CDI-II. Limites. Continuidade

(1)

Instituto Superior T´ecnico Departamento de Matem´atica

Seçcão de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires

CDI-II

Limites. Continuidade

1 Introdu¸

c˜

ao

O assunto central do Cálculo em Rn_{é o estudo de fun¸cões cujos dom´ınios são}

subconjun-tos de Rn_{, ou seja, fun¸cões de várias variáveis (c.f. [2, 3, 1]). Nas aplica¸cões, estas fun¸cões}

desempenham papéis muito importantes no estabelecimento de modelos matemáticos de fenómenos f´ısicos, qu´ımicos, económicos, financeiros e outros.

As grandezas f´ısicas tais como a densidade de massa, a temperatura, a pressão e o volume, também designadas por grandezas escalares, são matematicamente traduzidas em fun¸cões que dependem de várias outras grandezas, por exemplo, as coordenadas que in-dicam a posi¸cão dos objectos em estudo e o instante de observa¸cão ou medi¸cão. Neste caso temos fun¸cões cujos dom´ınios são subconjuntos de Rn _{e contradom´ınios em R a que}

chamaremos fun¸c˜oes escalares.

As grandezas tais como a velocidade e a acelera¸cão do movimento de uma part´ıcula, a for¸ca de interaçcão entre corpos com massa ou carga eléctrica são matematicamente traduzidas em fun¸cões de várias outras variáveis e assumindo valores que são vectores. Temos assim as chamadas fun¸cões vectoriais.

Portanto, em geral estamos interessados em estudar fun¸c˜oes definidas em Rn_{com valores}

em Rm_.

Tal como para o estudo de fun¸cões reais de variável real, é necesário ter presente a estru-tura algébrica e topológica de Rn_{. Os conceitos de limite, continuidade, diferenciabilidade}

e integrabilidade dependem crucialmente dessas estruturas.

Assim, Rn _{ser´a o produto cartesiano de n factores todos iguais a R, ou seja,}

Rn _{= R}_{× R × · · · × R,}

munido da sua estrutura vectorial usual resultante da soma de vectores e multiplica¸cão por escalares. Os elementos ou vectores x ∈ Rn _{serão também identificados pelas respectivas}

componentes na base can´onica, ou seja,

x = (x1, x2,· · · , xn) ; xk ∈ R ; k = 1, 2, . . . , n.

Os casos muito importantes nas aplica¸cões são R2 _{e R}3 _{cujos vectores serão designados}

(2)

2 Norma. Distˆ

ancia. Bola

Tal como em R, o conceito essencial de limite de uma sucessão depende da no¸cão de distância entre pontos. Em R esse papel é desempenhado pelo conceito de módulo, isto é,

|x| = (

x, se x_{≥ 0} −x, se x < 0.

Em Rn_{, o conceito fundamental ´e o de norma de um vector:} _kxk.

Defini¸c˜ao 1 Dado um vector x_{∈ R}n_{, a respectiva norma ´e o escalar}

k x k= q

x2

1+ x22 +· · · + x2n.

Para os dois casos importantes R2 _{e R}3_{, teremos}

1. R2 : k (x, y) k=px2_{+ y}2

2. R3 : k (x, y, z) k=px2_{+ y}2_{+ z}2

Defini¸c˜ao 2 1. Chama-se distˆancia entre dois pontos x e y em Rn _{ao escalar}

k x − y k=p(x1− y1)2 + (x2− y2)2+· · · + (xn− yn)2.

2. Chama-se bola de centro num ponto a∈ Rn _{e raio R ao conjunto dado por}

BR(a) ={x ∈ Rn:k x − a k< R}

Na figura(1) est´a representada uma bola de raio R e centro no ponto (a, b) em R2_.

3 Interior, Exterior e Fronteira

Dado um conjunto D_{⊂ R}n _{e tendo a no¸c˜ao de bola centrada num ponto iremos definir}

(3)

0 x

y

(a, b) (x, y) R

Figura 1: R2: Bola centrada em (a, b) e raio R

Defini¸c˜ao 3 i) Diz-se que a_{∈ R}n _{´e um ponto interior a D se} _∃

R>0 : BR(a)⊂ D.

ii) Diz-se que a_{∈ R}n _{´e um ponto exterior a D se} _∃

R>0 : BR(a)⊂ Dc.

iii) Um ponto a∈ Rn _{diz-se um ponto fronteiro de D se}

∀R>0 : BR(a)∩ D 6= ∅ ∧ BR(a)∩ Dc 6= ∅.

Ao conjunto de pontos interiores chama-se interior de D e ser´a designado pelo s´ımbolo int(D).

Ao conjunto de pontos exteriores chama-se exterior de D e ser´a designado pelo s´ımbolo ext(D).

Ao conjunto de pontos fronteiros chama-se fronteira de D e ser´a designado pelos s´ımbolos front(D) ou ∂(D).

Exemplo 3.1 Consideremos o conjunto D ={(x, y) ∈ R2 _{: x > 0}_{} (ver figura(2)). Ent˜ao,}

- int(D) =_{{(x, y) ∈ R}2 : x > 0_} - ext(D) ={(x, y) ∈ R2 _{: x < 0}_}

(4)

x y

x > 0

0

Figura 2: Interior, Exterior e Fronteira de D_{⊂ R}2

Defini¸c˜ao 4 a) Um connunto D _{⊂ R}n _{diz-se aberto se D = int(D).}

b) Um connunto D ⊂ Rn _{diz-se fechado se D = int(D)}_{∪ ∂D.}

c) Ao conjunto D = int(D)_{∪ ∂D chama-se fecho ou aderˆencia do conjunto D.}

Note-se que se um ponto pertence à fronteira de um conjunto D, por defini¸cão, também pertence à fronteira do complementar de D.

Note-se tamb´em que Rn= int(D)_{∪ ∂D ∪ ext(D).}

Portanto, é claro que um conjunto é aberto se e só se o respectivo complementar for fechado.

4 Sucess˜

oes em R

n

Uma sucessão (xk) é uma fun¸cão N∋ k 7→ xk∈ Rn, que a cada k∈ N faz corresponder

um vector xk= (xk1, xk2, . . . , xkn)∈ R n_.

Diz-se que uma sucess˜ao (xk) converge para um ponto a se dado δ > 0 existe uma

ordem k0 a partir da qual os termos da sucess˜ao se encontram na bola Bδ(a), ou seja

(5)

Neste caso, escreve-se lim

k→∞xk = a ou xk → a.

Seja (x, y) ∈ R2_{. Ent˜ao,}

(| x | + | y |)2 ₌_{| x |}2 ₊_{| y |}2 ₊₂ _{| x || y | ≥ | x |}2 ₊_{| y |}2_{≥ | x |}2

e, tomando a raiz quadrada nesta sequˆencia de desigualdades, obtemos, | x | + | y | ≥ p| x |2 ₊_{| y |}2 _{≥ | x |,}

ou seja,

| x | + | y | ≥ k (x, y) k ≥ | x | . Do mesmo modo, obtemos

| x | + | y | ≥ k (x, y) k ≥ | y | . ´

E claro que para x = (x1, x2,· · · , xn)∈ Rn teremos

| x1 | + | x2 | + · · · + | xn| ≥ k x k ≥ | xj |, ∀j = 1, 2, . . . , n. (1)

Seja (xk) uma sucess˜ao convergente para a = (a1, a2,· · · , an). Usando a desigualdade

(1), obtemos

| xk1 − a1 | + | xk2 − a2 | + · · · + | xkn− an| ≥ k xk− a k ≥ | xkj − aj |, ∀j = 1, 2, . . . , n.

Assim, conclu´ımos que a sucessão (xk) converge para a se e só se cada uma das sucessões,

ditas componentes ou coordenadas, (xk,j), converge par aj, em que j = 1, 2, . . . , n. Ou seja

xk→ a ⇔ xk,j → aj, j = 1, 2, . . . , n

Note-se que as sucessões componentes são sucessões de termos em R.

Exemplo 4.1 1. lim k→∞ 1 k, 1 + e −k = (0, 1) 2. lim k→∞ 1 k, 1 + e −k , 3, 2 1 + k2 = (0, 1, 3, 0) 3. A sucess˜ao lim k→∞ 1 k, 2 k

não é convergente porque a segunda componente não é uma sucessão convergente.

A aderˆencia de um subconjunto de Rn _{pode ser caracterizada recorrendo a sucess˜oes}

convergentes.

Seja D _{⊂ R}n _{e a} _{∈ int(D). Seja B}

R1(a) ⊂ D de acordo com a defini¸c˜ao de interior de

D e seja x1 ∈ BR1(a). Tome-se R2 < R1

(6)

0 x y

Figura 3: Constru¸c˜ao de uma sucess˜ao convergente

Tome-se R3 < R₂2. ´E claro que BR3(a) ⊂ BR2(a). Seja x3 ∈ BR3(a). Deste modo, podemos

construir uma sucess˜ao (xk) de termos em D, tal como se ilustra na figura (3).

Note-se que _{k x}k− a k<

R1

k , ou seja, xk → a.

Do mesmo modo se pode construir uma sucess˜ao (xk) de termos em D tal que xk→ a

para o caso em que a_{∈ ∂D.}

Por outro lado, se (xk) for uma sucess˜ao convergente, de termos em D, o respectivo

limite não poderá encontrar-se no exterior de D, ou seja, só poderá estar na aderência de D. Note-se que centrada num ponto exterior existe uma bola que não intersecta D.

Assim, a ∈ D se e s´o se for limite de uma sucess˜ao de termos em D.

Portanto, um conjunto D será fechado se e só se os limites das suas sucessões convergentes estiverem em D.

5 Fun¸

c˜

oes em R

n

5.1 Exemplos

Em geral, as fun¸c˜oes ser˜ao do tipo f : D ⊂ Rn _{→ R}m _{em que D designa o respectivo}

dom´ınio. Apresentam-se alguns exemplos ilustrativos dos v´arios tipos de fun¸c˜oes impor-tantes neste contexto.

i) Campo vectorial: F : R2_{\ {(0, 0)} → R}2 _{definido por}

F (x, y) = − y (x2_{+ y}2₎, x (x2_{+ y}2₎ . ii) Campo vectorial: F : R3_{\ {(0, 0, 0)} → R}3 _{definido por}

F (x, y, z) = (x, y, z) (x2_{+ y}2_{+ z}2₎3/2.

(7)

iii) Campo escalar: φ : R3_{\ {(0, 0, 0)} → R definido por}

φ(x, y, z) =₋ 1

px2 _{+ y}2_{+ z}2.

iv) Campo escalar: φ : R2_{\ {(0, 0)} → R dado por}

φ(x, y) = xy x2_{+ y}2.

v) Traject´oria ou caminho: γ : R_{→ R}3 _{dada por}

γ(t) = (cos t, sen t, t).

vi) Parametriza¸c˜ao de um parabol´oide: g : R2 _{→ R}3 _{definida por}

g(x, y) = (x, y, x2+ y2).

Para uma fun¸c˜ao f : Rn_{→ R}m _{usaremos a nota¸c˜ao seguinte:}

f (x) = f (x1, x2,· · · , xn) = (f1(x), f2(x),· · · , fm(x))

em que cada fun¸cão componente fj : D ⊂ Rn→ R é uma fun¸cão escalar,

fj(x) = fj(x1, x2,· · · , xn) , j = 1, 2, . . . , m.

5.2 Fun¸

c˜

oes Cont´ınuas e Sucess˜

oes

A no¸cão de fun¸cão cont´ınua desempenha um papel crucial nas aplica¸cões. Muitas gran-dezas f´ısicas são traduzidas matematicamente em termos de fun¸cões cont´ınuas.

Defini¸cão 5 Uma fun¸cão f : D_{⊂ R}n _{→ R}m _{é cont´ınua em a} _{∈ D se}

∀ǫ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D, k x − a k< δ ⇒k f(x) − f(a) k< ǫ em que _{k x − a k ´e calculada em R}n _e _{k f(x) − f(a) k ´e calculada em R}m_.

Por outras palavras, dada uma bola de Rm_{, de raio ǫ centrada em f (a), ou seja, B}

ǫ(f (a)),

existe uma bola, de Rn_{, de raio δ centrada em a, B}

δ(a) tal que se x ∈ Bδ(a)∩ D ent˜ao

(8)

Rn Rm a f (a) δ ǫ f x f (x)

Figura 4: Defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua

Seja (xk) uma sucess˜ao em D tal que xk → a. Ent˜ao existe um inteiro positivo k0 tal

que _{k x}k− a k< δ para todo k > k0. Sendo f cont´ınua em a, teremos k f(xk)− f(a) k< ǫ,

ou seja, f (xk)→ f(a).

Por outro lado, se f n˜ao fosse cont´ınua em a existiria um ǫ > 0 tal que, para qualquer δ > 0 haveria um ponto x_{∈ D verificando}

k x − a k< δ e k f(x) − f(a) k ≥ ǫ Tomando sucessivamente δ = 1

k, k∈ N, ter´ıamos uma sucess˜ao (xk) tal que

k xk− a k<

1

k e k f(xk)− f(a) k ≥ ǫ,

ou seja, xk → a mas a sucess˜ao (f(xk)) n˜ao seria convergente para f (a).

Assim, podemos concluir que uma fun¸c˜ao f : D _{⊂ R}n _{→ R}m _´_{e cont´ınua em} _a_{∈ D}

se e só se dada uma sucessão (xk) tal que xk → a, então f(xk)→ f(a).

Note-se que, tendo em conta a desigualdade (1), facilmente se conclui que uma fun¸cão f : D _{⊂ R}n _{→ R}m _{é cont´ınua em a} _{∈ D se e só se cada uma das fun¸cões componentes}

fj : D ⊂ Rn→ R, ∀j = 1, 2, . . . , m, for cont´ınua em a ∈ D.

Portanto, em termos de continuidade, basta estudar as fun¸c˜oes escalares.

5.3 Continuidade e Limite

Seja f : D ⊂ Rn _{→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua e a ∈ D = int(D) ∪ ∂(D).}

Diz-se que f (x) tende para b se e s´o se para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que sempre que x_{∈ D e k x − a k < δ se tenha k f(x) − b k < ǫ.}

Neste caso escrevemos lim

x→af (x) = b.

Portanto, a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a se e só se lim

x→af (x) = f (a).

Assim, tendo em conta a no¸c˜ao de limite, facilmente se verificam as propriedades se-guintes das fun¸c˜oes cont´ınuas.

(9)

a) A fun¸cão αf é cont´ınua. b) A fun¸cão f + g é cont´ınua.

c) A fun¸c˜ao f g ´e cont´ınua.

d) A fun¸c˜ao f /g, sendo g 6= 0, ´e cont´ınua.

e) Seja f : A_{⊂ R}n_{→ R}m _{uma fun¸c˜ao cont´ınua em a}_{∈ A e g : B ⊂ R}m _{→ R}p _{uma fun¸c˜ao}

tal que f (A)_{⊂ B, cont´ınua em f(a). Ent˜ao, a fun¸c˜ao composta g ◦ f : A ⊂ R}n_{→ R}p

´e cont´ınua em a.

Exemplo 5.1 A fun¸c˜ao definida por f (x, y) = x ´e cont´ınua em R2_{. De facto,}

| f(x, y) − f(a, b) |=| x − a | ≤p(x − a)2_{+ (y}_{− b)}2 ₌_{k (x − a, y − b) k}

e, portanto, dado ǫ > 0, com δ = ǫ temos

k (x − a, y − b) k< δ ⇒| f(x, y) − f(a, b) |< ǫ, ou seja,

lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) = f (a, b) = a.

Do mesmo modo se vê que a fun¸cão f (x, y) = y é cont´ınua em R2_.

Em geral, a fun¸c˜ao f (x) = kk, k = 1, 2, . . . , n ´e cont´ınua em Rn.

Exemplo 5.2 Seja f (x, y) = xy px2_{+ y}2.

i) Pelas propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas f ´e cont´ınua no seu dom´ınio D = R2_{\{(0, 0)}.}

ii) A fronteira de D ´e o conjunto {(0, 0)}. Vamos ver que f pode ser prolongada por continuidade `a origem. De facto, para y = mx, temos

lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = limx→0f (x, mx) = limx→0

mx2

x√1 + m2 = limx→0

mx √

1 + m2 = 0,∀m ∈ R.

Assim, existe um candidato a limite. Usando a desigualdade (1), temos | f(x, y) |=| xy px2 _{+ y}2 | ≤ | x || y | k(x, y)k ≤ k(x, y)k2 k(x, y)k =k(x, y)k. Portanto, | f(x, y) | ≤ k(x, y)k, ou seja, lim (x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.

(10)

Exemplo 5.3 Seja f (x, y) = xy x2_{+ y}2.

i) Pelas propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas f ´e cont´ınua no seu dom´ınio D = R2_{\{(0, 0)}.}

ii) A fronteira de D é o conjunto _{{(0, 0)}. Vamos ver que f não pode ser prolongada por} continuidade à origem. De facto,

f (x, x) = x 2 2x2 = 1 2 f (x,_{−x) = −} x 2 2x2 =− 1 2 e, portanto, para y = x temos

lim (x,y)→(0,0)f (x, y) = limx→0f (x, x) = 1 2 e para y =_−x, lim (x,y)→(0,0)f (x, y) = limx→0f (x,−x) = − 1 2,

ou seja, a fun¸cão f não pode ser prolongada por continuidade à origem.

Exemplo 5.4 Seja g(x, y) = x

2_y

x2_{+ y}2.

i) Pelas propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas g ´e cont´ınua no seu dom´ınio D = R2_{\{(0, 0)}.}

ii) A fronteira de D ´e o conjunto {(0, 0)}. Vamos ver que g pode ser prolongada por continuidade `a origem. De facto, para y = mx, temos

lim

(x,y)→(0,0)g(x, y) = limx→0g(x, mx) = limx→0

mx

1 + m2 = 0,∀m ∈ R.

Portanto, lim

(x,y)→(0,0)g(x, y) = 0 desde que este limite seja calculado segundo qualquer

linha recta que passa pela origem. Este facto n˜ao garante que o limite exista mas, se existir, dever´a ser este mesmo.

Vamos ver, recorrendo `a defini¸c˜ao, que de facto temos lim

(x,y)→(0,0)g(x, y) = 0.

Usando a desigualdade (1), ou seja, x2 _{≤ x}2_{+ y}2 _; _{| y |≤}_px2_{+ y}2_{, temos}

| g(x, y) |=| x 2_y x2_{+ y}2 | ≤ x2 _{| y |} x2_{+ y}2 ≤ (x2_{+ y}2_)px2 _{+ y}2 x2_{+ y}2 ≤px2+ y2 =k (x, y) k .

(11)

Portanto,

| g(x, y) | ≤ k (x, y) k, ou seja,

lim

(x,y)→(0,0)g(x, y) = 0.

Exemplo 5.5 Seja h(x, y) = sen(x

2_{+ y}2₎

x2_{+ y}2 .

i) Pelas propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas h ´e cont´ınua no seu dom´ınio D = R2_{\{(0, 0)}.}

Note-se que h é a composi¸cão de fun¸cões cont´ınuas

R2 _→ R _→ R

(x, y) _{7→ x}2_{+ y}2 _7→ sen(x2+ y2)

x2_{+ y}2

ii) Dado que lim

r→0

sen r

r = 1, teremos (x,y)→(0,0)lim h(x, y) = 1.

Exemplo 5.6 Seja f (x, y) = x

3_y

x6_{+ y}2.

ii) Para y = mx temos lim

mx2

x4 _{+ m}2 = 0, ∀m ∈ R.

Fazendo x = 0 temos f (0, y) = 0 e, portanto, segundo todas as linhas rectas que passam pela origem o limite ´e sempre o mesmo e poder´ıamos pensar que o limite

lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) existe.

No entanto, fazendo y = x3 _obtemos

f (x, x3) = x

6

2x6 =

1 2 e, portanto, o limite n˜ao existe.

Exemplo 5.7 Seja f (x, y) = x

3_y

(12)

ii) A fronteira de D ´e o conjunto _{{(0, 0)}. Vamos ver que f pode ser prolongada por} continuidade `a origem. De facto, para y = mx, temos

lim

mx4

x2_{+ mx}4 = lim_x→0

mx2

1 + mx2 = 0, ∀m ∈ R.

´

E claro que f (0, y) = 0 e, portanto, lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0 desde que este limite seja

calculado segundo qualquer linha recta que passa pela origem. Este facto n˜ao garante que o limite exista mas, se existir, dever´a ser este mesmo.

Vamos ver, recorrendo `a defini¸c˜ao, que de facto temos lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.

Usando a desigualdade (1) e tendo em conta que x2_{+ y}4 _{≥ x}2_{, temos}

| f(x, y) |=| x 3_y x2_{+ y}4 | ≤ | x |3_{| y |} | x |2 =| x || y | ≤k (x, y) k 2 _. Portanto, | f(x, y) | ≤ k (x, y) k2, ou seja, lim (x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.

5.4 Conjuntos Fechados. Exemplos

Seja f : Rn_{→ R um campo escalar cont´ınuo, α ∈ R e consideremos o conjunto}

Aα ={x ∈ Rn: f (x) ≥ α}.

Seja (xk) uma sucess˜ao de termos em Aα e convergente para um ponto a. Dado que f

´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, teremos

lim

k→∞f (xk) = f (a)

e, sendo f (xk) ≥ α, necessariamente f(a) ≥ α, ou seja a ∈ Aα.

Portanto, o conjunto Aα ´e fechado.

Do mesmo modo se mostra que os conjuntos da forma {x ∈ Rn _{: f (x)} _{≤ α}}

s˜ao tamb´em fechados.

Aos conjuntos da forma _{{x ∈ R}n : f (x) = α_{} d´a-se o nome de conjuntos de n´ıvel α da} fun¸c˜ao escalar f.

(13)

Assim, os conjuntos de n´ıvel de uma fun¸cão escalar cont´ınua são fechados. Sabendo que o complementar de um aberto é um fechado, conclu´ımos que os conjuntos da forma

{x ∈ Rn : f (x) > α_} ou da forma

{x ∈ Rn _{: f (x) < α}_}

s˜ao abertos.

O gráfico de uma fun¸cão cont´ınua f : Rn _{→ R é um conjunto fechado em}

Rn+1_.

De facto, o gráfico da fun¸cão f é o conjunto

G(f ) ={(x1, x2, . . . , xn, xn+1)∈ Rn× R : xn+1 = f (x1, x2, . . . , xn)},

e definindo a fun¸c˜ao F (x1, x2, . . . , xn, xn+1) = xn+1− f(x1, x2, . . . , xn), fica claro que G(f )

é o conjunto de n´ıvel zero da fun¸cão cont´ınua F : Rn+1 _{→ R e, portanto, é um conjunto}

fechado.

***

Exemplo 5.8 Um C´ırculo em R2. Consideremos o conjunto definido por

C =_{{(x, y) ∈ R}2 : x2+ y2 _{≤ 1},}

ou seja, o c´ırculo de raio um e centro na origem de R2_{, representado na figura 5.}

x y

0

x2_{+ y}2 _{≤ 1}

Figura 5: C´ırculo definido por{(x, y) ∈ R2 _{: x}2_{+ y}2 _{≤ 1}}

Dado que a fun¸cão f (x, y) = x2_{+ y}2_{é cont´ınua em R}2_{, conclu´ımos que C é um conjunto}

(14)

Exemplo 5.9 Uma Esfera em R3.

Consideremos a superf´ıcie esf´erica de raio um e centro na origem de R3_{, representada}

na figura 6, e definida por

S = _{{(x, y, z) ∈ R}3 : x2+ y2+ z2 = 1_}. x y z z ρ ρ2_{+ z}2_{= 1}

Figura 6: Esfera definida por {(x, y, z) ∈ R3_{: x}2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1}_}

A superf´ıcie S pode ser vista de v´arias formas.

i) S =_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: x}2_{+ y}2_{+ z}2_{−1 = 0}, ou seja, ´e o conjunto de n´ıvel zero da fun¸c˜ao}

cont´ınua F : R3 _{→ R definida por F (x, y, z) = x}2_{+ y}2_{+ z}2_{− 1. Trata-se, portanto, de}

um conjunto fechado.

ii) Dado que x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= 1} _{⇔ x}2 _{+ y}2 _{= 1}_{− z}2_{, ent˜ao para cada valor de z temos}

uma circunferˆencia de raio√1_{− z}2 _{e centro em (0, 0, z), em que 0}_{≤ z ≤ 1. Trata-se,}

portanto, de uma coleçcão ou“pilha” de circunferências.

iii) Pode ser vista como o resultado de uma rota¸c˜ao, em torno do eixo Oz, de uma semi-circunferˆencia tal como se ilustra na figura (6).

De facto, definindo ρ =px2_{+ y}2_{, temos ρ}2_{+ z}2 _{= 1.}

Note-se que ρ representa a distˆancia de um ponto de coordenadas (x, y, z) ao eixo Oz, ou seja, ao ponto de coordenadas (0, 0, z). Portanto, fazendo rodar a semi-circunferˆencia em torno do eixo Oz obtemos a esfera.

Exemplo 5.10 Um Cilindro em R3_.

A superf´ıcie cil´ındrica de raio um e altura dois em R3_{, representada na figura 7, e}

definida por

C ={(x, y, z) ∈ R3 _{: x}2_{+ y}2 _{= 1 ;} _{−1 < z < 1},}

(15)

x y z 0 z ρ ρ = 1

Figura 7: Cilindro definido por {(x, y, z) ∈ R3 _{: x}2_{+ y}2 _{= 1 ;}_{−1 < z < 1}}

i) C =_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: x}2_{+ y}2 _{= 1 ;} _{−1 < z < 1}, ou seja, ´e o conjunto de n´ıvel um da}

fun¸c˜ao cont´ınua F : R3 _{→ R definida por F (x, y, z) = x}2 _{+ y}2_{. Trata-se, portanto, de}

um conjunto fechado.

ii) É uma coleçcão ou “pilha” de circunferências de raio um e centro em (0, 0, z) em que −1 < z < 1.

iii) Pode ser visto como o resultado de uma rota¸c˜ao, em torno do eixo Oz, de um segmento de recta vertical tal como se ilustra na figura (7).

De facto, definindo ρ =px2_{+ y}2_{, temos ρ = 1.}

Exemplo 5.11 Um Hiperbol´oide em R3.

O hiperbol´oide representado na figura 8, e definido por

C ={(x, y, z) ∈ R3 _{: x}2_{+ y}2 _{= 1 + z}2 _; _{−1 < z < 1},}

pode ser visto de v´arias maneiras.

i) C = {(x, y, z) ∈ R3 _{: x}2_{+ y}2 _{= 1 + z}2 _; _{−1 < z < 1}, ou seja, ´e o conjunto de n´ıvel}

um da fun¸c˜ao cont´ınua F : R3 _{→ R definida por F (x, y, z) = x}2_{+ y}2_{− z}2_{. Trata-se,}

portanto, de um conjunto fechado.

ii) É uma coleçcão ou “pilha” de circunferências de raio √1 + z2 _{e centro em (0, 0, z) em}

que_{−1 < z < 1.}

iii) Pode ser visto como o resultado de uma rota¸c˜ao, em torno do eixo Oz, de um ramo de hip´erbole tal como se ilustra na figura (8).

De facto, definindo ρ =px2_{+ y}2_{, temos ρ}2

(16)

x y z −1 1 1 z ρ ρ2_{− z}2 _{= 1}

Figura 8: Hiperbol´oide definido por _{{(x, y, z) ∈ R}3 : x2+ y2 = 1 + z2;_{−1 < z < 1}}

Exemplo 5.12 Um Parabol´oide em R3.

Seja S a superf´ıcie representada na figura 9 e definida por P =_{{(x, y, z) ∈ R}3 : z = x2 + y2_}. x y z z ρ z = ρ2

Figura 9: Parabol´oide definido por_{{(x, y, z) ∈ R}3_{: z = x}2_{+ y}2_}

i) P =_{{(x, y, z) ∈ R}3 : z = x2+ y2_{}, é o gráfico da fun¸cão cont´ınua f : R}2 _{→ R definida}

por f (x, y) = x2_{+ y}2_{. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado.}

ii) ´E uma “pilha” de circunferˆencias de raio √z e centro em (0, 0, z).

iii) É o resultado de uma rota¸cão, em torno do eixo Oz, de uma parábola tal como se ilustra na figura 9.

(17)

De facto, definindo ρ =px2_{+ y}2_{, temos z = ρ}2_. Exemplo 5.13 Um Cone em R3. x y z 0 z ρ z = ρ

Figura 10: Cone definido por_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: z =}p

x2_{+ y}2_}

i) O cone C = {(x, y, z) ∈ R3 _{: z =} _px2 _{+ y}2_{}, é gráfico da fun¸cão cont´ınua f : R}2 _{→ R}

definida por f (x, y) =px2 _{+ y}2_{. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado.}

ii) ´E uma “pilha” de circunferˆencias de raio z e centro em (0, 0, z).

iii) Pode ser visto como o resultado de uma rota¸c˜ao, em torno do eixo Oz, de uma recta tal como se ilustra na figura (10).

De facto, definindo ρ =px2_{+ y}2_{, temos z = ρ.}

Exemplo 5.14 Um Toro em R3_.

i) O toro T = {(x, y, z) ∈ R3 _{: (px}2_{+ y}2 _{− 3)}2 _{+ z}2 _{= 1}_{}, ´e o conjunto de n´ıvel zero}

da fun¸c˜ao cont´ınua F : R3 _{→ R definida por F (x, y, z) = (}_px2_{+ y}2 _{− 3)}2 _{+ z}2_{− 1.}

Trata-se, portanto, de um conjunto fechado.

ii) Pode ser visto como o resultado de uma rota¸c˜ao, em torno do eixo Oz, de uma cir-cunferˆencia tal como se ilustra na figura (11).

De facto, definindo ρ =px2_{+ y}2_{, temos (ρ}_{− 3)}2_{+ z}2 _{= 1.}

(18)

N S x y z z ρ 3 1 (ρ_{− 3)}2_{+ z}2_{= 1}

Figura 11: Toro definido por_{{(x, y, z) ∈ R}3 : (px2_{+ y}2_{− 3)}2_{+ z}2_{= 1}_}

5.5 Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass

Um conjunto A _{⊂ R}n _{diz-se limitado se existir uma bola centrada na origem que o}

contenha, ou seja,

∃R > 0 : A ⊂ BR(0) ⇔ ∃R > 0 ∀x ∈ A : k x k< R

Um conjunto A_{⊂ R}n _{diz-se compacto se for limitado e fechado.}

Exemplo 5.15 i) ´E claro que uma bola em Rn _{´e um conjunto limitado.}

ii) A superf´ıcie cil´ındrica (7) ´e um conjunto limitado porque, sendo x2 + y2 = 1 ; _{−1 < z < 1,}

teremos

x2+ y2+ z2 _{≤ 2,}

ou seja, est´a contida na bola de raio√2 e centro na origem. iii) O toro (11) ´e um conjunto limitado. De facto, sendo

(px2_{+ y}2_{− 3)}2_{+ z}2 _{= 1,}

´e claro que

2 _≤px2_{+ y}2 _{≤ 4 ; z}2

≤ 1, e, portanto,

x2+ y2+ z2 < 17.

(19)

´

E sabido que em R uma sucess˜ao limitada tem pelo menos uma subsucess˜ao convergente. Em Rn _{acontece o mesmo.}

Para vermos que assim ´e, consideremos apenas o caso de R2_{. Seja (x}

k, yk) uma sucess˜ao

limitada, ou seja,

∃R > 0 ∀k k (xk, yk)k ≤ R

e, sabendo que

| xk| ≤k (xk, yk)k,

a sucessão (xk) é limitada em R e, portanto, tem uma subsucessão convergente. Seja (xk′)

essa subsucess˜ao.

A sucessão (xk′, y_k′) é uma subsucessão de (x_k, y_k) e note-se que (y_k′) é também limitada

em R e tem, portanto, pelo menos uma subsucess˜ao (yk′′) convergente.

Assim, a sucessão (xk′′, y_k′′) é uma subsucessão convergente da sucessão (x_k, y_k).

Recorde-se que uma sucess˜ao convergente, com termos num conjunto fechado, tem limite nesse conjunto.

Portanto, um conjunto A⊂ R é compacto se qualquer sucessão com termos em A tem pelo menos uma subsucessão convergente com limite em A.

Seja f : Rn_{→ R}m _{uma fun¸c˜ao cont´ınua e D}_{⊂ R}n _{um conjunto compacto e}

considere-mos o respectivo conjunto imagem f (D).

Seja (yk) uma sucess˜ao em f (D) e consideremos a sucess˜ao (xk) de termos em D tal

que yk = f (xk).

Sendo D um conjunto compacto, a sucess˜ao (xk) tem uma subsucess˜ao (xk′) convergente

com limite a_{∈ D e, dado que f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, teremos} lim xk′→a f (xk′) = f (a) e, portanto, lim k′→∞ yk′ = f (a)∈ f(D),

ou seja, a sucess˜ao (yk) tem uma subsucess˜ao (yk′) convergente com limite em f (D).

No caso escalar, f (D) será um conjunto compacto em R e, portanto, terá máximo e m´ınimo.

Teorema 5.1 (Weierstrass) Seja D ⊂ Rn _{um conjunto compacto e n˜ao vazio. Ent˜ao}

qualquer fun¸c˜ao escalar cont´ınua em D tem m´aximo e m´ınimo nesse conjunto.

***

Por ser ´util, daremos outra caracteriza¸c˜ao dos conjuntos compactos.

Diz-se que uma colec¸c˜ao de conjuntos abertos (Aα) constitui uma cobertura de D se

D_⊂[

α

(20)

0000

1111

D I Figura 12

Teorema 5.2 Seja (Aα) uma cobertura de um compacto D. Ent˜ao existe um n´umero finito

de conjuntos Aα1, Aα2, . . . , AαN, dessa cobertura, tais que

D_⊂

N

[

k=1

Aαk.

Diz-se que um conjunto I _{⊂ R}n _{´e um intervalo aberto se for o produto cartesiano de n}

intervalos abertos de R, ou seja, se tivermos

I =]a1, b1[×]a2, b2[× · · · ×]an, bn[.

Em R2 _{um intervalo é um rectângulo cujas arestas são paralelas aos eixos coordenados.}

Em R3 _{´e um paralelip´ıpedo com arestas paralelas aos eixos coordenados.}

Seja D um conjunto compacto. Então deverá existir um intervalo limitado I tal que D _{⊂ I, como se ilustra na figura 12. Suponhamos que D não verifica a propriedade} enunciada no teorema. Então, por bisseçcão das arestas de I, para algum dos resultantes sub-intervalos, designado por I1, o conjunto I1 ∩ D não verifica aquela propriedade. Seja

x1 ∈ I1∩ D um ponto qualquer.

Repetindo este processo, teremos uma sucess˜ao de conjuntos (Ik∩ D) que n˜ao verificam

a propriedade e uma sucess˜ao de pontos (xk) , tais que xk ∈ Ik∩ D e I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ Ik ⊃

· · · .

Sendo D limitado e fechado, existe uma subsucess˜ao de (xk) , tamb´em designada por

(xk) , que ´e convergente e cujo limite, designado por x, pertence a D.

Assim, existe algum Aαtal que x∈ Aαe, sendo Aαaberto, existe uma bola Bǫ(x)⊂ Aα.

Dado que xk→ x, seja k0 tal que, para k > k0, se tenha xk ∈ Bǫ(x).

Por constru¸c˜ao dos intervalos Ik, ent˜ao existe um conjunto Aα tal que

xk ∈ Ik∩ D ⊂ Bǫ(x)⊂ Aα,

o que contradiz o facto de que Ik ∩ D n˜ao verifica a propriedade. Portanto, D verifica

aquela propriedade.

(21)

Referˆ

encias

[1] Tom M. Apostol. Calculus II. Editorial Reverté, SA, 1977. [2] J. Campos Ferreira. Introdu¸cão à Análise em Rn_{. AEIST, 1978.}

(22)

Instituto Superior T´ecnico Departamento de Matem´atica

Seçcão de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires

CDI-II

Fun¸

c˜

oes Diferenci´

aveis

1 Fun¸

c˜

oes Diferenci´

aveis. Derivadas Parciais

A no¸cão de derivada é das mais importantes no estabelecimento de modelos matemáticos de fenómenos f´ısicos, qu´ımicos, et¸c. Na prática esses modelos são dados em termos de equa¸cões envolvendo as taxas de varia¸cão das grandezas em jogo (c.f. [2, 3, 1]).

Recordemos que, dada uma fun¸cão f : R → R, diz-se que f é diferenciável num ponto a se existir o limite seguinte

f′

(a) = lim

h→0

f (a + h) − f(a)

h ,

a que chamamos derivada de f em a. Teremos ent˜ao, lim h→0 f (a + h) − f(a) − f′ (a)h h = 0, ou seja, lim h→0 |f(a + h) − f(a) − f′ (a)h| |h| = 0.

Fazendo x = a + h, dado ǫ > 0 existe δ > 0 tais que, se |x − a| < δ ent˜ao |f(x) − f(a) − f′

(a)(x − a)| < ǫ|x − a|.

Isto quer dizer que, perto do ponto a, o gr´afico de f confunde-se com a recta de equa¸c˜ao y = f (a) + f′

(a)(x − a), cujo declive ´e precisamente a derivada f′

(a),tal como se ilustra na figura 1.

Note-se que a fun¸c˜ao real de vari´avel real, R ∋ h 7→ f′

(a)h ∈ R, é linear. Portanto, f é diferenciável em a se, de certo modo, for poss´ıvel aproximar a diferen¸ca f (a + h) − f(a) pela fun¸cão linear h 7→ f′

(a)h.

Esta forma de descrever a no¸cão de derivada em R pode ser transposta para o caso das fun¸cões de várias variáveis.

Defini¸cão 1.1 _{Uma fun¸cão f : D ⊂ R}n _{→ R}m _{diz-se diferenciável num ponto a ∈ int(D)} se existir uma aplica¸cão linear Df (a) : Rn _{→ R}m_{, denominada derivada de f em a, tal que}

(23)

x y a y = f (x) y = f (a) + f′ (a)(x − a) f (a)

Figura 1: Derivada em R. Tangente ao gr´afico

ou seja, lim h→0 o(h) k h k = limh→0 f (a + h) − f(a) − Df(a)h k h k = 0

***

A transforma¸c˜ao linear Df (a) : Rn_{→ R}m _{dever´a ser representada por uma matriz com}

m linhas e n colunas.

Para determinar essa matriz, seja {e1, e2, · · · , en} a base can´onica de Rn. Fazendo h =

tek com t ∈ R, teremos

f (a + tek) − f(a) = Df(a)(tek) + o(tek)

e, sabendo que Df (a) é uma aplica¸cão linear, então

f (a + tek) − f(a) = tDf(a)ek+ o(tek),

ou seja, f (a + tek) − f(a) t = Df (a)ek+ o(tek) t . Portanto, lim t→0 f (a + tek) − f(a) t = Df (a)ek.

(24)

Note-se que a = (a1, a2, . . . , ak, . . . , , an) ; a + tek= (a1, a2, . . . , ak+ t, . . . , , an) e a raz˜ao incremental f (a + tek) − f(a) t = f (a1, a2, . . . , ak+ t, . . . , , an) − f(a1, a2, . . . , ak, . . . , , an) t obtem-se, fixando todas as coordenadas excepto a k-´esima.

Sendo f (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), temos lim t→0 f (a + tek) − f(a) t = lim t→0 f1(a + tek) − f1(a) t , . . . , limt→0 fm(a + tek) − fm(a) t . Note-se tamb´em que o conjunto de pontos definido por {a + tek : t ∈ R} ´e a recta que

passa pelo ponto a e com a direc¸c˜ao do vector ek.

Assim, a raz˜ao incremental fj(a + tek) − fj(a)

t é a taxa de varia¸cão da fun¸cão escalar fj na direçcão ek. Defini¸cão 1.2 Ao limite ∂fj ∂xk (a) = lim t→0 fj(a + tek) − fj(a) t

chamamos derivada parcial de fj, com j = 1, 2, . . . , m, no ponto a em ordem `a vari´avel

xk, com k = 1, 2, . . . , n.

Note-se tamb´em que para calcular a derivada parcial ∂fj ∂xk

(a) devemos fixar todas as vari´aveis excepto xk. De facto, temos

fj(a + tek) − fj(a) = fj(a1, a2, . . . , ak+ t, . . . , an) − fj(a1, a2, . . . , ak, . . . , an).

Portanto, trata-se de calcular a derivada de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel real xk.

Por outro lado, Df (a)ek´e a k-´esima coluna da matriz que representa a derivada Df (a).

Portanto, a matriz que representa a derivada Df (a) ser´a

Df (a) =              ∂f1 ∂x1(a) ∂f1 ∂x2(a) · · · ∂f1 ∂xn(a) ∂f2 ∂x1(a) ∂f2 ∂x2(a) · · · ∂f2 ∂xn(a) . . . . . . . . . . . . ∂fm ∂x1(a) ∂fm ∂x2(a) · · · ∂fm ∂xn(a)              (1)

(25)

`

A matriz Df (a) tamb´em se d´a o nome de matriz Jacobiana de f.

No caso em que m = 1, ou seja, f : D ⊂ Rn_{→ R, ent˜ao Df(a) ter´a apenas uma linha}

Df (a) =h_∂x∂f 1(a) ∂f ∂x2(a) · · · ∂f ∂xn(a) i

e podemos represent´a-la na forma vectorial Df (a) = ∂f ∂x1 (a), ∂f ∂x2(a), · · · , ∂f ∂xn (a) , a que chamaremos gradiente de f em a.

Passaremos a designar este vector pelo s´ımbolo ∇f(a), ou seja, ∇f(a) = ∂f ∂x1 (a), ∂f ∂x2(a), · · · , ∂f ∂xn (a) .

Devemos notar que, no caso geral, a j-ésima linha da matriz Jacobiana é o gradiente da fun¸cão coordenada fj.

x

y z

z = f (x, y)

z = f (a, b) +∂f_∂x(a, b)(x − a) +∂f∂y(a, b)(y − b)

(a, b, f (a, b))

Figura 2: Derivada em R2. Plano tangente ao gr´afico no ponto (a, b, f (a, b))

No caso em que n = 1, a derivada ser´a dada por uma matriz coluna que pode ser escrita na forma vectorial. Havendo apenas uma vari´avel em jogo, ou seja,

f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fm(t)),

com t ∈ R, usaremos a seguinte nota¸c˜ao para a respectiva derivada: f′ (t) = (f′ 1(t), f ′ 2(t), . . . , f ′ m(t)).

(26)

***

No caso em que f : R2 _{→ R ´e diferenci´avel no ponto (a, b), temos}

f (x, y) = f (a, b) + ∂f

∂x(a, b)(x − a) + ∂f

∂y(a, b)(y − b) + o(x − a, y − b). Se notarmos que a equa¸c˜ao,

z = f (a, b) + ∂f

∂x(a, b)(x − a) + ∂f

∂y(a, b)(y − b),

define um plano que passa pelo ponto (a, b, f (a, b)), dizemos que, suficientemente perto deste ponto o gr´afico da fun¸c˜ao f se confunde com aquele plano.

Na figura 2 encontra-se representado o gr´afico de uma fun¸c˜ao f : R2 _{→ R e o plano}

tangente definido pela respectiva derivada.

***

Exemplo 1.1 A fun¸cão f (x, y) = x, definida em R2 _{é diferenciável em qualquer ponto de}

R2.

Seja (a, b) um ponto qualquer de R2_{. Fixando y = b e derivando f como fun¸c˜ao apenas}

de x obtemos

∂f

∂x(a, b) = 1.

Fixando x = a e derivando f como fun¸c˜ao apenas de y obtemos ∂f

∂y(a, b) = 0. Portanto,

Df (a, b) = h∂f_∂x(a, b) ∂f_∂y(a, b)i=1 0 e Df (a, b)(h, k) =1 0h k = h. Assim, lim (h,k)→(0,0) f (a + h, b + k) − f(a, b) − Df(a, b)(h, k) k (h, k) k =(h,k)→(0,0)lim a + h − a − h k (h, k) k = 0 e, portanto f é diferenciável em (a, b), de acordo com a defini¸cão (1.1).

(27)

Exemplo 1.2 _{Seja f : R}n _{→ R}m uma aplica¸c˜ao linear e seja A a matriz (com m linhas e n colunas) que a representa na base can´onica de Rn_{, ou seja, f (x) = Ax.}

´

E claro que, dados x e a em Rn_{, teremos}

f (x) − f(a) = f(x − a) = A(x − a)

e, portanto, a fun¸cão f é diferenciável em qualquer ponto de Rn _{e a respectiva derivada é}

dada pela matriz A, ou seja Df (a) = A.

Exemplo 1.3 Consideremos a fun¸c˜ao f (x, y) = (x+2y , 2x+3y). ´E claro que f : R2 _{→ R}2

é uma aplica¸cão linear e, portanto, a respectiva derivada é dada pela matriz Df (x, y) =

"_{1 2}

2 3 #

.

Exemplo 1.4 O gradiente da fun¸c˜ao f (x, y) = x

y no ponto (x, y) do respectivo dom´ınio ´e o vector ∇f(x, y) = ∂f_∂x(x, y),∂f ∂y(x, y) = 1 y, − x y2

Exemplo 1.5 Consideremos a fun¸c˜ao f (x, y) = (x

y , sen(xy) , e

x2_+y2

). A respectiva Jacobiana ser´a a matriz de trˆes linhas e duas colunas,

Df (x, y) =      1 y − x y2 y cos(xy) x cos(xy) 2xex2_+y2 2yex2_+y2      .

***

Seja f : D ⊂ Rn_{→ R}m _{uma fun¸c˜ao diferenci´avel num ponto a ∈ int(D) e consideremos}

a matriz (1) que representa a derivada Df (a).

Note-se que na j-´esima linha de Df (a) se encontra o gradiente da fun¸c˜ao coordenada fj,

ou seja, para construir a matriz Df (a) basta considerar cada uma das fun¸c˜oes coordenadas de f. Assim, iremos apenas considerar fun¸c˜oes escalares, ou seja, m = 1.

Recordemos que a derivada parcial ∂f ∂xk

(a) é calculada fixando todas as variáveis excepto xk, o que significa calcular a derivada de uma fun¸cão real de variável real.

(28)

x y z

x fixo y fixo

z = f (x, y)

Figura 3: Procedimento para c´alculo de derivadas parciais

Exemplo 1.6 Consideremos a fun¸c˜ao

f (x, y) =    xy x2_+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0)

Para (x, y) 6= (0, 0), fixando y e derivando em ordem a x teremos ∂f

∂x(x, y) =

y3_{− x}2_y

(x2_{+ y}2₎2.

Fixando x e derivando em ordem a y ∂f

∂y(x, y) =

x3 _{− xy}2

(x2_{+ y}2₎2.

Na origem deveremos usar a defini¸c˜ao de derivada parcial. Assim, teremos ∂f ∂x(0, 0) = limt→0 f (t, 0) − f(0, 0) t = 0 porque f (t, 0) = f (0, 0) = 0. Do mesmo modo ∂f ∂y(0, 0) = limt→0 f (0, t) − f(0, 0) t = 0 porque f (0, t) = f (0, 0) = 0.

(29)

Portanto, as derivadas parciais existem em todos os pontos de R2_.

No entanto esta fun¸cão não é diferenciável na origem. De facto, se tal sucedesse, ter´ıamos

lim

(h,k)→(0,0)

f (h, k) − f(0, 0) − ∇f(0, 0)(h, k)

k (h, k) k = 0.

Mas, sendo f (0, 0) = 0 e ∇f(0, 0) = (0, 0), o limite lim (h,k)→(0,0) f (h, k) √ h2 _{+ k}2 =_{(h,k)→(0,0)}lim hk (h2_{+ k}2₎√_h2_{+ k}2

n˜ao existe, como facilmente se verifica fazendo k = h.

Note-se que f não é cont´ınua na origem e, portanto, não poder´ıamos esperar que fosse diferenciável nesse ponto. No entanto, as derivadas parciais existem.

Este exemplo leva-nos a pensar que a existência de derivadas parciais não garante a difereciabilidade da fun¸cão.

Na figura (4) encontra-se o gr´afico desta fun¸c˜ao.

x

y z

Figura 4: Gr´afico da fun¸c˜ao f (x, y) = _x2xy_+y2

Exemplo 1.7 Consideremos a fun¸c˜ao

f (x, y) =      xy √ x2_+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0) Na figura (5) encontra-se o gr´afico desta fun¸c˜ao. Tendo em conta que

| xy

px2_{+ y}2 | ≤

x2 _{+ y}2

px2 _{+ y}2 =px

2_{+ y}2 _{=k (x, y) k}

(30)

x

y z

Figura 5: Gr´afico da fun¸c˜ao f (x, y) = √xy

x2_+y2

Para (x, y) 6= (0, 0), fixando y e derivando em ordem a x teremos ∂f

∂x(x, y) =

y3

(x2_{+ y}2_)px2_{+ y}2.

Fixando x e derivando em ordem a y ∂f

∂y(x, y) =

x3

(x2_{+ y}2_)px2_{+ y}2.

Na origem deveremos usar a defini¸c˜ao de derivada parcial. Assim, teremos ∂f ∂x(0, 0) = limt→0 f (t, 0) − f(0, 0) t = 0 porque f (t, 0) = f (0, 0) = 0. Do mesmo modo ∂f ∂y(0, 0) = limt→0 f (0, t) − f(0, 0) t = 0 porque f (0, t) = f (0, 0) = 0.

Portanto, as derivadas parciais existem em todos os pontos de R2_.

No entanto esta fun¸cão não é diferenciável na origem. De facto, se tal sucedesse, ter´ıamos

lim

(h,k)→(0,0)

f (h, k) − f(0, 0) − ∇f(0, 0)(h, k)

k (h, k) k = 0.

Mas, sendo f (0, 0) = 0 e ∇f(0, 0) = (0, 0), teremos lim (h,k)→(0,0) f (h, k) √ h2_{+ k}2 =(h,k)→(0,0)lim hk h2_{+ k}2 6= 0,

como facilmente se verifica fazendo k = h.

Portanto, esta fun¸cão não é diferenciável na origem.

Note-se que as derivadas parciais de f n˜ao s˜ao cont´ınuas na origem. Basta fazer y = mx para verificar que os limites lim

(x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x, y) e (x,y)→(0,0)lim

∂f

(31)

Exemplo 1.8 Consideremos a fun¸c˜ao f (x, y) =      x2_y √ x2_+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0), cujo gr´afico se encontra na figura 6.

x y

z

Figura 6: Gr´afico da fun¸c˜ao f (x, y) = √x2y

x2_+y2

Tal como no exemplo anterior, facilmente se verifica que se trata de uma fun¸c˜ao cont´ınua em R2 _{e, as respectivas derivadas parciais na origem existem e s˜ao dadas por}

∂f ∂x(0, 0) = 0 ; ∂f ∂y(0, 0) = 0. Portanto, lim (h,k)→(0,0) f (h, k) − f(0, 0) − ∇f(0, 0)(h, k) k (h, k) k =(h,k)→(0,0)lim h2_k h2_{+ k}2 = 0,

ou seja, trata-se de uma fun¸c˜ao diferenci´avel na origem. Em R2_{\ {(0, 0)}, teremos} ∂f ∂x(x, y) = x3_{y + 2xy}3 (x2_{+ y}2₎3/2 ; ∂f ∂y(x, y) = x4 (x2_{+ y}2₎3/2,

e é fácil verificar que lim (x,y)→(0,0) ∂f ∂x(x, y) = ∂f ∂x(0, 0) = 0 ; (x,y)→(0,0)lim ∂f ∂y(x, y) = ∂f ∂y(0, 0) = 0, ou seja, as derivadas parciais são cont´ınuas em R2_.

(32)

2 Identifica¸

c˜

ao de Fun¸

c˜

oes Diferenci´

aveis.

Proprieda-des

O uso da defini¸cão de fun¸cão diferenciável pode tornar-se penoso. Esta tarefa pode ser facilitada recorrendo às propriedades das fun¸cões diferenciáveis.

Por defini¸cão, se uma fun¸cão escalar f : Rn _{→ R for diferenciável em a ∈ R}n_{, teremos}

f (x) = f (a) + Df (a)(x − a) + o(x − a).

Notemos que a fun¸c˜ao x 7→ Df(a)(x − a) ´e cont´ınua em a. De facto, temos |Df(a)(x − a)| = | n X j=1 ∂f ∂xj (a)(xj− aj)| ≤ C||x − a|| em que C = nmaxn j=1 | ∂f ∂xj(a)|.

Notemos tamb´em que

|o(x − a)| = |o(x − a)|

||x − a|| ||x − a||, e podemos concluir que

lim

x→af (x) = f (a),

ou seja, f ´e cont´ınua em a.

Recordemos que uma fun¸cão f : Rn _{→ R}m _{é cont´ınua se e só se cada uma das}

compo-nentes escalares fj : Rn→ R , j = 1, . . . , m, for cont´ınua.

Portanto, se uma fun¸cão for diferenciável num ponto será necessariamente cont´ınua nesse ponto.

Neste contexto, a propriedade mais importante é a que se refere à derivada da com-posi¸cão de fun¸cões.

Consideremos a seguinte composi¸cão de fun¸cões diferenciáveis

Rn −→g Rp −→f Rm

x _7→ g(x) _7→ f (g(x))

a _{7→ b = g(a) 7→ f(g(a)) = f(b)} e sejam U ∈ Rn _{e V ∈ R}p _{conjuntos abertos tais que f (U) ⊂ V.}

Sejam a ∈ U e b = g(a) ∈ V. Sendo g diferenci´avel em a teremos g(a + h) − g(a) = Dg(a)h + og(h).

Seja k ∈ Rp _{tal que g(a + h) = b + k. Sendo f diferenci´avel em b = g(a) teremos}

(33)

e, portanto,

f (g(a + h)) − f(g(a)) = Df(g(a))k + of(k)

= Df (g(a))(g(a + h) − g(a)) + of(k)

= Df (g(a))(Dg(a)h + og(h)) + of(k)

= Df (g(a))Dg(a)h + Df (g(a))og(h) + of(k).

Assim, a fun¸cão f ◦ g será diferenciável em a e a respectiva derivada será D(f ◦ g)(a) = Df(g(a))Dg(a)

desde que se verifique

lim

h→0

Df (g(a))og(h) + of(k)

k h k = 0.

Para isso basta notar que, sendo k = g(a + h) − g(a), teremos of(k) k h k = of(k) k k k k k k k h k = of(k) k k k k g(a + h) − g(a) k k h k = of(k) k k k k Dg(a)h + og(h) k k h k ,

Note-se tamb´em que, dado um vector qualquer v ∈ Rn _{e uma matriz A = (a}

ij) com m

linhas e n colunas, temos

||Av|| ≤ C||v|| em que C = nm maxi,j|aij|.

Podemos, assim, enunciar o c´elebre teorema da derivada da fun¸c˜ao composta.

Teorema 2.1 (Fun¸cão Composta) Se g é diferenciável no ponto a e f é diferenciável no ponto g(a), então f ◦ g é diferenciável no ponto a e

D(f ◦ g)(a) = Df(g(a))Dg(a).

Note-se que a matriz que representa a derivada Dg(a) tem p linhas e n colunas e a que representa a derivada Df (g(a)) tem m linhas e p colunas. Assim, a matriz que representa a derivada da fun¸c˜ao composta D(f ◦ g)(a) tem m linhas e n colunas por ser o produto Df (g(a))Dg(a).

(34)

Sejam f : D ⊂ Rn_{→ R e g : D ⊂ R}n _{→ R duas fun¸c˜oes diferenci´aveis em a ∈ int(D) e}

consideremos a seguinte composi¸c˜ao

Rn −→h R2 −→s R

x _{7→ (f(x), g(x)) 7→ f(x) + g(x)}

(2)

em que h(x) = (f (x), g(x)) e s(u, v) = u + v. Pelo teorema da fun¸c˜ao composta temos

D(s ◦ h)(a) = D(s(h(a))Dh(a) em que

Ds(h(a)) = Ds(f (a), g(a)) = _∂s

∂u(f (a), g(a)) ∂s ∂v(f (a), g(a)) = 1 1 e Dh(a) =   ∂f ∂x1(a) ∂f ∂x2(a) · · · ∂f ∂xn(a) ∂g ∂x1(a) ∂g ∂x2(a) · · · ∂g ∂xn(a)   e, portanto, D(s ◦ h)(a) = D(s(h(a))Dh(a) = = _∂s

∂u(f (a), g(a)) ∂s ∂v(f (a), g(a))   ∂f ∂x1(a) ∂f ∂x2(a) · · · ∂f ∂xn(a) ∂g ∂x1(a) ∂g ∂x2(a) · · · ∂g ∂xn(a)   = 1 1   ∂f ∂x1(a) ∂f ∂x2(a) · · · ∂f ∂xn(a) ∂g ∂x1(a) ∂g ∂x2(a) · · · ∂g ∂xn(a)   = h_∂x∂f 1(a) + ∂g ∂x1(a) ∂f ∂x2(a) + ∂g ∂x2(a) · · · ∂f ∂xn(a) + ∂g ∂xn(a) i = Df (a) + Dg(a)

Se notarmos que s(h(x)) = f (x) + g(x), conclu´ımos que a soma de fun¸cões dife-renciáveis é uma fun¸cão diferenciável e a respectiva derivada é dada por

D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), ou seja, a derivada da soma ´e a soma das derivadas.

Se na composi¸cão (2) fizermos s(u, v) = uv facilmente conclu´ımos que o produto de fun¸cões diferenciáveis é uma fun¸cão diferenciávele a respectiva derivada é dada por

(35)

Do mesmo modo, se em (2) fizermos s(u, v) = u

v, com v 6= 0, o quociente de fun¸cões diferenciáveis é uma fun¸cão diferenciávele teremos

D f g

(a) = g(a)Df (a) − f(a)Dg(a)

g(a)2 ,

desde que g(a) 6= 0. ´

E também claro que se f for uma fun¸cão diferenciável e α ∈ R então αf, é diferenciável.

***

Exemplo 2.1 A fun¸c˜ao (ver a figura (5))

f (x, y) =      xy √ x2_+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0)

não é diferenciável na origem mas é diferenciável em R2_{\ {(0, 0)}.}

De facto, f ´e o quociente f (x, y) = h(x, y)

g(x, y) em que h(x, y) = xy e g(x, y) =px

2 _{+ y}2_.

A fun¸cão h é diferenciável por ser o produto de fun¸cões diferenciáveis. A fun¸cão g é a composi¸cão r ◦ s,

R2 −→s R −→r R

(x, y) _{7→ x}2_{+ y}2 _7→ _px2_{+ y}2

em que s(x, y) = x2 + y2 e r(u) = √_{u , (u 6= 0), são fun¸cões diferenciáveis.}

***

Exemplo 2.2 A fun¸c˜ao (ver a figura (4))

f (x, y) =    xy x2_+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0)

não é cont´ınua na origem e, portanto, não será diferenciável nesse ponto. Em R2_{\ {(0, 0)}}

(36)

Exemplo 2.3 _{Seja f : R}2 _{→ R uma fun¸c˜ao definida por} f (x, y) = sen(u(x, y)v(x, y))

em que u e v são fun¸cões escalares, diferenciáveis em R2_{, tais que u(1, 0) = 2 e v(1, 0) = π.}

´

E uma fun¸cão diferenciável por ser a composi¸cão f = g ◦ h de fun¸cões diferenciáveis

R2 −→h R2 −→g R

(x, y) _{7→ (u(x, y), v(x, y) 7→ sen(u(x, y)v(x, y))} em que

h(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) e

g(u, v) = sen(uv). Assim, dado que h(1, 0) = (2, π), teremos

∇f(1, 0) = Dg(h(1, 0))Dh(1, 0) = Dg(2, π)Dh(1, 0) = = _∂g ∂u(2, π) ∂g ∂v(2, π)   ∂u ∂x(1, 0) ∂u ∂y(1, 0) ∂v ∂x(1, 0) ∂v ∂y(1, 0)  = = _∂g ∂u(2, π) ∂g ∂v(2, π)   ∂u ∂x(1, 0) ∂u ∂y(1, 0) ∂v ∂x(1, 0) ∂v ∂y(1, 0)   = h_∂u∂g(2, π)∂u ∂x(1, 0) + ∂g ∂v(2, π) ∂v ∂x(1, 0) ∂g ∂u(2, π) ∂u ∂y(1, 0) + ∂g ∂v(2, π) ∂v ∂y(1, 0) i

= h_∂u∂g(2, π)∂u_∂x(1, 0) + ∂g_∂v(2, π)∂v_∂x(1, 0) _∂u∂g(2, π)∂u_∂y(1, 0) + ∂g_∂v(2, π)∂v_∂y(1, 0)i Sabendo que

∂g

∂u(u, v) = v cos(uv) ∂g ∂v(u, v) = u cos(uv), e, portanto, ∂g ∂u(2, π) = π ∂g ∂v(2, π) = 2,

(37)

teremos ∇f(1, 0) =π∂u ∂x(1, 0) + 2 ∂v ∂x(1, 0) π ∂u ∂y(1, 0) + 2 ∂v ∂y(1, 0) .

Na forma vectorial ser´a ∇f(1, 0) = π∂u ∂x(1, 0) + 2 ∂v ∂x(1, 0) , π ∂u ∂y(1, 0) + 2 ∂v ∂y(1, 0) . Note-se que, num ponto qualquer (x, y), teremos

∂f

∂x(x, y) = ∂g

∂u(u(x, y), v(x, y)) ∂u

∂x(x, y) + ∂g

∂v(u(x, y), v(x, y)) ∂v ∂x(x, y) ∂f

∂x(x, y) = ∂g

∂u(u(x, y), v(x, y)) ∂u

∂x(x, y) + ∂g

∂v(u(x, y), v(x, y)) ∂v ∂x(x, y) ou duma forma mais concisa,

∂f ∂x = ∂g ∂u ∂u ∂x + ∂g ∂v ∂v ∂x ∂f ∂y = ∂g ∂u ∂u ∂y + ∂g ∂v ∂v ∂y

Exemplo 2.4 _{Diz-se que uma fun¸cão f : R}n _{→ R é homogénea de grau k se, para} qualquer λ ∈ R, tivermos f(λx) = λk_{f (x). As fun¸cões homogéneas desempenham um}

papel importante em Termodin´amica.

Para cada x ∈ Rn_{, sejam g : R → R e h : R → R}n _{as fun¸c˜oes definidas por}

g(λ) = f (λx) ; h(λ) = λx. ´

E claro que a fun¸cão g é a fun¸cão composta f ◦ h, ou seja, g(λ) = f(h(λ)),

R −→h Rn −→f R λ _{7→ h(λ) 7→ f(h(λ))} λ _7→ λx _7→ f (λx) . Assim, teremos g′ (λ) = Df (h(λ))h′ (λ) = ∇f(λx) · x.

Por outro lado, tendo em conta que g(λ) = f (λx) = λk_{f (x), teremos}

g′

(38)

e, portanto,

∇f(λx) · x = kλk−1f (x). Dado que λ ´e arbitr´ario, fazendo λ = 1, obtemos

∇f(x) · x = kf(x), ou ainda, n X j=1 ∂f ∂xj (x) xj = kf (x).

***

A fun¸cão estudada no exemplo (1.7) é cont´ınua na origem mas as respectivas derivadas parciais não são e a fun¸cão não é diferenciável nesse ponto.

Por sua vez a fun¸cão estudada no exemplo (1.8) é diferenciável na origem e as respectivas derivadas parciais são fun¸cões cont´ınuas na origem.

Estes dois exemplos levam-nos a colocar a questão seguinte: Será que a continuidade das derivadas parciais de uma fun¸cão implica que essa fun¸cão seja diferenciável?

Para vermos que a resposta a esta questão é sim vamos considerar apenas o caso em que temos uma fun¸cão escalar f : R2 _{→ R com derivadas parciais cont´ınuas numa bola}

centrada num ponto (a, b) ∈ R2_.

Tendo em conta a defini¸cão de fun¸cão diferenciável deveremos ter f (a + h, b + k) − f(a, b) − ∇f(a, b)(h, k) = o((h, k)), ou seja, lim (h,k)→(0,0) f (a + h, b + k) − f(a, b) −∂f∂x(a, b)h − ∂f ∂y(a, b)k √ h2_{+ k}2 = 0.

A varia¸cão f (a + h, b + k) − f(a, b) pode ser calculada (ver figura (7)) do seguinte modo f (a + h, b + k) − f(a, b) = [f(a + h, b + k) − f(a + h, b)] + [f(a + h, b) − f(a, b)] . Note-se que a varia¸cão f (a + h, b + k) − f(a + h, b) é calculada ao longo do segmento de recta vertical em que x = a + h e a varia¸cão f (a + h, b) − f(a, b) é calculada ao longo do segmento de recta horizontal em que y = b. Portanto, em ambos os casos, uma das variáveis está fixa, ou seja, a fun¸cão f dependerá apenas de uma das variáveis.

Usando o teorema do valor médio para fun¸cões reais de variável real, existirá d ∈]b, b+k[ tal que

(39)

e, do mesmo modo, existir´a c ∈]a, a + h[ tal que f (a + h, b) − f(a, b) = ∂f

∂x(c, b)h. Assim,

f (a + h, b + k) − f(a, b) − ∂f_∂x(a, b)h − ∂f_∂y(a, b)k = = ∂f ∂x(c, b) − ∂f ∂x(a, b) h + ∂f ∂y(a + h, d) − ∂f ∂y(a, b) k Dado que as derivadas parciais s˜ao cont´ınuas e que

| √ h h2_{+ k}2 | ≤ 1 ; | k √ h2_{+ k}2 | ≤ 1, teremos lim (h,k)→(0,0) f (a + h, b + k) − f(a, b) −∂f∂x(a, b)h − ∂f ∂y(a, b)k √ h2_{+ k}2 = 0. 0 x y b b + k a + h c d a Figura 7

Defini¸cão 2.1 (Fun¸cões de classe C1_{) Diz-se que uma fun¸cão f : D ⊂ R}n _{→ R, em}

que D ´e aberto, ´e de classe C1 _{se em cada ponto x ∈ D as derivadas parciais} ∂f

∂xk

(x) , k = 1, 2, . . . , n existirem e forem cont´ınuas.

Teorema 2.2 (Condi¸c˜ao Suficiente de Diferenciabilidade_{) Seja D ⊂ R}n _um

(40)

***

A fun¸c˜ao estudada no exemplo (5)

f (x, y) =      xy √ x2_+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0)

é cont´ınua em R2_{, diferenciável em R}2_{\ {(0, 0)} mas não é diferenciável na origem.}

Note-se que ∂f ∂x(0, 0) = 0 ; ∂f ∂y(0, 0) = 0 ´

E f´acil verificar que as derivadas parciais ∂f ∂x(x, y) = y3 (x2_{+ y}2_)px2_{+ y}2 ∂f ∂y(x, y) = x3 (x2_{+ y}2_)px2_{+ y}2

n˜ao s˜ao cont´ınuas na origem.

***

Por outro lado, a fun¸c˜ao estudada no exemplo (1.8)

f (x, y) =      x2_y √ x2_+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0)

tem derivadas parciais cont´ınuas e, portanto ´e diferenci´avel em R2_.

(41)

3 Derivada Direccional. Gradiente

Seja D ⊂ Rn _{um conjunto aberto, f : D → R uma fun¸c˜ao escalar diferenci´avel em D e}

consideremos um vector v ∈ Rn _{tal que k v k= 1.}

Seja a ∈ D e, sendo f diferenci´avel teremos

f (a + h) − f(a) = ∇f(a)h + o(h). Fazendo h = tv em que t ∈ R, teremos

f (a + tv) − f(a) = t∇f(a)v + o(tv), ou seja, f (a + tv) − f(a) t = ∇f(a)v + o(tv) t , e, portanto lim t→0 f (a + tv) − f(a) t = ∇f(a)v. (3)

Note-se que o vector v determina a recta ou direçcão de pontos da forma a + tv, t ∈ R. Assim, o limite anterior é calculado tomando apenas pontos sobre a direçcão determinada por v. Trata-se, portanto da taxa de varia¸cão de f na direçcão de v como se ilustra na figura (8). x y z z = f (x, y) v

(42)

Defini¸c˜ao 3.1 Ao limite

Dvf (a) = lim t→0

f (a + tv) − f(a) t

chamamos derivada direccional de f em a segundo o vector v. Da equa¸c˜ao (3), conclu´ımos que

Dvf (a) = ∇f(a)v. (4)

Portanto, para saber do comportamento de f na direc¸c˜ao determinada por v basta conhecer o respectivo gradiente.

Note-se que Dvf (a) = ∇f(a)v = h ∂f ∂x1(a) ∂f ∂x2(a) · · · ∂f ∂xn(a) i         v1 v2 . . . vn         = ∂f ∂x1 (a)v1+ ∂f ∂x2 (a)v2+ · · · + ∂f ∂xn (a)vn.

Portanto, na forma vectorial, a derivada direccional Dvf (a) ´e o produto interno dos

vectores ∇f(a) e v.

Assim, sendo k v k= 1, temos

Dvf (a) = ∇f(a) · v =k ∇f(a) kk v k cos α =k ∇f(a) k cos α

em que α ´e o ˆangulo determinado pelos vectores ∇f(a) e v.

Podemos ent˜ao concluir que a derivada direccional Dvf (a) ser´a a maior poss´ıvel no caso

em que cos α = 0, ou seja, quando os vectores ∇f(a) e v s˜ao paralelos.

Portanto, o vector gradiente ∇f(a) determina a direçcão segundo a qual a derivada direccional de f em a é a maior poss´ıvel.

Da equa¸cão (3) podemos também concluir que a derivada direccional Dvf (a) será nula

na direc¸c˜ao definida pelo vector v ortogonal ao gradiente ∇f(a).

***

(43)

Exemplo 3.1 Consideremos a fun¸c˜ao f (x, y) = x2_{+ xy e o ponto (1, 1).} Ent˜ao, ∇f(x, y) = ∂f_∂x(x, y) , ∂f ∂y(x, y) = (2x + y , x) e no ponto (1, 1) teremos ∇f(1, 1) = (3, 1).

• Consideremos o vector v = (1, 2). Dado que k (1, 2) k= √5, para calcular a derivada direccional de f em (1, 1) na direcçcão determinada por v deveremos usar, de acordo com a defini¸cão, o vector v

k v k. Assim, teremos Dvf (1, 1) = ∇f(1, 1) v k v k = (3, 1) · ( 1 √ 5, 2 √ 5) = 5 √ 5 = √ 5.

• Podemos também determinar a direçcão segundo a qual a derivada de f em (1, 1) é nula. Essa direçcão será determinada por um vector v = (v1, v2) ortogonal a ∇f(1, 1),

ou seja

Dfv(1, 1) = ∇f(1, 1) · (v1, v2) = 0 ⇔ (3, 1) · (v1, v2) = 0 ⇔ v2 = −3v1.

Fazendo v1 = 1 temos v = (1, −3).

***

4 Linha. Tangente

Exemplo 4.1 _{Consideremos a recta em R}2 _{dada pela equa¸c˜ao x + y = 1. (ver figura 9).}

Note-se que

x + y = 1 ⇔ y = 1 − x

e, portanto, esta recta pode ser descrita como sendo o conjunto {(x, 1 − x) ; x ∈ R}.

Seja g : R → R2 _{a fun¸c˜ao cont´ınua definida por g(x) = (x, 1 − x).}

´

(44)

x y

1

x + y = 1 ⇔ y = 1 − x

Figura 9: Recta dada por: x + y = 1

0 x

y

γ(t) = (cos t, sen t) = (x(t), y(t))

γ′

(3π/2) = (1, 0)

Figura 10: Uma circunferˆencia em R2

Exemplo 4.2 _{Consideremos a fun¸c˜ao γ : R → R}2 _{dada por}

γ(t) = (cos t, sen t).

Sendo cos2_{t + sen}2_{t = 1 e fazendo (cos t, sen t) = (x(t), y(t)), fica claro que a imagem}

da fun¸cão γ é a circunferência de raio um e centro na origem de R2 _{que se encontra}

representada na figura (10).

Exemplo 4.3 _{Consideremos a fun¸c˜ao γ : R → R}3 _{dada por}

γ(t) = (cos t, sen t, t).

Sendo cos2_{t + sen}2_{t = 1 e fazendo (cos t, sen t, t) = (x(t), y(t), z(t)), fica claro que a}

imagem da fun¸c˜ao γ ´e uma linha assente sobre a superf´ıcie cil´ındrica vertical de raio um e que se encontra representada na figura (11).

Dos exemplos anteriores fica claro que fun¸c˜oes cont´ınuas de uma vari´avel real γ : R → Rn descrevem linhas em Rn_.

(45)

x _y z

γ′

(π/2) = (−1, 0, 1)

γ(t) = (cos t, sen t, t) = (x(t), y(t), z(t))

Figura 11: Uma h´elice cil´ındrica em R3

Por defini¸c˜ao, diz-se que um conjunto Γ ⊂ Rn _´_{e uma linha se for a imagem de}

uma fun¸c˜ao cont´ınua _{γ : R → R}n.

No caso em que γ é uma fun¸cão de classe C1 _{a respectiva derivada será dada por}

γ′

(t) = lim

h→0

γ(t + h) − γ(t)

h .

Note-se (ver figura (12)) que, pictoricamente, os vectores secantes γ(t + h) − γ(t)

h

trans-formam-se, `a medida que h → 0, num vector γ′

(t) que é tangente à linha no ponto γ(t). Esta ideia leva-nos à defini¸cão de vector tangente a uma linha num dado ponto. Defini¸cão 4.1 _{(Vector Tangente) Seja γ : R → R}n uma fun¸cão de classe C1 _e

consi-deremos a linha descrita por γ. Ao vector γ′

(t) = lim

h→0

γ(t + h) − γ(t) h

chamamos vector tangente `a linha no ponto γ(t). No exemplo (4.2) temos

γ(t) = (cos t, sen t) e, portanto,

γ′

(t) = (− sen t, cos t).

Na figura (10) est˜ao representados os vectores tangentes γ′

(π) = (0, −1) no ponto γ(π) = (−1, 0) e γ′

(46)

γ(t)

γ(t + h) γ′

(t)

Figura 12: Tangente a uma linha

No exemplo (4.3) temos

γ(t) = (cos t, sen t, t) e, portanto,

γ′

(t) = (− sen t, cos t, 1).

Na figura (11) est´a representado o vector tangente no ponto γ(π/2) = (0, 1, π/2) dado pela derivada γ′

(π/2) = (−1, 0, 1).

Seja L uma linha descrita por uma fun¸c˜ao γ e a um ponto de L tal que a = γ(t0). Seja

~ T = γ′

(t0) o vector tangente a L em a.

A recta que passa em a e com a direçcão de ~T , designada por recta tangente a L no ponto a, é o conjunto de pontos definido por

{x ∈ Rn: x − a = λ ~T ; λ ∈ R}.

No caso da h´elice cil´ındrica do exemplo (4.3) a recta tangente no ponto (0, 1, π/2) ´e dada por

(x, y, z) − (0, 1, π/2) = λ (−1, 0, 1) , λ ∈ R, ou seja,

x = −λ ; y − 1 = 0 ; z −π₂ = λ e, portanto, ´e a recta definida pelas duas equa¸c˜oes seguintes

y = 1 ; x + z = π 2.

***

(47)

5 Conjunto de N´ıvel. Normal

Dada uma fun¸c˜ao escalar F : Rn _{→ R de classe C}1_{, ao conjunto definido por}

Nα = {x ∈ Rn: F (x) = α},

chamamos conjunto de n´ıvel α de f.

Note-se que todos os conjuntos definidos por equa¸c˜oes do tipo F (x) = α, s˜ao conjuntos de n´ıvel zero de F (x) − α.

Os seguintes são exemplos de conjuntos de n´ıvel. • {(x, y) ∈ R2 _{: x + y = 1} (Linha recta).} • {(x, y) ∈ R2 _{: x}2_{+ y}2 _{= 1} (Circunferência).} • {(x, y) ∈ R2 _{: x}2_{− y}2 _{= 1} (Hipérbole).} • {(x, y) ∈ R2 _{: y = x}2_{} (Parábola).} • {(x, y, z) ∈ R3 _{: x + y + z = 1} (Plano).} • {(x, y, z) ∈ R3 _{: x}2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1} (Esfera).} • {(x, y, z) ∈ R3 _{: x}2_{+ y}2 _{= 1 + z}2_{} (Hiperbolóide).} • {(x, y, z) ∈ R3 _{: z = 1 − x}2_{− y}2_{} (Parabolóide).} • {(x, y, z) ∈ R3 _{: (px}2_{+ y}2_{− 3)}2_{+ z}2 _{= 1} (Toro).}

Seja a ∈ N0 um ponto qualquer.

Seja L ⊂ N0 uma linha (assente em N0) descrita por uma fun¸c˜ao γ :] − ǫ, ǫ[→ Rn, com

ǫ ∈ R, e tal que

a = γ(0).

Dado que L ⊂ N0, ´e claro que γ(t) ∈ N0 e, portanto,

F (γ(t)) = 0 ; −ǫ < t < ǫ e, pelo teorema da derivada da fun¸c˜ao composta, teremos

∇F (γ(0))γ′ (0) = 0, ou seja, ∇F (a)γ′ (0) = 0. Assim, os vectores γ′

(0) e ∇F (a) s˜ao ortogonais entre si. Note-se que o vector γ′

(0) é, por defini¸cão, tangente a L no ponto a. Nesta situa¸cão, diz-se que o vector ~T = γ′

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Seja ~N um vector ortogonal a ~T , ou seja, um vector que verifica a equa¸c˜ao ~_{N · ~}T = 0. Ao vector ~N chamamos vector normal a N0 no ponto a.

Assim, o vector gradiente, ∇F (a), ´e um vector normal ao conjunto de n´ıvel N0 de F.

Portanto, o gradiente de uma fun¸cão escalar num ponto é normal ao respec-tivo conjunto de n´ıvel dessa fun¸cão.

Exemplo 5.1 Consideremos o parabol´oide P, definido por P = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 1 − x2+ y2_}, e que se encontra representado na figura (13).

x y z F (x, y, z) = 0 Plano tangente ~ N = ∇F (a, b, c)

Figura 13: Normal e plano tangente

Seja F : R3 _{→ R a fun¸c˜ao escalar definida por}

F (x, y, z) = z + x2+ y2_{− 1.}

Então o parabolóide P é o conjunto de n´ıvel zero de F, e em cada ponto (a, b, c) ∈ P a respectiva normal será dada pelo gradiente de F nesse ponto ∇F (a, b, c) tal como se representa na figura (13).

O vector normal ~_{N = ∇F (a, b, c) determina a recta normal a P que passa pelo ponto} (a, b, c) e ser´a o conjunto

{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (a, b, c) + λ∇F (a, b, c) ; λ ∈ R}.

Por defini¸cão de vector normal, os vectores ortogonais a ~N são tangentes a P no ponto (a, b, c) e constituem um espa¸co linear de dimensão 2.

O plano gerado pelos vectores tangentes e que passa pelo ponto (a, b, c) chama-se plano tangente a P no ponto (a, b, c) e ´e dado pela equa¸c˜ao

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Dado que ∇F (x, y, z) = (2x, 2y, 1), no ponto (0, 0, 1) teremos ~N = ∇F (0, 0, 1) = (0, 0, 1) e, portanto, a recta normal nesse ponto ´e dada por

(x, y, z) − (0, 0, 1) = λ ~N , ou seja,

(x, y, z − 1) = λ(0, 0, 1) ⇔ x = 0 ; y = 0 ; z ∈ R que ´e o eixo Oz.

O plano tangente ser´a dado por

(x, y, z − 1) · ~N = 0 ⇔ (x, y, z − 1) · (0, 0, 1) = 0 ⇔ z = 1, ou seja, ´e o plano horizontal definido por z = 1.

***

Note-se que o parabolóide P é o gráfico _{da fun¸cão diferenciável f : R}2 _{→ R definida} por

f (x, y) = 1 − x2− y2.

Sendo f diferenci´avel, pr´oximo do ponto (a, b) com f (a, b) = c, teremos f (x, y) = f (a, b) + ∇f(a, b) · (x − a, y − b) + o(x − a, y − b), ou seja, fazendo z = f (x, y), teremos

z = c + ∂f

∂x(a, b)(x − a) + ∂f

∂y(a, b)(y − b) + o(x − a, y − b). O plano definido pela equa¸c˜ao

z = c + ∂f

∂x(a, b)(x − a) + ∂f

∂y(a, b)(y − b)

´e de facto o plano tangente ao gr´afico de f no ponto (a, b, c) = (a, b, f (a, b)). Dado que

∂f

∂x(a, b) = −2a ; ∂f

∂y(a, b) = −2b, esse plano ser´a dado pela equa¸c˜ao

z = c − 2a(x − a) − 2b(y − b).

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***

Neste exemplo temos F (x, y, z) = z − f(x, y) e, portanto, F (x, y, z) = 0 ⇔ z = f(x, y), ou seja, o gr´afico de f ´e o conjunto de n´ıvel zero de F.

Temos, assim, duas formas diferentes de descrever o mesmo conjunto. • Como conjunto de n´ıvel de F temos,

∇F (a, b, c) = (−∂f ∂x(a, b) ,

∂f

∂y(a, b) , 1)

e, portanto, o plano tangente no ponto (a, b, c) ser´a dado pela equa¸c˜ao (z − c) − ∂f_∂x(a, b)(x − a) − ∂f_∂y(a, b)(y − b) = 0.

• Como gráfico de f temos, pela defini¸cão de derivada, que o plano tangente é dado pela equa¸cão

z = c +∂f

∂x(a, b)(x − a) + ∂f

∂y(a, b)(y − b).

***

Referˆ

encias

[1] Tom M. Apostol. Calculus II. Editorial Reverté, SA, 1977. [2] J. Campos Ferreira. Introdu¸cão à Análise em Rn_{. AEIST, 1978.}