ANÁLISE DE REGIME PLÁSTICO EM ESTRUTURAS METÁLICAS

(1)

APARECIDO ULISSES A. AMORIM RA: 09105194

PAULO RENATO FOLETTO RA: 09115057

ANÁLISE DE REGIME PLÁSTICO EM

ESTRUTURAS METÁLICAS

SÃO PAULO

2011

(2)

Orientador: Prof. Me. Calebe Paiva Gomes de Souza

ANDERSON FERNANDES BORGES RA: 09108654

APARECIDO ULISSES A. AMORIM RA: 09105194

PAULO RENATO FOLETTO RA: 09115057

ANÁLISE DE REGIME PLÁSTICO EM

ESTRUTURAS METÁLICAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Anhembi Morumbi

SÃO PAULO

2011

(3)

Trabalho____________ em: ____ de_______________de 2011.

Prof. Me. Calebe Paiva Gomes de Souza

Nome do Orientador

______________________________________________ Nome do professor da banca

ANDERSON FERNANDES BORGES RA: 09108654

APARECIDO ULISSES A. AMORIM RA: 09105194

PAULO RENATO FOLETTO RA: 09115057

ANÁLISE DE REGIME PLÁSTICO EM

ESTRUTURA METÁLICA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Anhembi Morumbi

Comentários:_________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

(4)

“O que sabemos é uma gota e o que ignoramos é um oceano” Isaac Newton

(5)

AGRADECIMENTOS

- As nossas famílias pelo apoio em tudo e em toda a nossa vida.

- Ao Prof. Me. Calebe Paiva Gomes de Souza pela paciência e por acreditar em nossa capacidade sempre.

(6)

RESUMO

As estruturas metálicas ganharam muito espaço nas últimas décadas no segmento da construção civil, devido a praticidade, produtividade no processo de construção, e também um maior controle de qualidade em relação aos métodos convencionais, porém o elevado custo do aço impede que a utilização deste método construtivo seja mais difundida, levando em conta esse fator econômico que em muito casos inviabiliza o uso da estrutura metálica em determinadas situações, fica evidente a necessidade de um melhor aproveitamento das propriedades do material aço, por isso, neste estudo são demonstrados os métodos de dimensionamento tradicionais de estruturas metálicas (regime elástico) e um método alternativo (regime plástico) a qual utiliza um maior aproveitamento da capacidade resistente da estrutura, após a demonstração é possível fazer uma análise do comportamento estrutural em ambas as situações, e posteriormente apresentar as diferenças obtidas em termos econômicos entre os dois métodos.

Palavras Chave: Momento Plástico, Redistribuição de Momentos e Dimensionamento Plástico.

(7)

ABSTRACT

The metallic structures gained a lot of space in recent decades in the construction sector, due to their practicality, productivity in the construction process, and also a higher quality control compared to conventional methods, but the high cost of steel prevents the widespread use of this constructive method, taking this economic factor into account in many cases it prevents the use of metal structure in certain situations, it is evident the need for a better use of the steel material’s properties, so in this study are shown sizing traditional methods of metal structures (elastic regime) and an alternative method (plastic regime) which utilizes a more efficient use of the structure bearing capacity, after the demonstration it is possible to analyze the structural behavior in both situations, and to present subsequently the differences obtained in economic terms between the two methods.

Keywords: Plastic Moment, Redistribution of Moments and Plastic Dimensioning.

(8)

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Gráfico Tensão x Deformação ... 20

Figura 2.2 – Gráfico Momento x Rotação da Seção. ... 31

Figura 2.3 – Calculo das solicitações de uma viga continua sujeita a uma carga uniformemente distribuída. ... 34

Figura 2.4 – Regras dos três momentos (2 vãos). ... 41

Figura 2.5 – Momentos determinados (2 vãos). ... 41

Figura 2.8 – Regras dos três momentos (3 vãos i=1)... 43

Figura 2.9 – Regras dos três momentos (3 vãos i=2)... 44

Figura 2.12 – Regras dos três momentos (4 vãos i=1). ... 46

Figura 5.1 – Estudo de caso: Viga de 2 vãos. ... 53

Figura 5.2 – Viga de 2 vãos – diagrama do esforço de momento fletor elástico. ... 54

Figura 5.3 – Viga de 2 vãos – diagrama do esforço de momento fletor plástico. ... 57

Figura 5.6 – Viga de 3 vãos – diagrama do esforço de momento fletor plástico. ... 67

(9)

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 – Estudo de caso: Viga de 2 vãos 53

Tabela 5.2 – Estudo de caso: Viga de 3 vãos 63

(10)

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

(11)

LISTA DE SÍMBOLOS

d

S

Solicitação de projeto.

fi



Coeficiente de majoração de solicitação.

i

F

Combinação de ações.

d

R

Resistência de projeto.

k

f

Resistência característica do material.

m



Coeficiente de minoração de resistência.

i

G

Ações permanentes.



Fator de combinação. Q Ações variáveis.



máx Tensão máxima.



Tensão admissível.



_{Coeficiente de segurança.} serv

Q

Carga atuante. u

Q

Carga de colapso. y

M

Momento do inicio de plastificação.

p

(12)

SUMÁRIO

p. 1 INTRODUÇÃO ... 15 1.1 Objetivos ... 16 1.2 Justificativas ... 17 1.3 Abrangência ... 18 1.4 Estrutura do Trabalho ... 19 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 20

2.1 Dimensionamento em regime elástico ... 20

2.1.1 Estruturas de concreto armado ... 22

2.1.2 Estruturas metálicas ... 23

2.2 Dimensionamento em regime plástico ... 26

2.3 Caracterização geral entre dimensionamentos: regime elástico x regime plástico ... 29

2.3.3 Perfis Soldados ... 32

2.4 Métodos numéricos para determinação do momento plástico em vigas hiperestáticas ... 33

2.4.1 Método cinemático ... 35

2.4.2 Método estático ... 37

2.4.3 Regra dos três momentos ... 39

3 MÉTODO DE TRABALHO ... 49

(13)

5 ESTUDO DE CASO ... 51

5.1 Exemplo numérico I - 2 vãos ... 53

5.1.1 Traçado do diagrama do esforço de momento fletor elástico. ... 53

5.1.2 Determinação do momento plástico via Método Cinemático ... 55

5.1.3 Determinação do momento plástico via Método Estático ... 56

5.1.4 Dimensionamento do Perfil via regime elástico ... 58

5.1.5 Dimensionamento do Perfil via regime plástico ... 60

5.1.6 Comparação dos resultados ... 62

5.2 Exemplo numérico II - 3 vãos ... 63

5.2.1 Traçado do diagrama do esforço de momento fletor ... 63

5.3 Exemplo numérico III - 4 vãos ... 73

5.3.1 Traçado do diagrama do esforço de momento fletor ... 73

6 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 83

6.1 Viga Hiperestática de 2 vãos: ... 83

6.4 Comentários Gerais: ... 84

(14)

8 RECOMENDAÇÕES... 87 REFERÊNCIAS ... 88

(15)

1 INTRODUÇÃO

Com o avanço crescente da demanda do mercado imobiliário e a evolução das técnicas construtivas, é cada vez mais usual o emprego de diversos tipos de materiais e sistemas construtivos mais eficientes. Assim, torna-se necessário utilizar materiais que racionalizem as construções e tenham custos competitivos em relação aos materiais mais tradicionais e proporcionem maior rapidez de execução.

Essa tendência de diversificação ocorre também com os tipos de estruturas das edificações que, cada vez mais, passa a disseminar a utilização de estruturas que possam otimizar as construções.

Tradicionalmente no Brasil, o uso do concreto armado é muito difundido e consumido nas construções, porém, com as necessidades de prazo, racionalização e custo-tempo, as estruturas metálicas conquistam muito espaço devido sua praticidade, esbeltes, organização e limpeza propiciada nos canteiros. Além de todas estas vantagens, adequa-se muito bem no conceito de sustentabilidade.

Em diversos Países, o emprego de estruturas metálicas é muito difundido, devido sua facilidade construtiva e redução significativa do tempo de execução em relação ao concreto, além de possuir maior controle de qualidade tanto do material que é produzido por indústrias siderúrgicas em grande escala, quanto da mão de obra que possui maior qualificação. Além disso, devido a grande confiabilidade na qualidade do aço, os métodos de cálculo foram aperfeiçoados e permitem maior aproveitamento da utilização da capacidade de resistência no dimensionamento das estruturas.

Por meio da análise elastoplástica do comportamento das estruturas metálicas, é possível dimensionar estruturas metálicas cada vez mais econômicas, com isso, fica cada vez mais viável a utilização desse sistema construtivo.

(16)

1.1

Objetivos

Avaliar as vantagens (ou desvantagens) nos dimensionamentos considerando os regimes elástico e plástico.

Dimensionar estruturas metálicas em regime plástico pelo método estático e/ou cinemático e comparar com o dimensionamento em regime elástico.

Desenvolver rotinas que otimizem a determinação do esforço de momento fletor em regime plástico, verificando o comportamento da estrutura até atingir a carga de colapso.

(17)

1.2

Justificativas

Aprofundamento da análise estrutural em regime plástico e a conseqüência no comportamento e dimensionamento de estruturas metálicas.

A utilização do dimensionamento em regime plástico para obtenção de estruturas mais econômicas, devido o método considerar o cálculo da resistência do material muito próxima do colapso.

Por meio de métodos de cálculos, análises e teorias sobre estruturas metálicas, pode-se otimizar o dimensionamento de seções de aço para esforços solicitantes que, calculados por métodos convencionais, resultariam em peças de maior seção logo, mais onerosas.

(18)

1.3

Abrangência

Não faz parte deste estudo, apresentar o dimensionamento de qualquer tipo de estrutura de concreto armado, concreto protendido, pré-moldado, estruturas de madeira em geral, bem como vigas metálicas com emendas parafusadas ou soldadas.

O foco deste estudo é apresentar o método de dimensionamento, no regime elastoplástico, em estruturas metálicas hiperestáticas de no mínimo 2 vãos livres, desenvolvendo algoritmos que auxiliem a determinação do momento plástico em estruturas de “n” vãos.

Comparar os resultados obtidos no dimensionamento em regime plástico com os resultados obtidos no regime elástico. Com isso, demonstrar a eficiência estrutural e econômica desta análise, por meio da máxima capacidade de resistência estrutural da peça estudada.

(19)

1.4

Estrutura do Trabalho

No capítulo 2, aborda-se a análise de estruturas metálicas e de concreto armado, tanto para regime elástico quanto para regime plástico, e a caracterização geral entre ambos os métodos, onde se abrange: os métodos de cálculos, as considerações gerais, as comparações de cargas resistentes e dimensionamento de peças; dados estes obtidos a partir de uma revisão bibliografia.

No capítulo 3, serão demonstrados os métodos, fórmulas e teorias utilizados para dimensionar as estruturas metálicas em regime elástico e regime plástico em vigas hiperestáticas com 2, 3 e 4 vãos.

No capítulo 4, serão apresentados os principais softwares utilizados, bem como algoritmos e o Excel que auxiliará nas análises estruturais em vigas metálicas hiperestáticas em regime elástico e regime plástico.

No capítulo 5, serão apresentados os estudos de casos de vigas metálicas hiperestáticas de 2, 3 e 4 vãos, ambas dimensionadas em regime elástico e em regime plástico.

(20)

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Dimensionamento em regime elástico

“No ensino clássico da Engenharia de Estruturas, assume-se que o campo das tensões instalado na estrutura provocado pelo sistema de forças exteriores não ultrapassa a tensão limite elástica do material. Além disso, assume-se ainda o não aparecimento de deformações excessivas.” (NATAL, 2000/2001, p.1). Ao pensarmos no comportamento elástico das estruturas é fundamental entender o fenômeno da elasticidade, algumas definições serão apresentadas:

A elasticidade é o segmento da física que analisa o comportamento dos materiais que se deformam quando aplicadas forças externas, e quando removido os carregamentos retornam à forma original.

Conforme as propriedades de cada material e temperatura que são submetidos, a deformação obtida será aproximadamente proporcional à aplicação das tensões, essa constante de proporcionalidade que ocorre neste fenômeno é conhecida como módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young.

A linearidade existente entre as grandezas de tensão x deformação é expressa através de uma relação linear entre as grandezas, tal relação é conhecida como lei de Hooke.

Figura 2.1 – Gráfico Tensão x Deformação

(21)

Para dimensionamento de estruturas na construção civil usam-se equações que são originadas da teoria da elasticidade, essas equações levam em conta os pesos dos elementos que serão suportados, peso próprio da estrutura, materiais constituintes da estrutura e tensões que atuarão, das quais não poderão exceder os limites de escoamento dos materiais constituintes.

Ao aplicar tensões superiores às tensões limites (limite elástico ou de escoamento) as relações de linearidade entre as tensões e deformações se quebram, ocorrendo deformações irreversíveis, ou seja, apresentando um comportamento plástico, ou ainda o início do colapso da estrutura.

(22)

2.1.1 Estruturas de concreto armado

O concreto armado é composto da união de seus materiais constituintes que são primeiramente os materiais que compõem o concreto simples (cimento, areia, brita, água e aditivos) mais o aço.

O fenômeno da aderência entre os materiais (concreto + aço) é o que garante que o concreto armado trabalhe como elemento homogêneo, ou seja, permite a transferência de esforços entre os materiais.

Porém existe grande diferença em relação ao comportamento do concreto e do aço quanto às resistências a determinados tipos de esforços, ou seja, devido à vulnerabilidade do concreto quanto aos esforços de flexão.

“Tendo em vista que o concreto tracionado não pode acompanhar as grandes deformações do aço, o concreto fissura-se na zona de tração; os esforços de tração devem, então, ser absorvidos apenas pelo aço. Uma viga de concreto simples romperia bruscamente após a primeira fissura, uma vez atingida a baixa resistência à tração do concreto, sem que fosse aproveitada a sua alta resistência à compressão. A armadura deve, portanto, ser colocada na zona de tração das peças estruturais e, sempre que possível, na direção dos esforços internos de tração. A alta resistência à compressão do concreto pode, desta maneira, ser aproveitada na flexão, em vigas e lajes.”(Metha & Monteiro, 1994 apud BICALHO, 2007)

Para o dimensionamento de estruturas de concreto armado normatizado tem como base o regime elástico, dentre as principais relacionadas ao concreto armado podemos citar:

NBR 6118 (ABNT, 2003) - Projeto e execução de estruturas de concreto armado NBR 7187 (ABNT, 2003) - Pontes de concreto armado

NBR 5739 (ABNT, 2007) - Ensaios de corpos de prova a compressão NBR 7222 (ABNT, 2010) - Ensaios de corpos de prova a tração

NBR 5732 (ABNT, 1991) - Especificações para cimento portland comum NBR 7480 (ABNT, 2007) - Especificações dos aços para concreto armado

(23)

2.1.2 Estruturas metálicas

As estruturas metálicas são dimensionadas a partir de métodos que garantam a segurança quanto aos esforços solicitantes, proporcionem segurança durante a execução e utilização, e assegurem qualidade e durabilidade. (GUERRA, 7ª edição, 2011, p-8)

Quanto aos métodos de dimensionamento, a segurança das estruturas deve ser verificada em relação a determinados estados limites comparando com os que a estrutura será solicitada; (GUERRA, 7ª edição, 2011, p-9)

“Entende-se por estado limite, um estado a partir do qual se considera que a estrutura fica prejudicada, total ou parcialmente, na sua capacidade para desempenhar as funções para que foi projetada.” (GUERRA, 7ª edição, 2011, p-9)

Em método do estado limite último, a segurança estrutural é obtida pela equação:























m k d i fi d

f

R

F

S



)

(

Onde as solicitações

S

d devem ser menores que resistência da peça

R

d , sendo

que as solicitações são majoradas através do coeficiente



fi, e as resistências são

minoradas através do coeficiente



m. (MARTINS, 2010)

Para o dimensionamento em estados limites de serviços, deve-se verificar o comportamento da estrutura quanto as cargas de utilização, ou seja, a estrutura deve satisfazer a função a que se destina. (NASCIMENTO, 2008)

No estado limite de utilização é necessário verificar o comportamento das estrutura sob ação de cargas de serviço, que correspondem a capacidade da estrutura de desempenhar a função que se destina satisfatoriamente (MARTINS, 2010)

(24)

“Para os estados limites de utilização (ou de serviço) definem-se três valores representativos das ações variáveis em função do tempo de duração das ações e de sua probabilidade de ocorrência:

Valor raro (característico) : Q

Valor frequente: ₁Q

Valor quase-permanente: ₂Q

a) Combinações quase-permanentes de serviço: admite-se que as ações necessária na verificação do estado limite de deformação excessiva (flechas).

b) Combinações quase-frequentes de serviço: admite-se que as ações repetem muitas vezes durante o período de vida útil da estrutura, e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de vibrações excessivas.

c) Combinações raras de serviço: admite-se que as ações ocorrem em algumas vezes durante o período de vida útil da estrutura. ”(MARTINS, 2010).

“As combinações de ações nos estados limites de utilização são efetuadas considerando a ação variável dominante com um dos valores representativos mencionados anteriormente, combinada com as ações permanentes Gi_{e as outras ações variáveis}Qi_.

Combinação quase-permanente:









G

_i

Q

_j

Q

_j

F



₂ ₁



₂ Combinação frequente:









G

_i

Q

_j

Q

_j

F



₁ ₁



₂ Combinação rara:









G

_i

Q

_j

Q

_j

F

₁



₁

(25)

As combinações de ações assim definidas são utilizadas para verificação dos estados limites de serviço conforme o rigor com que se deseja aplicar os valores limites dos efeitos verificados.” (NASCIMENTO, 2008)

(26)

2.2 Dimensionamento em regime plástico

A plasticidade é a propriedade que o material possui de guardar deformações residuais. A teoria das rótulas plásticas aplica-se a elementos estruturais lineares, com o aumento contínuo do carregamento na viga, as seções de momentos máximos poderão entrar em escoamento formando rótulas plásticas. Em estruturas hiperestáticas é necessário formação de mais de uma rotula plástica para que se forme um mecanismo de colapso, assim estas estruturas tem uma reserva de capacidade resistente (FONTES e PINHEIRO, 2005).

(27)

Para estruturas de concreto armado, o projeto precisa atender pelo menos uma das cinco análises permitida pela NBR 6118 (ABNT,2003).

Levando-se em conta que o material concreto é frágil a tração e para que apareçam as rótulas plásticas até a formação de um mecanismo de colapso, é necessário ser verificada a capacidade de rotação da rótula plástica, através da diferença da rotação total no colapso pela rotação que dá início a sua plastificação.

Segundo a NBR 6118 (ABNT,2003), quanto menor a posição relativa da linha neutra o elemento estrutural tem maior capacidade de rotação, a rotação necessária da rótula plástica deve ser menor ou igual a capacidade de rotação indicada pela Norma.

No concreto armado ocorre a plastificação pelo escoamento da armadura, com a elevação da linha neutra e o aumento do braço de alavanca obtido no regime elástico. O aumento da alavanca compensa a zona de concreto comprimido. (FONTES e PINHEIRO, 2005).

Quando as rótulas plásticas apresentam capacidade de rotação plástica, a redistribuição de esforços é feita com maior intensidade do que na análise linear com redistribuição. (FONTES e PINHEIRO, 2005).

A análise plástica de estrutura reticulada não é permitida quando se consideram os efeitos de segunda ordem globais. Na análise plástica não se conhece o comportamento em serviço, preocupa-se com o estado limite último. (FONTES e PINHEIRO, 2005).

A economia alcançada na análise plástica em relação a análise elástica gira em torno de 7% a 15% (FONTES e PINHEIRO, 2005).

(28)

O comportamento das estruturas metálicas quanto às deformações pode ser observado através da aplicação de cargas que geram tensões na mesma. Para a determinação da carga para a qual uma estrutura entra em colapso, devido ao aparecimento de deformações excessivas utiliza-se o cálculo do momento plástico através dos seguintes métodos numéricos: regra dos três momentos, método cinemático e método estático. (PFEIL e PFEIL, 2008)

Através das propriedades dos materiais utilizados é possível verificar parâmetros que influenciam diretamente nas cargas de colapso de uma estrutura, esses parâmetros podem ser: ductibilidade, fragilidade, resiliência, tenacidade, dureza, fadiga e corrosão. (PFEIL e PFEIL, 2008)

Para o dimensionamento em regime plástico, deve-se obter o momento de inicio da plastificação

M

y, que não representa a capacidade máxima da seção; Ultrapassando-se o momento fletor

M

_y, o aumento da carga produz plastificação das fibras internas, o que aumenta o momento resistente da seção (seção parcialmente plastificada). (PFEIL e PFEIL, 2008)

O maior momento que a seção pode suportar

M

p corresponde ao escoamento de toda a seção (seção totalmente plastificada), a diferença

M

p



M

y constitui uma reserva de segurança da seção em referência ao início de escoamento da mesma. (PFEIL e PFEIL, 2008)

(29)

2.3 Caracterização geral entre dimensionamentos: regime elástico x regime plástico

As estruturas são dimensionadas de modo que garantam sua segurança quanto aos esforços solicitantes, e que proporcionem segurança, durante a execução e utilização das mesmas.

Em regime elástico o critério de dimensionamento leva em conta os estados limites últimos e estados de serviços, as quais ponderam as cargas em função das mesmas serem permanentes ou serem acidentais, levando em conta também a finalidade para a qual a estrutura será utilizada.

Estes métodos majoram as cargas permanentes através de coeficientes de segurança e minoram cargas acidentais conforme a probabilidade de ocorrência das mesmas, com isso, um grande problema pode ocorrer, devido a essa minoração poder provocar efeitos inesperados nas cargas de projeto. (FONTES e PINHEIRO, 2005).

A tensão resistente em regime plástico é obtida através da equação:

Desta forma, a condição de resistência esta relacionada diretamente com a plastificação total das seções e o coeficiente de segurança



é único, aplicado somente as Cargas de serviço Qserv. (PFEIL e PFEIL, 2008)

u

serv

Q



(30)

O regime plástico em concreto armado deve-se pelo escoamento da armadura que ocorre quando se eleva a linha neutra, sendo que, quanto maior for a posição da linha neutra, menor será a capacidade de rotação da estrutura. Em regime elástico a linha neutra define o braço de alavanca da estrutura, para aplicar o regime plástico varia-se a posição deste braço, porém, esta variação é compensada pela diminuição da área de compressão do concreto, ocorrendo assim que o momento de plastificação é igual ao momento último.

Em estruturas de concreto armado com seção retangular ocorrem pequenas variações na armadura, quando analisadas em regime elástico e comparada a uma análise em regime plástico. Esta pequena variação chega a ser desconsiderada, pois serve apenas para uma melhor distribuição do aço e não uma redução na área de aço necessário; porém, quando analisamos uma seção “T” os valores são significativos, a diferença de armadura em uma dessas seções se comparados os dois regimes, fica próximo de 7%, e quando comparada a uma seção retangular o valor ainda é maior, sendo na casa dos 15% de economia. (FONTES e PINHEIRO, 2005).

(31)

Em 1930 foi desenvolvido a Teoria Plástica de Dimensionamento, onde se comparam os valores do momento de inicio da plastificação

M

y e o momento de total plastificação ou colapso da seção

M

p. A diferença entre

M

p e

M

y resulta em uma carga residual que relacionada a um coeficiente de segurança aplicado sobre as cargas de serviço, encontra-se em uma capacidade de resistência na seção não considerada pelo método de regime elástico. (PFEIL e PFEIL, 2008).

Utilizando-se uma viga “I” para uma análise gráfica entre os dois métodos e admitindo-se que os materiais trabalham segundo a lei linear de Hooke obtemos o seguinte gráfico:

Figura 2.2 – Gráfico Momento x Rotação da Seção.

Fonte: Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático (2008).

Onde:

a Seção em regime elástico

b Seção em inicio de plastificação, com tensão de bordo igual tensão de escoamento (fy)

c Seção parcialmente plastificada d Seção totalmente plastificada

(32)

2.3.3 Perfis Soldados

Os perfis soldados são estabelecidos pela NBR5884 e são definidos por series simétricas, isto é, são perfis que apresentam simetria tanto no eixo XX quanto no YY de sua seção transversal.

Serie CS: Tipo pilar com relação 1

f

b d

relacionados na tabela ANEXO A.

Serie CVS: Tipo viga-pilar com relação 1 1,5 f

b d

relacionados na tabela ANEXO A.

Serie VS: Tipo viga com relação 1,5 4 f

b d

relacionados na tabela ANEXO A. Serie PS: demais tipos que não estejam relacionados na tabela ANEXO A.

Serie PSM: perfis monossimétricos não relacionados na tabela ANEXO A.

A designação dos perfis soldados, é feita pela altura em milímetros (mm) e a massa aproximada em quilogramas por metro (kg/m).

Dimensões geométricas do Perfil Soldado:

Onde:

h

- altura do perfil.

bf

- largura da mesa.

d

- altura da alma.

tf

- espessura da mesa.

tw

- espessura da alma.

(33)

2.4 Métodos numéricos para determinação do momento plástico em vigas hiperestáticas

Materiais trabalhando em regime elástico conduzem a um único diagrama de momentos.

Em contra partida, a determinação dos diagramas em regime plástico depende de seções que podem gerar rotulas plásticas, o que resulta em geral em cálculos por tentativas respeitando sempre as seguintes condições:

“a) As cargas aplicadas devem estar em equilíbrio com as solicitações internas.

b) Deve haver rotulas plásticas em numero suficiente para transformar a estrutura em uma cadeia cinemática.

c) O momento em qualquer seção não pode exceder o momento resistente plástico (Mp)”.(PFEIL e PFEIL, 2008, p.256).

(34)

Figura 2.3 – Calculo das solicitações de uma viga continua sujeita a uma carga uniformemente distribuída.

(35)

2.4.1 Método cinemático

Este método de análise de estrutura também conhecido como método dos mecanismos, é baseado no:

“Teorema de limite superior – A carga de ruptura, calculada supondo a transformação da estrutura em uma certa cadeia cinemática, será maior que ou igual a carga de ruptura verdadeira” (PFEIL e PFEIL, 2008, p.256).

Os valores são obtidos analisando todos os mecanismos de colapso plástico cinematicamente admissíveis, ou seja, determina-se as seções de prováveis formação de rótulas plásticas, onde utiliza-se o valor mínimo de colapso entre os mecanismos, sendo este o valor mínimo cinemático de ruptura maior ou igual a carga de ruptura real.

Este método não registra evolução das estruturas até o colapso já que a finalidade deste é determinar a menor carga de ruptura.

O método cinemático adota a seguinte seqüência de cálculo:

“a) Escolhem-se as seções de provável formação de rótulas plásticas (geralmente entre nós ou pontos de momento máximo)

b) Estudam-se as cadeias cinemáticas obtidas com essas rótulas, pesquisando a que conduz ao menor valor de carga de ruptura.

c) A menor carga determinada na alínea (b) é maior que ou igual à carga de ruptura real da estrutura.”(PFEIL e PFEIL, 2008, p.256).

Cálculo do diagrama plástico pelo método cinemático.

O mecanismo previsto está esquematizado na Fig. 2.3

O trabalho externo em um vão lateral é o produto das resultantes parciais



F

1

, F

2



da

(36)

Trabalho externo:

O trabalho interno pode ser tomado igual ao produto dos momentos nas rótulas plásticas

M

p pelas rotações das mesmas rótulas.

O trabalho interno nas artes não-plastificadas (trabalho elástico) pode ser desprezado em comparação com o trabalho plástico.

Trabalho interno:

Igualando-se as expressões dos trabalhos interno e externo, obtemos:

Para achar

x

_a ponto fazemos



0 dx

dM

_p

, chegando ao valor:

Substituindo o valor de

x



x

_a na equação de

M

_p encontramos:

2

2 )

(

)

(

)

(

2

2 2 1 1

x

ql

x

l

x

l

x

l

q

x

qx

F

























x

l

x

l

M

l

x

M

x

l

M

_P _P _P



















2 x

l

x

l

M

x

ql

_P











2 x

l

x

l

x

ql

M

_P









2 l

x

_a



0 ,

414

2

0858

,

0 ql

M

_P



(37)

2.4.2 Método estático

Este é o método de análise de estruturas baseado segundo o:

“Teorema do Limite inferior – A carga de ruptura, calculada supondo uma distribuição de momento (M<Mp), em equilíbrio com a carga, é menor que ou igual à carga de ruptura verdadeira.” (PFEIL; PFEIL, 2008, p.257).

Os valores de parâmetro da carga são estaticamente admissíveis, isso quer dizer, em qualquer seção de análise os esforços solicitantes são menores ou igual ao esforço plástico, desta forma, geram diagramas de esforços que equilibram o carregamento.

A análise estrutural deste método registra a evolução da estrutura desde 0 (zero) até o colapso, ou seja, da carga nula até a carga de colapso.

O método estático adota a seguinte seqüência de cálculo:

“a) escolhe-se um conjunto de momentos hiperestáticos nos nós. b) determinam-se os momentos totais (hiperestáticos+isostáticos).

c) igualam-se os momentos máximos aos momentos resistentes plásticos (Mp), em um número de seções (rótulas plásticas) suficiente para formar uma cadeira cinemática.

d) Determina-se a carga de ruptura correspondente aos momentos de alínea(c)

e) Repetem-se os cálculos com outros conjuntos de momentos hiperestáticos, chegando-se a outros valores de carga de ruptura.

f) O maior valor da carga de ruptura, determinado na alínea(e), é menor que ou igual à carga de ruptura real da estrutura” (PFEIL e PFEIL, 2008, p.257).

(38)

Cálculo do diagrama plástico pelo método estático:

Consideremos o primeiro tramo à esquerda da Fig. 2.3 com apoio simples em 0 e rótula plástica em 1.

A uma distância x do apoio, o momento positivo é dado pela expressão:

Para o ponto de momento máximo fazemos



0 dx

dM

_p

, obtendo:

Quando se forma a rótula plástica no ponto a, temos

M

x



M

p, resulta:

Resolvendo a equação, obtemos:

Substituindo o valor acima na expressão de x, obtemos:

x

l

M

x

q

x

ql

M

P x





2

2 2

0858

,

0 ql

M

_P



l

x

_a



0 ,

414 ql

M

l

x

_a





P

2 











































ql

M

l

M

ql

M

l

q

ql

M

l

ql

M

P P P P a xmáx

2

 

0

4

1

3

2

8

2 2 2 2 2















M

ql

M

ql

M

P P _P _P P

(39)

2.4.3 Regra dos três momentos

O Engenheiro Francês Clapeyron expôs em 1857 pela primeira vez a equação fundamental dos três momentos. A equação dos Três Momentos é aplicada a três pontos qualquer de uma viga, sempre que não exista descontinuidade, tal como articulações, nesta parte da estrutura.

A regra dos Três Momentos consiste em uma fórmula que relaciona os momentos em no mínimo três apoios de uma viga contínua. Com a aplicação direta desta fórmula, todo o processo de determinação dos momentos é simplificado.

Ao aplicar esta formula em três pontos consecutivos de uma estrutura o segundo membro da equação resultará em zero ou movimento conhecidos, obtendo assim uma equação que como incógnitas os apoios, desta forma temos um sistema com equações independentes. (Pytel e Singer, 2008)

Formula da regra dos três momentos:

Onde: i

L

- largura do vão “i”.

i

I

- momento de inércia da barra “i”. i

M

- momento no apoio “i” sendo

M

i



0

.

2 1







- fatores de carga. 1 1 1 1 1 1 1 1

2

       





















i i i i i i i i i i i i i i i

I

M

I

L

M

I

L

I

L

M

I

L





(40)

Fator de carga para carregamentos distribuídos:

Onde:

l

- largura da carga distribuída.

q

- carga distribuída.

Fator de carga para carregamentos concentrados no meio do vão:

Onde: i

L

- largura do vão “i”.

P

- carga concentrada.

4 ,

3

ql

i i







8

3 ,

2 i i i

PL







(41)

Exemplo de aplicação para estruturas com 2, 3 e 4 vãos.

Analisando uma viga com 2 vãos:

Figura 2.4 – Regras dos três momentos (2 vãos).

Os momentos que deveram ser determinados são:

Figura 2.5 – Momentos determinados (2 vãos).

No caso de uma estrutura de 2 vãos o

M

0 e o

M

2 são iguais a “0” desta forma a

(42)

Desta forma para i=1:

A determinação do

M

₁ é direta.



















































2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 1

2 I

I

M

I

L

M

I

L

I

L

M

I

(43)

M

₀ e o

M

₃ são iguais a “0” desta a forma a aplicação da Regra dos três momentos é em i=1 e em i=2.

Para i=1:

Figura 2.8 – Regras dos três momentos (3 vãos i=1).

Com esta formulação temos como incógnitas o

M

₁ e o

M

₂ sendo necessário a formulação em i=2.



















































2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 1

2 I

I

M

I

L

M

I

L

I

L

M

I

(44)

Para i=2:

Da mesma forma que a formulação anterior, temos como incógnitas o

M

₁ e o

M

₂ e assim desenvolvendo uma matriz numérica com as duas formulas determinamos os momentos

M

₁ e

M

₂.



















































3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 3 3 2 2 1 2 2

2 I

I

M

I

L

M

I

L

I

L

M

I

(45)

M

0 e o

M

4 são iguais a “0” desta a forma a

(46)

Para i=1:

M

₁ e o

M

₂ sendo necessário a formulação em i=2.



















































2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 1

2 I

I

M

I

L

M

I

L

I

L

M

I

(47)

Para i=2:

M

₁, o

M

₂ e

M

₃ sendo necessário a formulação em i=3.



















































3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 3 3 2 2 1 2 2

2 I

I

M

I

L

M

I

L

I

L

M

I

(48)

Para i=3:

Portanto:

Para a formulação de i=1 temos como incógnitas o

M

1 e o

M

2 e

M

3



0 M

1, o

M

2 e

M

3_.

M

₂ e o

M

₃ e

M

₁



0

E assim, aplicando em uma matriz numérica as três formulações determinamos os momentos

M

₁,

M

₂ e

M

₃_.



















































4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 4 4 3 3 2 3 3

₂

I

M

I

L

M

I

L

I

L

M

I

(49)

3 MÉTODO DE TRABALHO

Serão analisadas em uma rotina de cálculos vigas hiperestáticas com 2, 3 e 4 vãos, onde serão traçados os diagramas de esforços de momentos fletores e determinados os momentos plásticos pelo método cinemático e pelo método estático.

Com estes dados serão dimensionados os perfis destas vigas pelo regime elástico e pelo regime plástico.

Por fim comparar os resultados obtidos percentualmente para constatação da economia alcançada.

(50)

4 MATERIAIS E FERRAMENTAS

Será criada uma rotina de cálculo em Excel para uma viga “I” de 2, 3 e 4 vãos, nesta rotina serão colocados os cálculos das reações, momentos positivos e o cálculo dos momentos negativos através da regra dos três momentos.

Com esta rotina montada entramos com os dados da viga em estudo, cargas aplicadas e comprimento dos vãos, assim são obtidas as reações de apoio e os momentos positivos e negativos, com estes dados chegam-se aos diagramas de momentos fletores.

(51)

5 ESTUDO DE CASO

Neste estudo será demonstrado o cálculo de vigas hiperestáticas em regime elástico e em regime plástico.

Para o cálculo em regime elástico, utiliza-se a regra dos três momentos (demonstrado no item 2.4.3) para a determinação dos momentos negativos atuantes, com isso é possível determinar primeiramente os

M

₁, e para a determinação de

M

₁

é necessário desenvolver um sistema de 2 equações e 2 incógnitas as quais são

1

M

e

M

₂, com isso, o outro momento negativo

M

₂ também é determinado. Com a regra dos três momentos é possível determinar todos os momentos negativos em vigas hiperestáticas, não havendo nenhuma restrição quanto a quantidade de vãos.

Conhecendo os momentos negativos é possível encontrar as reações de apoio através da divisão de cargas em cada apoio, ou seja, mesmo método de cálculo de uma viga isostática em cada vão, devendo acrescentar também o efeito dos momentos negativos pelo método dos binários em cada apoio.

Com os momentos negativos e as reações de apoio, bem como as demais cargas atuantes, torna-se possível traçar o gráfico da cortante em cada seção, bem como determinar os momentos positivos em cada seção.

Já em regime plástico o objetivo é determinar

M

p (Momento de Plastificação), sendo que, para tal, utiliza-se o Método Cinemático e Método Estático. (demonstrados nos itens 2.4.1 e 2.4.2, respectivamente), e para isso antes é necessário determinar o momento

M

x, que é o momento positivo a uma distância

x

em relação ao apoio, visto que para a obtenção do mesmo devem-se derivar as variáveis envolvidas na formulação, e substituir a distância

x

pela

x

_a (ponto de formação de rótula plástica), após esse procedimento é possível determinar o momento de plastificação

M

p, o procedimento de cálculo em regime plástico será demonstrado a seguir no item 5.2.3.

(52)

Para o cálculo de cargas, forças e momentos atuantes, foi utilizada a ferramenta computacional Microsolft Excel, a qual será apresentada para a viga de 2 vãos, 3 vãos e 4 vãos, sendo que para a obtenção dos resultados das variáveis, tais como: momentos atuantes, reações de apoio, força cortante é necessário informar alguns dados, tais como: cargas, vãos e seção.

(53)

5.1 Exemplo numérico I - 2 vãos

O caso estudado será uma viga hiperestática de 2 vãos com carga distribuída uniforme e seção “I” de mesmas dimensões em ambos os vãos:

5.1.1 Traçado do diagrama do esforço de momento fletor elástico.

Utilizando-se do Excel e lançando os dados de entrada calculamos os seguintes valores:

Figura 5.1 – Estudo de caso: Viga de 2 vãos.

Tabela 5.1 – Estudo de caso: Viga de 2 vãos

DADOS RESULTADOS CARREGAMENTOS MOMENTOS q1 30 kN/m M1 375,00 kN*m q2 30 kN/m MOMENTOS POSITIVOS COMPRIMENTOS Ma 210,94 kN*m L1 10 m Mb 210,94 kN*m L2 10 m REAÇÕES DE APOIO

SEÇÃO "I" RyA 112,50 kN VS 1 600 x 95 RyB 375,00 kN VS 2 600 x 95 RyC 112,50 kN

(54)

Sendo os resultados obtidos:

(55)

5.1.2 Determinação do momento plástico via Método Cinemático

Analisando-se o trabalho externo da viga:

E o trabalho interno:

Igualando-se as duas expressões temos uma equação geral do Momento plástico:

Para achar

x

a ponto fazemos



0 dx

dM

_p

, chegando ao valor:

Desta forma temos que:

Substituindo:

2

2 )

(

)

(

)

(

2

2 2 1 1

x

ql

x

l

x

l

x

l

q

x

qx

F

























x

l

x

l

M

l

x

M

x

l

M

_P _P _P



















2 l

x

_a



0 ,

414 x

l

x

l

x

ql

M

_P







2 m

x

_a



0 ,

414 

10 

_a



4 ,

14 







M

kN

m

M

_P

_



_p





































257 ,

36

14 ,

4

10

14 ,

4

10

2

14 ,

4

10

30

(56)

5.1.3 Determinação do momento plástico via Método Estático

A uma distancia “x” do apoio, o momento positivo é dado pela expressão;

Derivando-se a expressão obtemos o ponto do momento máximo:

substituindo x por x temos: a

Quando se forma a rotula plástica no ponto “a”, temos M_a M_p resulta:

x

l

M

x

q

x

ql

M

_x





p

2

















l

q

l

lqx

M

l

q

l

lqx

M

p p

2

0

2

2 ₂

















lq

q

l

M

l

x

q

l

M

l

lqx

_p p

2

2 2

ql

M

l

x

_a





p

2 











































ql

M

l

M

ql

M

l

q

ql

M

l

ql

M

_xmáx _a p p p p

2

 

















0

4

1

3

2

8

2 2 2 2 2 2

ql

M

ql

M

ql

M

_p p p _p _p





2 2 3

0858

,

0

2

3

2 ql

M

ql

M

_p









_p



(57)

Aplicando a formula no exemplo numérico de 2 vãos temos que:

Figura 5.3 – Viga de 2 vãos – diagrama do esforço de momento fletor plástico.





_M

_kN

_m

M

_p









_p



257 ,

36 

2

10

30

3

2

3 2

(58)

5.1.4 Dimensionamento do Perfil via regime elástico

O dimensionamento de estruturas metálicas é determinado pela relação entre o momento máximo solicitante e o modulo de resistência do material, esta, varia conforme a seção do perfil metálico:

Onde: K

M

- Momento máximo solicitante característico.

W

- Modulo de resistência elástica. K

f

- Resistência característica.

O próximo passo é determinar os valores de calculo, majorando-se o Momento máximo característico e minorando-se o valor de resistência característica por coeficientes de segurança:

Onde: yd

M

- Momento máximo solicitante de calculo.



- Coeficientes de segurança.

yd

f

- Resistência característica de calculo.

k K

W

f

M





f K yd

M







m K yd

f





(59)

Com isto, aplicando estes valores temos que:

Por tanto para o exemplo numérico I – 2 vãos temos:

Calculado o valor de We utilizando-se da tabela do ANEXO A determinamos o perfil 600x95 para esta estrutura.

yd yd

f

M

W



kNcm

M

_yd



37500

,

00 

1 ,

4 

52500

,

00

2

/

74 ,

21

15 ,

1

25 cm

kN

f

_yd



kNcm

kNm

M

_K



375 ,

00 

100 

37500

,

00

3

90 ,

2414

74 ,

21

00 ,

52500

cm

W



(60)

5.1.5 Dimensionamento do Perfil via regime plástico

O dimensionamento de estruturas metálicas pelo regime plástico é determinado pela relação entre o momento plástico solicitante e o modulo de resistência do material, esta, varia conforme a seção do perfil metálico:

Onde: p

M

- Momento plástico solicitante característico.

Z

- Modulo de resistência plástica. K

f

- Resistência característica.

O próximo passo é determinar os valores de cálculo, majorando-se o Momento plástico característico e minorando-se o valor de resistência característica por coeficientes de segurança:

Onde: pd

M

- Momento plástico solicitante de cálculo.



- Coeficientes de segurança.

yd

f

- Resistência característica de cálculo.

k p

Z

f

M





f p pd

M







m K yd

f





(61)

Com isto, aplicando estes valores temos que:

Por tanto para o exemplo numérico I – 2 vãos temos:

Relacionando os módulos de resistência Z e W temos o Fator de Forma ou Coeficiente de forma  que por norma não pode ultrapassar 1,25.

Para perfis “I” o Fator de Forma é de aproximadamente 1,12, desta forma temos que:

Utilizando-se da tabela do ANEXO A determinamos o perfil 400x78 para esta estrutura. yd pd

f

M

Z



kNcm

M

_yd



25736

,

00 

1 ,

4 

36030

,

40

2

/

74 ,

21

15 ,

1

25 cm

kN

f

_yd



kNcm

KNm

M

_p



257 ,

36 

100 

25736

,

00

3

33 ,

1657

74 ,

21

40 ,

36030

cm

Z



25 ,

1 



W

Z



3

76 ,

1479

33 ,

1657

12 ,

1 W

cm

W





(62)

5.1.6 Comparação dos resultados

O regime elástico obteve o perfil com peso de 95 kg/m e o regime plástico obteve perfil com peso de 78 kg/m, com isso nota-se uma redução em peso de 17,89%.

(63)

5.2 Exemplo numérico II - 3 vãos

O caso estudado será uma viga hiperestática de 3 vãos com carga distribuída uniforme e seção “I” de mesmas dimensões em todos os vãos:

5.2.1 Traçado do diagrama do esforço de momento fletor

Utilizando-se do Excel e lançando os dados de entrada calculamos os seguintes valores:

Figura 5.4 – Estudo de caso: Viga de 3 vãos.

DADOS RESULTADOS CARREGAMENTOS MOMENTOS q1 30 kN/m M1 - 300,00 kN*m q2 30 kN/m M2 - 300,00 kN*m q3 30 kN/m MOMENTOS POSITIVOS COMPRIMENTOS Ma 240,00 kN*m L1 10 m Mb 75,00 kN*m L2 10 m Mc 240,00 kN*m L3 10 m REAÇÕES DE APOIO

SEÇÃO "I" RyA 120,00 kN VS 1 500 x 86 RyB 330,00 kN VS 2 500 x 86 RyC 330,00 kN VS 3 500 x 86 RyD 120,00 kN

(64)