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Apêndice A

Validação – Escoamento Monofásico

A solução analítica para o escoamento monofásico em regime permanente é obtida através da solução da Eq. (3.3), na qual os termos de variação temporal, de coluna de líquido e de dissipação viscosa foram desprezados. Adicionalmente, no regime monofásico, os termos interfaciais são nulos, a fração volumétrica da fase é unitária e o perímetro molhado é igual ao perímetro da tubulação. Reescrevendo a equação em termos de temperatura, considerando o líquido como incompressível, escoando ao longo de uma tubulação horizontal, a equação de conservação de energia pode ser escrita como:

( )

(A.1)

A Equação (A.1) é uma equação diferencial ordinária linear, a qual possui solução analítica. Para a validação de resultados, utilizou-se duas condições de contorno: (i) constante e (ii) temperatura do ambiente externo constante, ( ) Deste modo, as soluções da Eq. (A.1), considerando que a temperatura da entrada é TLE, são:

Fluxo de Calor Constante saindo do domínio ( ):

( )

⁄

(A.2)

Temperatura do ambiente externo constante:

( ) ( ) ( ) _(A.3)

Neste caso, o número de Nusselt efetivo foi calculado desprezando a resistência térmica da parede, e para a determinação do coeficiente interno de transferência de calor, considerou-se regime laminar ( ). Para o caso

(10)

Apêndice A___________________________________________________________104

de fluxo de calor constante, utilizou-se uma tubulação de 2,4 centímetros de diâmetro e 500 metros de comprimento, empregando uma malha com ⁄ . Para o caso de temperatura externa constante, se utilizou uma tubulação de mesmo diâmetro, porém com 200 metros de comprimento e empregando uma malha com ⁄ . Para ambos os casos o fluido considerado foi água, que escoa com a velocidade de 0,1 m/s. O número de Reynolds corresponde é ReL=1910 e número de Prandtl PrL= 6,99. A Figura A.1a presenta o perfil de

temperatura ao longo do duto para o caso de fluxo de calor constante, e a Fig. A1b apresenta o erro absoluto de temperatura obtido. A Figura A.2 apresenta o perfil axial de temperatura e de fluxo de calor para o caso de temperatura externa constante. Os erros de ambas as grandezas são ilustrados na Fig. A.3.

Nas Figuras A.1 e A.3, “erro absoluto” significa o módulo da diferença entre os valores simulados e obtidos via solução analítica.

(a) (b)

Figura A.1 – Resultados para o caso de fluxo de calor constante: (a) Temperaturas (b) Erro absoluto.

(a) (b)

Figura A.2 – Resultados para o caso de temperatura externa constante: (a) Temperaturas (b) Fluxo de calor.

315 320 325 330 335 340 345 0 100 200 300 400 500 K X[m] Solução Analítica Solução Numérica 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0 100 200 300 400 500 K X[m] 270 280 290 300 310 320 330 340 350 0 50 100 150 200 K X[m] Solução Analítica Solução Numérica 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 50 100 150 200 W/m 2 X[m] Solução Analítica Solução Numérica PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

(11)

Apêndice A___________________________________________________________105

(a) (b)

Figura A.3 – Resultados para o caso de temperatura externa constante: (a) Erro absoluto para a Temperatura (b) Erro absoluto para o fluxo de calor.

Dos gráficos acima, é possível observar que há excelente concordância entre os resultados analíticos e numéricos, o que demonstra a capacidade do código computacional em reproduzir o escoamento laminar monofásico.

0 5 10 15 20 25 30 35 0 50 100 150 200 W/m 2 X[m] 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 50 100 150 200 K X[m] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

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Apêndice B

Validação – Escoamento Estratificado

Para a validação do módulo térmico do código para escoamentos bifásicos, foi realizada uma comparação entre o presente código e um código comercial que emprega o Modelo de Dois Fluidos não isotérmico, para o escoamento estratificado. Selecionou-se um escoamento mais simples, sem intermitência, pois como as técnicas de captura das golfadas são muito diferentes entre os dois códigos, quaisquer diferenças nos resultados das simulações não permitiriam verificar a implementação das equações da energia.

Para tanto, foi simulado um escoamento ar-água em uma tubulação de 50 metros de comprimento e 7,8 centímetros de diâmetro, empregando uma malha com ⁄ . A mesma malha foi utilizada nos dois códigos. As vazões mássicas de líquido e gás são, respectivamente, 1,1710-2 kg/s e 4,9210-3 kg/s. A Figura B.1 contém os gráficos com a distribuição de temperatura da água e do ar ao longo do duto para o regime permanente.

(a) (b)

Figura B.1 – Regime Permanente: (a) Temperatura da água (b) Temperatura do ar.

Dos gráficos pode-se observar uma boa concordância dos resultados. Os desvios máximos de temperatura são da ordem de 3oC.

Em seguida, foi realizado um teste de transiente, onde o escoamento foi subitamente interrompido. Neste teste os dois simuladores iniciaram com o mesmo perfil de temperatura. A Figura B.2 contém a evolução da temperatura para um ponto no meio da tubulação.

273.00 283.00 293.00 303.00 313.00 323.00 333.00 343.00 353.00 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 K x[m] Presente Estudo Código Comercial 273.00 283.00 293.00 303.00 313.00 323.00 333.00 343.00 353.00 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 K x[m] Presente Estudo Código Comercial PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

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Apêndice B___________________________________________________________107

(a) (b)

Figura B.2 – Transiente: (a) Temperatura da água (b) Temperatura do ar.

Os resultados demonstram um comportamento similar para os dois códigos. O código comercial apresentou uma queda mais abrupta no início da tubulação, mas os resultados podem ser considerados satisfatórios. Deve-se ressaltar que cada código possui particularidades, tanto para o conjunto de correlações para os coeficientes de convecção e fator de atrito quanto para as implementações das equações governantes. Deste modo, as diferenças nos resultados são atribuídas a estas peculiaridades.

0 10 20 30 40 50 60 70 8000 13000 18000 23000 oC t[s] Presente Estudo Código Comercial 0 5 10 15 20 25 30 35 8000 13000 18000 23000 o_C t[s] Presente Estudo Código Comercial PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

(14)

Apêndice C

Influência de Parâmetros Numéricos

Conforme apresentado no Capítulo 5, a “Seção de Troca Térmica” é precedida por um trecho de tubulação não aquecido de forma a garantir que na entrada da mesma, o escoamento no padrão de golfadas já se encontre estatisticamente desenvolvido. De forma a tornar a simulação mais eficiente, investigou-se a influência deste trecho de entrada, denominado Lup, de acordo

com a Figura 5.3. Investigou-se ainda o impacto na solução da introdução de um ruído branco na fração volumétrica de gás na entrada da tubulação.

C.1 Influência do Tamanho da Entrada

Um conjunto de simulações foi realizado, variando o comprimento da tubulação à montante da “seção de troca térmica” (Lup). Estas simulações foram

realizadas com o intuito de verificar se as propriedades físicas das golfadas atingem um valor estável na entrada da “Seção de Troca Térmica”, e qual o trecho de tubulação requerido para o completo desenvolvimento do escoamento.

Para tal avaliação, foram utilizadas as condições do caso #10 de Lima (2009) com a temperatura do ambiente externo constante e igual à média entre e . O comprimento da seção de troca térmica foi mantido constante e igual a 6,071 metros de comprimento, de acordo com o experimento de Lima (2009). A correlação de Dittus e Boelter foi utilizada para os coeficientes de convecção internos (parede e interface), e a correlação de Gnielinski (2009) foi utilizada para a determinação do coeficiente de convecção externo ( ), conforme as Eqs. 3.30 a 3.32.

Cinco comprimentos de entrada foram utilizados: 13,929; 17,74; 23,929; 28,929 e 33,929. As Figuras C.1 a C.5 contém os resultados das diversas grandezas do escoamento em função do comprimento Lup.

A influência do comprimento de entrada Lup no coeficiente de transferência

de calor bifásico hTP (Eq. 3.39) é apresentada na Fig. C.1a, enquanto que o fluxo

de calor médio ao longo da região aquecida encontra-se na Fig. C.1b. Pode-se observar que não há um impacto significativo do comprimento à montante da

(15)

Apêndice C___________________________________________________________109

seção de troca térmica nestes dois parâmetros térmicos, com variação inferior a 6,5% para hTP e 2% para o fluxo de calor, entre o comprimento máximo e mínimo

de Lup. Nota-se, no entanto, uma pequena diminuição nestas duas grandezas,

com a redução do comprimento de entrada.

(a) (b)

Figura C.1 – Propriedades médias do escoamento na seção de troca térmica para vários

Lup: (a) coeficiente de transferência de calor bifásico e (b) fluxo de calor bifásico.

Os resultados obtidos, correspondentes à queda de pressão e temperatura de mistura na saída da região de troca térmica, em função do comprimento de entrada podem ser analisados na Fig. C.2. Novamente, observa-se pequena influência do trecho de montante. A variação de P e Tsaida entre o comprimento

mínimo e máximo Lup foram iguais a 20% para P e 4% para Tsaida. A queda de

pressão também diminui com a diminuição da região de entrada, mas a queda de temperatura cai com o aumento de Lup. Estes resultados são coerentes, pois

se Tsaida cai, o fluxo de calor e consequentemente o coeficiente de troca térmica

devem crescer. Observe também que, se Tsaida cai, a variação de massa

específica do gás cresce, induzindo aumento na queda de pressão.

(a) (b)

Lup: (a) queda de pressão e (b) temperatura de saída.

A influência do comprimento de entrada nos parâmetros médios das golfadas podem ser avaliados nas Figs. C.3 a C.5. A Figura C.3a apresenta a influência de Lup na frequência avaliada pelo método 0, descrito no Capítulo 3.

1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 13 18 23 28 33 htp [W/m 2K] Lup[m] 20000 21000 22000 23000 24000 25000 26000 27000 28000 29000 30000 13 18 23 28 33 q" tp [W/m 2] Lup[m] 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 13 18 23 28 33 Δ P [Pa] Lup[m] 290 295 300 305 310 315 320 325 330 13 18 23 28 33 Tsaída [K ] Lup[m] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

(16)

Apêndice C___________________________________________________________110

Para esta variável, o comportamento é mais errático, com seu valor crescendo de Lup 13,929m para Lup=17 m e diminuindo a medida que Lup continuando

crescendo. Este comportamento pode ser explicado, pois nas diversas simulações realizadas, observou-se que as golfadas se formam em torno de 16

metros a partir da entrada. Sendo assim, para o menor comprimento (Lup = 13,929 m), as golfadas estão se formando dentro da seção de troca

térmica, e com isto os resultados deste ponto são distorcidos. Observa-se que a partir de Lup=17 m a frequência cai com o aumento do comprimento de entrada.

De acordo com Al-Safran (2009), para casos com altas velocidades superficiais de líquido e altas frações volumétricas médias de líquido (como o presente caso), a frequência cai ao longo do duto. Logo, quanto maior o comprimento da tubulação, maior a queda da frequência, conforme observado neste trabalho.

Analisando a variação do comprimento da célula unitária com a variação de Lup na Fig. C.3b, observa-se um crescimento significativo à medida que o

comprimento de entrada da tubulação cresce. Este tipo de comportamento também é esperado, pois a medida que o escoamento de desenvolve, o comprimento da golfada, assim como da bolha crescem, como reportado em diversas referencias (Carneiro et al, 2011; Kadri et al., 2011).

(a) (b)

Lup: (a) Frequência medida pelo método 0 e (b) comprimento da célula unitária.

A influência do comprimento de entrada tanto no comprimento como na velocidade de translação da golfada encontram-se na Fig. C.4. Resultados análogos referentes às bolhas podem ser apreciados na Fig. C.5. É interessante observar que as golfadas crescem continuamente com o aumento de Lup, tendo

significativo aumento nos comprimentos do pistão de líquido e da bolha. Casos similares, em que as golfadas crescem continuamente, sem atingir um patamar de estabilidade para o comprimento, são reportados no trabalho de Kadri et al. (2011). Os resultados obtidos indicam que para este caso, assim como para o

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 13 18 23 28 33 Fs [H z] Lup[m] 0 20 40 60 80 100 120 13 18 23 28 33 Lu /D Lup[m] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

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Apêndice C___________________________________________________________111

Caso #9, o comprimento da tubulação não foi suficiente para garantir um escoamento plenamente desenvolvido.

Analisando as Figs. C.4b e C.5b correspondentes às velocidades de translação da bolha e golfada, respectivamente, observa-se uma pequena variação destas grandezas, as quais diminuem com o aumento de Lup. Como já

ressaltado os dados correspondentes ao menor comprimento de entrada testado deve ser descartado, pois a golfada só é formada no interior da seção de troca térmica. Note ainda, que a velocidade do pistão cai mais suavemente que a velocidade da bolha, estabilizando a um mesmo valor à medida que as golfadas se desenvolvem ao longo da tubulação, conforme já descrito por Carneiro et al. (2011) e Chucuya et al. (2012).

(a) (b)

Lup: (a) comprimento da bolha e (b) velocidade de translação da bolha.

(a) (b)

Lup: (a) comprimento do pistão de líquido e (b) velocidade de translação do pistão de

líquido.

Como conclusão desta análise, pode-se dizer que não foi possível obter o pleno desenvolvimento das golfadas, para o caso #10. Contudo, os resultados mostram que não houve um grande impacto nos resultados da parte de transferência de calor. Visando eliminar mais incertezas com relação à reprodução dos dados experimentais, optou-se por manter o mesmo

0 10 20 30 40 50 60 13 18 23 28 33 Lb /D Lup[m] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 13 18 23 28 33 Ub [m /s] Lup[m] 0 10 20 30 40 50 60 70 13 18 23 28 33 Ls /D Lup[m] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 13 18 23 28 33 Us [m /s] Lup[m] PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

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comprimento de entrada que o utilizado nas experiências de Lima (2009), o qual é igual a 17,74 metros.

C.2 Introdução de um Ruído Branco na Entrada

A adição de um ruído branco na entrada é uma possível solução para reduzir o trecho de tubulação requerido para a formação/desenvolvimento das golfadas. Isto ocorre porque o ruído promove instabilidades na solução, favorecendo a formação das ondas e consequentemente das golfadas.

Neste sentido, a introdução de um ruído branco pode ser uma possível solução para reduzir o domínio computacional, reduzindo assim a capacidade de processamento requerida. Adicionalmente, a presença de ruídos/perturbações é comum em aplicações reais (e.g. variações de fluxo causadas por bombas, compressores de gas-lift, entre outros), o que faz com que a adição do ruído branco seja bastante factível.

Como mencionado no Capitulo 4, o valor da fração volumétrica de gás na entrada não influência o escoamento após atingir o regime estatisticamente permanente desenvolvido. Porém, o valor desta grandeza tem impacto no início de formação das golfadas, conforme reportado detalhadamente por Carneiro (2004). Desta forma, optou-se pela introdução do ruído branco na fração volumétrica de gás na entrada.

Para a avaliação dos impactos da adição do ruído branco na fração volumétrica de gás na entrada E, foram utilizadas as condições do caso #10 de

Lima (2009). Utilizou-se a mesma condição que contorno referente à perda de calor para o ambiente que no teste anterior, isto é, manteve-se a temperatura do ambiente externo constante e igual à média entre e . A correlação de Dittus e Boelter foi utilizada para os coeficientes de convecção internos (parede e interface), e a correlação de Gnielinski (2009) foi utilizada para a determinação do coeficiente de convecção externo. A seção de troca térmica tem 6,071 metros de comprimento em todas as simulações (valor igual ao do experimento de Lima, 2009). Para o comprimento de tubulação na região de entrada Lup, à montante

da seção de troca térmica, selecionou-se a menor tubulação investigada no teste anterior, sendo igual a 13,929 metros, visando obter com o ruído branco, a formação da golfada antes da seção de troca térmica.

Nas simulações realizadas, as vazões mássicas de ambas as fases da entrada da tubulação foram mantidas constantes iguais ao caso #10 de Lima

(19)

Apêndice C___________________________________________________________113

(2009). O ruído branco é introduzido na fração volumétrica de gás da entrada de acordo com a seguinte expressão

[ ( ) ] _(C.1)

onde WNA é amplitude máxima do ruído branco, é a fração volumétrica de gás de equilíbrio do escoamento estratificado e rand(0,1) é uma função nativa do Fortran 77 que gera números pseudo-randômicos entre 0 e 1 (com distribuição de probabilidade uniforme).

Foram realizados testes variando WNA de zero a 0,03. Inicialmente apresenta-se a influência de WNA no coeficiente de transferência de calor bifásico (Eq. 3.39) e no fluxo de calor médio, na Fig. C.6. Nota-se que a influência do ruído branco é análoga a crescer o comprimento da tubulação, isto é, com o aumento de WNA, tanto hTP com q”TP crescem, porém, as variações são

um pouco mais fortes. Do caso sem ruído para o caso com ruído com amplitude de 3%, hTP e q”TP, cresceram 13,3% e 7,6%, respectivamente.

(a) (b)

Figura C.6 – Propriedades médias do escoamento na seção de troca térmica para vários WNA: (a) coeficiente de transferência de calor bifásico e (b) fluxo de calor bifásico.

As influências do ruído branco na queda de pressão e temperatura de saída encontram-se ilustradas na Fig. C.7. Observa-se esta influência é muito pequena e o comportamento é bem semelhante ao aumento do domínio (Fig. C.2).

Como mostrado no teste anterior, se as golfadas só começarem a ser formadas no interior da seção de troca térmico, não é realista avaliar as grandezas como sendo valores estatisticamente desenvolvido e permanente. Dessa forma, antes de analisar os parâmetros das golfadas, apresenta-se na Tabela C.1 a posição de formação das golfadas e fração volumétrica de gás média na seção de troca térmica. Da Tabela C.1, é possível observar que a introdução do ruído branco de fato consegue reduzir o trecho de tubulação

1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 htp [W /m 2K] WNA 20000 21000 22000 23000 24000 25000 26000 27000 28000 29000 30000 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 q" tp [W/m 2] WNA PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

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Apêndice C___________________________________________________________114

necessário para a formação da golfada, tendo as maiores reduções registradas para as maiores amplitudes de ruído branco. A inclusão do ruído branco com WNA de 0,005 e 0,01 aumenta a fração de gás. Valores maiores do ruído branco levam a uma redução da fração de gás.

(a) (b)

Figura C.7 – Propriedades médias do escoamento na seção de troca térmica para vários WNA: (a) queda de pressão e (b) temperatura de saída.

Tabela C.1 – Resultados para as simulações com Lup = 13,929 m e com a adição de

ruído branco. Amplitude Máxima do Ruído Branco (WNA) Posição de Formação da Golfada [m] Fração Volumétrica de Gás Média WNA/ 0,000 16 0,122 0% 0,005 11 0,167 3% 0,010 9 0,170 5,8% 0,015 7 0,164 9,1% 0,020 6 0,157 12,7% 0,025 5,5 0,142 17,6% 0,030 5 0,127 23,6%

As influências do ruído branco nas propriedades da golfada encontram-se ilustradas nas Fig. C.8 a C.10. Analisando a Fig. C.8a, correspondente à frequência, observa-se que o aumento inicial de WNA de zero para 0,005 induz a um aumento da frequência, pois agora existem golfadas desde o início da seção de troca térmica. Nota-se, no entanto, que para WNA de 0,01 a 0,02, a frequência é aproximadamente constante, porém maiores valores de WNA resultam em um aumento da frequência, o que não é equivalente ao aumento de

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Δ P [Pa] WNA 290 295 300 305 310 315 320 325 330 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Tsaída [K ] WNA PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

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domínio. A mesma interpretação pode ser aplicada ao comprimento da célula unitária, que encontra-se ilustrada na Fig. C.8b, onde inicialmente o comprimento cresce, mas para WNA > que 0,02 decresce.

(a) (b)

Figura C.8 – Propriedades médias do escoamento na seção de troca térmica para vários WNA: (a) Frequência medida pelo método 0 e (b) comprimento da célula unitária.

Analisando o comprimento da bolha na Fig. C.9a e o comprimento do pistão na Fig. C.10a, observa-se comportamento análogo dos comprimentos da célula unitária. As velocidades de translação da bolha e do pistão podem ser analisadas nas Figs. C.9b e C.10b. Observa-se pequena influência de WNA nas velocidades de translação, especialmente para a velocidade de translação do pistão de liquido (Fig. C.10b). Já a velocidade da bolha cresce com o aumento de WNA, comportamento oposto ao aumento do comprimento da tubulação.

(a) (b)

Figura C.9 – Propriedades médias do escoamento na seção de troca térmica para vários WNA: (a) comprimento da bolha e (b) velocidade de translação da bolha.

Comparando os gráficos das Figs. C.6 a C.10 com os gráficos das Figs. C.1 a C.5 é possível observar que os resultados para a tubulação com Lup =

13,929 m com WNA = 0,01 é similar aos resultados da tubulação com Lup =

23.929 m sem a adição de ruído branco. Para valores de WNA maiores que 0,01 não há uma correspondência com as simulações de tubulações maiores.

De fato, o valor de WNA = 0,01 se situa em torno de 6% da fração volumétrica de gás média na seção de troca térmica, e para WNA maiores esta

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Fs [H z] WNA 0 20 40 60 80 100 120 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Lu /D WNA 0 10 20 30 40 50 60 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Lb /D WNA 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Ub [m /s] WNA PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA

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porcentagem é bem superior. Deste modo, os resultados sugerem que valores de WNA acima de 6% da fração volumétrica de gás média podem distorcer os resultados (ruído excessivo).

Como conclusão desta análise, pode-se dizer que é possível reduzir o trecho requerido para formação da golfada com a adição de um ruído branco na entrada. Todavia, deve-se evitar o uso de WNA acima de 6% da fração volumétrica de gás média, de forma a evitar a introdução de um ruído excessivo, capaz de distorcer os resultados.

(a) (b)

Figura C.10 – Propriedades médias do escoamento na seção de troca térmica para vários WNA: (a) comprimento do pistão de líquido e (b) velocidade de translação do

pistão de líquido. 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Ls /D WNA 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Us [m /s] WNA PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1011972/CA