Capítulo 3. Vibração amortecida e acoplada de partículas

Cap´ıtulo 3

Vibra¸

c˜

ao amortecida e

acoplada de part´ıculas

O amortecimento ´e um mecanismo de retardo capaz de reduzir a

ampli-tude de vibra¸c˜ao de um sistema. Em um amortecedor mecˆanico cl´assico, a

for¸ca de retardo associado ao amortecedor ´e diretamente proporcional `a

ve-locidade do corpo sujeito ao amortecimento [1]. Neste cap´ıtulo, estudaremos

apenas o caso para baixas velocidades, pois nesta situa¸c˜ao apenas a

viscosi-dade do fluido ´e levado em considera¸c˜ao. Em altas velocidades, o regime de

turbulˆencia tamb´em deve ser levado em conta [1]. Desta forma, para obter

uma representa¸c˜ao matem´atica da for¸ca de amortecimento F (v) para baixas

velocidades, realizamos uma expans˜ao em s´eries de Taylor da F (v) em torno

de v0 = 0: F (v) = F0+ v  dF dv  v0=0 + 1 2!v 2 d2F dv2  v0=0 + . . . (3.1)

em que os termos igual ou maior que v2 podem ser desprezados, pois s˜ao

significativos apenas para velocidade elevadas. A for¸ca F0 ´e zero quando o

amortecedor est´a em repouso (v0 = 0). Assim, a for¸ca de amortecimento

para baixas velocidades pode ser escrita como:

F (v) = v dF

dv 

v0=0

= −bv (3.2)

em que b = −(dF/dv)v0=0 ´e uma constante associada ao amortecimento. O

sinal negativo indica que F ´e uma for¸ca de retardo. Nas se¸c˜oes que seguem,

usaremos o resultado 3.2 para simular o amortecimento. 1

3.1

Vibra¸

c˜

ao amortecida

O modelo f´ısico mais simples de um sistema massa-mola amortecido ´e

re-presentado na figura 3.1. Consideraremos um corpo de massa m posicionado sobre uma superf´ıcie sem atrito e preso na extremidade de uma mola, com

constante el´astica k, e de um amortecedor, com constante b. Tanto a mola

quanto o amortecedor est˜ao presos em uma parede r´ıgida im´ovel.

m

k

F(t)

b

Figura 3.1: Sistema massa-mola amortecido.

Pela segunda lei de Newton, a equa¸c˜ao geral do movimento ´e dada por:

md

2_x

dt2 = F (t) − kx − b

dx

dt, (3.3)

em que F (t) ´e a for¸ca externa respons´avel pela excita¸c˜ao do sistema. Para

simular o modelo, vamos usar as mesmas grandezas do cap´ıtulo anterior:

m = 1, 0 kg e k = 25 N/m. Nas pr´oximas se¸c˜oes, analisaremos o modelo

amortecido da vibra¸c˜ao realizada com excita¸c˜ao unit´aria e a vibra¸c˜ao for¸cada.

Em todos os casos, a equa¸c˜ao 3.3 ser´a resolvida com o m´etodo de

Runge-Kutta de quarta ordem (ode4) com passo fixo de 0,001.

3.1.1

Excita¸

c˜

ao com impulso unit´

ario

Um corpo em vibra¸c˜ao amortecida e excitado por um impulso unit´ario

pode operar em trˆes regimes: subamortecido, criticamente amortecido e

su-peramortecido. Cada um destes regimes pode ser identificado pelo fator de amortecimento viscoso ζ [2]:

ζ = b

2mω0

em que ω0 ´e frequˆencia natural de vibra¸c˜ao. Quando ζ < 1, o regime de

opera¸c˜ao ´e subamortecido. Isto significa que o corpo possui movimento

peri´odico em torno do ponto de equil´ıbrio com redu¸c˜ao exponencial da

am-plitude de oscila¸c˜ao at´e o movimento cessar completamente. Para ζ > 1, o

movimento ´e classificado como superamortecido. Neste caso, o movimento

n˜ao ´e peri´odico e o corpo cessa o movimento na primeira passagem pelo ponto

de equil´ıbrio. Quando ζ = 1, o sistema est´a no limiar dos regimes

anterio-res, sendo classificado como regime criticamente amortecido. Fisicamente, o

movimento neste caso ´e similar ao movimento no regime superamortecido.

Com os valores adotados para m e k, usaremos b = 1, 10 e 100 kg/s para simular os regimes subamortecido, criticamente amortecido e

superamorte-cido, respectivamente. O diagrama utilizado para resolver o modelo ´e similar

ao do cap´ıtulo anterior. A ´unica diferen¸ca ´e a inser¸c˜ao de um bloco de ganho

entre os blocos “Integrator ” e “Integrator1 ”, seguido de um bloco somador. Veja a figura 3.2.

Figura 3.2: Diagrama para solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 3.3.

Os resultados apresentados na fig. 3.3 foram simulados com a aplica¸c˜ao de

um impulso unit´ario I = F ∆t = 1, 0 Ns e largura de 0,1 s para 0 ≤ t ≤ 10 s.

Observe que al´em da mudan¸ca no comportamento qualitativo das solu¸c˜oes,

h´a tamb´em mudan¸cas na amplitude m´axima de cada regime de opera¸c˜ao.

Com o aumento do fator de amortecimento viscoso, a amplitude m´axima de

vibra¸c˜ao reduziu de 17 cm, no regime subamortecido, para 7,3 e 1,0 cm nos

regimes criticamente amortecido e superamortecido, respectivamente. No en-tanto, o sistema entra em repouso mais rapidamente no regime criticamente

su-peramortecido. Isto ´e causado pela elevada viscosidade do fluido no regime superamortecido que impede o corpo de entrar em repouso rapidamente.

0 5 1 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 0 4 8 0 , 0 2 , 0 4 , 0 6 , 0 8 , 0 1 0 , 0 0 4 8 1 2 ∆t = 0 , 1 s Fo rç a (N ) b = 1 k g / s (ζ = 0 , 1 ) b = 1 0 k g / s ( ζ = 1 ) Po siç ão (m m ) Po siç ão (c m ) Po siç ão (c m ) b = 1 0 0 k g / s (ζ = 1 0 )

T e m p o ( s )

Figura 3.3: Solu¸c˜oes da 3.3 para diversos fatores de amortecimento. Para

visualizar estes gr´aficos diretamente no Simulink, lembre-se que basta clicar

duas vezes no bloco “Scope”.

A representa¸c˜ao da energia mecˆanica, cin´etica e potencial el´astica ´e

ilus-trado na figura 3.4. Com a presen¸ca do amortecedor, a energia mecˆanica

n˜ao ´e conservada (K + U 6= constante) devido o trabalho negativo realizado

pela for¸ca de amortecimento. No regime superamortecido, a energia cin´etica

se aproxima de zero rapidamente ap´os a aplica¸c˜ao do impulso unit´ario e a

energia potencial el´astica ´e dissipada lentamente (v ≈ 0) at´e o corpo retornar

para a posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Desta forma, a opera¸c˜ao do sistema pr´oximo do

regime criticamente amortecido ´e o mais adequada quando deseja-se cessar

o movimento rapidamente.

3.1.2

Excita¸

c˜

ao com for¸

ca peri´

odica

Com excita¸c˜ao externa peri´odica na forma senoidal, com aux´ılio do bloco

“Sine Wave”, o sistema possui comportamento peri´odico, entretanto, com

0 5 1 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 0 0 , 1 0 , 2 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 0 , 0 2 , 0 4 , 0 6 , 0 Fo rç a (N ) ∆t = 0 , 1 s U K U b = 1 k g / s (ζ = 0 , 1 ) E ne rgia (J ) E m e c b = 1 0 k g / s (ζ = 1 ) E ne rg ia (J ) K b = 1 0 0 k g / s (ζ = 1 0 ) E ne rg ia ( m J) T e m p o ( s )

Figura 3.4: Energia cin´etica do sistema massa-mola amortecido em diversos

regimes de opera¸c˜ao.

A excita¸c˜ao peri´odica foi implementada no diagrama da figura 3.2. A

fi-gura 3.5 apresenta a anima¸c˜ao do problema com a frequˆencia de excita¸c˜ao

operando no valor da ressonˆancia (5 rad/s). Entretanto, devido a presen¸ca

do amortecimento, a amplitude de oscila¸c˜ao entra em regime estacion´ario.

O comportamento da for¸ca el´astica (Fe) indica que a amplitude m´axima de

oscila¸c˜ao ´e x = Fe/k = 10/25 = 0, 4 m. A amplitude da for¸ca externa foi

mantida em 2,0 N. O c´odigo desta anima¸c˜ao n˜ao ´e apresentado e fica como

exerc´ıcio para o leitor, considerando que h´a poucas mudan¸cas em rela¸c˜ao ao

c´odigo apresentado no cap´ıtulo anterior.

3.2

Vibra¸

c˜

ao acoplada livre

A vibra¸c˜ao acoplada ´e um problema fundamental em muitas ´areas da

f´ısica e engenharia como, por exemplo, no estudo de ondas el´asticas em

s´olidos e a simula¸c˜ao de suspens˜ao veicular [2, 3]. Os estudos das pr´oximas

se¸c˜oes ser˜ao direcionados para a obten¸c˜ao de um modelo capaz de simular

uma suspens˜ao veicular passiva. Consideremos o modelo geral apresentado

0 5 10 15 -10 -5 0 5 10 Tempo (s) Força (N) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 F_ext F_a F_e Posição x (m) Posição y (m) 0 5 10 15 -10 -5 0 5 10 Tempo (s) Força (N) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 F_ext F_e F_a Posição x (m) Posição y (m)

Figura 3.5: Part´ıcula em movimento harmˆonico amortecido com excita¸c˜ao

for¸cada. As figuras mostram 2/100 quadros gerados na anima¸c˜ao. As curvas

em preto, azul e vermelho representam os valores da for¸ca el´astica (Fe), for¸ca

externa (Fext) e for¸ca de amortecimento (Fa), respectivamente.

uma parede r´ıgida e est´atica por meio de molas e constantes k1 e k2 e

amor-tecedores b1 e b2. O movimento de ambas as massas ´e representada pelas

equa¸c˜oes 3.5 e 3.6. As vari´aveis x1 e x2 representam as deforma¸c˜oes das

mo-las 1 e 2, respectivamente. ´E comum dizer que este modelo possui dois graus

de liberdade (duas posi¸c˜oes). Para demonstr´a-las, considere o diagrama de

for¸cas apresentado na figura 3.7. Neste exemplo, a for¸ca externa ´e aplicada

sobre a massa m2, no entanto, poderia ser aplicada sobre a massa m1 ou nas

duas massas simultaneamente. Outro caso, que ser´a usado para simular a

suspens˜ao automotiva, ´e a vibra¸c˜ao da base onde a mola 1 est´a presa. Neste

caso precisamos alterar os dois ´ultimos termos da equa¸c˜ao 3.5. Faremos isto

em breve.

m

k

F(t)

b

m

k

b

Figura 3.6: Sistema massa-mola acoplado.

m1 d2x1 dt2 = −k2(x1− x2) − b2 d dt(x1− x2) − k1x1− b1 dx1 dt , (3.5)

m2 d2x2 dt2 = F (t) − k2(x2− x1) − b2 d dt(x2 − x1), (3.6) m1 m2 – k1x1 – b1dx1/dt – b2d(x1 – x2)/dt – k2(x₁ – x2) – k2(x₂ – x1) – b2d(x₂ – x1)/dt F(t)

Figura 3.7: Diagrama de for¸cas no sistema massa-mola acoplado. Os vetores

em vermelho, azul e preto representa, respectivamente, as for¸cas el´astica, de

amortecimento e externa.

O diagrama de blocos deste modelo ´e representado pela figura 3.8. O

exemplo apresenta a excita¸c˜ao causada por um impulso de 5,0 Ns (50 N

aplicados durante 0,1 s). Para simular este modelo foram escolhidos valores

arbitr´arios para a constantes: m1 = 0,5 kg (m−11 = 2 kg−1), m2 = 0,25 kg

(m−1₂ = 4 kg−1), b1 = 1,0 kg/s, b2 = 3,0 kg/s, k1 = 10 N/m e k2 = 5,0 N/m.

A demonstra¸c˜ao deste diagrama fica como exerc´ıcio para o leitor. A dica

geral ´e abrir e separar todos os termos das equa¸c˜oes 3.5 e 3.6 para facilitar a

organiza¸c˜ao dos blocos.

Para iniciar os estudos deste modelo, analisaremos a vibra¸c˜ao livre (as

constantes de amortecimento s˜ao nulas). Para isso, basta retirar os blocos

Gain 2 (b2), Gain 5 (b2) e Gain 7 (b1) do diagrama da figura 3.8 ou

sim-plesmente adicionar um ganho nulo. A deforma¸c˜ao das molas em fun¸c˜ao do

tempo sem a atua¸c˜ao dos amortecedores ´e apresentada na figura 3.9. Uma

das propriedades deste sistema ´e a conserva¸c˜ao da energia ap´os a aplica¸c˜ao

do impulso externo. A energia mecˆanica deve ser constante.

Neste problema ´e esperado que o sistema massa-mola oscile

periodica-mente; desta forma, a solu¸c˜ao geral (no modo estacion´ario) pode ser

repre-sentada pelas equa¸c˜oes:

x1(t) = A1eiωt (3.7)

x2(t) = A2eiωt (3.8)

em que ω ´e a frequˆencia natural de oscila¸c˜ao e apenas a solu¸c˜ao real traz

informa¸c˜ao real. Substituindo as equa¸c˜oes 3.7 e 3.8 nas equa¸c˜oes 3.5 e 3.6,

assumindo F = 0 (sem for¸ca externa e sem amortecimento), obtemos as

frequˆencias ω1 = ±

√

10 rad/s e ω2 = ±

√

40 rad/s que representam,

respec-tivamente, as frequˆencias dos modos sim´etrico e antisim´etrico [4]. O modo

sim´etrico ocorre quando as part´ıculas se deslocam no mesmo sentido e o modo

To Workspace4 v1 To Workspace3 v2 To Workspace2 x1 To Workspace1 x2 To Workspace F Step1 Step Scope1 Scope Integrator7 1 s Integrator6 1 s Integrator5 1 s Integrator4 1 s Integrator3 1 s Integrator2 1 s Integrator1 1 s Integrator 1 s Gain8 10 Gain7 1 Gain6 5 Gain5 3 Gain4 2 Gain3 5 Gain2 3 Gain1 4 Gain 50 Derivative1 du/dt Derivative du/dt

Sistema para resolver a mola 1 Sistema para resolver a mola 2

Acoplamento da mola 1 com a mola 2 (influência de 2 sobre 1) Acoplamento da mola 2 com a mola 1 (influência de 1 sobre 2)

Figura 3.8: Diagrama de blocos para o sistema massa-mola acoplado. O

sistema ´e excitado por um impulso unit´ario.

exemplo apresentado opera em modo sim´etrico. Para o conjunto operar em

modo antisim´etrico, aplique uma for¸ca sobre o bloco 1 com sentido oposto

ao da for¸ca aplicada sobre o bloco 2 (exerc´ıcio para o leitor). Para salvar os

valores das energias potencial el´astica, cin´etica e mecˆanica da figura 3.9 em

um arquivo de texto, usamos os comandos apresentados na figura 3.10 em

um arquivo .M. Note que a deforma¸c˜ao da mola 2 ´e calculada em rela¸c˜ao a

posi¸c˜ao do corpo 1, logo U2 = k2(x2− x1)2/2. Um exemplo de vibra¸c˜ao livre

com trˆes molas pode ser acessado na ref. [5].

Observe que por se tratar de um sistema isolado (ap´os a aplica¸c˜ao da for¸ca

externa), a energia mecˆanica ´e conservada. Treine o c´erebro: como exerc´ıcio,

investigue cada curva da figura 3.9 e tente compreender o movimento do

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 - 4 , 0 - 2 , 0 0 , 0 2 , 0 4 , 0 0 , 0 1 , 0 2 , 0 3 , 0 4 , 0 5 , 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0

Fo

rç

a

(N

)

∆

t = 0 , 1 s

P

os

içã

o (

m

)

En

er

gi

a

(J

)

T e m p o ( s )

Figura 3.9: For¸ca externa, posi¸c˜ao dos corpos e energia do sistema em fun¸c˜ao

do tempo durante a vibra¸c˜ao livre.

do amortecimento ´e representado pela figura 3.11. Neste exemplo, o sistema

opera em regime subamortecido (retorne ao cap´ıtulo 2 para mais detalhes).

Figura 3.10: Comandos usados para salvar os dados do modelo em um ar-quivo de texto.

Na pr´oxima se¸c˜ao usaremos este mesmo modelo para estudar a vibra¸c˜ao

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 - 1 , 0 0 , 0 1 , 0 2 , 0 3 , 0 0 , 0 1 , 0 2 , 0 3 , 0 4 , 0 5 , 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5

Fo

rç

a

(N

)

∆

t = 0 , 1 s

P

os

içã

o (

m

)

En

er

gi

a

(J

)

T e m p o ( s )

Figura 3.11: For¸ca externa, posi¸c˜ao dos corpos e energia do sistema em

fun¸c˜ao do tempo durante a vibra¸c˜ao amortecida.

estudo de caso: o sistema de amortecimento veicular passivo (modelo de um quarto de carro).

3.3

Vibra¸

c˜

ao acoplada for¸

cada

Para simular a vibra¸c˜ao acoplada amortecida em regime for¸cado,

usare-mos o modelo da figura 3.8 com a for¸ca externa (1 N) representada pela boa e

velha sen´oide (usamos aleatoriamente ω = 1, 0 rad/s). Os dados s˜ao

apresen-tados na figura 3.12. O regime estacion´ario ´e rapidamente obtido conforme

descrito pelos espa¸cos de fases apresentados na figura 3.13. Observe que os

valores para velocidade e posi¸c˜ao s˜ao menores para a massa 1. Isto ´e causado

porque a for¸ca excitadora est´a atuando sobre a massa 2 e a constante da

mola 1 ser maior. Neste caso n˜ao ´e observado um comportamento n˜ao-linear

(o que ´e esperado, pois as EDOs deste modelo s˜ao lineares). Na ref. [6] ´e

- 1 , 0 0 , 0 1 , 0 - 5 0 - 2 5 0 2 5 5 0 0 , 0 2 , 0 4 , 0 6 , 0 8 , 0 1 0 , 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0

Fo

rç

a

(N

)

P

os

içã

o (

cm

)

En

er

gi

a

(m

J)

T e m p o ( s )

Figura 3.12: For¸ca externa, posi¸c˜ao dos corpos e energia do sistema em fun¸c˜ao

do tempo durante a vibra¸c˜ao acoplada amortecida em regime for¸cado.

Vamos utilizar este modelo para simular a suspens˜ao veicular passiva.

Para isso, devemos mudar um pouco a estrutura das EDOs que descrevem o movimento. Em um ve´ıculo convencional, o sistema de amortecimento

est´a sujeito a for¸cas externas causadas pelo perfil do solo em que ele est´a.

Assim, ao inv´es de aplicarmos uma for¸ca externa, vamos excitar o modelo

com uma fun¸c˜ao x(t) que representar´a o perfil do solo. Al´em disso, ao inv´es

da excita¸c˜ao ser aplicada em m2, ser´a aplicada em m1 e, por conven¸c˜ao,

vamos representar os graus de liberdade pelas vari´aveis y1 e y2:

m1 d2_y 1 dt2 = −k2(y1− y2) − b2 d dt(y1− y2) − k1[y1− y(t)] − b1 d dt[y1− y(t)], (3.9) m2 d2_y 2 dt2 = −k2(y2− y1) − b2 d dt(y2− y1) (3.10)

O modelo de um quarto de carro ´e representado pela figura 3.14. A massa

m2 representa 1/4 da massa do carro (500 kg), a mola 2 a suspens˜ao (k2 =

- 3 0 - 1 5 0 1 5 3 0 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0 - 3 0 - 1 5 0 1 5 3 0

V

e

lo

c

id

a

d

e

(

c

m

/s

)

∆

t = 60 s

m

V

e

lo

c

id

a

d

e

(

c

m

/s

)

Posição do corpo (cm)

m

Figura 3.13: Espa¸co de fase de cada uma das massas do modelo acoplado. O

eixo horizontal fornece a deforma¸c˜ao de cada uma das molas.

a massa m1 o pneu (50 kg). A mola 1 (k1 = 135000 N/m) e o amortecedor 1

(b1 = 1400 kg/s) representam as propriedades do pneu (que tamb´em atuam

como suspens˜ao e amortecedor, respectivamente). Estes valores foram

esco-lhidos arbitrariamente, mas com alguma proximidade dos valores reais. O

diagrama de blocos ´e apresentado na figura 3.15. A regi˜ao delimitada em

vermelho e verde representam a equa¸c˜ao 3.9 e a regi˜ao delimitada em azul

a equa¸c˜ao 3.10. Este modelo ´e similar ao diagrama da figura 3.8. A ´unica

diferen¸ca ´e o m´etodo de excita¸c˜ao, que est´a no perfil do solo, causada pela

soma de dois blocos “Sine Wave”, sendo um bloco com a fun¸c˜ao seno

regu-lar (amplitude de 0,04 m) e o outro bloco com a fun¸c˜ao seno com degraus

(amplitude de 0,025 m). A combina¸c˜ao destes dois blocos resulta em um

solo irregular capaz de provocar excita¸c˜oes bruscas no sistema. Para inserir

o perfil de degrau na fun¸c˜ao seno, clique duas vezes sobre o bloco e digite

“1”em “Sample time”. Este comando produzir´a um degrau a cada 1,0 s com

amplitude igual ao valor m´edio da fun¸c˜ao seno neste intervalo. Para produzir

0 ,7 m 0 ,3 m m₁ m₂ k_{1 b} 1 b₂ k₂

Figura 3.14: Modelo de um quarto de carro.

Observe que o sistema de equa¸c˜oes fornece o deslocamento dos corpos

em rela¸c˜ao ao ponto de equil´ıbrio da respectiva mola, conforme mostra a

figura 3.13; desta forma, ´e necess´ario realizar um offset dos dados num´ericos

por meio de dois blocos “Step” na sa´ıda dos sinais y1 e y2. Para os centros

das massas 1 e 2, foram atribu´ıdos offsets de 0,3 e 0,7 m, respectivamente,

conforme mostra a figura 3.14. Estes valores tamb´em foram escolhidos

arbi-trariamente. Note que a fun¸c˜ao degrau come¸ca inicialmente em zero. Para

iniciar a anima¸c˜ao com os respectivos offsets inclu´ıdos, clique duas vezes no

bloco e digite 0 em “Step time”. A solu¸c˜ao do diagrama da figura 3.15 ´e

apre-sentada na figura 3.14 (lado direito). Os dados mostram que, nas condi¸c˜oes

do modelo, a deforma¸c˜ao da massa m2 ´e mais suave. Para confeccionar a

anima¸c˜ao, usaremos os dados da figura 3.14.

3.4

Anima¸

c˜

ao

Para simular o modelo ´e neces´ario exportar os dados num´ericos para o

prompt de comando do MatLab. Este procedimento foi realizado com o bloco “To workspace”, conforme mostra a figura 3.15. As molas e os amortecedores foram desenhados com o procedimento do cap´ıtulo anterior, mas com algumas

adapta¸c˜oes na determina¸c˜ao da constante Hmin. Devido a inser¸c˜ao da base

do sistema e a espessura da massa m2 (veja o lado esquerdo da figura 3.14),

foi necess´ario realizar mais um deslocamento nos dados y1 e y2 de 0,3 e 0,2

m, respectivamente. As dimens˜oes do modelo s˜ao apresentadas na figura

3.16, onde w1 ´e a fun¸c˜ao y(t) que descreve o solo (veja a figura 3.15). A

velocidade horizontal do carro inserida no modelo ´e 1,0 m/s (considerando

MRU); no entanto, a percep¸c˜ao visual desta velocidade depende de diversos

fatores como velocidade de processamento, mem´oria e placa de v´ıdeo.

A dimens˜ao longitudinal total da mola 2, conforme mostra a figura 3.15,

´e dada por (y2+0,2) − (w1+0,2) = 2 × 0, 05 + 4nw, em que n ´e o n´umero de

espiras e w ´e o n´umero de catetos da figura 2.14. Assim,

w = 1

4n(y2− w1− 1/10) =

1

40n(10y2− 10w1− 1) (3.11)

A constante Hmin ´e dada quando a mola atinge a tra¸c˜ao m´axima, i.e.,

quando a diferen¸ca y2− w1 ´e m´axima. No MatLab ´e poss´ıvel determinar este

valor com a fun¸c˜aomax():

Hmin = C

1

4n[max(y2− w1) − 1/10] = C

1

40n[10max(y2 − w1) − 1] (3.12)

y 2 + 0 ,2 w 1 + 0 ,2 m₂ m₁ b₁ k₁ b₂ k₂ 0, 1 m y 1 + 0 ,3 0,4 m 0,8 m 0, 1 m 0,1 m P 2 p 2 p 1 P 1 0, 05 m

Figura 3.16: Dimens˜oes do modelo.

equa¸c˜oes para simular a mola 1 s˜ao dadas por:

w = 1 4n(y1− y2− 1/10) = 1 40n(10y1− 10y2 − 1) (3.13) Hmin = C 1 4n[max(y1− y2) − 1/10] = C 1 40n[10max(y1− y2) − 1] (3.14)

As dimens˜oes P e p dos amortecedores s˜ao determinados quando a mola

atinge a deforma¸c˜ao m´axima. Este procedimento ´e realizado com o aux´ılio

da fun¸c˜aomin(): P1 = p1 = min(y1− w2) − 1/20 = 1 20[20min(y1− y2) − 1] (3.15) P2 = p2 = min(y2− w1) − 1/20 = 1 20[20min(y2− w1) − 1] (3.16)

As demais dimens˜oes do modelo (blocos e base) s˜ao intuitivas. Tanto

modelo ficar˜ao como exerc´ıcio para o leitor. O c´odigo pode ser conferido no

fi-nal deste cap´ıtulo. A anima¸c˜ao foi separada em trˆes regi˜oes: (i) 1 gr´afico para

apresenta¸c˜ao da anima¸c˜ao, (ii) 1 gr´afico para apresentar a posi¸c˜ao da massa

1 em fun¸c˜ao do tempo e (iii) 1 gr´afico para apresentar a posi¸c˜ao da massa

2 em fun¸c˜ao do tempo. Para inserir essas regi˜oes, foi utilizado o comando

subplot() com quatro regi˜oes. Os subplot(2,2,1) e subplot(2,2,3)

foram sobrepostos e utilizados para apresentar a anima¸c˜ao do modelo. Para

sobrepor os gr´aficos, foi utilizado o comando subplot(2,2,[1 3]). Os

subplot(2,2,2) e subplot(2,2,4) foram utilizados para apresentar o

comportamento das massas m1(M na anima¸c˜ao) e m2 (m na anima¸c˜ao),

res-pectivamente. O c´odigo est´a separado em duas partes. A primeira possui um

loop de 1 at´e 11. Neste intervalo, a anima¸c˜ao apresenta apenas o solo (fun¸c˜ao

w1). Da itera¸c˜ao 12 em diante, o modelo ´e inserido na anima¸c˜ao. Todos os

elementos presentes na anima¸c˜ao foram nomeados por constantes (d1...d12,

c1...c8, b1...b15, t1e t2) que foram chamadas ao final do c´odigo com o comando

set() com a seguinte estrutura: set([ ],'Visible','off'). Este

co-mando apaga todos os elementos presentes na itera¸c˜ao i. Isto ´e necess´ario

para evitar a sobreposi¸c˜ao dos elementos da itera¸c˜ao i com os da itera¸c˜ao i+1.

Observe que isso ´e feito apenas com os dados do subplot(2,2,[1 3]). O

resultado final da anima¸c˜ao ´e apresentada na figura 3.17. A anima¸c˜ao

com-pleta est´a dispon´ıvel na ref. [7].

Tempo (s) 0 5 10 15 20 Posicao de M (m) 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 Tempo (s) 0 5 10 15 20 Posicao de m (m) 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 Posicao (m) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 Posicao (m) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 m M

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] H. Moys´es Nussenzveig, Curso de F´ısica B´asica (Editora Blucher, S˜ao

Paulo, 2002).

[2] J. L. Meriam L. G. Kraige, Mecˆanica para Engenharia - Dinˆamica (LTC,

Rio de Janeiro, 2013).

[3] S. M. Rezende, Materiais e Dispositivos Eletrˆonicos (Editora Livraria

da F´ısica, S˜ao Paulo, 2014).

[4] S. T. Thornton, J. B. Marion, Dinˆamica Cl´assica de Part´ıculas e

Siste-mas (Cengage Learning, S˜ao Paulo, 2011).

[5] Diego Duarte, Vibra¸c˜ao livre de dois osciladores acoplados, Canal no

YouTube, https://youtu.be/OWKl6t-z6EI.

[6] Diego Duarte, Vibra¸c˜ao for¸cada de dois osciladores acoplados, Canal no

YouTube, https://youtu.be/rAY7aaD9Msw.

[7] Diego Duarte, Simula¸c˜ao de uma suspens˜ao veicular com

MATLAB/Si-mulink, Canal no YouTube, https://youtu.be/8YYw_9sK2fs.