Álgebra Vectorial. Gadiente. Divergência. Rotacional

Aerodinâmica I

Análise Diferencial/Infinitesimal. Conservação

de Massa. Leis do Movimento. Conservação de

Energia. Condições de Fronteira. Função de

Corrente. Potencial de Velocidades.

Vorticidade. Ortogonalidade das Linhas de

Corrente e das Linhas Equipotenciais.

2

Álgebra Vectorial

• Gadiente 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 • Divergência 𝛻. 𝑉 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 . u𝑖 + v𝑗 + w𝑘 𝛻. 𝑉 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 • Rotacional 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝑐𝑢𝑟𝑙𝑉 = 𝛻 × 𝑉

Cinemática do Escoamento

• Campo de velocidades 𝑉 𝑟, 𝑡 = u 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑖 + v 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑗 + w 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑘 • Campo de acelerações 𝑎 𝑟, 𝑡 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑎 𝑟, 𝑡 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑u 𝑑𝑡 𝑖 + 𝑑v 𝑑𝑡 𝑗 + 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑘

4

Cinemática do Escoamento

• Atendendo a que cada uma das componentes do campo de velocidades depende x, y, z, e t, a derivada total de cada uma dessas componentes é

𝑑u 𝑑𝑡 = 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑u 𝑑𝑡 = 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑉. 𝛻𝑢 • Logo 𝑎 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑉 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝑎 = 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉. 𝛻𝑉

Conservação de Massa

𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0

6

Conservação de Massa

𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0

• Taxa de variação local 𝜕𝜌

𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• Fluxo através das superfícies do volume de controle 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

7

Conservação de Massa

𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 • Simplificando 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 = 0 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻. 𝜌𝑉 = 0 • Em coordenadas cilíndricas 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 1 𝑟 𝜕 𝑟𝜌𝑣_𝑟 𝜕𝑟 + 1 𝑟 𝜕 𝜌𝑣_𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕 𝜌𝑣_𝑧 𝜕𝑧 = 0

8

Conservação de Massa

• Escoamento permanente 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 = 0 𝛻. 𝜌𝑉 = 0 • Escoamento incompressível 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0 𝛻. 𝑉 = 0

Quantidade de Movimento Linear

• Dedução análoga à da conservação da massa, neste caso a propriedade é 𝜌𝑢𝑉 em vez de ρ𝑢 𝐹 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕 𝜕𝑡 𝜌𝑉 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜌𝑢𝑉 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜌𝑣𝑉 + 𝜕 𝜕𝑧 𝜌𝑤𝑉 • Como 𝜕 𝜕𝑡 𝜌𝑉 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜌𝑢𝑉 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜌𝑣𝑉 + 𝜕 𝜕𝑧 𝜌𝑤𝑉 = = 𝜌𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜌𝑢 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑉 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜌𝑣 𝜕𝑉 𝜕𝑦 + 𝑉 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜌𝑤 𝜕𝑉 𝜕𝑧 + 𝑉 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 = = 𝑉 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 + 𝜌 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑉 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑉 𝜕𝑧

10

Quantidade de Movimento Linear

• Vem

𝐹 = 𝜌 𝑑𝑉

𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• Determinação de 𝐹 :

– Forças de massa ou de corpo • Gravidade • Magnéticas; • Potencial eléctrico – Forças de superfície • Pressão • Tensão

Quantidade de Movimento Linear

• A força da gravidade sobre a massa diferencial 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 dentro do volume de controle

𝑑𝐹_𝑔 = 𝜌𝑔 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• Forças de superfície : pressão + tensões viscosas 𝜎_𝑖𝑗 = −𝑝 + 𝜏_𝑥𝑥 𝜏_𝑦𝑥 𝜏_𝑧𝑥 𝜏_𝑥𝑦 −𝑝 + 𝜏_𝑦𝑦 𝜏_𝑧𝑦 𝜏_𝑥𝑧 𝜏_𝑦𝑧 −𝑝 + 𝜏_𝑧𝑧 𝑑𝐹_{𝑥,𝑠𝑢𝑝} = 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜎_𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕𝜎_𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝐹_{𝑥,𝑠𝑢𝑝} = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏_𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏_𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕𝜏_𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

12

Quantidade de Movimento Linear

• Vem 𝜌𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝛻𝜏𝑖𝑗 • Se 𝜏_𝑖𝑗 = 0 𝜌 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝

Equação de Bernoulli

• Com o sistema de coordenadas coincidente com as linhas de corrente vem

𝑉 = 𝑉_𝑠𝑠 + 𝑉_𝑛𝑛

• As equações de Euler nestas coordenadas são 𝜕𝑉_𝑠 𝜕𝑡 + 𝑉𝑠 𝜕𝑉_𝑠 𝜕𝑠 + 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑠 + 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 0 𝜕𝑉_𝑛 𝜕𝑡 + 𝑉_𝑠2 𝑅 + 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑛 + 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = 0

14

Equação de Bernoulli

• Para escoamento permanente vem 𝑉_𝑠 𝜕𝑉𝑠 𝜕𝑠 + 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑠 + 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 0 𝑉_𝑠2 𝑅 + 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑛 + 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑛 = 0

• Integrando na direcção da linha de corrente, obtém-se 𝑝

𝜌 + 𝑉_𝑠2

Equação de Bernoulli

• Restrições à validade da Equação de Bernoulli

– Escoamento sem tensões de corte (Equação de Euler)

– Escoamento permanente

– Aplica-se ao longo de uma linha de corrente

– Aplica-se apenas se a gravidade e a massa específica são constantes

– Também só se aplica se não houver trabalho realizado sobre ou pelo fluido a partir de agentes exteriores (bombas, turbinas,…)

16

Quantidade de Movimento Linear

• “Voltanto” à equação de conservação da quantidade de movimento

𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝛻𝜏𝑖𝑗

• Para um fluido newtoniano as taxas de deformação são proporcionais às tensões viscosas e à viscosidade

𝜏_𝑖𝑗 = 𝜇 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥_𝑗 + 𝜕𝑢_𝑗 𝜕𝑥_𝑖 • Por exemplo, 𝜏_𝑥𝑧 = 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥

17

Quantidade de Movimento Linear

• Para as tensões normais 𝜏_𝑥𝑥 = 𝜇 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 − 2 3 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜏_𝑥𝑥 = 2𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 − 2 3 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜏_𝑥𝑥 = 2𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜆𝛻. 𝑉 • Onde 𝜆 = − 2 3 𝜇

• Se o escoamento for incompressível 𝜏_𝑥𝑥 = 2𝜇 𝜕𝑢

18

Quantidade de Movimento Linear

• Então, para fluido newtoniano com viscosidade e massa específica constantes vem

𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜈 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 + 𝑔𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑧 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + 𝜈 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑧2 + 𝑔𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜈 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑧2 + 𝑔𝑧 • Equação de Navier-Stokes

Energia

• Considerando 𝑒 = û + 1

2 𝑉

2 _{+ 𝑔𝑧 (energia por unidade de}

massa)

𝜌 𝑑𝑒

𝑑𝑡 = 𝛻 . 𝑞 − 𝛻 𝑉𝑝 + 𝛻 . 𝑉𝜏𝑖𝑗

• Introduzindo a Lei de Fourier

𝛻 . 𝑞 = 𝛻 . 𝑘𝛻𝑇

• Desenvolvendo o termo do trabalho viscoso 𝛻 . 𝑉𝜏_𝑖𝑗 = 𝑉 . 𝛻𝜏_𝑖𝑗 + Φ

20

Energia

• Onde Φ representa a função de dissipação viscosa, para um fluido viscoso incompressível newtoniano

Φ = 𝜇 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 2 + 2 𝜕𝑣 𝜕𝑦 2 + 2 𝜕𝑤 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 2 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑧 2 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥 2

• Substituindo as equações anteriores, e usando a equação da quantidade de movimento linear

𝜌 𝑑û

Energia

• Esta equação é válida:

– fluido newtoniano

– escoamento transiente

– escoamento compressível

– escoamento viscoso

– escoamento com condução de calor (excepto transferência de calor por radiação e fontes internas de calor que podem ocorrer durante uma reacção química)

• Com 𝑑û ≈ 𝑐_𝑣𝑑𝑇 e considerando 𝑐_𝑣, μ, k, e ρ ≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜌𝑐_𝑣 𝑑𝑇

𝑑𝑡 = 𝑘𝛻

22

Energia

• Para um fluido em repouso a convecção e a dissipação são desprezáveis

𝜌𝑐_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 = 𝑘𝛻

2_𝑇

Condições de fronteira

• Equações básicas 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻. 𝜌𝑉 = 0 𝜌𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝛻𝜏𝑖𝑗 𝜌 𝑑û 𝑑𝑡 = 𝛻 . 𝑘𝛻𝑇 − 𝑉. 𝛻𝑝 + Φ • Incógnitas 𝜌, 𝑉, 𝑝, û 𝑒 𝑇 • Equações de estado 𝜌 = 𝜌 𝑝, 𝑇 û = û 𝑝, 𝑇

24

Condições de fronteira

• Condições limites

– No instante 𝑡 = 0

– Em cada fronteira limitando o escoamento • Paredes

• Entrada /saída • Interfaces

Escoa/o incompressível com



e k

constantes

• Simplificações usadas frequentemente devido à boa aproximação em certos casos práticos

𝛻. 𝑉 = 0 𝜌𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻 2_𝑉 𝜌𝑐_𝑣 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑘𝛻 2_{𝑇 + Φ}

• Escoamento invíscido (p. ex. longe das paredes) 𝜌 𝑑𝑉

26

Função de corrente

• A função de corrente permite substituir

matematicamente duas variáveis por uma variável de ordem superior agrupando continuidade e conservação de quantidade de movimento 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤 𝜕𝑧 = 0 • Assim, se 𝑤 = 0 e 𝜕

𝜕𝑡 = 0, a equação continuidade fica

𝜕𝑢 𝜕𝑥 +

𝜕𝑣

Função de corrente

• Esta equação continua a ser satisfeita por uma 𝜓 𝑥, 𝑦 , se 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 0

• As derivadas cruzadas são iguais 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜓 𝜕𝑥

• Então a nova função 𝜓 terá de ser 𝑢 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝑒 𝑣 = − 𝜕𝜓

28

Função de corrente

• Ou 𝑉 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑖 − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑗

Do ponto de fisico, as linhas de

𝜓

constante representam

linhas de corrente, e a diferença entre dois valores de

𝜓

Função de corrente

• A vorticidade Ω = 𝑟𝑜𝑡𝑉 Ω = 𝛻 × 𝑉 • No caso 2-dimensional Ω = 2𝜔_𝑧𝑘 • Ou 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝛻 × 𝑉 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑘

30

Função de corrente

𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝜕 𝜕𝑥 − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 − 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑘 𝑟𝑜𝑡𝑉 = − 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑘 𝑟𝑜𝑡𝑉 = −𝛻2𝜓𝑘

Função de corrente

Considerando o rotacional da equação da quantidade de movimento 𝜕𝑟𝑜𝑡𝑉 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑟𝑜𝑡𝑉 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑟𝑜𝑡𝑉 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑟𝑜𝑡𝑉 𝜕𝑧 = 𝜈𝛻 2 _{𝑟𝑜𝑡𝑉}

• A equação para vorticidade em regime permanente e 2-dimensional 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑥 𝛻 2_{𝜓 −} 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝛻 2_{𝜓 = 𝜈𝛻}2 _𝛻2_𝜓

32

Função de corrente

• Por exemplo, para um escoamento uniforme na direcção x através de um corpo sólido, as quatro condições seriam

– No infinito 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝑈∞ 𝑒 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 0 – No corpo sólido 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 0

Função de corrente

• Considerando escoamento irrotacional Ω = 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝛻 × 𝑉 = 0 • Logo 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0 • E 𝛻2𝜓 = 0 𝜕2𝜓 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜓 𝜕𝑦2 = 0

34

Função de corrente

• As condições de fronteira reduz-se a

– No infinito

𝜓 = 𝑈_∞𝑦 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

– No corpo sólido

35

Interpretação geométrica de 𝝍

• Linhas de 𝜓 constante são linhas de corrente do escoamento

• Da definição de linha de corrente vem 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 • Ou 𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0

• Introduzindo a função de corrente 𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝜓

36

Interpretação geométrica de 𝝍

• O caudal entre dois pontos é igual à variação da função de corrente entre esses dois pontos

𝑄_1→2 = 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 2 1 = 𝑑𝜓 2 1 = 𝜓₂ − 𝜓₁

Vorticidade

• A vorticidade Ω = 𝑟𝑜𝑡𝑉 Ω = 𝛻 × 𝑉 Ω = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 Ω = 𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝑖 𝜕𝑢 𝜕𝑧 − 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝑗 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑘

38

Vorticidade

• No caso 2-dimensional Ω = 2𝜔_𝑧𝑘 Ω = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑘 • Se 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 𝛻 × 𝑉 = 0 • O escoamento é irrotacional

Escoamento irrotacional de fluidos não

viscosos

• Como se referiu anteriormente, neste caso a equação da quantidade de movimento reduz-se à equação de Euler

𝜌 𝑑𝑉

𝑑𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝

• A integração desta equação ao longo de uma linha de corrente conduziria à equação de Bernoulli

40

Potencial de velocidades

• Para um escoamento irrotacional 𝑟𝑜𝑡𝑉 = 0 • Ou 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0

• Esta é a condição para que 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑦 seja uma

diferencial exacta, ou seja, existe uma função 𝜙 𝑥, 𝑦 tal que 𝑑𝜙 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑦 = 0 𝑑𝜙 = 𝜕𝜙 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝜙 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 0

Potencial de velocidades

• Com 𝑢 = 𝜕𝜙 𝜕𝑥 𝑒 𝑣 = 𝜕𝜙 𝜕𝑦 • Aplicando continuidade 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0 • Vem 𝜕2𝜙 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜙 𝜕𝑦2 = 0

42

Ortogonalidade das linhas de corrente e

das linhas equipotenciais

• Se um escoamento é irrotacional e também é descrito por apenas duas coordenadas, ambas as funções 𝜓 e 𝜙 existem, e as linhas de corrente e equipotenciais são mutuamente ortogonais em todos os locais excepto no ponto de estagnação 𝑢 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝜕𝜙 𝜕𝑥 𝑒 𝑣 = − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 𝜕𝜙 𝜕𝑦

• Uma linha de 𝜙 constante seria tal que a variação de 𝜙 é nula

𝑑𝜙 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑦 = 0 𝑑𝜓 = 𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0

Ortogonalidade das linhas de corrente e

das linhas equipotenciais

• Resolvendo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝜙=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = −𝑢 𝑣 = − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 _{𝜓=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡}

• Condição matemática para que as linhas 𝜓 e 𝜙 sejam ortogonais, se 𝑢 ≠ 0 e 𝑣 ≠ 0

44

Exercícios

Num escoamento, o campo de velocidades é expresso por: 𝑉 = 4𝑡𝑥𝑖 − 2𝑡2𝑦𝑗 + 4𝑥𝑧𝑘

a) Caracterize o escoamento assim definido;

b) Determine, no ponto 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1,1,0 , o vector aceleração;

c) Determine, no mesmo ponto, o vector unitário normal ao vector aceleração.

Exercícios

No injector da figura, o campo de velocidades é 𝑉 = 𝑉₀ 1 + 2𝑥

𝐿 𝑖

a) Determine a aceleração à saída;

b) Calcule o tempo que uma partícula demora entre a entrada e a saída.

46

Exercícios

Num escoamento estacionário, incompressível e invíscido, o campo de velocidades é dado por:

𝑉 = 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2𝑗

Se a massa específica do fluido for 𝜌₀ e se desprezar as forças gravíticas, calcule o gradiente de pressões na direcção Ox.

Exercícios

Um fluido viscoso em movimento laminar, com uma espessura constante, na placa inclinada da figura. sabe-se o perfil de velocidade é definido por:

𝑢 = 𝐶𝑦 2ℎ − 𝑦 𝑣 = 0 𝑤 = 0

Calcule a constante C, em função do peso específico, da viscosidade e do ângulo de inclinação da placa.