ATIVIDADES COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA Professores: Lavínia Ferreira
Alexandre Fonseca
Turmas: 1º Anos Semana PET: 3
Volume PET: 2 Páginas:26, 27, 28, 29, 30, 31 Plano Cartesiano
Plano cartesiano é um método criado pelo filósofo e matemático francês, René Descartes. Trata-se de dois eixos perpendiculares que pertencem a um plano em comum.
Descartes criou esse sistema de coordenadas para demonstrar a localização de alguns pontos no espaço.
Para localizar pontos num plano cartesiano, devemos ter em conta algumas indicações importantes. A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas (y). Já a linha horizontal é chamada de eixo das abscissas (x). Com a intersecção dessas linhas temos a formação de 4 quadrantes:
• 1.º quadrante: os números sempre serão positivos: x > 0 e y > 0 • 2.º quadrante: os números são negativos ou positivos: x < 0 e y > 0 • 3.º quadrante: os números são sempre negativos: x < 0 e y < 0.
• 4.º quadrante: os números podem ser positivos ou negativos: x > 0 e y < 0
Exemplos
As coordenadas cartesianas são representadas por dois números entre parênteses, os quais são chamados de elementos:
Exercício (1): Localize os pares ordenados no plano cartesiano:
a) (-9, 4) b) (8, 3) c) (0, -3) d) (-4, -9) e) (8, 0)
Exercício (2): Dada a equação y = 2x + 5 encontre o valor de y para x igual a:
a) x=- 2 b) x = -1 c) x = -3
Em seu caderno, faça o plano cartesiano e localize os pontos referente aos pares ordenados encontrados no exercício 2.
Exercício (3): Determine k para que o ponto A (2k – 8, 5) pertença ao primeiro quadrante.
Exercício (4): Determinar x de modo que o ponto P (2x + 1, 3x – 6) pertença ao quarto quadrante. Exercício (5): Para que valores reais de x o ponto Q (x² - 9, 7) pertence ao eixo das ordenadas? Equações de 1º grau com duas incógnitas
As equações do 1º grau com duas incógnitas são representadas pela expressão ax + by = c, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c assumindo qualquer valor real. Nesse modelo de equação, os valores de x e y estão ligados através de uma relação de dependência. Observe exemplos de equações com duas incógnitas:
10x – 2y = 0 x – y = – 8
Essa relação de dependência pode ser denominada de par ordenado (x, y) da equação, os valores de x dependem dos valores de y e vice versa. Atribuindo valores a qualquer uma das incógnitas
descobrimos os valores correlacionados a elas. Por exemplo, na equação 3x + 7y = 5, vamos substituir o valor de y por 2:
3x + 7.2 = 5 3x + 14 = 5 3x = 5 – 14 3x = – 9 x = – 9 / 3 x = – 3
Temos que para y = 2, x = – 3, estabelecendo o par ordenado (–3, 2).
Agora é sua vez!
1)Complete o quadro. Equação x Operação y 2x + 3y = 8 -1 2.(-1) +3y = 8 3y = 8 +2 3y = 10 Y = 10/3 Y= 10/3 2x + 3y = 8 0 2x + 3y = 8 1 2x + 3y = 8 3
2) Dada a equação x – 4y = –15, determine os pares ordenados para os valores de x abaixo: a) x= -3 b) x = -2
c) x= -1 d) x = 0
e) x= 1 f) x = 2
Sistemas de Equações do 1º Grau – Exercícios
Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita.
Resolver um sistema é encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas essas equações. Muitos problemas são resolvidos através de sistemas de equações. Portanto, é importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo.
Exemplo 01- Método da substituição
Faetec – 2012/Carlos resolveu, em um final de semana, 36 exercícios de matemática a mais que Nilton. Sabendo que o total de exercícios resolvidos por ambos foi 90, o número de exercícios que Carlos resolveu é igual a:
Considerando x como o número de exercícios resolvidos por Carlos e y o número de exercícios resolvidos por Nilton, podemos montar o seguinte sistema:
Substituindo x por y + 36 na segunda equação, temos: y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36
Substituindo esse valor na primeira equação: x = 27 + 36
x = 63
Carlos resolveu 27 exercícios e Nilton resolveu 63.
Exemplo 02-Método da Adição
Enem/PPL – 2015-Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros, e, ao final, recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?
Sendo x o número de tiros que acertou o alvo e y o número de tiros errados, temos o seguinte sistema:
Podemos resolver esse sistema pelo método da adição, iremos multiplicar todos os termos da segunda equação por 10 e somar as duas equações:
Portanto, o participante acertou 30 vezes o alvo.
Exercícios
1) Colégio Pedro II – 2014/De uma caixa contendo B bolas brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 bolas brancas, permanecendo entre as bolas restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. Em
seguida, retiraram-se 10 pretas, restando, na caixa, um número de bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de equações que permite determinar os valores de B e P pode ser representado por:
2) Enem – 2000-Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:(resolva pelo método que achar melhor)
a)20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
3) Aprendizes de Marinheiro – 2016-Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 real. Sabendo que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas, determine, respectivamente, as quantidades de moedas de 50 centavos e de um real que foram utilizadas no pagamento do lanche e assinale a opção correta.
a) 5 e 7 b) 4 e 8 c) 6 e 6 d) 7 e 5 e) 8 e 4 4) Encontre o conjunto solução dos sistemas abaixo.
a){2𝑥 + 3𝑦 = 16
𝑥 + 5𝑦 = 1 b){
𝑥 + 𝑦 = 8 𝑥 + 1 = 2𝑦
