ResoluçãoResoluçãode Sistemas de de Sistemas de Equações Lineares [ii]Equações Lineares [ii]

(1)

Autarquia Ensino Superior de Garanhuns – AESGA Faculdades de Integradas de Garanhuns – FACIGA Curso de Engenharia Civil

Professor: Carlos Eduardo de Oliveira

Disciplina: Álgebra Linear Período Letivo: 2019.1

Resolução Resolução

de Sistemas de de Sistemas de

Equações Lineares [ii]

(Notas de Aula 08)

(2)

Resolução de Sistemas Lineares Resolução de Sistemas Lineares

Método da Substituição

Consiste em isolar uma variável (colocar uma variável em função das outras), a partir de uma equação, e substituir seu valor nas outras equações equações.

Método da Adição

Consiste em somar uma equação a outra, com o

objetivo de eliminar uma (ou mais) incógnitas nas outras

equações. As vezes, antes, precisamos multiplicar a(s)

equação(ões) por uma constante.

(3)

Resolução de Sistemas Lineares Resolução de Sistemas Lineares

Método do Escalonamento

Consiste em eliminar a(s) variável(is) das equações do sistema por meio de operações elementares realizadas nas equações.

Antes de fazer tais operações é importante escrever o sistema na sua forma matricial ampliada. Por exemplo:

⇒ [ ³ ¹ ⁻ ¹ ^{1 0} ² ]

{ ³ ^x ^x ⁻ ⁺ ^y ^y ⁼⁰ ⁼ ² ^⇒ [ ³ ¹ ⁻¹ ¹ ] ^⋅ [ ^x ^y ] ⁼ [ ² ⁰ ]

Matriz Ampliada

Sistema

(4)

Estes três itens são conhecidos como

Operações Elementares sobre as Linhas de uma Matriz Operações Elementares sobre as Linhas de uma Matriz.

A utilização dessas operações não descaracterizam a matriz inicial, apenas determina uma matriz equivalente.

Operações Elementares Operações Elementares

Sobre uma matriz qualquer, valem as seguintes operações:

• Trocar a posição de duas linhas da matriz;

• Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;

• Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra

linha.

(5)

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Este método consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema de equações lineares até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução.

Vamos procurar obter uma matriz em uma forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro primeiro

elemento não nulo

elemento não nulo (chamado pivô pivô) o número 1.

Além disso, na coluna que contém o pivô todos os seus

outros elementos terão que ser iguais a zero.

(6)

Vamos a um exemplo. Considere o seguinte sistema:

x  y  z = 1000 2 x  y  4 z = 2000 2 x  3 y  5 z = 2500

[ ^{1 1 1} ^{2 1 4} ^{2 3 5} ] ^⋅ [ ^x ^y ^z ] ⁼ [ ¹⁰⁰⁰ ²⁰⁰⁰ ²⁵⁰⁰ ]

Na forma matricial, temos,

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(7)

Escrevendo o sistema S na forma da matriz ampliada

[ ^{1 1 1 1000} ^{2 1 4 2000} ^{2 3 5 2500} ]

Aplicando o Método de Gauss-Jordan para 1ª eliminação, podemos escolher o elemento da primeira linha e da primeira coluna para ser o pivô. Os demais elementos dessa coluna deverão ser iguais a zero.

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(8)

Aplicando operações elementares nas 2ª e 3ª linhas:

[ ^{1 1 1 1000} ^{2 1 4 2000} ^{2 3 5 2500} ] ^L ^L ² ³ ^−2 ^−2 ^⋅ ^⋅ ^L ^L ¹ ¹ ^ ^ ^L ^L ³ ²

Resultando em na matriz equivalente

(1ª) [ ¹ ⁰ ⁰ ^{−1 2} ¹ ¹ ^{1 1000} ³ ⁵⁰⁰ ⁰ ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(9)

Para escolher como pivô o elemento da segunda linha e segunda coluna, precisamos multiplicar a linha 2 por (-1):

Resultando em

(2ª)

[ ¹ ⁰ ⁰ ^{−1 2} ¹ ¹ ^{1 1000} ³ ⁵⁰⁰ ⁰ ] ^L ² ^{ −1} ^⋅ ^L ² [ ^{1 1} ^{0 1} ^{0 1} ⁻² ¹ ³ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(10)

Resultando em

(3ª)

[ ^{1 1} ^{0 1} ^{0 1} ⁻² ¹ ³ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ] ^L ^L ¹ ³ ^−1 ^−1 ^⋅ ^⋅ ^L ^L ² ² ^ ^ ^L ^L ¹ ³

Aplicando operações elementares nas 1ª e 3ª linhas:

[ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ⁵ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(11)

Para escolher como pivô o elemento da terceira linha e terceira coluna, precisamos dividir a linha 3 por (+5):

Resultando em

(4ª)

[ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ⁵ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ] ^L ³ ^ ^ ¹ ⁵ ^ ^⋅ ^L ³ [ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ¹ ¹⁰⁰⁰ ¹⁰⁰ ⁰ ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(12)

Resultando em

(5ª)

[ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ¹ ¹⁰⁰⁰ ¹⁰⁰ ⁰ ] ^L ^L ¹ ² ^{ −3} ^2 ^⋅ ^⋅ ^L ^L ³ ³ ^ ^ ^L ^L ¹ ²

Aplicando operações elementares nas 1ª e 2ª linhas:

[ ^{1 0 0 700} ^{0 1 0 200} ^{0 0 1 100} ] ^⇒ ^x ^y ^z ⁼ ⁼ ⁼ ⁷⁰⁰ ²⁰⁰ ¹⁰⁰

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(13)

Tem como solução

Portanto, o sistema inicial

X = [ ^x ^y ^z ] ⁼ [ ⁷⁰⁰ ¹⁰⁰ ²⁰⁰ ]

x  y  z = 1000 2 x  y  4 z = 2000 2 x  3 y  5 z = 2500

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

(14)

Matriz Escalonada Matriz Escalonada

Definição: Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições:

(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;

(b) O pivô (1º elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual a 1;

(c) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior.

(d) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus

outros elementos são iguais a zero.

(15)

Exercícios: Resolva utilizando o Método de Gauss- Jordan os seguintes sistemas.

{ ² ^x ^x ^x ⁻ ⁺ ⁺ ³ ⁵ ⁴ ^y ^y ^y ⁻ ⁺ ⁺ ⁴ ³ ² ^z ^z ^z ⁼ ⁼ ⁼ ¹ ⁴ ⁵

{ ² ^x ^x ⁻ ⁺ ² ⁵ ^y ^y ⁺ ⁺ ⁶ ³ ^z ^z ⁼ ⁼ ⁰ ⁰ { ^x ^x ^x ^x ⁺ ⁺ ⁺ ⁻ ^y ^y ^y ^y ⁺ ⁺ ⁻ ⁺ ^z ^z ^z ^z ⁺ ⁻ ⁺ ⁺ ^w ^w ^w ^w ⁼ ⁼ ⁼⁻⁴ ⁼ ⁰ ⁴ ²

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

{ ³ ² ^x ^x ^x ⁻ ⁺ ⁺ ^y ^y ^y ⁻ ⁺ ⁺ ^z ^z ^z ⁼ ⁼ ⁼³ ⁷ ⁹

ResoluçãoResoluçãode Sistemas de de Sistemas de Equações Lineares [ii]Equações Lineares [ii]

Autarquia Ensino Superior de Garanhuns – AESGA Faculdades de Integradas de Garanhuns – FACIGA Curso de Engenharia Civil

Professor: Carlos Eduardo de Oliveira

Disciplina: Álgebra Linear Período Letivo: 2019.1

Resolução Resolução

de Sistemas de de Sistemas de

Equações Lineares [ii]

Equações Lineares [ii]

(Notas de Aula 08)

Resolução de Sistemas Lineares Resolução de Sistemas Lineares

Método da Substituição

Consiste em isolar uma variável (colocar uma variável em função das outras), a partir de uma equação, e substituir seu valor nas outras equações equações.

Método da Adição

Consiste em somar uma equação a outra, com o

objetivo de eliminar uma (ou mais) incógnitas nas outras

equações. As vezes, antes, precisamos multiplicar a(s)

equação(ões) por uma constante.

Resolução de Sistemas Lineares Resolução de Sistemas Lineares

Método do Escalonamento

Consiste em eliminar a(s) variável(is) das equações do sistema por meio de operações elementares realizadas nas equações.

Antes de fazer tais operações é importante escrever o sistema na sua forma matricial ampliada. Por exemplo:

⇒ [ 3 1 − 1 1 0 2 ]

{ 3 x x − + y y =0 = 2 ⇒ [ 3 1 −1 1 ] ⋅ [ x y ] = [ 2 0 ]

Matriz Ampliada

Sistema

Estes três itens são conhecidos como

Operações Elementares sobre as Linhas de uma Matriz Operações Elementares sobre as Linhas de uma Matriz.

A utilização dessas operações não descaracterizam a matriz inicial, apenas determina uma matriz equivalente.

Operações Elementares Operações Elementares

Sobre uma matriz qualquer, valem as seguintes operações:

• Trocar a posição de duas linhas da matriz;

• Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;

• Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra

linha.

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Este método consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema de equações lineares até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução.

Vamos procurar obter uma matriz em uma forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro primeiro

elemento não nulo

elemento não nulo (chamado pivô pivô) o número 1.

Além disso, na coluna que contém o pivô todos os seus

outros elementos terão que ser iguais a zero.

Vamos a um exemplo. Considere o seguinte sistema:

x  y  z = 1000 2 x  y  4 z = 2000 2 x  3 y  5 z = 2500

[ 1 1 1 2 1 4 2 3 5 ] ⋅ [ x y z ] = [ 1000 2000 2500 ]

Na forma matricial, temos,

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Escrevendo o sistema S na forma da matriz ampliada

[ 1 1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500 ]

Aplicando o Método de Gauss-Jordan para 1ª eliminação, podemos escolher o elemento da primeira linha e da primeira coluna para ser o pivô. Os demais elementos dessa coluna deverão ser iguais a zero.

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Aplicando operações elementares nas 2ª e 3ª linhas:

[ 1 1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500 ] L L 2 3 −2 −2 ⋅ ⋅ L L 1 1   L L 3 2

Resultando em na matriz equivalente

(1ª) [ 1 0 0 −1 2 1 1 1 1000 3 500 0 ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Para escolher como pivô o elemento da segunda linha e segunda coluna, precisamos multiplicar a linha 2 por (-1):

Resultando em

(2ª)

[ 1 0 0 −1 2 1 1 1 1000 3 500 0 ] L 2  −1 ⋅ L 2 [ 1 1 0 1 0 1 −2 1 3 1000 500 0 ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Resultando em

(3ª)

[ 1 1 0 1 0 1 −2 1 3 1000 500 0 ] L L 1 3 −1 −1 ⋅ ⋅ L L 2 2   L L 1 3

Aplicando operações elementares nas 1ª e 3ª linhas:

[ 1 0 0 1 0 0 −2 3 5 1000 500 0 ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Para escolher como pivô o elemento da terceira linha e terceira coluna, precisamos dividir a linha 3 por (+5):

Resultando em

(4ª)

[ 1 0 0 1 0 0 −2 3 5 1000 500 0 ] L 3   1 5  ⋅ L 3 [ 1 0 0 1 0 0 −2 3 1 1000 100 0 ]

Método de Gauss-Jordan Método de Gauss-Jordan

(escalonamento)

Resultando em

(5ª)

⇒ [ ³ ¹ ⁻ ¹ ^{1 0} ² ]

{ ³ ^x ^x ⁻ ⁺ ^y ^y ⁼⁰ ⁼ ² ^⇒ [ ³ ¹ ⁻¹ ¹ ] ^⋅ [ ^x ^y ] ⁼ [ ² ⁰ ]

[ ^{1 1 1} ^{2 1 4} ^{2 3 5} ] ^⋅ [ ^x ^y ^z ] ⁼ [ ¹⁰⁰⁰ ²⁰⁰⁰ ²⁵⁰⁰ ]

[ ^{1 1 1 1000} ^{2 1 4 2000} ^{2 3 5 2500} ]

[ ^{1 1 1 1000} ^{2 1 4 2000} ^{2 3 5 2500} ] ^L ^L ² ³ ^−2 ^−2 ^⋅ ^⋅ ^L ^L ¹ ¹ ^ ^ ^L ^L ³ ²

(1ª) [ ¹ ⁰ ⁰ ^{−1 2} ¹ ¹ ^{1 1000} ³ ⁵⁰⁰ ⁰ ]

[ ¹ ⁰ ⁰ ^{−1 2} ¹ ¹ ^{1 1000} ³ ⁵⁰⁰ ⁰ ] ^L ² ^{ −1} ^⋅ ^L ² [ ^{1 1} ^{0 1} ^{0 1} ⁻² ¹ ³ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ]

[ ^{1 1} ^{0 1} ^{0 1} ⁻² ¹ ³ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ] ^L ^L ¹ ³ ^−1 ^−1 ^⋅ ^⋅ ^L ^L ² ² ^ ^ ^L ^L ¹ ³

[ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ⁵ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ]

[ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ⁵ ¹⁰⁰⁰ ⁵⁰⁰ ⁰ ] ^L ³ ^ ^ ¹ ⁵ ^ ^⋅ ^L ³ [ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ¹ ¹⁰⁰⁰ ¹⁰⁰ ⁰ ]

[ ^{1 0} ^{0 1} ^{0 0} ⁻² ³ ¹ ¹⁰⁰⁰ ¹⁰⁰ ⁰ ] ^L ^L ¹ ² ^{ −3} ^2 ^⋅ ^⋅ ^L ^L ³ ³ ^ ^ ^L ^L ¹ ²

[ ^{1 0 0 700} ^{0 1 0 200} ^{0 0 1 100} ] ^⇒ ^x ^y ^z ⁼ ⁼ ⁼ ⁷⁰⁰ ²⁰⁰ ¹⁰⁰

X = [ ^x ^y ^z ] ⁼ [ ⁷⁰⁰ ¹⁰⁰ ²⁰⁰ ]

{ ² ^x ^x ^x ⁻ ⁺ ⁺ ³ ⁵ ⁴ ^y ^y ^y ⁻ ⁺ ⁺ ⁴ ³ ² ^z ^z ^z ⁼ ⁼ ⁼ ¹ ⁴ ⁵

{ ² ^x ^x ⁻ ⁺ ² ⁵ ^y ^y ⁺ ⁺ ⁶ ³ ^z ^z ⁼ ⁼ ⁰ ⁰ { ^x ^x ^x ^x ⁺ ⁺ ⁺ ⁻ ^y ^y ^y ^y ⁺ ⁺ ⁻ ⁺ ^z ^z ^z ^z ⁺ ⁻ ⁺ ⁺ ^w ^w ^w ^w ⁼ ⁼ ⁼⁻⁴ ⁼ ⁰ ⁴ ²

{ ³ ² ^x ^x ^x ⁻ ⁺ ⁺ ^y ^y ^y ⁻ ⁺ ⁺ ^z ^z ^z ⁼ ⁼ ⁼³ ⁷ ⁹