S3×3:      x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 −2y − 10z = −8

Solu¸c˜ao: Vamos resolver o sistema linear em 3 passos, usando a representa¸c˜ao matricial deste sistema linear:

Passo 1: Representa¸c˜ao matricialdo sistema S3×3. O mais

importante deste passo ´e formar amatriz ampliadaassociada ao sistema linear:   1 3 13 0 1 5 0 −2 −10   | {z } A3×3   x y z   | {z } X3×1 =   9 2 −8   | {z } B3×1 ⇔[A|B] | {z } =   1 3 13 9 0 1 5 2 0 −2 −10 −8   | {z } ⇑ x y⇑ ⇑z Matriz Ampliada

(28)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Passo 2: Realizamos escalonamento, isto ´e, realizamos opera¸c˜oes elementares sobre a matriz ampliada [A|B] para aobter a forma escalonada reduzida. Com efeito,

I Elimina¸c˜ao 1: Procuramos o primeiro pivˆoda 1a _{linha n˜}_ao

nula. Este pivô será procurado na primeira coluna não nula e se for necessário, podemos usar permuta¸cão de linhas para trazê-lo para a primeira linha. Neste caso, nosso primeiro elemento não nulo da primeira coluna é 1 e então, ele será o nosso primeiro pivô.

Primeiro Pivˆo _{[A|B] =}    1 ₃ ₁₃ ₉ 0 1 5 2 0 −2 −10 −8   

Agora, precisamos zerar os outros elementos da primeira coluna referente ao primeiro pivô. Neste caso, como os demais elementos da coluna são zeros o nosso processo de “elimina¸cão 1” termina aqui.

(29)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

I Elimina¸c˜ao 2: Procuramos o segundo pivˆo da 2a _{linha n˜}_ao

nula. Para isto, observamos na sub-matriz obtida eliminando a 1a

linha não nula encontrada na “Elimina¸cão 1” (linha do primeiro pivô): [A|B] =    1 ₃ ₁₃ ₉ 0 1 5 2 0 −2 −10 −8    ⇒   1 3 13 9 0 1 5 2 0 −2 −10 −8   | {z }

“Pensamos nesta sub-matriz”

...(?)

Assim, da sub-matriz (?), escolhemos para pivˆo um elemento n˜ao nulo da 1a _{coluna n˜}_{ao nula. Neste caso, escolhemos o elemento 1}

de posi¸cão “2, 2” da matriz original. Então, para obter a forma escalonada reduzida, temos que zerar os outros elementos da coluna referentes a nosso segundo pivô. De fato,

(30)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Primeiro Pivˆo _{[A|B] =}    1 ₃ ₁₃ ₉ 0 1 5 2 0 −2 −10 −8    Segundo Pivˆo [A|B] =      1 3 13 9 0 1 5 2 0 −2 −10 −8      2L2+L3→L3 −−−−−−−−−→ −3L2+L1→L1    1 0 −2 3 0 1 5 2 0 0 0 −4   ...(??)

Nosso processo de “elimina¸cão 2” termina aqui. Veja que encontramos a forma escalonada reduzida para a matriz de coeficientes A e a forma escalonada para a matriz ampliada [A|B]. Desta maneira, aqui também termina nosso processo de elimina¸cão de Gauss-Jordan. Agora, como o objetivo é encontrar a solu¸cão do sistema linear, de (??), vemos que não é interessante, neste caso, encontrar a forma escalonada reduzida para a matriz ampliada [A|B]. Este fato, ficará mais claro no passo 3.

(31)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Passo 3: Solu¸c˜ao do sistema linearS3×3. Para encontrar a

solu¸c˜ao expl´ıcita do sistema linear S3×3 basta considerar, de (??), o

sistema linear equivalente:

I Solu¸cão Expl´ıcita (número de solu¸cões): Resolvemos o sistema equivalente associado à forma escalonada reduzida. Do passo 2, exatamente de (??), podemos afirmar que o sistema linear inicial S3×3é equivalente ao sistema linear dado por :

       1 _{x +}₀_{y − 2z = 3} 0x + 1 y + 5z = 2 0x +0y +0z = −4 ⇔      x − 2z = 3 y + 5z = 2 0 = −4 Portanto, conclu´ımos que nosso sistema linear S3×3 n˜ao possui

(32)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Observa¸cão: Se desejamos saber somente se o sistema tem ou não tem solu¸cão basta fazer “análise dos postos”:

I Número de Solu¸cões: Fazemos análise dos postosdasmatrizes A e [A|B]. Com efeito, de (??), tem-se

Posto(A) = 2 6= Posto([A|B]) = 3 .

Assim, pelo “teorema” sobre número de solu¸cões de um sistema linear resulta que o sistema linear S3×3 não tem solu¸cão.

(33)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

4. Resolver o sistema linear pelo m´etodo de Gauss-Jordan

S3×3:      x + y + z = 10 2x + y + 4z = 20 2x + 3y + 5z = 25 Solu¸c˜ao: Vamos resolver o sistema linear em 3 passos.

Passo 1: Representa¸c˜ao matricialdo sistema S3×3. Formamos a matriz ampliadaassociada ao sistema linear:

S3×3 ⇔ AX = B ⇔[A|B]=   1 1 1 10 2 1 4 20 2 3 5 25  

Passo 2: Fazemos escalonamento. Vamosencontrar a forma escalonada reduzida.

(34)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

I Elimina¸c˜ao 1: Procuramos o primeiro pivˆoda 1a _{linha n˜}_{ao nula.}

Lembre que, devemos procurar este pivˆo na 1a _{coluna n˜}_{ao nula.}

Primeiro Pivˆo _{[A|B] =}    1 ₁ ₁ ₁₀ 2 1 4 20 2 3 5 25   

Precisamos zerar os elementos da coluna referente ao primeiro pivˆo.

[A|B] =     1 ₁ ₁ ₁₀ 2 ₁ ₄ ₂₀ 2 3 5 25     −2L1+L2→L2 −−−−−−−−−→ −2L1+L3→L3    1 ₁ ₁ ₁₀ 0 −1 2 0 0 1 3 5   

Como todos os outros elementos da 1a coluna, referente ao primeiro pivô, são zeros, nossa “elimina¸cão 1” termina aqui.

(35)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

I Elimina¸c˜ao 2: Procuramos o segundo pivˆo da 2a _{linha n˜}_ao

nula. Para isto observamos na sub-matriz obtida eliminando a 1a linha não nula encontrada da “Elimina¸cão 1” (linha do primeiro pivô):    1 ₁ ₁ ₁₀ 0 −1 2 0 0 1 3 5    ⇒   1 1 1 10 0 −1 2 0 0 1 3 5   | {z }

...(?)

Assim, da sub-matriz (?), escolhemos para pivô um elemento não nulo da 1a coluna não nula. Neste caso, escolhemos o elemento “−1” de posi¸cão “2, 2” da matriz original. Veja que para obter a

forma escalonada reduzida da matriz este pivô tem que ser igual a 1. Assim, primeiro transformamos esse pivô no número 1 para depois zerar os elementos da coluna referentes a nosso segundo pivô. De fato,

(36)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Segundo Pivˆo    1 ₁ ₁ ₁₀ 0 −1 2 0 0 1 3 5    (−1)L2 −→     1 1 ₁ ₁₀ 0 1 −2 0 0 1 3 5     (−1)L2+L3→L3 −−−−−−−−−−→ (−1)L2+L1→L1    1 ₀ ₃ ₁₀ 0 1 −2 0 0 0 5 5   ...(??)

(37)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

I Elimina¸cão 3: Procuramos o terceiro pivôda terceira linha não nula. Basta observar na sub-matriz obtida eliminando a 1a _{linha e 2}a

linha da matriz (??):    1 ₀ ₃ ₁₀ 0 1 −2 0 0 0 5 5    ⇒   1 0 3 10 0 1 −2 0 0 0 5 5   | {z }

...(? ? ?)

Assim, da sub-matriz (? ? ?), escolhemos para pivˆo um elemento n˜ao nulo da 1a _{coluna n˜}_{ao nula. Neste caso, escolhemos o elemento “5” de}

posi¸cão “3, 3” da matriz original. Agora, para obter a forma escalonada reduzida da matriz este pivô tem que ser igual a 1. Assim, primeiro transformamos esse pivô no número 1 e depois zeramos os elementos da coluna referentes a nosso terceiro pivô. Com efeito,

(38)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

   1 ₀ ₃ ₁₀ 0 1 −2 0 0 0 5 5    (1/5)L3 −→      1 ₀ 3 ₁₀ 0 1 −2 0 0 0 1 1      2L3+L2→L2 −−−−−−−−−→ −3L3+L1→L1     1 ₀ ₀ ₇ 0 1 0 2 0 0 1 1     | {z }

Forma Escalonada Reduzida

...(? ? ??) Terceiro Pivˆo

Aqui termina o processo de “elimina¸cão 3”. Também aqui acaba o processo de elimina¸cão de Gauss-Jordan pois (? ? ??) é a forma escalonada reduzida da matriz [A|B].

(39)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

solu¸c˜ao expl´ıcita do sistema linear S3×3 basta considerar, de

(? ? ??), o sistema linear equivalente:

I Solu¸cão Expl´ıcita (número de solu¸cões) : Resolvemos o sistema equivalente associado à “forma escalonada reduzida”. Do passo 2, exatamente de (? ? ??), o sistema linear S3×3 é

equivalente ao sistema linear dado por :      x = 7 y = 2 z = 1

Portanto, conclu´ımos que nosso sistema linear S3×3 possui uma

´

unica solu¸cão. Esta solu¸cão é dada pela tripla ou matriz dada por:

X = (x , y , z) = (7, 2, 1) =   7 2 1  

(40)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

I Número de Solu¸cões: Fazemos análise dos postosdasmatrizes A e [A|B]. Com efeito, de (? ? ??), tem-se

Posto(A) = 3 = Posto([A|B]) = número de variáveis . Assim, pelo “teorema” sobre número de solu¸cões de um sistema linear resulta que o sistema linear S3×3 possui uma única solu¸cão.

(41)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

5. Resolver o sistema linear pelo m´etodo de Gauss-Jordan

S4×4 :          3z − 9w = 6 5x + 15y − 10z + 40w = −45 4x + 12y − 2z + 14w = −24 x + 3y − z + 5w = −7 Solu¸c˜ao: Vamos resolver o sistema linear em 3 passos.

S4×4⇔ AX = B ⇔[A|B]=     0 0 3 −9 6 5 15 −10 40 −45 4 12 −2 14 −24 1 3 −1 5 −7    

Passo 2: Fazemos escalonamento. Vamosencontrar a forma escalonada reduzida.

(42)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Veja que, antes de procurar os pivˆos e com o objetivo de simplificar nosso trabalho, via opera¸c˜oes elementares podemos “simplificar” nossa matriz [A|B]: [A|B] =     0 0 3 −9 6 5 15 −10 40 −45 4 12 −2 14 −24 1 3 −1 5 −7     (1/3)L1 −−−−→ (1/5)L2 (1/2)L3     0 0 1 −3 2 1 3 −2 8 −9 2 6 −1 7 −12 1 3 −1 5 −7    

I Elimina¸cão 1: Procuramos o primeiro pivôda 1a linha não nula. Este pivô será procurado na primeira coluna não nula e se for necessário, podemos usar permuta¸cão de linhas para trazê-lo para a primeira linha:

Primeiro Pivˆo     0 0 1 −3 2 1 3 −2 8 −9 2 6 −1 7 −12 1 3 −1 5 −7     L12 −→     1 ₃ ₋₂ ₈ ₋₉ 0 0 1 −3 2 2 6 −1 7 −12 1 3 −1 5 −7    

(43)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Precisamos zerar os elementos da coluna referente ao primeiro pivˆo.        1 ₃ ₋₂ ₈ ₋₉ 0 ₀ ₁ ₋₃ ₂ 2 ₆ −1 7 −12 1 3 −1 5 −7        −2L1+L3→L3 −−−−−−−−→ −L1+L4→L4     1 ₃ ₋₂ ₈ ₋₉ 0 0 1 −3 2 0 0 3 −9 6 0 0 1 −3 2    

Como todos os outros elementos da 1a _{coluna, referente ao primeiro}

pivô, são zeros, nossa “elimina¸cão 1” termina aqui.

I Elimina¸c˜ao 2: Procuramos o segundo pivˆoda 2a _{linha n˜}_{ao nula.}

Para isto observamos na sub-matriz obtida eliminando a 1a _{linha n˜}_ao

nula encontrada na “Elimina¸c˜ao 1” (linha do primeiro pivˆo):     1 ₃ ₋₂ ₈ ₋₉ 0 0 1 −3 2 0 0 3 −9 6 0 0 1 −3 2     ⇒     1; 3 −2 8 −9 0 0 1 −3 2 0 0 3 −9 6 0 0 1 −3 2     | {z }

(44)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan:Exemplos

Assim, da sub-matriz (?), escolhemos para pivˆo um elemento n˜ao nulo da 1a _{coluna n˜}_{ao nula. Neste caso, escolhemos o elemento “1” de posi¸}_c˜_ao

“2, 3” da matriz original. Agora, precisamos zerar os elementos da coluna referentes a nosso segundo pivˆo. De fato,

Segundo Pivˆo         1 ₃ −2 ₈ −9 0 0 1 −3 2 0 0 3 −9 6 0 0 1 −3 2         2L2+ L1→ L1 −−−−−−−−−−→ − 3L2+ L3→ L3 − L₂+ L4→ L4      1 ₃ ₀ ₂ ₋₅ 0 0 1 −3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      | {z }

Forma escalonada reduzida

...(??)

Aqui termina nosso processo de “elimina¸cão 2”. Também, aqui termina nosso processo de elimina¸cão de Gauss-Jordan pois (??) representa a forma escalonada reduzida da matriz [A|B].

(45)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan: Exemplos

solu¸c˜ao expl´ıcita do sistema linear S4×4 basta considerar, de (??), o

sistema linear equivalente:

I Solu¸cão Expl´ıcita (número de solu¸cões): Resolvemos o sistema linear equivalente associado à “forma escalonada reduzida”. Do passo 2, exatamente de (??), o sistema linear S4×4é

equivalente ao sistema linear dado por : (

x + 3y + 2w = −5 z − 3w = 2

Resolvemos de baixo para cima

Daqui, resolvemos de baixo para cima e as variáveis que não estão associadas a algum pivô podem ser tomadas como variáveis livres (independentes), isto é, podem assumir qualquer valor. As variáveis associadas aos pivôs terão seus valores dependentes dos valores das variáveis livres, isto é:

(

x = −5 − 3y − 2w z = 2 + 3w

(46)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan: Exemplos

Então, a solu¸cão de nosso sistema linear S4×4 é dado por:

X = (x , y , z, w ) = (−5 − 3y − 2w , y , 2 + 3w , w ) =     −5 − 3y − 2w y 2 + 3w w    , onde y , w ∈ R . (3)

(47)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordan: Exemplos

I Número de Solu¸cões: Fazemos análise dos postosdasmatrizes A e [A|B]. Com efeito, de (??), temos

Posto(A) = 2 = Posto([A|B]) < número de variáveis = 4 . Assim, pelo “teorema” sobre número de solu¸cões de um sistema linear resulta que o sistema linear S4×4 possui infinitas solu¸cões. Além disso,

por esse “teorema” temos que

Grau de liberdade = 4 − 2 = 2 .

Esse grau de liberdade representa o número de variáveis livres que possui o sistema linear. Dito de outra maneira, o grau de liberdade indica em fun¸cão de quantas variáveis livres a solu¸cão vai estar. Neste caso, por (3) é claro que a solu¸cão fica em fun¸cão de duas varáveis livres.

(48)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss: Exemplos

“Forma Escalonada”

6. Resolver o sistema linear por elimina¸c˜ao de Gauss:

S3×3:      5x + 5y = 15 2x + 4y + z = 10 3x + 4y = 11 Solu¸c˜ao: Vamos resolver o sistema linear em 3 passos.

S3×3 ⇔ AX = B ⇔[A|B]=   5 5 0 15 2 4 1 10 3 4 0 11  

Passo 2: Fazemos escalonamento. Vamos somenteencontrar a forma escalonada.

(49)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss: Exemplos

I Elimina¸c˜ao 1: Procuramos o primeiro pivˆoda 1a _{linha n˜}_{ao nula.}

Lembre que, devemos procurar este pivˆo na 1a _{coluna n˜}_{ao nula. Como}

queremos encontrar só a forma escalonada, este pivô pode ser qualquer número diferente de zero e se conveniente transformamos ele em 1. Neste caso temos:

Primeiro Pivˆo [A|B] =    5 ₅ ₀ ₁₅ 2 4 1 10 3 4 0 11    (1/5)L1 −→    1 ₁ ₀ ₃ 2 4 1 10 3 4 0 11   

Neste caso ´e conveniente transformar em 1

Agora, vamos zerar os elementos da 1a _{coluna que est˜}_{ao em baixo de}

(50)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss: Exemplos

[A|B] =     1 ₁ ₀ ₃ 2 ₄ ₁ ₁₀ 3 4 0 11     −2L1+L2→L2 −−−−−−−−−→ −3L1+L3→L3    1 ₁ ₀ ₃ 0 2 1 4 0 1 0 2   

Como todos os elementos da 1a coluna, em baixo do primeiro pivô, são zeros, nossa “elimina¸cão 1” termina aqui.

I Elimina¸c˜ao 2: Procuramos o segundo pivˆoda 2a _{linha n˜}_{ao nula.}

Para isto observamos na sub-matriz obtida eliminando a 1a _{linha n˜}_ao

nula encontrada na “Elimina¸c˜ao 1” (linha do primeiro pivˆo):    1 ₁ ₀ ₃ 0 2 1 4 0 1 0 2    ⇒   1 1 0 3 0 2 1 4 0 1 0 2   | {z }

(51)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss:Exemplos

Da sub-matriz (?), escolhemos para pivô um elemento não nulo da 1acoluna não nula. Neste caso, escolhemos o elemento “2” de posi¸cão “2, 2” da matriz original. Como somente queremos obter forma escalonada não é necessário transformar este pivô no número 1. Assim, basta zerar os elementos da coluna, que estão em baixo de nosso segundo pivô. Com efeito,

Segundo Pivˆo     1 1 0 3 0 2 1 4 0 1 0 2     (−1/2)L2+L3→L3 −− −→    1 1 0 3 0 2 1 4 0 0 −1/2 0   ...(??)

Aqui termina nosso processo de “elimina¸c˜ao 2”.

I Elimina¸cão 3: Procuramos o terceiro pivôda terceira linha não nula. Basta observar na sub-matriz obtida eliminando a 1a_{linha e 2}a_{linha da matriz}

(??):    1 1 0 3 0 2 1 4 0 0 −1/2 0    ⇒   1 1 0 3 0 1 −2 4 0 0 −1/2 0   | {z }

(52)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss: Exemplos

Assim, da sub-matriz (? ? ?), escolhemos para pivˆo um elemento n˜ao nulo da 1a _{coluna n˜}_{ao nula. Neste caso, escolhemos o elemento “−1/2”}

de posi¸cão “3, 3” da matriz original. Agora, para obter a forma escalonada este pivô não precisa ser igual a 1.

      1 ₁ ₀ ₃ 0 2 1 4 0 0 −1/2 0       | {z } Forma Escalonada ...(? ? ??) Terceiro Pivˆo

Como não temos nada para zerar em baixo do terceiro pivô o processo de “elimina¸cão 3” termina aqui. Aqui também termina o processo de

(53)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss: Exemplos

solu¸c˜ao expl´ıcita do sistema linear S3×3 basta considerar, de

(? ? ??), o sistema linear equivalente:

I Solu¸cão Expl´ıcita (número de solu¸cões): Resolvemos o sistema linear equivalente associado à “forma escalonada”. Do passo 2, da forma escalonada, o sistema linear S3×3 é equivalente ao

sistema linear S3×30 dado por :

S3×30 :      x + y = 3 ⇒x = 1 2y + z = 4 ⇒y = 2 (−1/2)z = 0 ⇒z = 0

Então, nosso sistema linear S3×3 possui uma única solu¸cão. Esta

solu¸c˜ao ´e dada pela tripla ou matriz dada por:

X = (x , y , z) = (1, 2, 0) =   1 2 0  

(54)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss: Exemplos

Observa¸cão: Se queremos saber somente se o sistema tem ou não tem solu¸cão basta fazer uma “análise de postos”:

I Número de Solu¸cões: Fazemos análise dos postosdasmatrizes A e [A|B]. Com efeito, de (? ? ??), temos

Posto(A) = 3 = Posto([A|B]) = número de variáveis . Assim, pelo “teorema” sobre número de solu¸cões de um sistema linear resulta que o sistema linear S3×3 possui uma única solu¸cão.

(55)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss:Exemplos

7. Resolver o sistema linear homogêneo pelo método de elimina¸cão de Gauss S3×4:      x − 6z = 0 2x + y − 6z − 2w = 0 2y − 12z = 0

Solu¸c˜ao: Vamos resolver o sistema linear em 3 passos.

S3×4 ⇔ AX = B ⇔[A|B]=   1 0 −6 0 0 2 1 −6 −2 0 0 2 −12 0 0  

Passo 2: Fazemos escalonamento. Vamosencontrar a forma escalonada.

(56)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss:Exemplos

I Elimina¸cão 1: Procuramos o primeiro pivôda 1a linha não nula.

Primeiro Pivˆo     1 ₀ ₋₆ ₀ ₀ 2 ₁ ₋₆ ₋₂ ₀ 0 ₂ ₋₁₂ ₀ ₀     −2L1+L2→L2 −− −→    1 ₀ ₋₆ ₀ ₀ 0 1 6 −2 0 0 2 −12 0 0   

Como todos os elementos da 1a _{coluna, em baixo do primeiro pivˆ}_{o, s˜}_ao

(57)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss:Exemplos

I Elimina¸cão 2 e Elimina¸cão 3: Procuramos o segundo pivô e o terceiro pivô da 2a _{linha n˜}_{ao nula e 3}a _{linha n˜}_{ao nula, respectivamente.}

Com foi feito no exemplo anterior temos que:

Segundo Pivˆo     1 ₀ ₋₆ ₀ ₀ 0 1 6 −2 0 0 2 −12 0 0     −2L2+L3→L3 − − − −→      1 ₀ ₋₆ ₀ ₀ 0 1 6 −2 0 0 0 −24 4 0      ...(?) | {z } Forma Escalonada Terceiro Pivˆo

O processo de elimina¸c˜ao termina aqui pois (?) ´e a forma escalonada da matriz [A|B].

(58)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss:Exemplos

Passo 3: Solu¸c˜ao do sistema linearS3×4. Antes de calcular a

solu¸cão, veja que fazendo análise dos postos (ver (?)) obtemos: posto(A) = 3 = posto([A|B]) < número de variáveis = 4 . Portanto, o sistema possui infinitas solu¸cões e

Grau de liberdade = 4 − 3 = 1 Uma variável livre !!! Isto quer dizer que a solu¸cão do sistema linear estará em fun¸cão de uma variável livre (independente). A seguir calculamos a solu¸cão explicitamente:

(59)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss:Exemplos

I Solu¸cão Expl´ıcita (número de solu¸cões): Resolvemos o sistema linear equivalente associado à “forma escalonada”. Do passo 2, da forma escalonada, o sistema linear S3×4 é equivalente ao sistema linear

S_3×40 dado por (lembre que as variáveis que não estão associadas a algum pivô podem ser tomadas como variáveis livres (independentes)) :

S_3×40 :        x − 6z = 0 ⇒x = w y + 6z − 2w = 0 ⇒y = w −24z + 4w = 0 ⇒z = 1 6w

Então, o sistema linear S3×4 possui infinitas solu¸cões e estas solu¸cões são

dadas por: X = (x , y , z, w ) = (w , w ,w 6, w ) =     w w w /6 w     , _{onde w ∈ R .}

(60)

Elimina¸

c˜

ao de Gauss-Jordam × Elimina¸

c˜

ao de Gauss

Observa¸

c˜

ao

1

Para resolver sistemas de equa¸

c˜

oes lineares basta fazer

elimina¸c˜

ao de Gauss no sistema linear, isto ´

e, basta fazer

obter a forma escalonada do sistema linear.

2

A vantagem de fazer elimina¸c˜

ao de Gauss-Jordan (obter a

forma escalonada reduzida) sobre um sistema linear ´

e que

obtemos a solu¸c˜

ao imediata do sistema linear, enquanto que,

ao fazer somente elimina¸c˜

ao de Gauss (obter a forma

escalonada) ainda ´

e necess´

ario fazer uma s´

erie de

(61)

Contenido

1

Sistema de Equa¸c˜

oes Lineares

Equa¸

c˜

oes Lineares

Sistemas Lineares

Resolu¸

c˜

ao de Sistemas Lineares

(62)

M´

etodo da Matriz Inversa(caso n = m)

Snn⇔ AX = B

Seja o sistema de n equa¸cões lineares com n variáveis Snn, isto é, em

representa¸c˜ao matricial:

An×nXn×1= Bn×1.

Agora, se a matriz A tem inversa, então, podemos afirmar que o sistema linear possui uma única solu¸cão e esta solu¸cão está dada por:

AX = B ⇒A−1(AX ) =A−1B ⇒ (A−1A)X =A−1B

⇒IX = A−1B ⇒ X = A−1B .

´

(63)

M´

etodo da Matriz Inversa (caso n = m): Exemplo

4. Calcular a solu¸c˜ao do sistema linear

S3×3:      2x + y + 3z = 1 4x + 2y + 2z = −1 2x + 5y + 3z = 3

Solu¸c˜ao: Com efeito, veja que o sistema linear pode ser escrito na forma AX = B, onde A =   2 1 3 4 2 2 2 5 3  , X =   x y z  , B =   1 −1 3  

N˜ao ´e dif´ıcil verificar que: det(A) = 32 6= 0 e assim, a matriz A possui inversa dada por

A−1=   −1/8 3/8 −1/8 −1/4 0 1/4 1/2 −1/4 0  

(64)

M´

etodo da Matriz Inversa (caso n = m): Exemplo

Desta maneira, neste caso, nosso sistema linear S3×3 possui uma ´unica

solu¸cão e esta solu¸cão é dada por:

X = A−1B =   −1/8 3/8 −1/8 −1/4 0 1/4 1/2 −1/4 0     1 −1 3  =   −9/8 1/2 3/4  

(65)